2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第6章平面向量及其應(yīng)用6.2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算學(xué)案含解析新人教A版必修第二冊

PAGE6.2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.了解向量數(shù)乘的概念并理解數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義．(重點(diǎn))2．理解并駕馭向量數(shù)乘的運(yùn)算律，會進(jìn)行向量的數(shù)乘運(yùn)算．(重點(diǎn))3．理解并駕馭兩向量共線的性質(zhì)和推斷方法，并能嫻熟地運(yùn)用這些學(xué)問處理有關(guān)向量共線問題．(難點(diǎn))4．理解實(shí)數(shù)相乘與向量數(shù)乘的區(qū)分．(易混點(diǎn))1.通過向量的加法得到向量數(shù)乘運(yùn)算的直觀感知，再過渡到數(shù)乘運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算律，養(yǎng)成數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．2．通過推斷向量共線的學(xué)習(xí)，培育邏輯推理和數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).一根細(xì)繩東西方向擺放，一只螞蟻在細(xì)繩上做勻速直線運(yùn)動，假如螞蟻向東運(yùn)動1秒鐘的位移對應(yīng)的向量為a，那么它在同一方向上運(yùn)動3秒鐘的位移對應(yīng)的向量怎樣表示？是3a嗎？螞蟻向西運(yùn)動3秒鐘的位移對應(yīng)的向量又怎樣表示？是－3問題：類比實(shí)數(shù)的運(yùn)算“a＋a＋a＝3a”你能猜想實(shí)例中a＋a＋a1．向量的數(shù)乘運(yùn)算(1)定義：規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作：λa，它的長度與方向規(guī)定如下：①|(zhì)λa|＝|λ||a|；②當(dāng)λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時，λa的方向與a的方向相反．(2)運(yùn)算律：設(shè)λ，μ為隨意實(shí)數(shù)，則有：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb；特殊地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)；λ(a－b)＝λa－λb.(3)線性運(yùn)算：向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算，向量線性運(yùn)算的結(jié)果仍是向量．對于隨意向量a，b，以及隨意實(shí)數(shù)λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ22．共線向量定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.思索：定理中把“a≠0”去掉可以嗎？[提示]定理中a≠0不能去掉．若a＝b＝0，則實(shí)數(shù)λ可以是隨意實(shí)數(shù)；若a＝0，b≠0，則不存在實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa.拓展向量線性運(yùn)算的常用結(jié)論(1)在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，則eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AC,\s\up7(→))＋\o(AB,\s\up7(→))))；(2)O是△ABC的重心的充要條件是eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＝0；(3)與eq\o(AB,\s\up7(→))同向的單位向量為eq\f(\o(AB,\s\up7(→)),|\o(AB,\s\up7(→))|).1．思索辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)若λa＝0，則a＝0. ()(2)(－7)·6a＝－42a.(3)若eq\o(AB,\s\up7(→))＝λeq\o(CD,\s\up7(→))(λ≠0)，則A，B，C，D四點(diǎn)共線． ()[答案](1)×(2)√(4)×2．若|a|＝1，|b|＝2，且a與b方向相同，則下列關(guān)系式正確的是()A．b＝2a B．b＝－C．a(chǎn)＝2b D．a(chǎn)＝－2bA[因?yàn)閍，b方向相同，故b＝2a3．化簡：2(3a＋4b)－8－2a＋8b[原式＝6a＋8b－8a＝－24．如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝λeq\o(AO,\s\up7(→))，則λ＝________.2[由向量加法的平行四邊形法則知eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→)).又∵O是AC的中點(diǎn)，∴AC＝2AO，∴eq\o(AC,\s\up7(→))＝2eq\o(AO,\s\up7(→))，∴eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝2eq\o(AO,\s\up7(→))，∴λ＝2.]向量的線性運(yùn)算【例1】化簡下列各式：①3(6a＋b)－9eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,3)b))；②eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3a＋2b－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))))－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(3,8)b))；③2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7[解]①原式＝18a＋3b－9a－3b＝②原式＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a＋\f(3,2)b))－a－eq\f(3,4)b＝a＋eq\f(3,4)b－a－eq\f(3,4)b＝0.