建筑力學考試講義

一、《建筑力學》的任務

設計出既經(jīng)濟合理又安全可靠的結構

二、《建筑力學》研究的對象

靜力學：構件、結構一一外力

材料：構件----內(nèi)力

結力：平面構件（桿系結構）外力

三、《建筑力學》研究內(nèi)容

1、靜力學：研究物體外力作用寫的平衡規(guī)律

對梁來說，要設計出合理的截面尺寸和配筋，則是以梁的內(nèi)力為依據(jù)，則內(nèi)力又是由外力產(chǎn)生,

外力都有哪些呢？外力大小如何？這是屬于靜力學所研究的內(nèi)容。

2、材力研究單個桿件：

a.強度：構件在外力作用下不出現(xiàn)斷裂現(xiàn)象。

b.剛度：構件在外力作用下不出現(xiàn)過大變形。

c.穩(wěn)定性：不發(fā)生突然改變而喪失穩(wěn)定。

3、結力研究體系：

a.強度：由于荷載、溫度、支座下陷引起的結構各部分的內(nèi)力，計算其大小。

b.剛度：由荷載、溫度、支座下陷引起的結構各部分的位移計算。

c.穩(wěn)定性：結構的兒何組成。

不穩(wěn)定穩(wěn)定

圖1-4

1—1力和平衡的概念

一、力的概念。

1、定義

2、三要素：①大小。②方向。③作用點。

3、單位：國際單位制N、KNo

二、剛體和平衡的概念。

1、剛體：

2、平衡：

三、力系、等效力系、平衡力系。

1、力系：

a、匯交力系

b、力偶系

c、平面力系。（一般）

2、等效力系：

a、受力等效一一力可傳遞性。

b、變形等效。

3、平衡力系：

a、匯交力系：SX=0,SY=0

b、力偶系：2M=0

c、一般力系：2X=0,2Y=0,2M=0。

1-2、靜力學公理

公理1：二力平衡公理

一個剛體受到兩個力的作用，這兩個力大小相等，方向相反，作用在一條直線上，這個剛體則平衡.（因

為一對平衡力使物體的運動效果為零）.講例

公理2：加減力系平衡公理

一個剛體上增加或減去若干對“平衡力”，則剛體保持其原有運動狀態(tài).

推理：力的可傳遞性.（注：不適用于求內(nèi)力）

證明：剛體原作用Fi,如沿Fi作用線加一對平衡力（F-F3）,使FI=FZ=-F3,此FI與F3

可視為一對平衡力系.據(jù)公理2減去F3與Fi,則相當于Fi從A點移至B點.

公理3：力的平行四邊形法則（略講）

推理：”三力匯交平衡”

一個物體受到三個力的作用而處于平衡，則這三個力的作用線必交于一點.

證明：剛體受Fi,F2,F3作用而平衡，F(xiàn)i與Fz可傳遞到交于A點，R是其合力，F(xiàn)必定通過A點

并與R在一條直線上且相等.（形成一對平衡力）.

