陜西省西安市周至縣2024-2025學(xué)年上學(xué)期九年級期中數(shù)學(xué)試卷

2024-2025學(xué)年陜西省西安市周至縣九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共8小題，每小題3分，計(jì)24分．每小題只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題意的）1．（3分）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一個(gè)根是x＝1，則a+b+c的值是（）A．0 B．﹣1 C．1 D．不能確定2．（3分）下列圖形中，是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（3分）拋物線y＝﹣x2+6x+8的對稱軸是（）A．x＝2 B．x＝3 C．x＝﹣3 D．x＝﹣44．（3分）如圖，△ABC與△DEF成中心對稱，點(diǎn)O是對稱中心，則下列結(jié)論不正確的是（）A．點(diǎn)A與點(diǎn)D是對應(yīng)點(diǎn) B．∠ACB＝∠DEF C．BO＝EO D．AB∥DE5．（3分）將拋物線向左平移2個(gè)單位長度，再向下平移3個(gè)單位長度得到新拋物線y＝5x2，則原拋物線解析式為（）A．y＝5（x+2）2+3 B．y＝5（x+2）2﹣3 C．y＝5（x﹣2）2+3 D．y＝5（x﹣2）2﹣36．（3分）今年“國慶節(jié)”和“中秋節(jié)”雙節(jié)期間，某微信群規(guī)定，群內(nèi)的每個(gè)人都要發(fā)一個(gè)紅包，并保證群內(nèi)其他人都能搶到且自己不能搶自己發(fā)的紅包，若此次搶紅包活動(dòng)，群內(nèi)所有人共收到90個(gè)紅包，則該群一共有（）A．9人 B．10人 C．11人 D．12人7．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D是⊙O上兩點(diǎn)，連接AC、BC、AD、OD，AB平分∠CAD，∠B＝72°，則∠BOD的度數(shù)為（）A．18° B．36° C．54° D．72°8．（3分）已知拋物線y＝x2﹣2mx（﹣1≤m≤2）經(jīng)過點(diǎn)A（p，t）和點(diǎn)B（p+2，t），則t的最小值是（）A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．1二、填空題（共5小題，每小題3分，計(jì)15分）9．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（﹣5，1）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是．10．（3分）一元二次方程x2﹣25＝0的兩個(gè)根分別為x1，x2，則x1+x2的值為．11．（3分）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE，若∠DAE＝50°，則∠CAD等于°．12．（3分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的部分圖象如圖所示，對稱軸為x＝2，可知關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0的一個(gè)根為x＝5，則方程的另一個(gè)根為．13．（3分）如圖，已知⊙O的半徑為13，AB是⊙O的弦，AB＝24，D為AB中點(diǎn)，C是圓上的動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），連接CD，則CD的最小值為．三、解答題（共13小題，計(jì)81分．解答應(yīng)寫出過程）14．（5分）解方程：x2+3＝2（x+2）．15．（5分）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D是⊙O上兩點(diǎn)，連接OC、BD、CD，若OC∥BD，∠ABD＝70°，求∠BDC的度數(shù)．16．（5分）已知A＝2m2+m﹣4，B＝m2﹣3m﹣8，當(dāng)m為何值時(shí)，A＝B．17．（5分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C落在線段AB上的點(diǎn)E處，點(diǎn)B落在點(diǎn)D處，求BE的長．18．（5分）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+（a+2）x+1的最大值為5，求a的值．19．（5分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，0），B（4，2），C（2，4）．（1）畫出△ABC關(guān)于原點(diǎn)O對稱的△A1B1C1；（點(diǎn)A、B、C的對應(yīng)點(diǎn)分別為A1、B1、C1）（2）將△ABC繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AB2C2，畫出△AB2C2，并寫出點(diǎn)B2的坐標(biāo)．（點(diǎn)B、C的對應(yīng)點(diǎn)分別為B2、C2）20．（5分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+mx﹣2m﹣4＝0．（1）求證：無論m取何值，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）若方程有一根為﹣4，求m的值．21．（6分）如圖①，圓形拱門屏風(fēng)是中國古代家庭中常見的裝飾隔斷，既美觀又實(shí)用，彰顯出中國元素的韻味．圖②是一款拱門的示意圖，其中C為AB中點(diǎn)，D為拱門最高點(diǎn)，線段CD經(jīng)過圓心O，已知拱門的半徑為1.5m，拱門最下端AB＝1.8m．求拱門最高點(diǎn)D到AB的距離CD．22．