2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第七章隨機(jī)變量及其分布7.3.2離散型隨機(jī)變量的方差教師用書(shū)教案新人教A版選擇性必修第三冊(cè)

PAGE7.3.2離散型隨機(jī)變量的方差新版課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)業(yè)水平要求理解離散型隨機(jī)變量的方差.1.理解離散型隨機(jī)變量的方差及標(biāo)準(zhǔn)差的概念.(數(shù)學(xué)抽象)2.駕馭方差的性質(zhì),會(huì)利用公式求離散型隨機(jī)變量的方差.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)3.會(huì)計(jì)算離散型隨機(jī)變量的方差,并能解決一些實(shí)際問(wèn)題.(數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算)必備學(xué)問(wèn)·素養(yǎng)奠基1.離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差(1)定義:假如離散型隨機(jī)變量X的分布列如表所示Xx1x2…xnPp1p2…pn因?yàn)閄的均值為E(X),所以D(X)=QUOTEp1+QUOTEp2+…+QUOTEpn=QUOTEpi,稱為隨機(jī)變量X的方差,有時(shí)也記作:Var(X),并稱QUOTE為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差.記作:σ(X).(2)意義:隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值的離散程度,方差和標(biāo)準(zhǔn)差越小,隨機(jī)變量的取值越集中;方差與標(biāo)準(zhǔn)差越大,隨機(jī)變量的取值越分散.(3)性質(zhì):D(aX+b)=a2D(X).離散型隨機(jī)變量的方差和樣本方差之間有何關(guān)系?提示:(1)離散型隨機(jī)變量的方差即為總體的方差,它是一個(gè)常數(shù),不隨樣本的改變而改變;(2)樣本方差則是隨機(jī)變量,它是隨樣本不同而改變的.1.思維辨析(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)離散型隨機(jī)變量的方差越大,隨機(jī)變量越穩(wěn)定.()(2)離散型隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差的單位是相同的.()(3)若a是常數(shù),則D(a)=0.()提示:(1)×.離散型隨機(jī)變量的方差越小,隨機(jī)變量越穩(wěn)定.(2)×.單位不同,方差的單位是隨機(jī)變量單位的平方;標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量本身有相同的單位.(3)√.離散型隨機(jī)變量的方差刻畫(huà)離散型隨機(jī)變量相對(duì)于均值的波動(dòng)大小.2.已知X的分布列為X-101P0.50.30.2則D(X)等于()A.0.7 B.0.61 C.-0.3 D.0【解析】選B.E(X)=-1×0.5+0×0.3+1×0.2=-0.3,D(X)=0.5×(-1+0.3)2+0.3×(0+0.3)2+0.2×(1+0.3)2=0.61.3.已知隨機(jī)變量X,D(X)=QUOTE,則X的標(biāo)準(zhǔn)差為_(kāi)_______.

【解析】X的標(biāo)準(zhǔn)差QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE關(guān)鍵實(shí)力·素養(yǎng)形成類型一隨機(jī)變量的方差及其性質(zhì)【典例】已知X的分布列如表:X-101Pa(1)計(jì)算X的方差;(2)若Y=4X+3,求Y的均值和方差.【思維·引】利用分布列的性質(zhì)求出a值,再利用方差公式及性質(zhì)求解.【解析】由分布列的性質(zhì),知QUOTE+QUOTE+a=1,故a=QUOTE.所以X的均值E(X)=(-1)×QUOTE+0×QUOTE+1×QUOTE=-QUOTE.(1)X的方差D(X)=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.(2)因?yàn)閅=4X+3,所以E(Y)=4E(X)+3=2,D(Y)=42D(X)=11.【內(nèi)化·悟】本例(2)計(jì)算隨機(jī)變量Y的均值與方差時(shí),除了應(yīng)用均值與方差的性質(zhì)公式外,還有其他方法嗎?提示:有,還可以依據(jù)隨機(jī)變量X的分布列,求出隨機(jī)變量Y的分布列,再利用均值與方差公式求解.