公理4：作用力與反作用力.中學講過，略講

1-3、約束與約束力

一、約束反力

1、約束：限制別的物體朝某一個方向運動的物體。如柱是梁的約束。

2、約束反力：由約束來給予被約束物體的作用力，稱為約束反力，簡稱為反力。

3、如何分析約束反力。

（1）根據(jù)物體運動的趨勢決定是否有約束反力（存在性）。

（2）約束反力的方向與物體運動趨勢方向相反（方向性）。

（3）約束反力的作用點就在約束物和被約束物的接觸點（作用點）。

圖1-8

在（a）圖中，對球體來看：球體雖在A處與墻體有接觸，但球體沒有運動趨勢，所以沒有

（運動）反力。在（b）圖中，球體與墻在A點不僅有接觸點，球體同時還有向左的運動趨勢。

二、約束的幾種基本類型和約束的性質。

1、柔體約束：方向：指向：背離被約束物體。（拉力）

方位：在約束軸線方位。

表示：To

2、光滑接觸面：方向：指向：指向被約束物體。（壓力）

方俘：沿接觸面的法線方位。

表示：No

3、園柱較鏈；方向；指向：假設。

方位：不定，故可用在x,y軸分力表示。

4、鏈桿約束：方向：指向：假設

方位：沿鏈桿軸線方位。

三、支座和支座力

1、支座：建筑物中支承構件的約束。

2、支座反力：支座對構件的作用力叫支座反力。

3、支座的類型：

（1）、固定錢支座：受力特性與圓柱較鏈相同，形成不同。

區(qū)海圖必比-----「受力圖

簡支梁

圖1-13

(2)、可動較支座：受力特性與鏈桿約束相同，形式不同。

受力圖

簡支梁

圖1/4

(3)、固定端支座：

方向：指向：假設。

方位：不定。

V

懸臂梁簡圖受力圖

圖1-15

1一4、受力圖

一、畫受力圖步驟

1、確定研究對象。

2、取出研究對象。

3、在研究對象上畫出所受到的全部主動力。

4、分清約束類型，在研究對象上畫出所有約束反力。

講例題

二、畫受力圖注意的幾個問題。

1、分析系統(tǒng)各構件受力圖，應先找出二力桿分析，再分析其它。

2、如何研究對象是物體系統(tǒng)時，系統(tǒng)內(nèi)任何相聯(lián)系的物體之間的相互作用力都不能畫出。

3、作用力方位一經(jīng)確定，不能再隨意假設。

說明：以上內(nèi)容通過教科書例題講解，另外增加例題。

例：指出并改正圖中示力圖的錯誤。

圖1-16

1-5.荷載

1、分類

按作用時間：恒載

活載

偶然荷載

按作用范圍：集中荷載加

分布荷載

按作用性質：靜力荷載

動力荷載

按作用時間：固定荷載

移動荷載

圖1-17

2、簡化、計算。

(1)截面梁自重的計算

已知：截面尺寸h,b;梁單位體積重Y(KN/nd)

求：線荷載q.

解：此梁總童：Q=b.h.LY(KN)

沿梁軸每米長的自重：q=&半=b.h.Y(KN/m)

(2)均布荷載化為均布線荷載。

1=5.97

圖1-18

已知：板均布面荷載；q'(KN/m2)；板寬b；板跨度L

求：q(KN/m)

解：板上受到的全部荷載：Q=q\b.L(KN)

沿板跨度方向均勻分布的線荷載：q==b.q(KN)

例如：①圖中板自重11KN；②防水層的均布面荷載為：q'=300N/m2;③水泥沙漿找平層厚0.0

2

2m,Y=2CKN/n?;④雪載：q'4=300N/m.

求：將全部荷載化成沿板長的均布線荷載。

解：5=芳喘3237N/謂

q；=300N/m2；

(1.49x5.97x0.02)x20x10002

q：==400N/m

1.49x5.97

q；=300N/m2

2

(總)q'對+q2,+q3'+q；=1237+300+400+300=2237N/m

線載一邛包迪嚅包U333N/#。

2—1、平面匯交力系合成與平衡的幾何法

一、用圖解法求合力。

作法：

1、平行四邊形法則。

2、各力首尾相連。

注：合力大小和方向與各力相加的次序無關。

講例題

二、平面匯交力系平衡的幾何條件：

必要和充分條件是該力系的力多邊形自行閉合。即R=0

說明：匯交力系中，未知力數(shù)超過兩個就不能作出唯一的閉合多邊形，故平面力系匯交用圖解法

只能求出不超過兩個未知力的問題。

講書例題

2-2.力在坐標軸上的投影、合力矩定理

一、力在坐標軸上的投影

1、如何投影：自加兩端向x,y軸作垂線，則在軸上兩垂線的線段，稱為力在該軸上的投影。

2、符號規(guī)定：力在坐標軸上的投影是代數(shù)量，有正負之分，當力投影與坐標軸一致時，投影為

正，反之為負。如：F=cosa,F,即：AB'段

FY=sina.F,即：AB'段

講例題。

3、如果FXFY已知，則合力F的大小和方向也可確定，據(jù)幾何關系:

F=J.X2+42；tga=|I

其中：a一一F與x軸的夾角（銳角）

F的方向由R和F、的正負確定。

二、合力投影定理：

1、用平行四邊形法求出平面匯交力系Pi、P2、P3的合力R。

2、PBab；P2X=be;

_

p3x=dc;RX=ab

P?X+P2X+P3X=ab+bc-dc=ad=RX

即：PiX-t-p2X+P3X=RX；同理：Piy十P2y十P3y=Ryp

由此，得出合力投影定理：i'?

