剛體習(xí)題課-修復(fù)的-

1一、基本概念1.剛體及其平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)2.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量3.轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能24.力矩及其功和功率（1）對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩（2）力矩的功（3）功率3（1）沖量矩5.沖量矩和動(dòng)量矩（2）角動(dòng)量（動(dòng)量矩）剛體對(duì)固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸的角動(dòng)量,等于它對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和角速度的乘積。42.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理1.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律二、基本規(guī)律3.剛體的角動(dòng)量定理54.角動(dòng)量守恒定律5.機(jī)械能守恒對(duì)于包括剛體的系統(tǒng),功能原理和機(jī)械能守恒定律仍成立。61.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)問題解法:利用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)描述關(guān)系三、習(xí)題基本類型

Ov定軸P

zr72.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算解法:（1）定義法:（2）平行軸定理J=JC+md2（P261表5.1,記?。?3.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)問題解法:利用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的轉(zhuǎn)動(dòng)定律步驟:（1）審題,確定研究對(duì)象；（2）建立坐標(biāo)系；（3）對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行受力分析和受力矩分析，并按坐標(biāo)系的正方向?qū)懗鐾饬氐谋磉_(dá)式及規(guī)律方程（注:受力分析和受力矩須取隔離體），并用線角量關(guān)系將F=ma與M=Jα聯(lián)系起來；（4）計(jì)算對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；（5）解方程求未知,必要的結(jié)果討論。9大家有疑問的,可以詢問和交流可以互相討論下,但要小聲點(diǎn)104.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的功能問題解法:利用動(dòng)能定理和機(jī)械能守恒定律5.角動(dòng)量原理及角動(dòng)量守恒定律6.混合題型解法:應(yīng)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式、轉(zhuǎn)動(dòng)定律和角動(dòng)量守恒定律。四、典型習(xí)題分析與講解115.2一汽車發(fā)動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速在7.0s內(nèi)由200rev/min均勻地增加到3000rev/min。

（1）求這段時(shí)間內(nèi)的初角速度、末角速度及角加速度；（2）求這段時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度；（3）發(fā)動(dòng)機(jī)軸上裝有一半徑為r=0.2m的飛輪,求它邊緣上一點(diǎn)在這第7.0s末的切向加速度、法向加速度和總加速度。（1）解:ω0=2π×200/60=20.9(rad/s)ω=2π×3000/60=314(rad/s)（2）12總加速度與速度（切向）之間的夾角（3）13已挖洞的圓板的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J加上挖去的圓板補(bǔ)回原位后對(duì)原中心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J1就等于整個(gè)完整圓板對(duì)中心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J2即ROR/2C5.9從一半徑為R的均勻薄板上挖去一個(gè)直徑為R的圓板,所形成的圓洞中心在距原薄板中心R/2處,所剩薄板的質(zhì)量為m。求此薄板對(duì)于通過原中心而與板面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。ROR/2C解:J=J2-

J114ROR/2C因薄板質(zhì)量均勻,得155.12如圖,兩個(gè)圓輪的半徑分別為R1和R2,質(zhì)量分別為M1、M2,二者皆可視作均勻圓柱體且同軸固結(jié)在一起,可繞一水平固定軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)。今在兩輪上繞有細(xì)繩,繩端分別掛上質(zhì)量為m1和m2的兩個(gè)物體。求在重力作用下,m2下落時(shí)輪的角加速度。解:（向上為正）（向下為正）對(duì)m1、m2、整個(gè)滑輪分別進(jìn)行受力分析,畫出示力圖（順時(shí)針為正）m1m2R2R1M1M2oa1T1m1ga2T2m2gαT1T216線角量關(guān)系（繩在輪上不打滑）:解得:m1m2R2R1M1M2oa1T1m1ga2T2m2gαT1T217M2R2M1R1m2m1例:求系統(tǒng)的加速度和拉力aT1T2T318轉(zhuǎn)動(dòng)定律例題題解195.13一根均勻米尺,在60cm刻度處釘?shù)綁ι?且可以在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)。先用手使米尺保持水平,然后釋放。求剛釋放時(shí)米尺的角加速度和米尺到豎直位置時(shí)的角速度。解:設(shè)米尺質(zhì)量m，對(duì)懸點(diǎn)O:對(duì)米尺，手剛釋放時(shí)，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律:O