【類題·通】方差性質(zhì)應(yīng)用的關(guān)注點(diǎn)(1)公式:D(aX+b)=a2D(X);(2)優(yōu)勢(shì):既避開(kāi)了求隨機(jī)變量Y=aX+b的分布列,又避開(kāi)了涉及大數(shù)的計(jì)算,從而簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程.【習(xí)練·破】已知η的分布列為η010205060P(1)求方差及標(biāo)準(zhǔn)差;(2)設(shè)Y=2η-E(η),求D(Y).【解析】(1)因?yàn)镋(η)=0×QUOTE+10×QUOTE+20×QUOTE+50×QUOTE+60×QUOTE=16,所以D(η)=(0-16)2×QUOTE+(10-16)2×QUOTE+(20-16)2×QUOTE+(50-16)2×QUOTE+(60-16)2×QUOTE=384,所以QUOTE=8QUOTE.(2)因?yàn)閅=2η-E(η),所以D(Y)=D(2η-E(η))=22D(η)=4×384=1536.類型二求實(shí)際問(wèn)題中隨機(jī)變量的方差角度1定義法求方差【典例】從4名男生和2名女生中任選3人參與演講競(jìng)賽,設(shè)隨機(jī)變量X表示所選3人中女生的人數(shù),求X的方差.【思維·引】先列出隨機(jī)變量X的分布列,再用定義求出方差即可.【解析】由題意,X的可能取值為0,1,2,P(X=k)=QUOTE,k=0,1,2.X的分布列為:X012P所以X的均值為E(X)=0×QUOTE+1×QUOTE+2×QUOTE=1.所以X的方差為D(X)=(0-1)2×QUOTE+(1-1)2×QUOTE+(2-1)2×QUOTE=QUOTE.【素養(yǎng)·探】★本例考查求隨機(jī)變量的方差,同時(shí)考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).本例條件不變,若設(shè)隨機(jī)變量Y表示所選3人中男生的人數(shù),求Y的方差.【解析】由題意知,Y的可能取值為1,2,3,P(Y=k)=QUOTE,k=1,2,3,Y的分布列為:Y123P所以Y的均值為:E(Y)=1×QUOTE+2×QUOTE+3×QUOTE=2.所以Y的方差為:D(Y)=(1-2)2×QUOTE+(2-2)2×QUOTE+(3-2)2×QUOTE=QUOTE.角度2兩點(diǎn)分布【典例】某運(yùn)動(dòng)員投籃命中率p=0.8,則該運(yùn)動(dòng)員在一次投籃中命中次數(shù)X的方差為_(kāi)_______.

【思維·引】依據(jù)題意,確定分布類型,再利用公式求解.【解析】依題意知:X聽(tīng)從兩點(diǎn)分布,所以D(X)=(0-0.8)2×0.2+(1-0.8)2×0.8=0.16.答案:0.16【類題·通】1.求離散型隨機(jī)變量X的方差的步驟(1)理解X的意義,寫出X可能取的全部值;(2)求X取各個(gè)值的概率,寫出分布列;(3)依據(jù)分布列,由期望的定義求出E(X);(4)依據(jù)公式計(jì)算方差.2.假如能推斷隨機(jī)變量聽(tīng)從什么分布,則干脆代入相應(yīng)的公式求解方差.【習(xí)練·破】某廠一批產(chǎn)品的合格率是98%.(1)計(jì)算從中抽取一件產(chǎn)品為正品的數(shù)量的方差;(2)從中有放回地隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品,計(jì)算抽出的10件產(chǎn)品中正品數(shù)的方差及標(biāo)準(zhǔn)差.【解析】(1)用ξ表示抽得的正品數(shù),則ξ=0,1.ξ聽(tīng)從兩點(diǎn)分布,且P(ξ=0)=0.02,P(ξ=1)=0.98,所以D(ξ)=p(1-p)=0.98×(1-0.98)=0.0196.(2)用X表示抽得的正品數(shù),則X～B(10,0.98),所以D(X)=10×0.98×0.02=0.196,標(biāo)準(zhǔn)差為QUOTE≈0.44.類型三方差的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題【典例】以往的統(tǒng)計(jì)資料表明,甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員在競(jìng)賽中的得分狀況為:X1(甲得分)012P(X1=xi)0.20.50.3X2(乙得分)012P(X2=xi)0.30.30.4欲從甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員中選一人參與2024年?yáng)|京夏季奧運(yùn)會(huì),你認(rèn)為選派哪位運(yùn)動(dòng)員參與較好?【思維·引】可以先比較兩運(yùn)動(dòng)員的平均得分(即均值),再比較兩運(yùn)動(dòng)員的穩(wěn)定性,即方差,由此確定派誰(shuí).