合力在兩坐標軸上的投影等于各個分力在同一坐標軸—P，

上投影的代數(shù)和：式

即：RX=P1X+P2X+3X=￡X

P￥=PiY+P2Y+P3Y=Lyb

LX——各力在X軸上投影的代數(shù)和；-『d

￡Y——各力在Y軸上投影的代數(shù)和。圖”

2——3平面匯交力系的合成與平衡的解析法

三、合成：

大?。篟=yj(LRx)2+(Ex2+Ey2)=也，+“2

方向：tga=lIa一一R與X軸的夾角

合力所在象限由￡丫、￡、的正負號確定。

講書中例題。

四、平衡條件

R=0,即：Lx=O；Ey=O

則：￡x=0

Ly=O

五、平衡條件的應用：

講書中例題

3—1、力對點之矩

一、力矩

1、什么叫力矩：一力使物體饒某點0轉動，O點叫矩心，力的作用線到O點的垂直距離d叫力

臂，力的大小與力臂d的乘積叫力對矩心0點之矩，簡稱力矩，以Mo()表示，數(shù)學表達式為:

Mo()=±pd

2、力矩的正負：逆時針為正，順時儼為負。

力矩是代數(shù)量。

3、力矩的單位：N.m,KN.m

講例題。

3—2、合力矩定理

一、合力矩定理。

如圖：

Mo()=-Pd=-P.a.sina

又：將用兩分力Px,PY代替，

Mo(x)=0；Mo(Y)=-a.P.sinaa

即：Mo()=Mo(x)+M0(Y)

由此得：合力對力系作用平面內(nèi)某一點的力矩等于各分力對同一點力矩的代數(shù)和。

講例題

3-3力偶及其基本性質

一、力偶和力偶矩

力偶：大小相等，方向相反，但不作用在一條直線上的兩個相互平行的力叫力偶。

1、力偶矩：為了描述力偶對剛體的作用，我們引入了一個物理量一一力偶矩。它等于力偶中的一個

力與其力偶臂的乘積。即：M二士p?"(d——兩力間垂直距離)

2、正負規(guī)定；逆時針為正，順時針為負。

3、單位：N.MKN.M

4、力偶的性質：

(1)、不能用一個力代替力偶的作用(即：它沒有合力，不能用一個力代替，不能與一個力平

衡)

(2)、力偶在任意軸上的投影為零。

(3)、力偶對所在平面上任意一點之矩恒等于力偶矩，而與矩心的位置無關。

如國：已知：力偶M=

O在M所在平面內(nèi)任意一點，

M對O點之矩為：

—PX+P(X+d)