（7分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y＝x2+2x﹣m．（1）若該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在x軸上，求此時(shí)二次函數(shù)的解析式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若該拋物線的頂點(diǎn)到x軸的距離為2，求m的值．23．（7分）某商場以每件220元的價(jià)格購進(jìn)一批商品，當(dāng)每件商品售價(jià)為280元時(shí)，每天可售出30件，為了迎接“618購物節(jié)”，擴(kuò)大銷售，商場決定采取適當(dāng)降價(jià)的方式促銷，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件商品降價(jià)1元，那么商場每天就可以多售出3件．設(shè)每件商品降價(jià)x元．（1）商場日銷售量增加件，每件商品盈利元（用含x的代數(shù)式表示）；（2）要使商場每天銷售這種商品的利潤達(dá)3600元，且更有利于減少庫存，則每件商品應(yīng)降價(jià)多少元？24．（8分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠BAD＝90°，，過點(diǎn)C作CE，使得CE＝CD，交AD的延長線于點(diǎn)E．（1）求證：AB＝AE；（2）若AD＝DE＝2，求⊙O的直徑．25．（8分）如圖①，是某學(xué)校體育場的遮陽棚截面圖，該校數(shù)學(xué)興趣小組學(xué)習(xí)二次函數(shù)后，受到該圖啟示設(shè)計(jì)了一個(gè)遮陽棚截面模型，它的截面圖是拋物線的一部分（如圖②所示），拋物線的頂點(diǎn)在C處，對稱軸OC與地面AB相互垂直，且OC＝5，AB＝10，建立如圖②所示的平面直角坐標(biāo)系．（1）求此拋物線的函數(shù)解析式；（2）若為了使遮陽棚更加牢固，在遮陽棚內(nèi)部設(shè)計(jì)了一個(gè)矩形框架DEFG（如圖②所示），點(diǎn)G、F均在拋物線上，點(diǎn)D、E在AB上，且DE：EF＝4：3，求EF的長．26．（10分）如圖，已知拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，﹣4）．（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）如圖1，連接AC、CD、BD，求四邊形ACDB的面積；（3）如圖2，連接BC，若P是位于線段BC所在直線下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△BCP面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

2024-2025學(xué)年陜西省西安市周至縣九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共8小題，每小題3分，計(jì)24分．每小題只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題意的）1．【解答】解：把x＝1代入方程得：a+b+c＝0，故選：A．2．【解答】解：把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對稱圖形．選項(xiàng)A、B、D中的圖形都不能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形．選項(xiàng)C中的圖形能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形．故選：C．3．【解答】解：由題意，拋物線y＝﹣x2+6x+8的對稱軸為：直線，故選：B．4．【解答】解：觀察圖形可知：A、點(diǎn)A與點(diǎn)D是對應(yīng)點(diǎn)，原說法正確，故選項(xiàng)不符合題意；B、∠ACB＝∠DFE，原說法錯(cuò)誤，故選項(xiàng)符合題意；C、BO＝EO，原說法正確，故選項(xiàng)不符合題意；D、∠ABO＝∠DEO，則AB∥DE，原說法正確，故選項(xiàng)不符合題意．故選：B．5．【解答】解：∵拋物線向左平移2個(gè)單位長度，再向下平移3個(gè)單位得到的解析式為y＝5x2，∴y＝5x2向上平移3個(gè)單位長度，再向右平移2個(gè)單位長度得到原拋物線，∴原拋物線的函數(shù)解析式為y＝5（x﹣2）2+3．故選：C．6．【解答】解：設(shè)該群共有x人，依題意有x（x﹣1）＝90，解得：x＝﹣9（舍去）或x＝10，答：這個(gè)群共有10人．故選：B．7．【解答】解：∵AB是圓的直徑，∴∠C＝90°，∵∠B＝72°，∴∠BAC＝90°﹣∠B＝18°，∵AB平分∠CAD，∴∠BAD＝∠BAC＝18°，∴∠BOD＝2∠BAD＝36°．故選：B．8．【解答】解：∵拋物線y＝x2﹣2mx，∴拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝m，∵拋物線y＝x2﹣2mx（﹣1≤m≤2）經(jīng)過點(diǎn)A（p，t）和點(diǎn)B（p+2，t），∴點(diǎn)A（p，t）和點(diǎn)B（p+2，t）關(guān)于對稱軸對稱，t＝p2﹣2mp，∴＝m，即p+1＝m，∴p＝m﹣1，∴t＝（m﹣1）2﹣2m（m﹣1）＝﹣m2+1，∵﹣1≤m≤2，∴m＝2時(shí)，t有最小值為：﹣4+1＝﹣3．故選：A．二、填空題（共5小題，每小題3分，計(jì)15分）9．【解答】解：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（﹣5，1）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（5，﹣1），故答案為：（5，﹣1）．10．【解答】解：一元二次方程x2﹣25＝0中，∵方程的兩個(gè)根分別為x1，x2，a＝1，b＝0，∴，故答案為：0．