2024年高考數(shù)學一輪復習高頻考點精講精練（新教材新高考） 第03講 平面向量的數(shù)量積 高頻精講（原卷版+解析版）

第03講平面向量的數(shù)量積（精講）

目錄

第03講平面向量的數(shù)量積（精講）..................................................1

第一部分：知識點必背..............................................................2

第二部分：高考真題回歸............................................................4

第二部分:高頻考點一遍過..........................................................4

高頻考點一：平面向量數(shù)量積的定義.............................................4

角度1；平面向量數(shù)量積的定義及辨析........................................4

角度2：平面向量數(shù)量積的幾何意義..........................................5

高頻考點二：平面向量數(shù)量積的運算.............................................6

角度1：求數(shù)量積...........................................................6

角度2：向量模運算.........................................................8

角度3：向量的夾角.........................................................9

角度4：兩向量成銳角（鈍角）求參數(shù).......................................10

角度5：已知模求數(shù)量積....................................................11

角度6：已知模求參數(shù)......................................................12

高頻考點三：向量的垂直關系...................................................13

高頻考點四：向量的投影（投影向量）..........................................14

高頻考點五：平面向量的綜合應用..............................................16

高頻考點六：最值范圍問題.....................................................17

高頻考點七：極化恒等式.......................................................20

第四部分：數(shù)學文化題.............................................................21

第五部分：高考新題型.............................................................23

①開放性試題.................................................................23

②探究性試題.................................................................23

第六部分：數(shù)學思想方法...........................................................24

①函數(shù)與方程的思想...........................................................24

②數(shù)形結(jié)合的思想.............................................................25

第一部分：知識點必背

1、平面向量數(shù)量積有關概念

L1向量的夾角

已知兩個非零向量a和/人如圖所示，作OA=a，OB=b，則NAO5=8

（OK0W））叫做向量〃與人的夾角，記作.

（2）范圍：夾角夕的范圍是［0,乃］.I

當夕=0時，兩向量〃，b共線且同向；

當。二不時，兩向量〃，人相互垂直，記作〃_Lb：

當。=乃時，兩向量〃，/?共線但反向.

L2數(shù)量積的定義：

已知兩個非零向量4與力，我們把數(shù)量|〃||b|cos8叫做〃與。的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作46，即

a?6=|a||/?|cos。，其中〃是a與〃的夾角，記作：0-<a,b>.

規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為零.記作：0-a=0.

1.3向量的投影

①定義：在平面內(nèi)任取一點O,俏OM=。，ON=〃.過點M作直線ON的垂線，垂足為則。就

是向量a在向量。上的投影向量.

M

②投影向量計算公式：

當。為銳角（如圖（1））時，OM1與e方向相同，九=|。必|=|〃|cos。，所以QM；=|。必|e=|“cos。e；

當。為直角（如圖（2））時，2=0,所以OM=0=同85萬6;

當。為鈍角（如圖（3））時，OW；與6方向相反，所以

2=-1OMX\=-\a\cos/MOM1二一|〃|cos（乃一0）二|a|cos。，即。必=\a\cos。e.

當。=0時，A=\a\,所以二間e=|a|cos0e；

當0=兀時，4=一同，所以OM]=T〃le=|。|cos兀e

綜上可知，對于任意的夕￡[0,兀],都有OM|=|a|cos8e.

2、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標表示

已知向量。=(%,)[)/=(9,%)，。為向量4和〃的夾角:

2.1數(shù)量積a-h=\a\\b\cos0=A1X2+y\y2

2.2模；|\ja-a-Jx；十y：

xx+y

2.3夾角：cos<9=——}22

\a\\b\

2.4非零向量〃_L/?的充要條件：ab=0<^>xAx2+y\y2=0

2.5三角不等式：\a-b\<\a\\b\(當且僅當a時等號成立)O儀+T%工商+褚?(芯+￡

3、平面向量數(shù)量積的運算

①a?b=b?a

②，=/(〃?〃)=a?(ZZ?)