二-Px+Px+Pd

=Pd

3—4平面力偶系的合成與平衡

一、合成

B

初產(chǎn)?小

圖3-5

設Pl+〃2>〃3，則R=Pl+〃2-“3

M=R,d=(Pi+Pz+P3)d=P14+P2d2-P3d3

=機1+租2+多=Z機

結論：平面力偶系可合成為一個合力偶，其力偶矩等于各分力偶矩的代數(shù)和。

講例題

二、平面力偶系的平衡條件：

平面內(nèi)所有力偶矩的代數(shù)和等于零。

即：>〃=0

注：力偶和；力偶矩是兩個不同的概念。力偶是力使物體饒矩心轉動效應的度量，其大小和轉向與

矩心位置有關；力偶矩是力偶使物體轉動效應的度量，力偶矩的大小與矩心的位置無關。

三、平衡條件的應用：講書中例題。

3—5、力的平移法則

一、平移法則：

1、問題的提出：力平行移動后，和原來作用不等效，如何才能保持等效呢

2、力平移原理：

（1）在A點作用一力P

（2）據(jù)加減平衡力系原理，在0點加一對平衡力//,p〃，使

//〃p",且p'=p"=p,0點到p距離為d

（3）力〃,pip〃組成的力系與原來作用于A點的力p等效。

（4）力系p,plp〃組成兩個基本單元，一是力，一是p和組成的力偶，其力偶矩為M=p.d

因此，作用于A點的力P可用作用于0點的力和力偶矩用=/"來代替。

定理：作用在物體上的力F,可以平行移到同一物體上的任一點O,但必須同時附加一個力

偶，其力偶矩等于原力P對于新作用點0的矩。

反之，一個力和一個力偶可以合成一個力。

4—1平面一般力系向作用面內(nèi)任意一點簡化

一、主矢、主矩

1、簡化原理

據(jù)“力平移法則”，可將平面一般力系中的各力平行與自身的作用線移到同一點o,從而把原

力系分解成平面力系匯交力系和平面力偶系，以達到簡化。

2、簡化內(nèi)容：

（1）將作用與物體上的一般力系……P”向任一點。平移，得到一個匯交力系和一個對

應的力偶系。

（2）其合力R通過簡化中心，并等于力系中原有各力的矢量和；

R=p]x+p2x+……

t

+

Ry=Pxy+p2y……pn^y=^y

R'=+（R，y）2=場爐+￡y2

tg=。是R'和X軸夾角，R，稱主矢，其指向由Rx'和RY'的正負確定。

3、將各附加力偶合為一個合力偶。

例0=%（P1）+%（P2）+……+"o（P"）=Z"o（P）

R'一主矢；Mo,一主矩；

注：R，并非原力系的合力，而只是作用在簡化中心的平面匯交力系的合力，其大小和方向與簡化

中心無關；Mo,的大小和轉向與簡化中心有關，所以主矩必須明確簡化中心。

—■、合力。

???M=Fd又力的平移定理

即可確定出R的位置（作用點R方向）

講例題

三、合力矩定理：

平面一般力系的合力對平面任一點之矩等于各分力對同一點之矩的代數(shù)和。

證明：

由RM，而R?d=A/。（R）,=ZM。（尸）

貝hMO（R）=ZM）⑺

四、簡化結果的討論

1.R=0,M

故原力系等效于一個力偶，合力偶矩為M；

2.RwO,M

主欠R就是原力系的合力，簡化中心正好選在原力系的合力作用線上；匯交力系。

3.R決0,Mo工0

主矩、主矢可進一步合成為一個力R,R為原力系的合力。

4.R=O,Mo=0

顯然原力系處于平衡。

五、平衡條件：

R,即：=°

M

或X?=0

2mo=0

只要是未知力不超過三個的一般力系，都可以用此方程求解。

4-2平面一般力系的平衡方程及其應用

一、平衡方程的三種形式

=o

-O

o

0-

A=o

B

=O

2、二矩式:

=O

若平面上有一點A,滿足x軸不于A,B連線垂直，則這個力系就不能簡化為力偶，此力系

可能平衡，也可能有一個通過A點的合力R。

若平面上有另一點B,且滿足Z機8（尸）=0,則這個力可能平衡，也可能有一個通過A,B兩點的

合力Ro

合力既要通過A點又要通過B點，那么只有在A,B的連線上。

3、三矩式：z若A,B,C不共線。

fznA=0

m=0

ZR

=0

這時，力偶不存在，也不可能有通過三個點，A,B,C的力存在。

5-1變形固體及其基本假設

一、變形固體

a、彈性變形b、塑性變形

二、基本假設：

1、連續(xù)性：組成固體的粒子之間毫無空間。

2、均勻性：組成固體的粒子之間密集度相同。

3、各向同性：在固體的體積內(nèi)各點力學性質完全相同。

4、小變形

5-2桿件變性的基本（假設）形式

一、四種基本形式:

1、軸拉（壓）：

2、剪切：

3、扭轉:

4、彎曲：

5-3材力的任務

一、任務：

1、強度：材料或構件抵抗抗破壞的能力。如：

2、剛度：材料或構件抵抗變形的能力。

3、穩(wěn)定性：保持原有平衡狀態(tài)的能力。

6-1軸拉（壓）時的內(nèi)力，應力

一、軸向拉（壓）的概念

力作用在桿的軸線上。

二、內(nèi)力，截面法，軸力，軸力圖

1、內(nèi)力：外力作用而構件分子間的互相牽制力。

2、截面法，軸力，軸力圖

（1）向伸長：說明截面有拉力

（2）截面仍然垂直桿軸：說明內(nèi)力均勻分布。

（3）軸力正負規(guī)定：拉（背離截面）為正，壓（指向截面）為負。

（4）軸力圖：直觀反映內(nèi)力變化規(guī)律。

三、軸向拉（壓）應力

1、軸拉（壓）橫截面上的應力

（1）應力：截面某點內(nèi)力所分布的密集程度

（2）單位：P“,”2，GC,（12=1%2』次,=K）6pa,iGP=K）9&JM4=1%2）

（3）應力；正應力---。

剪應力---T

垂直于截面的應力：。二，兩邊同時積分：N=oA

平衡于截面的應力：T=；兩邊同時積分：Q=TA

（4）拉（壓）桿橫街面上的應力：。二；

N---軸力

A----面積

2、軸向拉（壓）桿斜截面上的應力。

——從x軸標起，逆時針往n軸旋轉為正，反之為負。

說明：斜截面與橫截面雖說分布軸力密集程度不一樣，但軸力的大小應該一樣。

NN

則：P=——=—cosa

4A

即：pa=Jcosa

3a=Pa?cosa=6?cos2a

Ta-pa?sina=5?cosasina=^<^sin2a

----斜截面上的正應力（拉應力為正，壓應力為負）

一斜截面上的剪應力（順時針為正，逆時針為負）

3、最大應力。

當。=0,時，=5（材料易從橫截面拉斷）

當a=45°時，Tmax=?（材料易剪切破壞）

6—2、軸拉（壓）桿的變形及虎克定律

一、變形

（

（

縱

圖6-4

實驗：，引入比例系數(shù)：&=區(qū)=巫一虎克定律

EAEA

式中：N一軸力；A一截面積；E—材料彈性模量；A2一變形；一原長;

