四川省新高考教研聯(lián)盟2025屆高三上學期八省適應性聯(lián)考模擬演練考試（二）數(shù)學試題含答案

八省適應性聯(lián)考模擬演練考試（二）數(shù)學試題命題：四川省新高考教研聯(lián)盟試題研究中心審題：四川省新高考教研聯(lián)盟試題研究中心注意事項：1、答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2、回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3、考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，每小題給出的4個選項中只有一個答案符合要求.1.已知為虛數(shù)單位，復數(shù)滿足，則復數(shù)z的虛部為（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】首先求出，再根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡，最后根據(jù)復數(shù)的相關概念判斷即可；解：因為，，所以，所以，所以復數(shù)的虛部為；故選：B2.設，，不等式恒成立，則實數(shù)m的最小值是（）A. B.2 C.1 D.【答案】D【解析】【分析】將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為,利用基本不等式求得的最小值，即可得答案.∵，，不等式恒成立，即恒成立，∴只需,∵，當且僅當時取等號.所以，∴，∴m的最小值為，故選：D3.紫砂壺是中國特有的手工制造陶土工藝品.其中石瓢壺的壺體可以近似看成一個圓臺，如圖給出了一個石瓢壺的相關數(shù)據(jù)（單位：cm），那么該壺的最大盛水量為（）A.68πcm3 B.152πcm3 C. D.204πcm3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，可得圓臺上底面半徑為4，下底面半徑為6，圓臺高為6，再利用臺體體積公式計算得答案.依題意，上圓臺底面半徑為4，面積，下底面半徑為6，面積，圓臺高h為6，所以圓臺的體積.故選：B4.給出下列命題：①若空間向量，滿足，則與的夾角為鈍角；②空間任意兩個單位向量必相等；③對于非零向量，若，則；④若為空間的一個基底，則構成空間的另一個基底．其中說法正確的個數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】利用空間向量基本概念及數(shù)量積的定義及運算，對各個命題逐一分析判斷即可得出結果.對于①，當與的夾角為，滿足，所以①錯誤；對于②，因為向量既有大小又有方向，兩向量相等要滿足方向相同，長度相等，任意兩個單位向量，只能確定長度相等，所以②錯誤；對于③，由，得到，所以或與垂直，所以③錯誤；對于④，因為為空間向量的一個基底，所以不共面，故也不共面，所以構成空間的另一個基底，所以④正確.故選：B.5.設的內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a，b，c，，且B為鈍角．的取值范圍（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由正弦定理的邊化角公式化簡得出，，，最后由結合正弦函數(shù)的性質(zhì)得出的取值范圍.由以及正弦定理得，所以即，又B為鈍角，所以，故于是，因為，所以由此，即的取值范圍是故選：A6.如圖，，是分別是雙曲線的左、右焦點，P為雙曲線右支上的一點，圓與三邊所在的直線都相切，切點為，，，若，則雙曲線的離心率為（）A. B.2 C. D.3【答案】B【解析】【分析】連接，，，由直線和圓相切的性質(zhì)，可得，設，運用雙曲線的定義，求得，再由圓外一點作圓的切線，則切線長相等，結合離心率公式即可得到所求值．解：連接，，，由直線和圓相切的性質(zhì)，可得，設，由雙曲線的定義可得，，則，，，由圓外一點作圓的切線，則切線長相等，即有，即，．故選：B．7.設，m>0，若三個數(shù)，，能組成一個三角形的三條邊長，則實數(shù)m的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意可得，可令，判斷可得，可得，化為，結合基本不等式和導數(shù)判斷單調(diào)性，以及不等式恒成立思想，即可得到所求范圍．