?(a+b)-c=a-c+b'C

4、極化恒等式

——.|-2一2

①平行四邊形形式：若在平行四邊形ABC。中，則A8-AD=—(AC-DB)

4

②三角形形式：在AABC中，M為BC的中點，所以八8?4。=八加2-加8'=4加2-，8。2

4

5、常用結(jié)論

M

?(a+b)(a—b)=a-b

②(4+6)2=。~+2ab+b

③(a-b)2=a-2a-b+b

第二部分：高考真題回歸

1.(2022,全國(新高考H卷),統(tǒng)考高考真題)已知向量"=(3,4),Zr=(1,0),c=4十/〃，若<a,c>=<>,

則1=()

A.-6B.-5C.5D.6

2.(2022?全國(乙卷文)?統(tǒng)考高考真題)已知向量〃=(2,1)方=(-2,4),則K()

A.2B.3C.4D.5

3.(2022?北京?統(tǒng)考高考真題)在中，AC=3,8C=4,NC=90。.P為所在平面內(nèi)的動點，且

PC=1,則0/VP4的取值范圍是()

A.[-5,3]B.L-3,5JC.[-6,4]D.[-4,6]

4.(2022?全國(甲卷文)?統(tǒng)考高考真題)已知向量〃=(〃?,3)為=。,〃葉1).若3,則〃?=.

5.(2022?天津?統(tǒng)考高考真題)在.48C中，CA=ci,CB=b,。是AC中點，CB=2BE，試用方表示OE

為,若AB工DE，則NAC8的最大值為

第二部分：高頻考點一遍過

高頻考點一：平面向量數(shù)量積的定義

角度1：平面向量數(shù)量積的定義及辨析

典型例題

3

例題L(2023?全國?高一專題練習)已知|力|=3,。在方方向上的投影為彳，則的值為

91

A.3B.-C.2D.-

22

例題2.(2023?全國?高三專題練習)在矩形A8CD中，I4B1=6,1A。1=3.若點〃是CD的中點，

點N是8c的三等分點，且BN=LBC,貝UAM-MN=()

3

A.6B.4C.3D.2

例題3.（2023春?貴州貴陽?高一校聯(lián)考階段練習）在A8C中，。為邊上8c上的中點，">=2,04=3.

（1）ABAC=?

（2）P為工8C內(nèi)一點，PA?（P8+PC）最小值為

練透核心考點

1.（2023?仝國?高一專題練習）已知同=6,忖=3,向量々在4方向上投影向量是公，則2大為（）

A.12B.8C.-8D.2

2.（2023?全國?高三專題練習）在Rl-ABC中，NC=90。，A3=4,AC=2,。為的外心，則AO-BC=

（）

A.5B.2C.-4D.-6

角度2:平面向量數(shù)量積的幾何意義

典型例題

例題1.（2023春?河南?高三校聯(lián)考階段練習）已知點。為/8C所在平面內(nèi)一點，在一ABC中，滿足

2ABAO=\AB^f2AC-AO=\Ac[t則點O為該三角形的（）

A.內(nèi)心B.外心C.垂心D.重心

例題2.（2023?全國?高一專題練習）《易經(jīng)》是闡述天地世間關于萬象變化的古老經(jīng)典，如圖所示的

是《易經(jīng)》中記載的幾何圖形——八卦圖.圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽太極圖，其余八塊

面積相等的圖形代表八卦田，已知正八邊形/WCQEFG”的邊長為2&,點尸是正八邊形的

內(nèi)部（包含邊界）任一點，則AP.A8的取值范圍是（）

A.[-4夜,4夜]B.[-4x/2,8+4x/2]C.[8-4＞歷,8+4夜]D.[-4夜,8-4夜]

例題3.（2023?全國?高一專題練習）如圖，已知正六邊形ABC。所邊長為1,點尸是其內(nèi)部一點，（包

括邊界），則涔洸的取值范圍為

練透核心考點

1.（多選）（2023?全國?高三專題練習）已知正六邊形A3CQEF的邊長為1,。為正六邊形邊上的動點，則

的值可能為（）

A.-2B.-1C.1D.2

2.（2023春?江西宜春?高三校考開學考試）如圖，在正六邊形A8CQE尸中，向量后/在向量C。上的投影

向量是mCD，則，"二.