mgCl1l2●20ωCmgO

mgCl1l2●在米尺轉(zhuǎn)到豎直位置過程中，系統(tǒng)（尺+地球）機(jī)械能守恒:215.17坐在轉(zhuǎn)椅上的人手握啞鈴。兩臂伸直時(shí)，人、啞鈴和椅系統(tǒng)對(duì)豎直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J1=2kg·m2。在外人推動(dòng)后，此系統(tǒng)開始以n1=15r/min轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)人兩臂收回時(shí)，使系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量變?yōu)镴2=0.80kg·m2，它的轉(zhuǎn)速n2是多大？解:兩臂收回過程中，系統(tǒng)的機(jī)械能是否守恒？什么力做了功？做功多少？設(shè)軸上摩擦忽略不計(jì)。由于兩臂收回過程中,人體受的沿豎直軸的外力矩為零,所以系統(tǒng)沿此軸的角動(dòng)量守恒兩臂收回時(shí)，系統(tǒng)的內(nèi)力（臂力）做了功，所以系統(tǒng)的機(jī)械能不守恒。臂力做的總功為:22235.19如圖所示,均勻桿長L=0.40m,質(zhì)量M=1.0kg,由其上端的光滑水平軸吊起而處于靜止。今有一質(zhì)量為m=8.0g的子彈以速度υ=200m/s水平射入桿中而不復(fù)出,射入點(diǎn)在軸下d=3L/4處。（1）求子彈停在桿中時(shí)桿的角速度。（2）求桿的最大偏轉(zhuǎn)角。解:ω?Lυ（1）系統(tǒng)（桿+子彈）,在碰撞過程中,合外力矩為0,因而系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒。（在俯視圖中,選⊙為正方向）24（2）系統(tǒng)（桿+子彈+地球）,上擺過程,只有重力（保守力）做功,系統(tǒng)的機(jī)械能守恒（選桿豎直時(shí)勢能為零）。?ωLC??θ255.20一轉(zhuǎn)臺(tái)繞豎直固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，每轉(zhuǎn)一周需時(shí)間t=10s，轉(zhuǎn)臺(tái)對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J=1200kg·m2。一質(zhì)量為M=80kg的人，開始站在轉(zhuǎn)臺(tái)中心，隨后沿半徑向外跑去，當(dāng)人離轉(zhuǎn)臺(tái)中心r=2m時(shí)轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度多大？解:系統(tǒng)（人+轉(zhuǎn)臺(tái)）不受沿軸的外力矩，其角動(dòng)量守恒，即:由此可得轉(zhuǎn)臺(tái)后來的角速度26習(xí)題集（力學(xué)）一、選擇題21一力學(xué)系統(tǒng)由兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，它們之間只有引力作用，若兩.質(zhì)點(diǎn)所受外力的矢量和為零，則此系統(tǒng):[](A)動(dòng)量、機(jī)械能以及對(duì)一軸的角動(dòng)量都守恒。(B)動(dòng)量、機(jī)械能守恒，但角動(dòng)量是否守恒不能斷定。(C)動(dòng)量守恒，但機(jī)械能和角動(dòng)量守恒與否不能斷定。(D)動(dòng)量和角動(dòng)量守恒，但機(jī)械能是否守恒不能斷定。C27ω=60rev/min=1rev/s=2πrad/s22（P5）一剛體以每分鐘60轉(zhuǎn)繞z軸做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)（沿z軸正方向）。設(shè)某時(shí)刻剛體上一點(diǎn)P的位置矢量為：為,其單位為“10-2m”，若以“10-2ms-1”為速度單位，則該時(shí)刻P點(diǎn)的速度為：（A）（B）（C）（D）分析:∴P點(diǎn)在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)對(duì)圓心o′的矢徑為:該時(shí)刻P點(diǎn)的速度為:∴選（B）2823（P5）質(zhì)量為m的小孩站在半徑為R的水平平臺(tái)邊緣上，平臺(tái)可以繞通過其中心的豎直光滑固定軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J。平臺(tái)和小孩開始時(shí)均靜止。當(dāng)小孩突然以相對(duì)于地面為V的速率在臺(tái)邊沿逆時(shí)針轉(zhuǎn)向走動(dòng)時(shí)，則此平臺(tái)相對(duì)地面旋轉(zhuǎn)的角速度和旋轉(zhuǎn)方向分別為:[]