EA—抗拉、壓剛度

虎克定律的另一種形式：將與二￡；2=玳入

A

得：6=E-A

注：虎克定律適用條件：桿截面應力不超過比例極限。

三、橫縱向變形及泊松比

I、橫向變形一，=》嚀￡；縱向變形…中哈

拉伸時：為負，為正；壓縮時：為正，為負。

2、實驗所得：泊松比

3、橫縱向應變的關系a

6-3材料在拉伸、壓縮時的力學性質

一、概述

1、學性質主要研究：

a、強度

b、變形

2、塑性材料一一如低碳鋼

3、脆性材料一一如鑄鐵、混凝土、木材等

二、在拉伸時的力學性質：

1、試件取樣：

試長件：l=10d

短試件:l=5dE

2、拉伸圖應力----應變圖B/ZZ，/D

A

J

拉伸圖

強度極限--

屈服極限

彈性極限一

匕例極限-Q

說明：1、OiG//（OB）；2、OOi一—屬塑性變形；3、Oig——為彈性變形。

3、變形發(fā)展的四個階段：

（1）彈性階段：（O——B）材料完全處于彈性階段，最高應力在B點，稱彈性極限（。。。其

中0A段表示應力與應變成正比。A點是其段最高值，稱為比例極限（Op）,在0——A段標

出Iga二二E。因為。e與。p數(shù)據(jù)相近。可近似為彈性范圍內(nèi)材料服從虎克定理。

（2）屈服階段：（B——D）材料暫時失去了抵抗外力的能力。此段最低應力值叫屈服極限（。

s）,鋼材的最大工作應力不得達到。S

（3）強化階段：（D——E）材料抵抗外力的能力又開始增加。此段最大應力叫強度極限。b

（4）頸縮階段：（EF）材料某截面突然變細，出現(xiàn)“頸縮”現(xiàn)象。荷載急劇下降。

總結四個階段：

I、彈性階段：虎克定理。二E。成立，測出tga==E

II、屈服階段：材料抵抗變形能力暫時消失。

III、強化階段：材料抵抗變形的能力增加。

IV、頸縮階段：材料抵抗彎形的能力完全消失。

4、塑性指標：

（1）延伸率：X100%

如果6>5%,屬塑性材料。

5%,屬脆性材料。

（2）截面收縮率；°=A-4x100%

夕愈大說明材料塑性越好。

5、冷作硬化：將屈服極限提高到了G點，此工藝可提高鋼材的抗拉強度，但并不提高鋼材抗壓強

度，故對受壓筋不需冷拉。

三、鑄鐵的拉伸試驗。

1、近似視為。=E￡在0A段成立；

2、只有。b

四、低碳鋼壓縮時力學性質：

1、強度極限無法測定。

2、6、E、斗、一與拉伸相同。

五、鑄鐵壓縮試驗。

1、沒有屈服極限，只有強度極限。

2、在低應力區(qū)（0——A）,近似符合5=足￡

3、強度極限高出拉伸4—5倍。

六、塑性材料力脆性材料的比較（自學內(nèi)容）

七、許用應力與安全系數(shù)：

rclcof塑性材料b°=&，K=1.4-1.7

I=O**

［脆性材料b°=%K=2.5-3

6-4軸向拉（壓）桿強度計算

一、強度條件：

bmax=；W同

A

二、強度三類問題：

1、強度校核：同

A

2.選擇截面尺寸：A>A

如果：槽鋼、角鋼查附表確定面積，

3、確定最大外載：

說明：最大外載有兩種確定形式：1、N=P

2、P必須據(jù)題意，通過間接途徑求得，如:

7f圓軸扭轉時內(nèi)力

一、扭轉

1、力的特點、外力偶矩計算、扭矩和扭矩圖

a.力的特點：力偶的作用平面垂直于桿軸線

b.外力偶矩計算一/八

M=9549N/n（N-M）Mk=7024N/n（N?M）

c.扭矩、扭矩圖

右手螺旋法：拇指背離為正，反之為負

2、扭轉變形分析:

看圖：

CI0-at

（1）圖周線間距不變；

（2）各縱向平行線都傾斜了同一微小的角度，矩形成了平行四邊形。

說明：（1）橫截面沒有正壓力，

（2）兩截面發(fā)生錯動u是剪力變，則必有存在，并￡垂直于半徑

x=y大小相等，方向相反，互相垂直

證明：y?A=y'-A,形成一對力，據(jù)力偶平衡：上下面必有一對力與其平衡

3、應力公式推導：三個方面：a、變形幾何關系；b、物理關系；c、平衡關系

a、變形幾何關系

看圖d?=Pd

——剪切角d——扭轉角

=?d/dx

說明：垂直于半徑

b、物理關系：

實驗所得：=G?G=E/（1+￡'/￡）

G----剪切彈性模量----橫向線應變

由前式：?（d/dx）?G二

說明：與成正比，并是一次函數(shù)，垂直于半徑

c、靜力平衡關系：

微面積d上的剪力：-d，此剪力產(chǎn)生的微扭矩d二?d'?

