單服務(wù)臺(tái)排隊(duì)模型

顧客源隊(duì)列服務(wù)機(jī)構(gòu)排隊(duì)系統(tǒng)顧客服務(wù)完離開(kāi)復(fù)習(xí)：排隊(duì)規(guī)則服務(wù)規(guī)則排隊(duì)系統(tǒng)的三個(gè)基本組成部分.

輸入過(guò)程

（有限、無(wú)限；單個(gè)、成批；確定型、隨機(jī)型。相繼到達(dá)時(shí)間間隔顧客到達(dá)1排隊(duì)規(guī)則

等待制、損失制、混合制服務(wù)機(jī)構(gòu)1、機(jī)構(gòu)形式：?jiǎn)瘟小⒍嗔?、服?wù)臺(tái)的數(shù)量2、服務(wù)方式：?jiǎn)蝹€(gè)、成批3.服務(wù)時(shí)間：確定型、隨機(jī)型顧客２５３３１2排隊(duì)系統(tǒng)運(yùn)行情況的分析，就是在給定輸入與服務(wù)條件下，通過(guò)求解系統(tǒng)狀態(tài)為n(有n個(gè)顧客)的概率Pn，再進(jìn)行計(jì)算其主要的運(yùn)行指標(biāo):①系統(tǒng)中顧客數(shù)(隊(duì)長(zhǎng))L；②排隊(duì)等待的顧客數(shù)(排隊(duì)長(zhǎng))Lq；③顧客在系統(tǒng)中全部時(shí)間(逗留時(shí)間)W；④顧客排隊(duì)等待時(shí)間Wq。3排隊(duì)模型的符號(hào)定義為:A/B/C/m/NA—顧客到達(dá)間隔時(shí)間概率分布;B—服務(wù)時(shí)間的概率分布;C—服務(wù)臺(tái)數(shù)；m—顧客源總數(shù)N—系統(tǒng)內(nèi)顧客的容量4排隊(duì)系統(tǒng)的常見(jiàn)分布1.泊松分布設(shè)N(Δt)表示在時(shí)間區(qū)間[t,t+Δt)內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)，是隨機(jī)變量。當(dāng)N(Δt)滿(mǎn)足下列三個(gè)條件時(shí)，我們說(shuō)顧客的到達(dá)符合泊松分布。這三個(gè)條件是：(1)平穩(wěn)性在時(shí)間區(qū)間[t,t+Δt)內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)N(Δt)，只與區(qū)間長(zhǎng)度Δt有關(guān)而與時(shí)間起點(diǎn)t無(wú)關(guān)。(2)無(wú)后效性在時(shí)間區(qū)間[t,t+Δt)內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)N(Δt)，與t以前到達(dá)的顧客數(shù)獨(dú)立。5(3)普通性在充分短的時(shí)間區(qū)間Δt內(nèi),到達(dá)兩個(gè)或兩個(gè)以上顧客的概率極小,可以忽略不計(jì),即其中λ表示單位時(shí)間平均到達(dá)的顧客數(shù),即為到達(dá)率。在長(zhǎng)為t的時(shí)間內(nèi)到達(dá)n個(gè)顧客的概率為:67當(dāng)t=1時(shí),表示單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)n個(gè)顧客的概率。容易計(jì)算Poisson分布的總體均數(shù)與總體方差相等,均為λ。82.負(fù)指數(shù)分布當(dāng)顧客到達(dá)符合泊松分布時(shí),顧客相繼到達(dá)的間隔時(shí)間T必服從負(fù)指數(shù)分布。顧客服務(wù)時(shí)間常用概率分布也是負(fù)指數(shù)分布其中μ表示單位時(shí)間內(nèi)完成服務(wù)的顧客數(shù),也稱(chēng)平均服務(wù)率。910例8-1某醫(yī)院外科手術(shù)室任意抽查了100個(gè)工作小時(shí),每小時(shí)患者到達(dá)數(shù)n的出現(xiàn)次數(shù)如表,問(wèn)每小時(shí)患者的到達(dá)數(shù)是否服從泊松分布。到達(dá)數(shù)n0123456≧7出現(xiàn)次數(shù)fn1028291610610患者在單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)數(shù)的頻數(shù)分布111.原理