（C），順時(shí)針；（D），逆時(shí)針。（B），逆時(shí)針；（A），順時(shí)針；A分析:29二、填空29.半徑為20cm的主動(dòng)輪,通過皮帶拖動(dòng)半徑為50cm的被動(dòng)輪轉(zhuǎn)動(dòng)。主動(dòng)輪從靜止開始作勻角加速轉(zhuǎn)動(dòng),在4s內(nèi),被動(dòng)輪的角速度達(dá)到8πrads-1,則主動(dòng)輪在這段時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過了___圈。則兩輪邊緣上點(diǎn)的線速度大小相等:主動(dòng)輪在4s內(nèi)的角位移20解:t=4s時(shí)，3030（P12）一可繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的飛輪,在20N·m的總力矩作用下,在10s內(nèi)轉(zhuǎn)速由零均勻地增加到8rad/s,飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=。角加速度為解:利用轉(zhuǎn)動(dòng)定律由剛體角動(dòng)量定理即3131（P12）半徑為R具有光滑軸的定滑輪邊緣繞一細(xì)繩,繩的下端掛一質(zhì)量為m的物體。繩的質(zhì)量可以忽略,繩與定滑輪之間無相對(duì)滑動(dòng)。若物體下落的加速度為a,則定滑輪對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=。解:RmT′mgTa3232（P12）一飛輪以600rev/min的轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn),轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為2.5kg·m2,現(xiàn)加一恒定的制動(dòng)力矩使飛輪在1s內(nèi)停止運(yùn)動(dòng),則該恒定制動(dòng)力矩的大小M=。解:角加速度為:ω0=600rev/min=20π(rad/s),ω=0或:3333（P12）一長為l、重W的均勻梯子,靠墻放置如圖,梯子下端連一倔強(qiáng)系數(shù)為k的彈簧。當(dāng)梯子靠墻豎直放置時(shí),彈簧處于自然長度,墻和地面都是光滑的。當(dāng)梯子依墻而與地面成θ角且處于平衡狀態(tài)時(shí),(1)地面對(duì)梯子的作用力大小為。(2)墻對(duì)梯子的作用力大小為。(3)W、k、l、θ滿足的關(guān)系式。解:剛體平衡的條件BAθlWNANBf3434（P13）轉(zhuǎn)動(dòng)著的飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J,在t=0時(shí)角速度為ω0。此后飛輪經(jīng)歷制動(dòng)過程,阻力矩M的大小與角速度ω的平方成正比,比例系數(shù)為k（k為大于0的常數(shù)）。當(dāng)ω=ω0/3時(shí),飛輪的角加速度β=____________。從開始制動(dòng)到ω=ω0/3所經(jīng)過的時(shí)間t=___________。解:由轉(zhuǎn)動(dòng)定律M=Jβ當(dāng)ω=ω0/3時(shí),M=-