11．【解答】解：因?yàn)椤鰽DE由△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，所以∠CAE＝90°．又因?yàn)椤螮AD＝50°，所以∠CAD＝∠CAE﹣∠EAD＝90°﹣50°＝40°．故答案為：40．12．【解答】解：∵關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0的一個(gè)根為x＝5，∴拋物線y＝ax2+bx+c＝0與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0），∵拋物線的對稱軸為直線x＝2，∴拋物線y＝ax2+bx+c＝0與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），∴關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0的另一個(gè)根為x＝﹣1．故答案為：x＝﹣1．13．【解答】解：連接OD，延長OD交⊙O于點(diǎn)C，連接OA，則OA＝OC＝13．∵D為AB中點(diǎn)，∴OC⊥AB，∴此時(shí)CD最短，∵AB＝24，∴AD＝AB＝×24＝12，在Rt△ADO中利用勾股定理，得OD＝＝＝5，∴CD＝OC﹣OD＝13﹣5＝8．故答案為：8．三、解答題（共13小題，計(jì)81分．解答應(yīng)寫出過程）14．【解答】解：x2+3＝2（x+2），x2﹣2x＝1，x2﹣2x+1＝1+1，即（x﹣1）2＝2，∴x﹣1＝，∴x1＝1+，x2＝1﹣．15．【解答】解：∵OC∥BD，∠ABD＝70°，∴∠ABD＝∠BOC＝70°，∴∠BDC＝∠BOC＝35°．16．【解答】解：由題意知2m2+m﹣4＝m2﹣3m﹣8，整理得m2+4m+4＝0，∴（m+2）2＝0，∴m+2＝0，解得m＝﹣2．17．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，由勾股定理得：AB＝＝＝5，∵將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C落在線段AB上的點(diǎn)E處，點(diǎn)B落在點(diǎn)D處，∴AE＝AC＝4，∴BE＝AB﹣AE＝5﹣4＝1．18．【解答】解：因?yàn)槎魏瘮?shù)解析式為y＝﹣x2+（a+2）x+1，所以拋物線的開口向下，且頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為＝．又因?yàn)槎魏瘮?shù)的最大值為5，所以，解得a＝2或﹣6，所以a的值為2或﹣6．19．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求．（2）如圖，△AB2C2即為所求．由圖可得，點(diǎn)B2的坐標(biāo)為（3，﹣3）．20．【解答】（1）證明：∵關(guān)于x的一元二次方程x2+mx﹣2m﹣4＝0，∴Δ＝b2﹣4ac＝m2﹣4×1×（﹣2m﹣4）＝m2+8m+16＝（m+4）2≥0，∴無論m取何值，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）解：∵方程的一個(gè)根為﹣4，∴16﹣4m﹣2m﹣4＝0，解得m＝2．21．【解答】解：如圖，連接OA，則OA＝OD＝1.5m．∵C為AB中點(diǎn)，D為拱門最高點(diǎn)，線段CD經(jīng)過圓心O，∴CD⊥AB，∵AB＝1.8m，∴AC＝AB＝×1.8＝0.9（m），在Rt△ACO中利用勾股定理，得OC＝＝＝1.2（m），∴CD＝OC+OD＝1.2+1.5＝2.7（m）．答：拱門最高點(diǎn)D到AB的距離CD是2.7m．22．【解答】解：（1）由題意可得：Δ＝4+4m＝0，∴m＝﹣1，∴此時(shí)二次函數(shù)的解析式為y＝x2+2x+1＝（x+1）2，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0）．（2）由y＝x2+2x﹣m＝（x+1）2﹣m﹣1可得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣m﹣1）∵該拋物線的頂點(diǎn)到x軸的距離為2，∴﹣m﹣1＝2或﹣m﹣1＝﹣2，∴m＝﹣3或1．23．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：商場日銷售量增加3x件，每件商品盈利為280﹣x﹣220＝（60﹣x）元，故答案為：3x，（60﹣x）；（2）根據(jù)題意得：（30+3x）（60﹣x）＝3600，解得x1＝20，x2＝30，∵要更有利于減少庫存，∴x＝30．答：每件商品應(yīng)降價(jià)30元．24．【解答】（1）證明：如圖，連接AC．∵，∴∠BAC＝∠EAC，∴CB＝CD．∵CE＝CD，∴CB＝CE，∠E＝∠CDE，∵∠ABC+∠ADC＝∠ADC+∠CDE＝180°，∴∠ABC＝∠CDE＝∠E，在△ABC和△AEC中，，∴△ABC≌△AEC（AAS），∴AB＝AE；（2）解：連接BD．∵∠BAD＝90°，∴．BD是⊙O的直徑．由（1）可得AB＝AE．∵AD＝DE＝2，∴AE＝AB＝4，在Rt△ABD中，，∴⊙O的直徑為2．25．【解答】解：（1）由題意，∵OC＝5，AB＝10，∴C（0，5），A（﹣5，0），B（5，0）．∴可設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為y＝ax2+5，又B（5，0）在拋物線上，∴25a+5＝0．∴．∴拋物線的函數(shù)解析式為．（2）由題意，∵四邊形DEFG是矩形，∴∠OEF＝90°，即EF⊥AB．∵DE：EF＝4：3，故可設(shè)DE＝4t，EF＝3t，∴F（2t，3t）．又F在拋物線上，∴．∴負(fù)值舍去）．∴，即EF的長為．26．【解答】解：（1）設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為y＝a（x﹣1）2﹣4，將點(diǎn)C（0，﹣3）代入上式，得：a﹣4＝﹣3