判斷樣本觀察頻數(shù)（A）與理論(期望)頻數(shù)（T

）之差是否由抽樣誤差所引起。注意：理論頻數(shù)Ti不宜過(guò)小（如不小于5），否則需要合并組段！122.計(jì)算公式為參數(shù)的個(gè)數(shù)132.計(jì)算公式14卡方分布下的檢驗(yàn)水準(zhǔn)及其臨界值接受假設(shè),即患者到達(dá)數(shù)的經(jīng)驗(yàn)分布適合λ=2.1的泊松分布。15第二節(jié)單服務(wù)臺(tái)M/M/1排隊(duì)模型第八章排隊(duì)論16M/M/1/∞/∞模型1.模型條件（1）輸入過(guò)程――顧客源是無(wú)限的,單個(gè)到來(lái),到達(dá)過(guò)程服從泊松分布,即顧客到達(dá)間隔時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布；（2）排隊(duì)規(guī)則――單隊(duì),且隊(duì)長(zhǎng)沒(méi)有限制,先到先服務(wù)；（3）服務(wù)機(jī)構(gòu)――單服務(wù)臺(tái),服務(wù)時(shí)間的長(zhǎng)短是隨機(jī)的,服從相同的負(fù)指數(shù)分布。17排隊(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)n隨時(shí)間變化的過(guò)程稱(chēng)為生滅過(guò)程，設(shè)平均到達(dá)率為λ,平均服務(wù)率為μ,負(fù)指數(shù)分布排隊(duì)系統(tǒng)（M/M/1/∞/∞）的生滅過(guò)程可用下面的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖表示:01n-1nn+1...λλλλλλ

μμμμμμ1819類(lèi)似可得由概率性質(zhì)可知,20對(duì)于M／M／1/∞/∞模型有如下公式:

21例8-2設(shè)某醫(yī)院藥房只有一名藥劑員,取藥的患者按泊松分布到達(dá),平均每小時(shí)20人,藥劑員配藥時(shí)間服從指數(shù)分布,平均每人為2.5分鐘。試分析該藥房排隊(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)概率和運(yùn)行指標(biāo)。解:這是一個(gè)M/M/1/∞/∞系統(tǒng)，單列，F(xiàn)CFS規(guī)則根據(jù)題意已知,22（1）藥劑員空閑率（2）隊(duì)長(zhǎng)若按每天8小時(shí)工作時(shí)間計(jì)算,該藥劑員每天的空閑時(shí)間約有8×0.1667=1.33小時(shí)。23（3）等待隊(duì)長(zhǎng)（4）平均等待時(shí)間24（5）平均逗留時(shí)間（6）系統(tǒng)內(nèi)有n個(gè)患者取藥的概率25如果醫(yī)院希望有足夠的座位給取藥的病人坐，或者說(shuō)病人來(lái)取藥沒(méi)有座位的概率不超過(guò)5%，試問(wèn)至少應(yīng)為病人準(zhǔn)備多少座位？即至少為病人準(zhǔn)備15個(gè)座位（正在取藥的人除外）。26例8-3某醫(yī)院欲購(gòu)一臺(tái)X光機(jī),現(xiàn)有四種可供選擇的機(jī)型。已知就診者按泊松分布到達(dá),到達(dá)率每小時(shí)4人。四種機(jī)型的服務(wù)時(shí)間均服從指數(shù)分布,其不同機(jī)型的固定費(fèi)用C1,操作費(fèi)C2,服務(wù)率μ見(jiàn)表。若每位就診者在系統(tǒng)中逗留所造成的損失費(fèi)為每小時(shí)15元,試確定選購(gòu)哪一類(lèi)機(jī)型可使綜合費(fèi)（固定費(fèi)+操作費(fèi)+逗留損失費(fèi)）最低。2728第三節(jié)多服務(wù)臺(tái)M/M/Ｃ排隊(duì)模型第八章排隊(duì)論29一、M/M/C/∞/∞模型1.模型條件（1）輸入過(guò)程――顧客源是無(wú)限的,單個(gè)到來(lái),到達(dá)過(guò)程服從泊松分布,即顧客到達(dá)間隔時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布；（2）排隊(duì)規(guī)則――單隊(duì),且隊(duì)長(zhǎng)沒(méi)有限制,先到先服務(wù)；（3）服務(wù)機(jī)構(gòu)――多服務(wù)臺(tái)且相互獨(dú)立,服務(wù)時(shí)間的長(zhǎng)短是隨機(jī)的,平均服務(wù)率相同,服從相同的負(fù)指數(shù)分布。30311.狀態(tài)概率110kk011C1k1-úú?ùêê?é????è?????è??CCPmlrml－！＋?。剑?????íì3????è?￡<????è?CPCOPPn!C