③原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a向量數(shù)乘運(yùn)算的方法(1)向量的數(shù)乘運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的代數(shù)運(yùn)算，實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提取公因式等變形手段在數(shù)與向量的乘積中同樣適用，但是這里的“同類項(xiàng)”“公因式”指向量，實(shí)數(shù)看作是向量的系數(shù)．(2)向量也可以通過列方程來解——把所求向量當(dāng)作未知數(shù)，利用解代數(shù)方程的方法求解．在運(yùn)算過程中要多留意視察，恰當(dāng)運(yùn)用運(yùn)算律，簡化運(yùn)算．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(1)化簡eq\f(2,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4a－3b＋\f(1,3)b－\f(1,4)6a－7b))；(2)已知向量為a，b，未知向量為x，y，向量a，b，x，y滿意關(guān)系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，求向量x，y.[解](1)原式＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4a－3b＋\f(1,3)b－\f(3,2)a＋\f(7,4)b))＝eq\f(2,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(3,2)))a＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3＋\f(1,3)＋\f(7,4)))b))＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)a－\f(11,12)b))＝eq\f(5,3)a－eq\f(11,18)b.(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－2y＝a①，,－4x＋3y＝b②，))由①×3＋②×2得，x＝3a＋2b，代入①得3×(3a＋2b)－2y＝a，所以y＝4a＋3b.所以x＝3a＋2b，y＝4a＋3向量共線定理[探究問題]1．如何證明向量a與b共線？[提示]要證明向量a與b共線，只需證明存在實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa(a≠0)即可，一般地，把a(bǔ)和b用相同的兩個向量m，n表示出來，視察a與b具有倍數(shù)關(guān)系即可．2．如何證明A，B，C三點(diǎn)在同始終線上？[提示]要證三點(diǎn)A，B，C共線，只需證明eq\o(AB,\s\up7(→))與eq\o(BC,\s\up7(→))或eq\o(AB,\s\up7(→))與eq\o(AC,\s\up7(→))共線即可．【例2】(1)已知e1，e2是兩個不共線的向量，若eq\o(AB,\s\up7(→))＝2e1－8e2，eq\o(CB,\s\up7(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up7(→))＝2e1－e2，求證：A，B，D三點(diǎn)共線；(2)已知A，B，P三點(diǎn)共線，O為直線外隨意一點(diǎn)，若eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))，求x＋y的值．[解](1)證明：∵eq\o(CB,\s\up7(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up7(→))＝2e1－e2，∴eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(CD,\s\up7(→))－eq\o(CB,\s\up7(→))＝e1－4e2.又eq\o(AB,\s\up7(→))＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)，∴eq\o(AB,\s\up7(→))＝2eq\o(BD,\s\up7(→))，∴eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(BD,\s\up7(→)).∵AB與BD有公共點(diǎn)B，∴A，B，D三點(diǎn)共線．(2)由于A，B，P三點(diǎn)共線，所以向量eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AP,\s\up7(→))在同始終線上，由向量共線定理可知，必定存在實(shí)數(shù)λ使eq\o(AP,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))，即eq\o(OP,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝λ(eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→)))，所以eq\o(OP,\s\up7(→))＝(1－λ)eq\o(OA,\s\up7(→))＋λeq\o(OB,\s\up7(→))，故x＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1.1．本例(1)中把條件改為“eq\o(AB,\s\up7(→))＝e1＋2e2，eq\o(BC,\s\up7(→))＝－5e1＋6e2，eq\o(CD,\s\up7(→))＝7e1－2e2”，則A，B，C，D中哪三點(diǎn)共線？[解]∵eq\o(AB,\s\up7(→))＝e1＋2e2，eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝2(e1＋2e2)＝2eq\o(AB,\s\up7(→)).∴eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(BD,\s\up7(→))共線，且有公共點(diǎn)B，∴A，B，D三點(diǎn)共線．