整個截面：Mn二（九

=\p?G,p?(d(pIdQd八=Gd(p/dx\pdA

=G(d(pldx)-1p

即：M?=I?/——代入上式得

上式寫成：=Mn/b實圓：

4

L=D/32Wn=Ip/R=^D716

4444

L=(D-d)/32Wn=(D-d)/16D

Tp-------------橫截面任一點剪應力

（最大）max=Mn-R/IP=M?/Wn

4^強度條件：

max=（M?/Wn）[]

5、薄壁圓環(huán)：

Mk=Mn

Mn=2加“得匯=M”/2次2f

強度條件：max=Mmax/2^r2r[]

6、圓扭轉的變形計算

由前式：d=（Mn/GL）dx兩邊積分

d一一相距為dx兩橫截面的相對轉角

4=f（M“/G/0）4=MMGL

7-2軸扭轉時的強度計算

一、扭轉時橫截面上的

1、實心同軸及空心軸

Mn------扭矩（N?m）（KN?m）

W一一扭轉截面系數(shù)（nP）

二、強度條件：rmax=MJWp[]

三、強度“三類問題”；

1、強度校核：rmaK=Mn/Wpl]

2、選擇截面尺寸：Wp>Mn/[r]

a、實心軸W/尸冠P/16,

b、空心軸：W二冠)3(1-)/16

D>V(16M^/^(l-a4)[r])

3、許用荷載：[M][]Wo再確定外載

講例題

7-3>圓軸扭轉時的剛度計算

一、同軸扭轉時的變形：

<p=MnL!GIp

式中：Mn某截面扭矩(N?m)(KN?m)

1-----同軸長(m)

G——剪切彈性模量PaMPaGPa

L一一極慣性矩。(n?)

GL——截面抗扭剛度

二、剛度條件：

單位長度扭轉角：(pH=Mnvl!GIpl=Mn/GIp=Mn180°/GIp7r(弧度/米)

即：0=(p/l=Mn\^IGIp7r<[(pll]=[0]

[]——許用單位長度扭轉角，一一查規(guī)范

講例題！

8—1、靜矩

一、靜矩、形心

圖形A對Z軸的靜矩：S產(chǎn)JWA=AK

圖形A對y軸的靜矩：Sy=/切4=AZf

據(jù)合力矩定理

形心：yc=Sz/A=^ydA/A=Z4凹/工&

Zc=Sy/A=1鞏/A=ZA,4/Z&

S2,Sy的用途：1求形心。2校核彎曲構件的剪應力強度

333

Sz,Sy的性質：1可正，可負，可為零。2單位：m,mm,cm

3對不同的坐標有不同的靜矩

組合截面圖形的靜矩計算：

講例題

二、組合圖形形心的確定

求形心：

解；A1=300x30=9x103mm2

3

A2=50x270=13.5xlOW

Ai,A2形心到Z軸的距離yci=15yC2=165

300

Sz=Z4M=Aiyci+A2yC2

=30x300x15+50x270(270/2+30)=2.36x106mm3

6333

yc=Sz/A=2.36xlO//?n/(9xl0+13.5x10)=105mm

故：Zc=0yc=105

注；坐標軸的選擇不影響形心的位置

8—2、慣性矩、慣性積、慣性半徑

一、慣性矩

定義：y2dA-------dA面積對z軸的慣性矩

z2dA——dA面積對y軸的慣性矩

Jy2dA一一截面對z軸的慣性矩：

Jz2dA——截面對y軸的慣性矩：I

二、計算

（1）矩形：a截面對形心軸的Lly

解：dA=bdy

L=L）'4=CD%引y3/3]"%=帥3/12

D/\=hdz

2233

}y=\zdA=^zhdA=h[z/3]^2=hb/12

B截面對z,y軸的Iz，ly

解：dA=bdy

2233

Iz=[[ydA=￡jMv=b[y/3]=bh/3

2233

ly=^zdA=^zhdz=h[z/3]=hb/3

（2）圓形截面：Iz，ly

解：Iz=Iy=二二-2-/（1/2）2-y2d=7id4/64

dAtdyyl（d/2）2-y2

性質：1、慣性矩恒為正

2、同一截面圖形對不同坐標軸有不同的慣性矩

4

圓形；Iz=Iy=^//64

環(huán)形：17=卜=成4（1-。4）/64（a=d/D）

對其形心的慣性矩，其它圖形查附錄

（3）組合圖形1尸工/力；Iy=Z，w

三、極慣性矩。

定義：I=[A

其中:=y2+z2

=依小八四

=[/4+J/4=L+Iy

圓截面：\=7rD4/32

環(huán)截面：I=^D4（l-J4/D4）/32

四、慣性半徑

在壓桿穩(wěn)定計算中，將慣性矩表示成：17二(iz)2?A或I尸

1、矩形截面的：Iz=11JA=Vbh3/12bh=h/()