AF

BO￡

CD

3.（2023?全國?高一專題練習）在邊長為2的正六邊形ABCDEr中，點P為其內(nèi)部或邊界上一點，則

的取值范圍為.

高頻考點二：平面向量數(shù)量積的運算

角度1：求數(shù)量積

典型例題

例題1.（2023?河南鄭州?統(tǒng)考二模）已知向量”，〃滿足*2口=2,且〃與〃的夾角為與，則（2a+b）?a=

（）

A.12B.4C.3D.1

例題2.（2023春?寧夏吳忠?高一吳忠中學校考階段練習）已知向量。，〃的夾角為:，且同=3夜，忖=2,

貝！1（%+/?”=（）

A.9B.9夜C.16D.16拒

例題3.（2023?內(nèi)蒙古赤峰?赤峰二中校聯(lián)考模擬預測）在邊長為2的正三角形ABC中，AD=^DBf

CE=EB，則（）

9g33八9

A；B.-C,--D.-

例題4.（2023春?廣東東莞?高一東莞市東莞中學?？茧A段練習）平行四邊形ABC。中，AB=4t40=2,

ABAD=4五，點P在邊C7）上，則的取值范圍是.

練透核心考點

1.（2023春?山東棗莊?高一滕州市第一中學新校校考階段練習）已知“5C是邊長為2的等邊三角形，則

CAAB=（）

A.-2B.-2>/3C.2D.26

2.（2023春?江蘇淮安?高一淮陰中學校考階段練習）已知AB=（2,3）,=（3"）,其中/>0.滿足忸耳=如，

則<）

A.-9B.-22C.9D.22

3.（多選）（2023春?安徽亳州?高三校考階段練習）已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點，則APAB

的可能取值是（）

A.-2B.2

C.4D.8

4.（2023春?吉林?高一?？茧A段練習）在以8c中，ZBAC=120°,AB=6AC=1,。是邊4c上一點,

DC-2.BD,AB-a>AC=b?

AB

⑴試用a,〃表示A。；

⑵求4。dC的值.

角度2：向量模運算

典型例題

例題1.（2023春?寧夏銀川?高一銀川二中校考階段練習）已知向量”與〃的夾角為60°,k|=2,慟=1,

則卜+2〃卜（）

A.12B.16C.2^3D.4

例題2.（2023春?山東棗莊?高一滕州市第一中學新校?？茧A段練習）若平面向量出力"兩兩的夾角相等,

且同=2帆=2洶=3,則,+〃+2（:|=（）

A.2B.10C.5或2D.10或4

例題3.（2023?遼寧大連?校聯(lián)考模擬預測）已知向量”，力滿足W=夜，。-/，=（①夜"貝!）|2。-0|

等于（）

A.2x/2B.VlOC.x/15D.245

例題4.（2023春?山西運城?高一?？茧A段練習）已知向量：=（2,4）,b=（-2,m）t且,+4=卜-1則

〃?=.

練透核心考點

1.（2023春?寧夏吳忠?高一吳忠中學?？茧A段練習）已知向量。=（，〃」,）,。=（3,/〃），若“與人方向相反，則

p-\/3Z?|=（）

A.54B.8C.3月D.

2.（2023春?安徽合肥?高一合肥一中?？茧A段練習）設平面向量：=（1,2）,〃=（-2,y）,若〃〃/,,則忸+q

等于（）

A.B.76C.V17D.726

JT

3.（2023春?黑龍江哈爾濱?制一?？茧A段練習）已知向量a,6為單位向量，〃的夾角為彳，則

4.（2023春?上海青浦?高一?？茧A段練習）已知單位向量〃/的夾角為6,若夕wpy，則卜+。|的取值

范圍是.