，，令，，，，，，，y，z能組成一個三角形的三條邊長，可得，即為，設，可得，可令，即有，即為，由，當且僅當上式取得等號，但，可得，則，即；又設，可得，由的導數(shù)為，由可得，即函數(shù)y為增函數(shù)，可得，即有，即有，可得，故選C．【點睛】本題考查導數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性，基本不等式的性質(zhì)，考查推理能力與計算能力，屬于難題，關鍵是轉(zhuǎn)化為關于的函數(shù)求最值.8.用C(A)表示非空集合A中的元素個數(shù)，定義A*B＝若A＝{1，2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，設實數(shù)a的所有可能取值組成的集合是S，則C(S)等于（）A.1 B.3 C.5 D.7【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可得或，進而討論a的范圍，確定出，最后得到答案.因為，，所以或，由，得，關于x的方程，當時，即時，易知，符合題意；當時，即或時，易知0，-a不是方程的根，故，不符合題意；當時，即時，方程無實根，若a=0，則B={0}，，符合題意，若或，則，不符合題意.所以，故.故選：B.【點睛】對于新定義問題，一定要讀懂題意，一般理解起來不難，它一般和平常所學知識和方法有很大關聯(lián)；另外當時，容易遺漏a=0時的情況，注意仔細分析題目.二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.每小題給出的4個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，選對但不全得部分分，有選錯得0分.9.下列說法正確的是（）A.“”是“”的充分不必要條件B..是的必要不充分條件C.若，，，則“”的充要條件是“”D.若，，則“”是“”的充要條件【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷即可得解．A選項：當時，滿足，但是不能推出；反之當時，滿足，但是不能推出，所以兩者既不充分也不必要，故A錯誤；B選項：當，,但是不能推出A=?當A=?時，，故B正確；C選項：當時，不能由推出,故C錯誤；D選項：等價于等價于，故D正確；故選：BD.10.已知四棱錐，底面為矩形，側面平面，，．若點為的中點，則下列說法正確的為（）A.平面 B.平面C.四棱錐外接球的表面積為 D.四棱錐的體積為12【答案】BD【解析】【分析】對于A，通過證明平面來判斷結論錯誤；對于B，設,連接，證明即得結論；對于C，取中點,連接先證平面，過點作平面,其中點為四棱錐外接球的球心，通過直角梯形建立方程求解即得外接球半徑，計算排除C；對于D，利用為的中點，得到點到平面的距離等于點到平面的距離的一半，從而求得體積.對于A，因底面為矩形，則，又側面平面，且側面平面，平面，故平面,而與不重合，故A錯誤；對于B，設,連接,因分別是的中點，則,又平面，平面,故得平面，即B正確；對于C，取中點,連接因，則,,因側面平面，且側面平面，平面，則平面，易知點為矩形的外接圓圓心，過點作平面,其中點為四棱錐外接球的球心，連接,設球的半徑為，在中，，故，又，在直角梯形中，，解得，，故四棱錐外接球的表面積為，故C錯誤；對于D，因點為的中點，故點到平面的距離等于點到平面的距離的一半，即,故四棱錐的體積為，故D正確.故選：BD.【點睛】思路點睛：本題主要考查與空間幾何體有關的線面關系判斷，外接球以及體積問題，屬于難題.解題思路在于掌握線面垂直、平行的判定和性質(zhì)，借助于圖形進行推理和計算，掌握幾何體外接球的常規(guī)解法，通過作圖、分析列出方程求解即得.11.芯片時常制造在半導體晶元表面上.某企業(yè)使用新技術對某款芯片制造工藝進行改進.部分芯片由智能檢測系統(tǒng)進行篩選，其中部分次品芯片會被淘汰，篩選后的芯片及未經(jīng)篩選的芯片進入流水線由工人進行抽樣檢驗.記A表示事件“某芯片通過智能檢測系統(tǒng)篩選”，B表示事件“某芯片經(jīng)人工抽檢后合格”.改進生產(chǎn)工藝后，這款芯片的某項質(zhì)量指標服從正態(tài)分布，現(xiàn)從中隨機抽取M個，這M個芯片中恰有m個的質(zhì)量指標位于區(qū)間，則下列說法正確的是（）（參考數(shù)據(jù)：，）A.B.C.D.