專題06 幾何圖形的翻折變換問(wèn)題（解析版）-2023屆中考數(shù)學(xué)壓軸大題專項(xiàng)突破

專題06幾何圖形的翻折變換問(wèn)題幾何圖形中的翻折變換在中考?jí)狠S題中考查比例較高，翻折變換本質(zhì)上是考查軸對(duì)稱的相關(guān)知識(shí)知識(shí)，在解決有關(guān)翻折問(wèn)題的壓軸題時(shí)，需要注意三點(diǎn)：（1）掌握軸對(duì)稱的有關(guān)性質(zhì)：①關(guān)于直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等圖形.

②如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線.

③兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，如果它們對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交，那么交點(diǎn)在對(duì)稱軸上.

④如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被同一直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱.

（2）掌握折疊圖形的性質(zhì)，例如折疊圖形是矩形，那么在解決折疊問(wèn)題時(shí)，就需要結(jié)合矩形的性質(zhì)和軸對(duì)稱的性質(zhì)。（3）折疊問(wèn)題中求解線段的長(zhǎng)度，一般要借助勾股定理，列出方程進(jìn)行求解。 （2022·貴州貴陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）小紅根據(jù)學(xué)習(xí)軸對(duì)稱的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)線段之間、角之間的關(guān)系進(jìn)行了拓展探究．如圖，在中，為邊上的高，，點(diǎn)在邊上，且，點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)，連接，將沿翻折得．(1)問(wèn)題解決：如圖①，當(dāng)，將沿翻折后，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，則______；(2)問(wèn)題探究：如圖②，當(dāng)，將沿翻折后，使，求的度數(shù)，并求出此時(shí)的最小值；(3)拓展延伸：當(dāng)，將沿翻折后，若，且，根據(jù)題意在備用圖中畫出圖形，并求出的值．（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)可得，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可求解；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)即可求得，由三角形內(nèi)角和定理可得，根據(jù)點(diǎn)在邊上，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為；（3）連接，設(shè)，則，，在中，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，在中，，進(jìn)而根據(jù)，即可求解．【答案】(1)；(2)；(3)作圖見解析，【詳解】（1），是等邊三角形，四邊形是平行四邊形，，，為邊上的高，，（2），，是等腰直角三角形，，，，，，，，，是等腰直角三角形，為底邊上的高，則點(diǎn)在邊上，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為；（3）如圖，連接，，則，設(shè)，則，，折疊，，，，，，，，，，，在中，，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，如圖，，，，，，在中，，，．本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，解直角三角形，勾股定理，三角形內(nèi)角和定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（2022·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）我們可以通過(guò)面積運(yùn)算的方法，得到等腰三角形底邊上的任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和與一腰上的高之間的數(shù)量關(guān)系，并利用這個(gè)關(guān)系解決相關(guān)問(wèn)題．(1)如圖一，在等腰中，，邊上有一點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作于E，于F，過(guò)點(diǎn)C作于G.利用面積證明：．(2)如圖二，將矩形沿著折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，點(diǎn)B落在處，點(diǎn)G為折痕上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)G作于M，于N.若，，求的長(zhǎng)．(3)如圖三，在四邊形中，E為線段上的一點(diǎn)，，，連接，且，，，，求的長(zhǎng)．（1）根據(jù)題意，利用等面積法，根據(jù)等腰中，，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)題中條件，利用折疊性質(zhì)得到，結(jié)合矩形中得到，從而有，從而確定是等腰三角形，從而利用（1）中的結(jié)論得到，結(jié)合勾股定理及矩形性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）延長(zhǎng)交于，連接，過(guò)點(diǎn)作于，根據(jù)，，，得到是等腰三角形，從而由（1）知，在中，，在中，，，聯(lián)立方程求解得，從而得到結(jié)論．【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)【詳解】（1）證明：連接，如圖所示：在等腰中，，邊上有一點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作于E，于F，過(guò)點(diǎn)C作于G，由得，；（2）解：連接，過(guò)點(diǎn)作于，如圖所示：根據(jù)折疊可知，在矩形中，，則，，即是等腰三角形，在等腰中，，邊上有一點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作于M，于N，過(guò)點(diǎn)作于，由（1）可得，在中，，，則，在四邊形中，，則四邊形為矩形，，即；（3）解：延長(zhǎng)交于，連接，過(guò)點(diǎn)作于，在四邊形中，E為線段上的一點(diǎn)，，，則，又，，，即是等腰三角形，由（1）可得，設(shè)，，，，在中，，在中，，，，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，x=1是方程的解用符合題意，，即．本題考查幾何綜合，涉及到等腰三角形的判定與性質(zhì)、等面積求線段關(guān)系、折疊的性質(zhì)、勾股定理求線段長(zhǎng)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，讀懂題意，掌握（1）中的證明過(guò)程與結(jié)論并運(yùn)用到其他情境中是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．1．（2022·湖北武漢·?？既＃?）