5.（2023?全國?高三專題練習）已知向量a,〃滿足忖=1,忖=2,且卜+〃|=卜-.，則2a+〃卜.

角度3：向量的夾角

典型例題

例題1.（2023?全國?高一專題練習）已知向量。力滿足M=5，M=6,ab=-6,貝ljcos（a,a+，）=（）

例題2.（2023春?天津和平?高一天津市第五十五中學?？茧A段練習）已知向量。=（1,2）,b=（〃?,3）,

若。1僅〃一方），則。與〃夾角的余弦值為（）

A石R2^5r710

A?-----D.--------U■---------

5510D?嚕

例題3.（2023春?廣東東莞?高一?？茧A段練習）在以04為邊、0B為對角線的菱形OABC中，。A=（4,0）,

OB=(6*a),則ZAO3()

例題4.（2023年國福三專題練習）已知向量。=（1,一2）,^=（-K3）,c=ta+b，若〃_Zc,貝11cos（a,c）=

例題5.（2023?全國?高三專題練習）已知平面四邊形ABCD中，ABA.AD,BCLCD,AB=]fBC=6

Z/48c=150。，則8SNCBD=.

練透核心考點

1.（2023?全國?模擬預測）已知4=2,Z?=（-2,-l）,一。）=2慟,則sin（a,8）=（）

A.正B.在cMD,更

105105

2.（2023?全國?高一專題練習）在平面直角坐標系xQy中，。為坐標原點，點A（3,0）、點8（0,3）、點

C（cos?,sincc）,aw（0,乃），若|QA+OC|=G,則08與0C的夾角為（）

itnn2n

A.-B.-C.-D.——

6433

3.（2023?全國?高三專題練習）已知單位向量”，/?滿足（3a+/?）_L（4-2〃），則cos（a@=.

4.（2023?廣東?統(tǒng)考一模）已知向量滿足同=2,小4,僅叫?〃=（）,則〃與人的夾角為.

5.(2023春?山東濟南?高一?？茧A段練習)如圖，在梯形A8CD,AB//CD,乙=gAB=AD=2.

CD=3,AE=AAB.

(1)若ACJ.OE，求義的值；

⑵若4=；，求Ad與。￡的夾角的正切值.

乙

角度4:兩向量成銳角(鈍角)求參數(shù)

典型例題

例題L(2023春?江蘇淮安?高一淮陰中學?？茧A段練習)已知〃=(-1,1),忖=2,向量〃與/，的夾角為

與，且力與向量(U)的夾角為鈍角.則〃=()

A.(0,-2)B.(2,0)C.(-x/2,-V2)D.(五,五)

例題2.(2023春?安徽淮南?高一淮南第一中學校聯(lián)考階段練習)已知平面向量”="-2),b=(4,y)f

若。與a的夾角為銳角，則》的取值范圍為.

例題3.(2023春?山東棗莊?高一滕州市第一中學新校?？茧A段練習)已知|a|=l,出|=1,且向量。與〃不

共線.

⑴若a與〃的夾角為120。，求

(2)若。與人的夾角為60。且向量姑與癡-28的夾角為銳角，求實數(shù)％的取值范圍.

例題4.（2023春?浙江杭州?高一校聯(lián)考階段練習）已知：6、e：是同一平面內(nèi)的兩個向量，其中q=（2,3）.

（1）若同且q+/與嶺垂直，求6與G的夾角。；

（2）若與=Q1）且外與弓+溫的夾角為銳角，求實數(shù)A的取值范圍.

練透核心考點

1.（2023春?河南洛陽?高一洛寧縣第一高級中學校聯(lián)考階段練習）已知平面向量〃=（4,），），若

a與a+b的夾角為銳角，則>的取值范圍為.

2.（2023?江蘇?高一專題練習）已知向量a=（2,2）,/7=（l,2）peR）,若a與/，的夾角為銳角，則丸的取值

范圍為.

3.（2023春?安徽合肥?高一合肥一中?？茧A段練習）若向量。=伏,3）,〃=（1,4）,0=（2,1）,已知%-3力與c的

夾角為鈍角，則％的取值范圍是.

4.（2023春?江蘇揚州?高一揚州中學?？茧A段練習）設兩個向最滿足。=（2,0）為=［；,第］,

\/

⑴求a+A方向的單位向量；

⑵若向量2伍+7。與向量a+法的夾角為鈍角，求實數(shù)/的取值范圍.

角度5:已知模求數(shù)量積

典型例題

例題L（2023春?黑龍江鶴崗?高一鶴崗一中校考階段練習）已知向量滿足H=1，W=6，〃-2〃卜3,則

ab=（）

A.-2B.-1C.1D.2

例題2.（2023峻國?高一專題練習）已知〃，b是單位向量，若卜+2人卜|2.叫，則〃,b的夾角是（)

例題3.（2023?全國?高一專題練習）若非零向量q與b滿足：a+b+c=Of且何+忖=2,卜卜1,則〃力

的最大值為.

練透核心考點

1.（2023春?江蘇常州?高二常州市第一中學校考階段練習）空間向量。，b,若忖=3,忖=2,11-陷=療,

則”與〃的夾角為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

2.（2023春?山東棗莊?高一山東省滕州市第五中學?？茧A段練習）已知向量〃，〃滿足同=2,網(wǎng)=1,則

卜十。卜有，則a-h=.

3.（2023?陜西寶雞?統(tǒng)考二模）已知非零向量a，〃，c滿足H=W=,一〃=1且。一。一〃二1，則上|的取值

范圍是.

角度6：已知模求參數(shù)

典型例題

例題1.（2023?全國?高一專題練習）已知向量滿足萩=0,卜+QM若》與―的夾角為與，

則〃？的值為（）

A.2B.73C.1D.y

例題2.（2023?山西呂梁?高一校聯(lián)考）已知單位向量6,%,%與生的夾角為

⑴求證;

（2）若〃7=九弓十%,n=3e1-2e2,且同="，求％的值.

練透核心考點

1.（2023春?安徽?高一校聯(lián)考階段練習）已知q,g是單位向量，且不，“2的夾角為仇若忖+句之口止口），

則。的取值范圍為（）

71717Tjr5IT，、兀

A.B.—C.T'~7~D.0,—

[33」l_42」L66」6j

2.（2023?高二課時練習）已知空間三個向量”、〃、c的模均為1，它們相互之間的夾角均為120。.

⑴求證：向量〃垂直于向最c;

（2）已知上〃+6+。|>1伏€/?）,求A的取值范圍.

高頻考點三：向量的垂直關系

典型例題

例題1.（2023秋?吉林?高一吉林一中?？茧A段練習）已知|“|=4,|〃|=3,且的夾角為6（）,如果

（a+2b）±（a-mb）,那么加的值為（）

7312

A---D-

*6B.54?3

例題2.（2023?全國?高三專題練習）已知平面向量滿足。=（l,x）,/?=（2,1）,若-司1"貝!]

x=__________

例題3.（2023春?江蘇南京?高一南京市中華中學?？茧A段練習）己知向量。=（1,3）,8=（3,4）,若

（2d-/?）±a,貝I」4=.

例題4.（2023春?湖南長沙?高一長郡中學?？茧A段練習）已知同=2,W=G,（2a-3AM2。+〃）=-5.

（1）求。與〃的夾角出

⑵若°=心+2（一）〃，且bJ.c,求實數(shù)，的值.