3

iy="、./A=yIbh/\2bh=b!()

2^圓形截面：i==D/4

五、慣性積

定義；——整個截面上微面積dA與它到y(tǒng),z軸距離的乘積的總和稱為截面對y,z軸

L.y=\y^A

1、慣性積可為正、負、零

2、如果圖形有一對稱軸，則L,y=O

六、平行移軸定理：

平行移軸定理的引出：一般情況下簡單圖形對任意軸的慣性矩用積分法是比較容易的，但對組

合組形用積分法就比較困難，所以介紹平行移軸定理就可以利用

簡單圖形的已知結果求復雜對任意軸的慣性矩。

推導：已知：Izc,Iyc求：Iz,ly

?；z=Zc+b,y=yc+a

???Iz=J/M=[⑴+行4=[（爐+29+/此

二口；dA

其中：

8-3、形心主慣性軸和形心主慣性矩的概念

1、主慣性軸：如y、z軸旋轉到某個時Iy°Zo=O,則zo,yo稱為主慣性軸，簡稱主軸(總可以找

到這樣一個軸)

2、主慣性矩：截面對zo、yo(主軸)的慣性矩叫主慣性矩，簡稱主慣性矩。

3、形心主軸：如果截面。點選在形心上，通過形心的主軸稱為形心主軸

4、形心主慣性矩：圖形對形心主軸的慣性矩。

9-1彎曲變形的概念

一、彎曲與平面彎曲

1、彎曲：直桿在垂直于桿軸的外力作用下，桿的軸線變?yōu)榍€，這種變形叫彎曲。

2、梁：以彎曲為主變形的構件稱為梁。其特點：a、形狀：軸線是直的，橫截面至少有一個對稱

軸。b、荷載：荷載與梁軸垂直并作用在梁的縱向對稱面內(nèi)

3、平面彎曲：梁變形后，梁的彎曲平面與外力作用平面相重合的這種彎曲稱為平面彎曲

二、梁的支座，支反力

a、可動較支座

b、固定較支座

c、固定端支座

三、梁的三種形式

a、簡支梁

b、外伸梁

c、懸臂梁

9一2梁的彎曲內(nèi)力——、M

一、梁的內(nèi)力

求：Qin，Mm

由=°x>,=0；—QIU+RA=OQH)=RA

Z>?=0

=0V〃以=0；—RA+M=O,Mm=RA?C

0m

Qm——剪力Mm——彎曲

梁平面彎曲時截面產(chǎn)生兩種內(nèi)力：剪力Q和彎矩M

二、Q,M正負號的規(guī)定

剪力：順時針為正，逆時針為負

彎矩：下受拉為正，上受拉為負

三、任意截面Q,M的計算

講P55例5—1結論：要正確區(qū)別運算符號和性質符號

例52結論：取外力較少部分作研究對象

例5—3結論：在支座和集中力處左右截面上剪力不相同，而彎矩相同；在集中力偶處左右

截面上的剪力相同，而彎矩不同

四、討論：

1、要正確區(qū)別性質符號和運算符號。所謂正，負Q,M是指性質符號而言

2、Qx=?y或Qx=,y,Mx=?M或Mx=?M

3、可用“簡便方法”計算截面內(nèi)力

六、求剪力和彎矩的基本規(guī)律

（1）求指定截面上的內(nèi)力時，既可取梁的左段為脫離體，也可取右段為脫離體，兩者計算結果一致

（方向，轉向相反）。一般取外力比較簡單的一段進行分析

（2）梁內(nèi)任一截面上的剪力Q的大?。旱扔谶@截面左邊（或右邊）的與截面平行的各外力的代數(shù)

和。若考慮左段為脫離體時，在此段梁上所有與y軸同向的外力使該截面產(chǎn)生正剪力，而所有與

y軸反向的外力使該截面產(chǎn)生負剪力；若考慮右段為脫離體時，在此段梁所有與y軸同向的外力

使該截面產(chǎn)生負剪力，而所有與y軸反向的外力使該截面產(chǎn)生正剪力。

9一3、用M,Q,q間微分關系繪內(nèi)力圖

—.M,Q,q的微分關系

圖

梁上作用任意荷載q(x)：(1)取出梁中一微段dx(dxJ_認為荷載是均勻的)；(2)設截面內(nèi)