2．本例(1)中條件“eq\o(AB,\s\up7(→))＝2e1－8e2”改為“eq\o(AB,\s\up7(→))＝2e1＋ke2”且A，B，D三點(diǎn)共線，如何求k的值？[解]因?yàn)锳，B，D三點(diǎn)共線，則eq\o(AB,\s\up7(→))與eq\o(BD,\s\up7(→))共線．設(shè)eq\o(AB,\s\up7(→))＝λeq\o(BD,\s\up7(→))(λ∈R)，∵eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(CD,\s\up7(→))－eq\o(CB,\s\up7(→))＝2e1－e2－(e1＋3e2)＝e1－4e2，∴2e1＋ke2＝λe1－4λe2.由e1與e2不共線可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2e1＝λe1，,ke2＝－4λe2，))∴λ＝2，k＝－8.3．試?yán)帽纠?2)中的結(jié)論推斷下列三點(diǎn)P，A，B，是否共線．①eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up7(→))；②eq\o(OP,\s\up7(→))＝－2eq\o(OA,\s\up7(→))＋3eq\o(OB,\s\up7(→))；③eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\f(4,5)eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\f(1,5)eq\o(OB,\s\up7(→)).[解]①中∵eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)＝1，∴P，A，B三點(diǎn)共線；②中∵－2＋3＝1，∴P，A，B三點(diǎn)共線；③中∵eq\f(4,5)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)))＝eq\f(3,5)≠1，∴P，A，B三點(diǎn)不共線．1．證明或推斷三點(diǎn)共線的方法(1)一般來說，要判定A，B，C三點(diǎn)是否共線，只需看是否存在實(shí)數(shù)λ，使得eq\o(AB,\s\up7(→))＝λeq\o(AC,\s\up7(→))(或eq\o(BC,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))等)即可．(2)利用結(jié)論：若A，B，C三點(diǎn)共線，O為直線外一點(diǎn)?存在實(shí)數(shù)x，y，使eq\o(OA,\s\up7(→))＝xeq\o(OB,\s\up7(→))＋yeq\o(OC,\s\up7(→))且x＋y＝1.2．利用向量共線求參數(shù)的方法推斷、證明向量共線問題的思路是依據(jù)向量共線定理尋求唯一的實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb(b≠0)．而已知向量共線求λ，常依據(jù)向量共線的條件轉(zhuǎn)化為相應(yīng)向量系數(shù)相等求解．若兩向量不共線，必有向量的系數(shù)為零，利用待定系數(shù)法建立方程，解方程從而求得λ的值．用已知向量表示未知向量【例3】(1)如圖，?ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，若eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AD,\s\up7(→))＝b，則eq\o(DE,\s\up7(→))＝()A．eq\f(1,2)a－b B．eq\f(1,2)a＋bC．a(chǎn)＋eq\f(1,2)b D．a(chǎn)－eq\f(1,2)b(2)如圖所示，D，E分別是△ABC的邊AB，AC的中點(diǎn)，M，N分別是DE，BC的中點(diǎn)，已知eq\o(BC,\s\up7(→))＝a，eq\o(BD,\s\up7(→))＝b，試用a，b分別表示eq\o(DE,\s\up7(→))，eq\o(CE,\s\up7(→))，eq\o(MN,\s\up7(→)).[思路探究]先用向量加減法的幾何意義設(shè)計(jì)好總體思路，然后利用平面圖形的特征和數(shù)乘向量的幾何意義表示．(1)D[eq\o(DE,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→))＋eq\o(CE,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)\o(AD,\s\up7(→))))＝eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))＝a－eq\f(1,2)b.](2)[解]由三角形中位線定理，知DEeq\f(1,2)BC，故eq\o(DE,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up7(→))，即eq\o(DE,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)a.eq\o(CE,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))＋eq\o(DE,\s\up7(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)a＝－eq\f(1,2)a＋b.eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\o(MD,\s\up7(→))＋eq\o(DB,\s\up7(→))＋eq\o(BN,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(ED,\s\up7(→))＋eq\o(DB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up7(→))＝－eq\f(1,4)a－b＋eq\f(1,2)a＝eq\f(1,4)a－b.1．本例(1)中，設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O，F(xiàn)是線段OD的中點(diǎn)，AF的延長線交DC于點(diǎn)G，試用a，b表示eq\o(AG,\s\up7(→)).