練透核心考點

1.（多選）（2023春?陜西西安?高一統(tǒng)考階段練習）已知向量：=（2,3）,b=（—3,l）,h/一人與〃—2人垂直,

則（）

A.k=--B.k=~—C.H=ViOD.2“一"二（5,二、

913113I3J

2.（2023春?寧夏銀川?高一寧夏育才中學校考階段練習）已知向量〃=（〃?J），^=（-2,5）,若（24-/"，〃，

則川=.

3.（2023春?寧夏銀川?高一賀蘭縣第一中學?？茧A段練習）已知兩個非零向量。與力不共線，

⑴試確定實數(shù)&，使得履+b與a+心共線；

（2）若a=（1,2）,〃=（1,1）,c=〃+/〃，Kb1c?求實數(shù)義的值.

4.（2023春?湖北十堰?高一校考階段練習）已知,卜3,忖=4.

⑴若〃與〃的夾角為60。，求（。+24?；

⑵若a與〃不共線，當k為何值時，向量〃+妨與“-妨互相垂直？

高頻考點四：向量的投影（投影向量）

典型例題

例題1.（2023春?江蘇鹽城?高一江蘇省響水中學?？茧A段練習）已知外接圓圓心為。，半徑為1,

2AO=AB+ACf且碼。$=卜目,則向量AB在向量BC上的投影向量為（）

1uimAiA

A.-BCB.也BCC.-BCD.-』C

4444

例題2.（2023?河南?統(tǒng)考模擬預測）已知|。|=2,屹|(zhì)=1,且,+可=2,則〃在。方向上的投影為（)

例題3.（2023春?上海浦東新-高三上海市進才中學?？茧A段練習）已知向量。=（1,1）/=（2,3）,貝隆,在

b方向上的數(shù)量投影為

例題4.（2023?浙江溫州?統(tǒng)考二模）若向量a,〃滿足（〃+耳-7第=3,且用2,則〃在〃方向上的

投影的取值范圍是.

練透核心考點

1.（2023春?湖北武漢?高一武漢外國語學校（武漢實驗外國語學校）?？茧A段練習）已知的外接圓

圓心為。，2OA+A8+Ad=0，網(wǎng)=網(wǎng)，則向量8c在向量BA上的投影向量為（）.

A.BAB.-BA

C.-BAD.-^~BA

43

2.（2023春?云南昆明?高三?？茧A段練習）已知點伙1,2）,C（-2,-l）,D（3,4）,則向軟AB在C。

方向上的投影向量的長度為（）

A3&3而3735而

A.---RD------rI.----Un.----

2222

3.（2023春?福建三明?高一?？茧A段練習）若向量a=（-l,l）,向量〃=（4,3）,則向量〃在向量力上的投影

向量為（）

A.B.C.D.

252525252255

4.（2023秋?江西?高三校聯(lián)考期末）己知非零向量〃，滿足小2忖=2,且（。叫_L〃則向量/,在向量°上

的投影為.