取得最大值時，M的估計值為54【答案】BC【解析】【分析】A選項，由條件概率的定義進行判斷；B選項，在A選項基礎上，推出，結合，得到，簡單變形即可得到B正確；C選項，利用正態(tài)分布的對稱性和原則得到答案；D選項，，，令，作商法得到其單調(diào)性，求出，，得到答案.A選項，由條件概率的定義可知，，A錯誤；對于B，因為，所以，其中，故，又，于是，即，即，而，所以，即，故，B正確；C選項，指標服從正態(tài)分布，故，則，因為，，所以，C正確；D選項，，，設，令，解得，故，令，解得，即，所以取得最大值時，M的估計值為53，D錯誤.故選：BC【點睛】結論點睛：條件概率的性質(zhì)：設，（1）；（2）如果是兩個互斥事件，則；（3）設和為對立事件，則；三、填空題：本大題共5小題，每小題5分，滿分15分.12.如圖，一圓形摩天輪的直徑為100米，圓心到水平地面的距離為60米，最上端的點記為Q現(xiàn)在摩天輪開始逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動，30分鐘轉(zhuǎn)一圈，以摩天輪的中心為原點建立平面直角坐標系，則經(jīng)過10分鐘點Q距離地面______.米【答案】【解析】【分析】利用三角函數(shù)的應用建立距離水平地面的高度關于的關系式，再代入即可得解.依題意，設距離水平地面的高度，所以，，則，所以，則，故答案為：.13.在平面直角坐標系中,若方程所表示的曲線是橢圓，則實數(shù)m的取值范圍是___________【答案】【解析】【分析】把等式，變形為動點到定點的距離與到定直線的距離之比的形式，然后根據(jù)橢圓的第二定義，可以求出實數(shù)m的取值范圍.因為方程所表示的曲線是橢圓，所以由可得：,則，因此有，故實數(shù)m的取值范圍，故答案為：14.中，的最大值為________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，由正弦的和差角公式以及輔助角公式化簡，然后構造函數(shù)，求導即可得到結果.令，其中，則，設，，顯然，有，則只需考慮在上的最大值，求導得，令，得，則且，當時，，當時，，則當時，函數(shù)取得極大值，即為最大值，.所以的最大值是.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：利用三角形內(nèi)角和定理、誘導公式及輔助角公式化成關于角的函數(shù)，是求出最大值的關鍵.四.解答題：本大題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明，證明過程及步驟.15.如圖，在三棱柱中，，.（1）求的長；（2）若為的中點，求二面角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)和線面垂直的判定定理、性質(zhì)定理即可求得的長;（2）建立空間直角坐標系，直接計算或者利用解三角形的知識得和的坐標，再求出兩個面的法向量，即可得到二面角的余弦值.【小問1詳解】取的中點，連接，．，，，．又，，平面，平面，又平面，．又，，.【小問2詳解】如圖，以為坐標原點，，所在直線，過且與平面垂直的直線分別為，，軸建立空間直角坐標系，如圖則易得，，，，．設，，由為的中點，可得，則，由，，，可得，解得，,．．設平面的法向量為，則，即，令，可得．設平面的法向量為，則，即，則，可得．則，易知二面角為銳二面角，二面角的余弦值為．16.在某月從該市大學生中隨機調(diào)查了100人，并將這100人在本月的網(wǎng)絡外賣的消費金額制成如下頻數(shù)分布表（已知每人每月網(wǎng)絡外賣消費金額不超過3000元）：消費金額（單位：百元）頻數(shù)2035251055（1）由頻數(shù)分布表可以認為，該市大學生網(wǎng)絡外賣消費金額Z（單位：元）近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)x（每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中點值，）.現(xiàn)從該市任取20名大學生，記其中網(wǎng)絡外賣消費金額恰在390元至2370元之間的人數(shù)為X，求X的數(shù)學期望；（2）A市某大學后勤部為鼓勵大學生在食堂消費，特地給參與本次問卷調(diào)查的大學生每人發(fā)放價值100元的飯卡，并推出一檔“勇闖關，送大獎”的活動.規(guī)則是：在某張方格圖上標有第0格、第1格、第2格、第60格共61個方格棋子開始在第0格，然后擲一枚均勻的硬幣（已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是，其中），若擲出正面，將棋子向前移動一格（從k到），若挪出反面，則將棋子向前移動兩格（從k到）.重復多次，若這枚棋子最終停在第59格，則認為“闖關成功”，并贈送500元充值飯卡；若這枚棋子最終停在第60格，則認為“闖關失敗”，不再獲得其他獎勵，活動結束.①設棋子移到第n格的概率為，求證：當時，是等比數(shù)列；②若某大學生參與這檔“闖關游戲”，試比較該大學生闖關成功與闖關失敗的概率大小，并說明理由.參考數(shù)據(jù)：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，.【答案】（1）；（2）①證明見解析；②闖關成功的概率大于闖關失敗的概率，理由見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)算出，由服從正態(tài)分布算出概率，即，進而算出的數(shù)學期望；（2）棋子開始在第格為必然事件，.第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，棋子移到第1格，其概率為，即，棋子移到第格的情況是下列兩種，即棋子先到第格，又擲出反面，其概率為；棋子先到第格，又擲出正面，其概率為，所以即，進而求證當時，是等比數(shù)列，計算符號即可判斷.【小問1詳解】，由Z服從正態(tài)分布，得，因此，所以X的數(shù)學期望為.【小問2詳解】①棋子開始在第0格必然事件，，第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，棋子移到第1格，其概率為，即，棋子移到第格的情況是下列兩種，而且也只有兩種：棋子先到第格，又擲出反面，其概率為；棋子先到第格，又擲出正面，其概率為，因此，即，且，所以當時，數(shù)列是首項，公比為的等比數(shù)列.②由①知，，，，，將以上各式相加，得，于是，則闖關成功的概率為，闖關失敗的概率為，，所以該大學生闖關成功概率大于闖關失敗的概率.17.已知點，、兩點分別在軸、軸上運動，且滿足，．（1）求的軌跡方程；（2）若一正方形的三個頂點在點的軌跡上，求其面積的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設點，根據(jù)向量關系及垂直關系可得點的軌跡方程為.（2）設、Bx2,y2、，利用點在拋物線上可用縱坐標表示三點，利用斜率關系可得三個縱坐標的關系，從而可以的斜率表示，結合基本不等式可求的最小值，故可求面積的最小值.【小問1詳解】設點，因為，且點在軸上，所以，又，則，，由，故點的軌跡方程為.【小問2詳解】設該正方形為，其在上的三個頂點為、Bx2,y2、不妨設，在軸的下方（包括軸），且，則，設直線的斜率為，則，所以，，故，故.又，所以，，將，用表示，得，故，，當且僅當時等號成立，又，當且僅當時等號成立，結合，故，當且僅當時等號成立，故，當且僅當時等號成立，所以正方形面積，當時取最小值.18.已知函數(shù)，.（1）若時，求的所有單調(diào)區(qū)間；（2）若在區(qū)間上的最大值為，求的范圍.【答案】（1）減區(qū)間是，，且；增區(qū)間是，，且.（2）.【解析】【分析】(1)將a＝0代入f(x)，求，根據(jù)正負即可求f(x)單調(diào)區(qū)間；(2)分、、、四種情況研究f(x)和在[0，π]的單調(diào)性和最值，.【小問1詳解】當時，f(x)＝xcosx－sinx，.當，且時，；當，且時，；關于原點對稱為，關于原點對稱為，∵f(x)定義域為R，且，∴f(x)是奇函數(shù)，∴f(x)在關于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，∴的減區(qū)間是，，且；的增區(qū)間是，，且.【小問2詳解】.(i)當時，時，，∴，單調(diào)遞減.此時，而，∴，此時不合題意；(ii)當時，變化時變化如下表：↗極大值↘此時在上最大值.而在(0，a)單調(diào)遞減，在(a，π)單調(diào)遞增，∴，易證y＝x－sinx在上單調(diào)遞增，故y＝x－sinx≥0－sin0＝0，即在上，x≥sinx，故時，，∴＝，∴，又，故當x＝a時，g(x)取最大值1，∴符合題意；(iii)當時，，，，，，∴，單調(diào)遞增，，，∴，且當x＝π時，，符合題意.(iv)當時，∵時，∴，∴，單調(diào)遞增，此時，在上單調(diào)遞減，，故，又，∴要使g(x)有最大值，則，整理得，設，.則，令，則，∴單調(diào)遞增，∴，∴單調(diào)遞增，∴，故在內(nèi)無解，即，故不合題意；綜上，.【點睛】本題解題的關鍵是發(fā)現(xiàn)，分別研究f(x)和在[0，π]上