【解析】由題意,E(X1)=0×0.2+1×0.5+2×0.3=1.1,E(X2)=0×0.3+1×0.3+2×0.4=1.1.所以E(X1)=E(X2).D(X1)=(0-1.1)2×0.2+(1-1.1)2×0.5+(2-1.1)2×0.3=0.49,D(X2)=(0-1.1)2×0.3+(1-1.1)2×0.3+(2-1.1)2×0.4=0.69,所以D(X1)<D(X2),所以甲運(yùn)動(dòng)員的技術(shù)好一些,應(yīng)選派甲參與.【內(nèi)化·悟】解答方差的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題時(shí)常采納比較的方法,是對(duì)哪些量進(jìn)行比較的?提示:比較兩個(gè)隨機(jī)變量的均值和方差.【類題·通】利用均值和方差的意義分析解決實(shí)際問(wèn)題的步驟(1)比較均值.離散型隨機(jī)變量的均值反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平,因此,在實(shí)際決策問(wèn)題中,需先計(jì)算均值,看一下誰(shuí)的平均水平高.(2)在均值相等的狀況下計(jì)算方差.方差反映了離散型隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度.通過(guò)計(jì)算方差,分析一下誰(shuí)的水平發(fā)揮相對(duì)穩(wěn)定.(3)下結(jié)論.依據(jù)方差的意義作出結(jié)論.【習(xí)練·破】有甲、乙兩個(gè)建材廠,都想投標(biāo)參與某重點(diǎn)建設(shè)項(xiàng)目,為了對(duì)重點(diǎn)建設(shè)項(xiàng)目負(fù)責(zé),政府到兩建材廠抽樣檢查,他們從中各取等量的樣本檢查它們的抗拉強(qiáng)度指數(shù)如表:ξ110120125130135P0.10.20.40.10.2η100115125130145P0.10.20.40.10.2其中ξ和η分別表示甲、乙兩廠材料的抗拉強(qiáng)度,比較甲、乙兩廠材料哪一種穩(wěn)定性好.【解析】E(ξ)=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125,E(η)=100×0.1+115×0.2+125×0.4+130×0.1+145×0.2=125,D(ξ)=0.1×(110-125)2+0.2×(120-125)2+0.4×(125-125)2+0.1×(130-125)2+0.2×(135-125)2=50,D(η)=0.1×(100-125)2+0.2×(115-125)2+0.4×(125-125)2+0.1×(130-125)2+0.2×(145-125)2=165,由于E(ξ)=E(η),D(ξ)<D(η),故甲廠的材料穩(wěn)定性較好.課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.已知隨機(jī)變量X的分布列為P(X=k)=QUOTE,k=3,6,9,則D(X)等于()A.6 B.9 C.3 D.4【解析】選A.E(X)=3×QUOTE+6×QUOTE+9×QUOTE=6.D(X)=(3-6)2×QUOTE+(6-6)2×QUOTE+(9-6)2×QUOTE=6.2.設(shè)一隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果只有A和QUOTE且P(A)=m,令隨機(jī)變量ξ=QUOTE則ξ的方差D(ξ)等于()A.m B.2m(1-m)C.m(m-1) D.m(1-m)【解析】選D.隨機(jī)變量ξ聽(tīng)從兩點(diǎn)分布,所以D(ξ)=m(1-m).3.有甲、乙兩種水稻,測(cè)得每種水稻各10株的分蘗數(shù)據(jù),計(jì)算出樣本均值E(X甲)=E(X乙),方差分別為D(X甲)=11,D(X乙)=3.4.由此可以估計(jì)()A.甲種水稻比乙種水稻分蘗整齊B.乙種水稻比甲種水稻分蘗整齊C.甲、乙兩種水稻分蘗整齊程度相同D.甲、乙兩種水稻分蘗整齊程度不能比較【解析】選B.因?yàn)镈(X甲)>D(X乙),所以乙種水稻比甲種水稻分蘗整齊.4.隨機(jī)變量X表示某運(yùn)動(dòng)員在2次競(jìng)賽中的得分,其分布列如表,若0<a<QUOTE,E(X)=3,則D(X)=()X024PaQUOTE-aA.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.因?yàn)镋(X)=3,所以由隨機(jī)變量X的分布列得:0×a+2×QUOTE+4×QUOTE=3,解得a=QUOTE,所以D(X)=(0-3)2×QUOTE+(2-3)2×QUOTE+(4-3)2×QUOTE=QUOTE.【新情境·新思維】設(shè)10≤x1<x2<x3<x4≤104,x5=105,隨機(jī)