高頻考點五：平面向量的綜合應用

典型例題

例題L（多選）（2023春?江蘇揚州?高一揚州中學?？茧A段練習）G是A3C的重心，

4〃=2,AC=4,ZC4/?=120°,P是/8C所在平面內(nèi)的一點，則下列結(jié)論正確的是（）

A.GA+G6+GC=O

B.AC在的方向上的投影等于2

4

C.GAGB=-

3

3

D.AP（8P+"）的最小值為

例題2.（多選）（2023春?廣東深圳?高一?？茧A段練習）重慶榮昌折扇是中國四大名扇之一，其精雅

宜士人，其華燦宜艷女，深受各階層人民喜愛.古人曾有詩贊曰：“開合清風紙半張，隨機舒卷豈尋常；金

環(huán)并束龍腰細，工棚齊編鳳翅K”.榮昌折扇平面圖為下圖的扇形COD,其中=與，67C-3O4-3,

動點P在。。上（含端點），連結(jié)。尸交扇形。4B的弧A8于點Q，ROQ=xOC+yODt則下列說法正確

的是（）

2

A.若'=工，則x+y=QB.若），=2.r,貝!）04.0產(chǎn)=0

C.ABPQ^-2D.PAPBW

例題3.（2023春?福建泉州?高一?？茧A段練習）已知平面向量。=（sinO,sin。-cos。），〃=（8S。,-1-機），

函數(shù)=

⑴若〃?=1,Oe:，兀｝求滿足方程外。）=；的。值；

（2）已知函數(shù)可耳為定義在R上的減函數(shù)，且對任意的為，9都滿足力（內(nèi)+毛）=/?（%）+/?（%），是否存在實

數(shù)陽，使（訪工。/+/（2"+|）＜，（〃0））對任意0€:T恒成立？若存在，求出實數(shù)加的取值范圍；

若不存在，說明理由.

練透核心考點

1.（多選）（2023?云南昆明?高三昆明一中?？茧A段練習）已知AB，AC是兩個非零向量，則下列說法正

確的是（）

A.若AS=（x,4）,AC=（-1,2）,AB!/AC?則工=一2

B.為銳角的充要條件是AC>0

C.若。為“BC所在平面內(nèi)一點，且OA.OB=OBOC=OCOA，則。為J3C的重心

/.1ABAC1

D.若（48+AC）?8C=。，且網(wǎng).同=萬，則ABC為等邊三角形

2.（2023春?山東泰安?高一山東省泰安第二中學?？茧A段練習）在平面直角坐標系中，已知A，,：）

4（8——1新,C（7-/M.O）,t,mGR,/*0.

（1）若『=1,〃?=4,P為x軸上的一動點，點A'。，-2）.當A,2,B三點共線時，求點P的坐標：

⑵若，=sin。，。6（0,兀），且C4與C8的夾角6］），求〃?的取值范圍.

高頻考點六：最值范圍問題

典型例題

例題L（2023?全國?高一專題練習）如圖，已知四邊形被力為直角梯形，ABJ.BC,ABUDC,AB=\,

AZ）=3,/84。=彳，設點尸為直角梯形ABC。內(nèi)一點（不包含邊界），則A8AP的取值范圍是

例題2.（2023春?江西?高三校聯(lián)考階段練習）在一A8C中，AC=61C=8,/C=9（）/為/3C所在平

面內(nèi)的動點，且尸C=2,則的取值范圍是（）

A.[-20,12]B.[-12,20]C.[-16,24]D.[-24,16]

例題3.（2023?全國?高一專題練習）如圖，圓。是半徑為1的圓，OA=g,設4,C為圓上的任意2

個點，則公.晶的取值范圍是?

例題4.（2023春-湖北省直轄縣級單位-高一湖北省仙桃中學校考階段練習）如圖，已知直角的

斜邊人4長為4,設Q是以。為圓心的單位圓的任意一點，。為AB邊的中線OC的中點，則

練透核心考點

1.（2023春?廣東揭陽?高三?？茧A段練習）如圖所示，邊長為2的正△A8C,以的中點0為圓心，BC

為直徑在點A的另一惻作半圓弧BC，點P在圓弧上運動，則的取值范圍為（）

A.[2,373]B.[4,36]C.[2,4]D.[2,5]

2.（2023春?四川成都?高二?？茧A段練習）與三角形的一邊及另外兩邊的延長線都相切的圓，稱為這個三

角形的旁切圓.已知正/4C的中心為。，/3=1,點尸為與8C邊相切的旁切圓上的動點，則QVOP的取

值范圍為.

3.（2023?全國?高三專題練習）如圖，C為“BC外接圓尸上一個動點，若04=1,08=6,408=150,

則OAOC的最大值為.

4.（2023春?湖南永州?高一永州市第一中學?？茧A段練習）如圖，在菱形"CO中，BE=^BC,CF=2FD.

⑵若菱形A8CO的邊長為6,求4￡石廠的取值范圍.

