高等數(shù)學(xué)（第三版）課件：函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)_第1頁(yè)
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函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)一、泰勒級(jí)數(shù)二、函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)

一、泰勒級(jí)數(shù)定義如果f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)，則稱(chēng)冪級(jí)數(shù)為f(x)在x0的泰勒級(jí)數(shù).當(dāng)x0=0時(shí)，泰勒級(jí)數(shù)為:稱(chēng)之為f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù).定理1(泰勒中值定理)如果函數(shù)f(x)在含點(diǎn)x0的區(qū)間(a,b)內(nèi)，有一階直到n階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)x取區(qū)間(a,b)內(nèi)的任何值時(shí)，f(x)可以按(x?x0)的方冪展開(kāi)為：其中：公式(3)稱(chēng)為函數(shù)f(x)的泰勒公式，余項(xiàng)(4)稱(chēng)為拉格朗日余項(xiàng).定理2

設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域U(x0)內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)，則f(x)在該鄰域內(nèi)可展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件是f(x)的泰勒公式余項(xiàng)Rn(x)當(dāng)時(shí)的極限為零，即：

二、函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)

將函數(shù)展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù)(也稱(chēng)麥克勞林展開(kāi)式)的基本法，其一般步驟為：間接展開(kāi)法利用一些已知的函數(shù)展開(kāi)式、冪級(jí)數(shù)運(yùn)算(如四則運(yùn)算、逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分)以及變量代換等，將所給函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù).分別令q=?x、?x2有：將

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