力：Q(x),M(x)o利用?二°。貝京

Q(x)+q(x)dx—[Q(x)+6Q<X)]=0

dQ(x>=q(X)dx

即dQ<x>/dx=q(x)

剪力對x的一階導數(shù)等于荷載

ZM二。

M(x)一[M(x)+dMg]+Q(x)dx+q(x)dxdx/2=0

即；<JM(X)/dx=Q(x)

彎矩對x的一次導等于剪力

(1)q(x)=0(無線荷載)

dQ(x)/dx=q(x)=0說明剪力方程是常數(shù)。只有常數(shù)導數(shù)才為零，所以此時剪力圖是一條水

平線。

dM<x)/dx=Q(x)而剪力是常數(shù)，說明原彎矩方程是x的一次函數(shù)，所以彎矩圖是一

條斜直線

(2)q(x)二常數(shù)(有線載)

dQ(x)/dx=q(x)=常數(shù)說明剪力方程是x的一次函數(shù)，所以剪力圖是一條斜直線。

即dM<x)/dx=Q(x)而剪力又是x的一次函數(shù)，說明原彎矩方程是x的二次函數(shù)。所以彎矩

圖是二次拋物線。

M極植

在Q(x)=0處。由于dM(x》/dx=Q(x)=0處有極植

例題

三角荷載簡化及內(nèi)力圖

%「q=qox/l(相似比)

||在dx段上的荷載(集中力)

X\1'=qdx=qoxd/l

'tnttt^x

2

y_,合力p：p=￡Ap=￡(qQxll)dx-(qo/1)=qol/12=qol/2(三角形面積)

>----d---->

合力p的位置：以A點為矩心

據(jù)合力矩定理：

P?d=h")

d=(1/p)?￡x{qdx)=(1/p)￡x(qQxdx11)=21/3

解：(1)求支座力

由工加片①和解得

RA=Q1/6RB=ql/3

(2)列Q,M方程式

Q(x)=qol/6+qo(x)x

=qol/6+qox2/21(0<x<l)

M(x)=qolx/6-qox3/61=qolx/6-qox3/61(0x1)

令Q(x)=0,得x=l/1:取正植)

Mmax=qoH/(9)

畫剪力圖和彎矩圖的一般規(guī)律：

1在集中力作用處，剪力圖發(fā)生突變，突變力的大小等于該集中力的大小。彎矩圖在此處形成夾

角，沒有突變

2在集中力偶作用處，彎矩圖發(fā)生突變，突變值等于集中力偶矩的大小，剪力圖在此處沒有變

化。

3在梁端點的較支座上，剪力等于該支座的約束反力。如果在端點較支座上沒有集中力偶的作

用，則較支座處的彎矩等于零

4最大彎矩的位置：梁上如有均布荷載作用，一般在Q=0的截面處有最大彎矩。當有集中荷

我作用時，最大彎矩往往發(fā)生在某一個集中荷載作用的截面處。懸臂梁的固定端及外伸梁的支座處往

往發(fā)生最大負彎矩。在集中力偶作用處，也往往會有最大彎矩。

5最大剪力及其位置：一般發(fā)生在梁的支座處或集中力作用處的截面的一側。

6如果在結構對稱的梁上作用著對稱荷載，則該梁具有對稱的彎矩圖和反對稱的剪力圖

9一4、疊加法繪制彎矩圖

一、條件：小變形，講書中例題

9—5、彎曲應力

一純彎曲橫截面上的正應力

M同

純彎曲：BC段一一只有彎曲而無剪力

占?

1.變形特八、、?

a中性層：沒伸長，沒縮短

b中性軸：中性層與橫截面交線

1.正應力公式推導：（從三個反面考慮：幾何條件，物理條件，靜

力平衡條

（1）幾何條件一一應變規(guī)律

n'伸長，oiO2曲率半徑，兩截面夾角d

n，曲率半徑為十y

=（+y）d-d=yd

m'n,的應變：/dx二yd/（d）=y/

Fy/⑴式

說明：與y成正比

dx

（2）物理關系應力與應變的關系

假設一層層纖維無擠壓作用，則各條件纖維處于單向拉伸或單向壓縮

材料在彈性范圍內(nèi)，。=石?￡成立

則

a=Es=Ey/（2）式

說明：沿截面高度按直線變化

（3）靜力平衡關系:

(b)

將(2)代入(a)