高頻考點七：極化恒等式

典型例題

例題1.（2023春?天津和平?高一天津市第五十五中學校考階段練習）圓。的直徑A8=2,弦￡/=],點

P在弦EF上,貝的最小值是（）

例題2.（2023春近蘇南京?高一南京外國語學校?？茧A段練習）圓。為銳角的外接圓，AC=2AB=2t

則OBOA的取值范圍為.

練透核心考點

1.（2023春?重慶渝中?高一重慶巴蜀中學?？茧A段練習）已知上8C中，卜/3卜4卜。卜8,且

1AB+（2-2/l）4C（/leR）的最小值為2g,若P為邊4B上任意一點，則PB/C的最小值是（）

5149925

A.——B.------C.一一-D.一一-

441616

2.（2023秋?河北石家莊?高二石家莊二十三中?？计谀┮阎狝8為圓C:（x-1）?+），2=1的直徑，點。為直

線工-y+2=。上的任意一點，則2的最小值為-

第四部分：數(shù)學文化題

1.（2023春?廣東佛山?高一?？茧A段練習）八卦是中國文化的基本哲學概念，圖1是八卦模型圖，其平面

圖形為圖2所示的正八邊形ABCDEFG從其中|。4卜1,給出下列結(jié)論：

①O人與OH的夾角為。；

@\OA-OC\=^\DH\^

@OD+OF=OEi

④。4在。。上的投影向量為走e

（其中e為與0。同向的單位向量）.

2

其中正確結(jié)論為（）

②D.④

2.（2023?河南安陽?統(tǒng)考二模）如圖,2022年世界杯的會徽像阿拉伯數(shù)字中的"8".在平面直角坐標系中,

圓加：/+（＞，+〃"=〃2和"：/+｛），-1）2=］外切也形成一個8字形狀，若夕（0,一2）,4（1,-1）為員|加上兩點,

3為兩圓圓周上任一點（不同于點A,P）,則PAPB的最大值為（）.

FIFAWORLDCUP

QdJr2O22

A*

B.2x/2+lC.3+x/2D.3夜+2

3.（多選）（2023春?河北保定?高一定州市第二中學校考階段練習）窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是

中國占老的傳統(tǒng)民間藝術之一，圖1是一個正八邊形窗花，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何怪形的示意圖.

已知正八邊形ABCOE尸G”的邊長為正，P是正八邊形"CQ即G〃邊上任意一點，則下列結(jié)論正確的是

()

A.BG=2AH

B.AO在48向量上的投影向量為￥+

X/

C.若。4斥=（1+五）尸4萬。，則"為。的中點

D.若。在線段8c上，且從尸=則工+曠的取值范圍為[l,2+0]

4.（2023春?上海寶山?高三統(tǒng)考階段練習）萊洛三角形，也稱圓弧三角形，是一種特殊三角形，在建筑、

工業(yè)上應用廣泛，如圖所示，分別以正三角形ABC的頂點為圓心，以邊長為半徑作圓弧，由這三段圓弧組

成的曲邊三角形即為萊洛三角形，已知A3兩點間的距離為2,點尸為A3上的一點，則PA.（尸8+PC）的最

小值為.

5.（2023春?安徽合肥?高一合肥一中?？茧A段練習）如圖所示是畢達哥拉斯的生長程序：正方形上連接著

等腰直角三角形，等腰直角三角形邊上再連接正方形，如此繼續(xù)，設初始正方形ABC。的邊長為夜，則

第五部分：高考新題型

①開放性試題

1.（2023?山東青島?統(tǒng)考一模）已知0（0,0）,A（l,2）,若向量〃?〃Q4,且機與OB的夾角為鈍

角，寫出一個滿足條件的，〃的坐標為.

2.12023?重慶沙坪壩?重慶南開中學?？寄M預測）已知向量々=1：1,2）力=（-2,1）,。=（〃?,〃）滿足,+筋）_1。，

請寫出一個符合題意的向量d的坐標.

3.（2023秋?