[解]因?yàn)镈G∥AB，所以△DFG∽△BFA，又因?yàn)镈F＝eq\f(1,2)OD＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)BD＝eq\f(1,4)BD，所以eq\f(DG,AB)＝eq\f(DF,BF)＝eq\f(1,3)，所以eq\o(AG,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DG,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)a＋b.2．本例(1)中，若點(diǎn)F為邊AB的中點(diǎn)，設(shè)a＝eq\o(DE,\s\up7(→))，b＝eq\o(DF,\s\up7(→))，用a，b表示eq\o(DB,\s\up7(→)).[解]由題意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\o(AB,\s\up7(→))－\f(1,2)\o(AD,\s\up7(→))，,b＝\f(1,2)\o(AB,\s\up7(→))－\o(AD,\s\up7(→))，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up7(→))＝\f(4,3)a－\f(2,3)b，,\o(AD,\s\up7(→))＝\f(2,3)a－\f(4,3)b，))所以eq\o(DB,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b.用已知向量表示其他向量的兩種方法(1)干脆法．(2)方程法．當(dāng)干脆表示比較困難時，可以首先利用三角形法則和平行四邊形法則建立關(guān)于所求向量和已知向量的等量關(guān)系，然后解關(guān)于所求向量的方程．提示：用已知向量表示未知向量的關(guān)鍵是弄清向量之間的數(shù)量關(guān)系．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2.如圖所示，在四邊形ABCD中，M，N分別是DC，AB的中點(diǎn)，已知eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AD,\s\up7(→))＝b，eq\o(DC,\s\up7(→))＝c，試用a，b，c表示eq\o(BC,\s\up7(→))，eq\o(MN,\s\up7(→)).[解]eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→))＝－eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→))＝－a＋b＋c；eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\o(MD,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(AN,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up7(→))－eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)c－b＋eq\f(1,2)a＝eq\f(1,2)a－b－eq\f(1,2)c.一、學(xué)問必備1．實(shí)數(shù)與向量可以進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算，但不能進(jìn)行加減運(yùn)算，例如λ＋a，λ－a是沒有意義的．2．λa的幾何意義就是把向量a沿著a的方向或反方向擴(kuò)大或縮小為原來的|λ|倍，向量eq\f(a,|a|)表示與向量a同向的單位向量．3．留意記住以下結(jié)論并能運(yùn)用(1)若A，B，P三點(diǎn)共線，則eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))且x＋y＝1.(2)在△ABC中，若D為BC的中點(diǎn)，則eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))．(3)在△ABC中，若G為△ABC的重心，則eq\o(GA,\s\up7(→))＋eq\o(GB,\s\up7(→))＋eq\o(GC,\s\up7(→))＝0.二、方法必備1．推斷兩個向量a(a≠0)，b是否共線，關(guān)鍵是能否找到一個實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.若λ存在，則共線；若λ不存在，則不共線．2．共線向量定理的應(yīng)用①證明向量共線：對于向量a與b，若存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb，則a與b共線(平行)．②證明三點(diǎn)共線：若存在實(shí)數(shù)λ，使eq\o(AB,\s\up7(→))＝λeq\o(AC,\s\up7(→))，則A、B、C三點(diǎn)共線．③求參數(shù)的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值．特殊留意：①證明三點(diǎn)共線問題，應(yīng)留意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)分與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時，才能得到三點(diǎn)共線．②若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.1.eq\f(1,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)2a＋8b－4a－2b))等于()A．2a－b B．2b－C．b－a D．a(chǎn)－bB[原式＝eq\f(1,6)(2a＋8b)－eq\f(1,3)(4a－2b)＝eq\f(1,3)a＋eq\f(4,3)b－eq\f(4,3)a＋eq\f(2,3)b＝－a＋2b.]2．點(diǎn)C是線段AB靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，下列正確的是()A．eq\o(AB,\s\up7(→))＝3eq\o(BC,\s\up7(→)) B．eq\o(AC,\s\up7(→))＝2eq\o(BC,\s\up7(→))C．eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq