四川省達州市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試 數(shù)學(xué)試題（含解析）

四川省達州市2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．下列表達式化簡結(jié)果與相等的是（

）A． B．C． D．2．已知向量，.若，則的值為（

）A．-1 B．-6 C．-9 D．93．在空間中，設(shè)，為兩條不同的直線，，為兩個不同的平面.已知，，，則（

）A． B． C． D．4．已知平面的法向量為.若，直線平面，則直線的方向向量的坐標(biāo)可以是（

）A．（1，-1，1） B．（-1，1，-1）C．（-1，1，1） D．（1，1，-1）5．已知某圓臺的上、下底面半徑分別為2和5，母線長為5，則該圓臺的體積為（

）A． B． C． D．6．已知空間單位向量，的夾角為，向量，則向量在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．7．已知點，，，則點到直線的距離為（

）A． B． C．1 D．8．已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)的統(tǒng)計結(jié)果如下表.若將這兩組數(shù)據(jù)混合后得到丙組數(shù)據(jù)，則丙組數(shù)據(jù)的方差為（

）樣本容量平均數(shù)方差甲組20101乙組30156A．10 B． C．9 D．3二、多選題（本大題共3小題）9．小偉10月份1~10日每天運動時長的折線圖如下圖所示，則（

）A．小偉1~10日每天運動時長的極差為39分鐘B．小偉1~10日每天運動時長的中位數(shù)為33分鐘C．小偉1~10日每天運動時長的眾數(shù)為31分鐘D．小偉1~10日每天運動時長的第80百分位數(shù)為50分鐘10．在棱長2的正方體中，，分別為，的中點，則（

）A．平面B．直線與是異面直線C．平面截正方體所得截面是五邊形D．平面截正方體所得截面的面積為11．若平面，平面，平面，則稱點F為點E在平面內(nèi)的正投影，記為如圖，在直四棱柱中，，，分別為，的中點，，記平面為，平面ABCD為，，（

）

A．若，則B．存在點H，使得平面C．線段長度的最小值是D．存在點H，使得三、填空題（本大題共3小題）12．點關(guān)于平面對稱的點的坐標(biāo)為，關(guān)于軸對稱的點的坐標(biāo)為.13．四川的旅游資源豐富，不僅有眾多著名的自然景觀，還包括許多人文景點.其中，九寨溝以奇幻的山水景觀著稱；峨眉山以秀麗聞名；青城山以幽靜清雅著稱；劍門關(guān)則以雄險著稱.此外，四川還有許多必去的旅游景點，如都江堰、樂山大佛、稻城亞丁、色達佛學(xué)院、黃龍景區(qū)和四姑娘山等.這些景點既展示了四川的自然美景，還體現(xiàn)了其深厚的文化底蘊和歷史價值.甲、乙兩人從九寨溝、峨眉山和青城山這三個景點中各選擇其中一個景點進行游玩，已知甲、乙兩人選擇三個景點游玩的概率分別是，，和，，，則甲、乙選擇相同的景點游玩的概率為.14．已知在三棱錐中，，，，.當(dāng)三棱錐的體積最大時，該三棱錐外接球的表面積為?.四、解答題（本大題共5小題）15．如圖，在平行六面體中，底面為正方形，，，.設(shè)，，.

(1)用，，表示；(2)求的長度.16．如圖，在棱長為2的正方體中，，，分別是，，的中點.(1)證明：平面.(2)求點到平面的距離.17．在三棱錐中，平面平面，，，，分別為棱，的中點，為上靠近點的三等分點.(1)證明：平面.(2)求二面角的余弦值.18．如圖，在四棱錐中，，，，，，，平面平面，為的中點.(1)證明：.(2)試問在線段上是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.19．如圖，在幾何體ABCDEF中，已知四邊形ABCD是邊長為2的正方形，平面ABCD，，.

(1)求異面直線EB與DF所成角的余弦值(2)證明：平面平面BDF.(3)若M是幾何體ABCDEF內(nèi)的一個動點，且（），點N滿足，，求的最小值.

參考答案1．【答案】B【詳解】對于A,,不滿足題意；對于B,,滿足題意；對于C,,不滿足題意；對于D,具體不知.故選：B.2．【答案】C【詳解】，.若，則,解得.則的值為.故選：C.3．【答案】A【詳解】如圖正三棱柱，面為，面為，，則，運用線面平行性質(zhì)知道，A正確，B錯誤，由圖可知相交，沒有垂直和平行.故選：A.

4．【答案】D【詳解】直線平面，設(shè)l方向向量為,則，即.對于A,，不滿足題意；對于B,，不滿足題意；對于C,，不滿足題意；對于D,，滿足題意；故選：D.5．【答案】C【詳解】設(shè)圓臺的高為，根據(jù)圓臺的母線長、高和上下底面半徑之差構(gòu)成直角三角形，由勾股定理可得.已知，，，則.代入圓臺體積公式，可得.6．【答案】B【詳解】，所以向量在方向上的投影向量為，故選：B．7．【答案】B【詳解】,故點到直線的距離為,故選：B8．【答案】A【詳解】根據(jù)題意，得到，，，.那么丙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，根據(jù)方差公式得到..則丙組數(shù)據(jù)的方差為10.故選：A.9．【答案】ACD【詳解】將這10個數(shù)據(jù)從小到大排序：，故極差為，A正確，中位數(shù)為，故B錯誤；眾數(shù)為31，C正確，，故該組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為，故D正確；故選：ACD．10．【答案】ABD【詳解】對于A，如圖，正方體中，分別為，的中點，取分別為，的中點.連接..由正方體性質(zhì)，知道，，平面，平面，則平面.故A正確.對于B，點不在MN上，由異面直線定義可知，直線與是異面直線，故B正確.對于C和D，由前面知道，，則等腰梯形是所求截面，如圖，棱長是2的正方體，可求得,，，，作則.則等腰梯形的面積為：.故C錯誤，D正確.11．【答案】ABC【詳解】對于A：因為為直四棱柱，，所以以A為坐標(biāo)原點，AD，AB，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，連接PQ，

則，，，，，故，，所以，即Q，B，N，P四點共面，若，則，解得，A正確；對于B：過點H作，交于點G，過點G作AB的垂線，垂足即，過點A作的垂線，垂足即，連接，，由題意可得，則，，，，故，，，，易得是平面的一個法向量，若平面，則，即，解得，符合題意，所以存在點H，使得平面，B正確，對于C：，當(dāng)時，取得最小值，最小值為，C正確.對于D：若，則，得，無解，所以不存在點H，使得，D錯誤.故選：ABC12．【答案】【詳解】點關(guān)于平面對稱的點的坐標(biāo)為，關(guān)于軸對稱的點的坐標(biāo)為.故答案為：.13．【答案】【詳解】由題意知甲，乙兩人選擇景點游玩相互獨立，所以甲、乙兩人選擇相同的景點游玩的概率為.14．【答案】【詳解】在中，由，可得，由余弦定理可得，所以，所以，所以，如圖所示，當(dāng)平面時，三棱錐的體積最大，把三棱錐放置在長方體中，可知三棱錐的外接球的直徑為：，所以三棱錐的外接球的表面積為.故答案為：.15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè).因為.又因為，且.所以.（2）由（1）知.首先計算.根據(jù)向量運算法則.因為底面為正方形，，所以，.又，所以.由于，且，.而，所以.那么.根據(jù)向量的模長公式，所以.16．【答案】(1)答案見解析(2)【詳解】（1）如圖，連接,由于，分別是，的中點.則,則四邊形為平行四邊形，,平面,平面,則平面.（2）如圖，可建空間直角坐標(biāo)系，則,,設(shè)平面法向量為，則，即，解得，故.根據(jù)點面距離公式，則點到平面的距離.17．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）連接，，因為，所以.因為平面平面，平面平面，所以平面，因為平面，進而.因為，所以.以為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則O0,0,0，，，，，所以，.因為，所以，則，，又，平面，所以平面.（2）由（1）得，，，.設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以平面的一個法向量為.易得平面的一個法向量為.設(shè)二面角的大小為，則，由圖可知二面角為銳角，故二面角的余弦值為.18．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因為平面平面，且相交于，又且平面，故平面，又平面，故.在上取使得，連接，因為，可得四邊形為矩形，且，又，故為等腰直角三角形，故.因為為的中點，故，又，，則，故，故.又，，，平面，故平面.又平面，故，即得證.（2）由（1）可得平面，故以為坐標(biāo)原點建立如圖空間直角坐標(biāo)系.則，，，設(shè)，則，，.設(shè)平面的法向量，則，即，令有，，故.故直線與平面所成角的正弦值為，即，即，故，則，化簡可得.即，解得或（舍）.故.19．【答案】(1)(2)證明見解析(3).【詳解】（1）以A為坐標(biāo)原點，AB，AD，AE所在直線分別為x，y，z