kω2分離變量再由3535長為l的桿如圖懸掛,o為水平光滑固定轉(zhuǎn)軸,平衡時(shí)桿鉛直下垂,一子彈水平地射入桿中,則在此過程中,系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸o的守恒。桿和子彈角動(dòng)量?mM36（P13）地球的自轉(zhuǎn)角速度可以認(rèn)為是恒定的,地球?qū)τ谧赞D(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=9.8×1037kg·m2。地球?qū)ψ赞D(zhuǎn)軸的角動(dòng)量L=。解:剛體的角動(dòng)量大小:3637（P13）質(zhì)量分別為m和2m的兩物體（都可視為質(zhì)點(diǎn)）,用一長為l的輕質(zhì)剛性細(xì)桿相連,系統(tǒng)繞通過桿且與桿垂直的豎直固定軸o轉(zhuǎn)動(dòng),已知o軸離質(zhì)量為2m的質(zhì)點(diǎn)的距離為l/3,質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)的線速度為υ且與桿垂直,則該系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量大小為______。m●2m●oll/3解:剛體的角速度或3738（P13）動(dòng)量矩定理的內(nèi)容是,其數(shù)學(xué)表達(dá)式可寫成,動(dòng)量矩守恒的條件是。轉(zhuǎn)動(dòng)物體所受的合外力矩的沖量矩等于在合外力矩作用時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)物體動(dòng)量矩的增量物體所受合外力矩為零39（P14）如圖所示,一勻質(zhì)木球固結(jié)在一細(xì)棒下端,且可繞水平光滑固定軸o轉(zhuǎn)動(dòng),今有一子彈沿著與水平面成一角度的方向擊中木球而嵌于其中,則在此擊中過程中,木球、子彈、細(xì)棒系統(tǒng)的守恒,原因是,在木球被擊中和球升高的過程中,對(duì)木球、子彈、細(xì)棒、地球系統(tǒng)的守恒。對(duì)o軸的角動(dòng)量對(duì)該軸的合外力矩為零機(jī)械能?381.（習(xí)題集P19.20）以θ表末速度與彈簧長度方向的夾角?！嘟莿?dòng)量守恒解:對(duì)滑塊+彈簧系統(tǒng),對(duì)滑塊+彈簧+地球系統(tǒng),機(jī)械能守恒。選彈簧原長時(shí)為彈性勢能零點(diǎn),光滑水平面為重力勢能零點(diǎn),則兩式聯(lián)立,可解出結(jié)果。(選⊙為正)六、補(bǔ)充練習(xí)392.（習(xí)題集P19.23）當(dāng)人以相對(duì)于盤的速率υ沿與盤轉(zhuǎn)動(dòng)相反方向走動(dòng)時(shí),盤對(duì)地的角速度為ω,人對(duì)地的角速度為ω′。解:(1)選⊙為正,有∵（人＋盤）系統(tǒng)對(duì)軸的合外力矩為0,∴角動(dòng)量守恒:oRω40（1）（2）兩式聯(lián)立可得（2）欲使盤對(duì)地靜止,須“－”號(hào)表示人走動(dòng)方向與上一問中人走動(dòng)方向相反,即與盤初始轉(zhuǎn)動(dòng)方向一致。413.（習(xí)題集P20.25）對(duì)（棒＋滑塊）系統(tǒng),在碰撞過程中,由于碰撞時(shí)間極短,棒所受的摩擦力矩＜＜滑塊的沖力矩,故可近似認(rèn)為合外力矩為0,因而系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒。（在俯視圖中,選⊙為正方向）由角動(dòng)量定理,設(shè)Mf為摩擦力矩,則解:42棒上x