1Cnn10nCn0nnmlml－！＝322.主要運(yùn)行指標(biāo)

33例8-6某醫(yī)院康復(fù)科有4臺(tái)超短波理療儀，患者的到達(dá)服從泊松分布。平均每小時(shí)到達(dá)12人，每人理療時(shí)間服從指數(shù)分布，每臺(tái)每小時(shí)平均服務(wù)4人，患者到達(dá)后排成一列，一次就診。求:①4臺(tái)一起同時(shí)空閑的概率②計(jì)算系統(tǒng)的數(shù)量指標(biāo)；③患者到達(dá)后必須等待的概率。34二、M/M/C模型與C個(gè)M/M/1模型的比較35例某醫(yī)院掛號(hào)室有三個(gè)窗口，就診者的到達(dá)服從泊松分布，平均到達(dá)率為每分鐘0.9人，掛號(hào)員服務(wù)時(shí)間服從指數(shù)分布，平均服務(wù)率每分鐘0.4人，現(xiàn)假設(shè)就診者到達(dá)后排成一隊(duì)，依次向空閑的窗口掛號(hào)，顯然系統(tǒng)的容量和顧客源是不限的，屬于M/M/C型的排隊(duì)服務(wù)模型。求:該系統(tǒng)的運(yùn)行指標(biāo)。

363738如果在上例中，就診者到達(dá)后在每個(gè)掛號(hào)窗口各自排成一隊(duì)，即排成3隊(duì)，且進(jìn)入隊(duì)列后不離開(kāi)，各列間也互不串換，這就形成3個(gè)隊(duì)列，而前例中的其它條件不變。假設(shè)每個(gè)隊(duì)列平均到達(dá)率相等且為:

λ1＝λ2＝λ3＝0.9/3＝0.3（人/分鐘）

這樣，原來(lái)的M/M/3系統(tǒng)就變成了3個(gè)M/M/1型的子系統(tǒng)。

現(xiàn)按M/M/1型計(jì)算主要運(yùn)行指標(biāo)，并與上面的例子進(jìn)行對(duì)比分析，結(jié)果見(jiàn)表39（1）掛號(hào)間空閑的概率（2）就診者必須等待的概率40（3）每個(gè)系統(tǒng)的平均等待隊(duì)長(zhǎng)（4）每個(gè)系統(tǒng)的平均隊(duì)長(zhǎng)41（5）每個(gè)系統(tǒng)的平均逗留時(shí)間（6）每個(gè)系統(tǒng)的平均等待時(shí)間42

兩個(gè)模型的比較指標(biāo)（1）M/M/3型（2）M/M/1型掛號(hào)間空閑的概率0.07480.25（各子系統(tǒng)）就診者必須等待的概率P(N>3)=0.570.75平均隊(duì)列長(zhǎng)1.7（人）2.25（人）（各子系統(tǒng)）平均隊(duì)長(zhǎng)3.95（人）3（人）（各子系