處dx

段小質(zhì)元:受摩擦力df=μgdm,對(duì)o軸的摩擦力矩dMf=xdf以上三式聯(lián)立,解得434對(duì)一個(gè)繞固定水平軸o勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的圓盤，沿如圖所示的同一水平直線從相反方向同時(shí)射入兩顆質(zhì)量相同、速率相等的子彈，并留在盤中，則子彈射入后轉(zhuǎn)盤的角速度是否改變？如何變？解:（盤＋兩子彈）系統(tǒng)所受對(duì)O軸的合外力矩為0,兩子彈射入前對(duì)O軸的角動(dòng)量等值、反向,正好抵消。當(dāng)兩子彈射入后,系統(tǒng)對(duì)O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J'＞J,其角動(dòng)量守恒:故射入前的Jω只是轉(zhuǎn)盤的角動(dòng)量。故ω′＜ω,即轉(zhuǎn)盤的角速度減小。445靜止均勻細(xì)棒長為L,質(zhì)量為M,可繞通過棒的端點(diǎn)且⊥棒長的光滑固定軸O在光滑水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng),轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為(ML2/3).一質(zhì)量為m速率為v的子彈在水平面內(nèi)沿與棒⊥的方向射入棒的自由端。設(shè)擊穿棒后子彈的速率減為υ/2,則此時(shí)棒的角速度為______。(A)mV/ML;(B)3mV/2ML;(C)5mV/3ML;(D)7mV/4ML.解:系統(tǒng)（子彈+桿）,對(duì)o軸選⊙為正向,則∴選（B）456一質(zhì)量為m的小蟲,在有光滑豎直固定中心軸的水平圓盤邊緣上,沿逆時(shí)針方向爬行,它相對(duì)于地面的速率為υ,此時(shí)圓盤正沿順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng),相對(duì)于地面的角速度為ω0,設(shè)圓盤對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J,若小蟲停止爬行,則圓盤的角速度為————。解:（蟲+盤）系統(tǒng),對(duì)O軸選為正向○×ω0O?mRυ46動(dòng)量矩守恒特例有心力力矩總是零477質(zhì)量為M，半徑為R的轉(zhuǎn)臺(tái)，可繞過中心的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，不計(jì)阻力。一質(zhì)量為m的人，站在臺(tái)的邊緣，人和臺(tái)原來都靜止，如果人沿臺(tái)邊緣跑一圈，人和臺(tái)各對(duì)地轉(zhuǎn)了多少角度？分析:動(dòng)量矩守恒+相對(duì)運(yùn)動(dòng)（以地為參照）48人奔一周所需時(shí)間人對(duì)地轉(zhuǎn)過角度臺(tái)對(duì)地轉(zhuǎn)過角度49分析:對(duì)m沖量定理對(duì)M沖量矩定理uf向下為正例2一質(zhì)量為M,長為2l的均勻細(xì)棒,可在豎直平面內(nèi)通過其中心的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)。開始時(shí),細(xì)棒在水平位置,一質(zhì)量為m的小球,以速度u垂直落到棒的端點(diǎn)。設(shè)小球與棒作完全彈性碰撞。求碰撞后,小球回跳速度及棒的角速度。(1)×l+(2)（動(dòng)量矩守恒）（能量守恒）50故在曲線運(yùn)動(dòng)中可以為零（例如勻速圓周運(yùn)動(dòng)）。7對(duì)于曲線運(yùn)動(dòng)的物體，以下幾種說法中哪一種是正確的:（A）切向加速度必不為零。（B）法向加速度必不為零（拐點(diǎn)處除外）。（C）由于速度沿切線方向，法向分速度必為零，因此法向加速度必為零。（D）若物體作勻速運(yùn)動(dòng)，其總加速度必為零。（E）若物體的加速度為恒矢量，它一定作勻變速率運(yùn)動(dòng)。[B]分析:切向加速度改變速度大小,法向加速度改變加速度方向,在曲線運(yùn)動(dòng)中不為零。答案為（B）（E）中,加速度為恒矢量,并不能說明為恒矢量,不一定作勻變速率運(yùn)動(dòng)。511一飛輪作勻減速轉(zhuǎn)動(dòng),在5s內(nèi)角速度由40πrad?s-1減到10πrad?s-1,則飛輪在這5s內(nèi)總共轉(zhuǎn)過了圈,飛輪再經(jīng)的時(shí)間才能停止轉(zhuǎn)動(dòng)二、填空題（共49分）解:由62.5得1.67s522圖示P、Q、R和S是附于剛性輕質(zhì)細(xì)桿上的質(zhì)量分別為4m、3m、2m和m的四個(gè)質(zhì)點(diǎn),PQ=QR=RS=l,則系統(tǒng)對(duì)OO’軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為。由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義解:50ml2●●●PQRS●oo′53

T為繩子對(duì)物體（或繩子對(duì)輪軸）的拉力。三、計(jì)算題1一質(zhì)量為m的物體懸于一條輕繩的一端,繩另一端繞在一輪軸的軸上,軸水平且垂直于輪軸面,其半徑為r,整個(gè)裝置架在光滑的固定軸承之上。當(dāng)物體從靜止釋放后,在時(shí)間t內(nèi)下降了一段距離S。試求整個(gè)輪軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（用m、r、t和S表示）。mro解:

m、輪軸受力如圖。αTaTmg則根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律得:①…2分②…2分③…2分④由已知條件⑤…2分將⑤代入④得:…2分542一均勻木桿,質(zhì)量為m1=1kg,長l=0.4m,可繞通過它的中點(diǎn)且與桿身垂直的光滑水平固定軸,在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。設(shè)桿靜止于豎直位置時(shí),一質(zhì)量為m2=10g的子彈在距桿中點(diǎn)l/4處穿透木桿（穿透所用時(shí)間不計(jì)）,子彈初速度的大小υ0=200m/s,方向與桿和軸均垂直。穿出后子彈速度大小減為v=50m/s,但方向未變,求子彈剛穿出的瞬時(shí),桿的角度速度的大小。（木桿繞通過中點(diǎn)的垂直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=m1L2/12）解:在子彈穿過桿的過程中，子彈與桿系統(tǒng)因外力矩