如圖，在正方形中，是上一動(dòng)點(diǎn)，將正方形沿著折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)求證：；（2）在（1）的條件下，如圖，延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)若，求的值；（3）如圖，四邊形為矩形，同樣沿著折疊，連接，延長(zhǎng)分別交于兩點(diǎn)，若，則的值為___________（直接寫出結(jié)果）【答案】（1）見解析；（2）；（3）【分析】根據(jù)證明三角形全等即可；如圖中，連接根據(jù)，求出即可解決問(wèn)題；如圖中，連接由，可以設(shè)，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)可得，則，利用勾股定理構(gòu)建方程求解即可．【詳解】證明：如圖中，是由折疊得到，，，四邊形是正方形，，，，在和中，，；解：如圖中，連接．，，由折疊可知，，四邊形是正方形，，，，，，，設(shè)，則，，設(shè)，，由折疊可知，，，，或舍棄，，；解：如圖中，連接．由，設(shè)，由知，，由折疊可知，，，，，，，，，，，，，或舍棄，，．2．（2022·福建寧德·統(tǒng)考二模）在中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AD上．將四邊形ABEF沿EF折疊，得到四邊形．(1)利用圖1，求證：；(2)如圖2，連接BD，若，，，當(dāng)點(diǎn)落在BD上時(shí)，求EF的長(zhǎng)；(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)恰好落在線段CD上時(shí)，求證：直線與直線CD重合．【答案】(1)見解析；(2)；(3)見解析【分析】(1)利用折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平行線判定定理，也可以運(yùn)用折疊的性質(zhì)，構(gòu)造三角形中位線定理證明．（2）設(shè)EF與BD相交于點(diǎn)O．運(yùn)用勾股定理，三角函數(shù)，中位線定理求解即可．(3)運(yùn)用經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，證明即可．【詳解】(1)解：（1）證法一：由折疊的性質(zhì)可知：，．∴．∵E是BC的中點(diǎn)，∴．∴．∴．∴．證法二：設(shè)EF與相交于點(diǎn)G．由折疊的性質(zhì)可知：G是的中點(diǎn)．又∵E是BC的中點(diǎn)，∴GE是的中位線．∴．即．(2)設(shè)EF與BD相交于點(diǎn)O．由折疊的性質(zhì)可知：O是的中點(diǎn)，．由（1）得．∴．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴若，∠BDC＝∠ABD＝45°．∴，．∴．在中，由勾股定理得．∵E是BC的中點(diǎn)，O是的中點(diǎn)，∴，．∴．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴．∴，即．．(3)證法一：連接交直線EF于點(diǎn)M．由折疊知：．連接BM并延長(zhǎng)交直線CD于點(diǎn)H．∵四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)在CD上，∴．∴，．∴．∴BM＝HM．又∵E是BC的中點(diǎn)，∴EM是△BCH的中位線．∴，即．由（1）得．∵過(guò)點(diǎn)C有且只有一條直線與EF平行，∴點(diǎn)在直線CD上．∴直線與直線CD重合．證法二：連接并延長(zhǎng)交直線AB于點(diǎn)K，連接AE．∵四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)在CD上，∴．∴，．∵BE＝CE，∴．∴．由折疊知：，．∴．∴∵過(guò)點(diǎn)有且只有一條直線與AB平行，∴直線與直線重合．即直線與直線CD重合．3．（2022·山東淄博·統(tǒng)考二模）在Rt△ABC中，，，CD是斜邊AB上的中線，點(diǎn)E為射線BC上一點(diǎn)，將△BDE沿DE折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F．(1)如圖1，若，請(qǐng)直接寫出CD的長(zhǎng)（用含a的代數(shù)式表示）；(2)如圖2，若，垂足為點(diǎn)G，點(diǎn)F與點(diǎn)D在直線CE的異側(cè)，連接CF．判斷四邊形ADFC的形狀，并說(shuō)明理由；(3)若，直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)(2)菱形，理由見解析(3)45°或135°【分析】（1）根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”得CD=；（2）由題意可得，由“直角三角形中含30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”，得據(jù)此判斷四邊形ADFC是平行四邊形，再由折疊得DF=BD=AD，據(jù)此解答；（3）分兩種情況討論，點(diǎn)F與點(diǎn)D在直線CE的同側(cè)或異側(cè)，正確畫出圖形即可解答．【詳解】（1）解：由圖1，在Rt△ABC中，，CD是斜邊AB上的中線，CD=；（2）四邊形ADFC是菱形．理由如下：∵CD是斜邊AB上的中線，∴，由折疊的性質(zhì)可得，，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴四邊形ADFC是平行四邊形，又，∴□ADFC是菱形．（3）如圖3，點(diǎn)F與點(diǎn)D在直線CE的異側(cè)，由折疊得，；如圖4，點(diǎn)F與點(diǎn)D在直線CE的同側(cè)，由折疊得，綜上所述，或．4．（2022·四川樂(lè)山·統(tǒng)考一模）模型探究：如圖1，D、E、F分別為三邊BC、AB、AC上的點(diǎn)，且．（1）與相似嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；模型應(yīng)用：為等邊三角形，其邊長(zhǎng)為8，E為AB邊上一點(diǎn)，F(xiàn)為射線AC上一點(diǎn)，將沿EF翻折，使A點(diǎn)落在射線CB上的點(diǎn)D處，且．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，求的值；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)D落在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，求與的周長(zhǎng)之比．【答案】（1），證明見解析；（2）；（3）與的周長(zhǎng)之比為【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到，即可證明；（2）①設(shè)，，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)與折疊可知，，，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得，即可證明，故，再根據(jù)比例關(guān)系求出的值；②同理可證，得，得，再得到，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解.【詳解】解（1），理由：，在中，，，，，，，；（2）①設(shè)，，是等邊三角形，，，由折疊知，，，，在中，，，，，，，，，，，，，，，，；②設(shè)，，是等邊三角形，，，由折疊知，，，，在中，，，，，，，，，，，，，，，，與的周長(zhǎng)之比為.5．（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考二模）正方形的邊長(zhǎng)為4．(1)將正方形對(duì)折，折痕為，如圖①把這個(gè)正方形展平，再將點(diǎn)折到折痕上的點(diǎn)的位置，折痕為，求的長(zhǎng)；(2)如圖②當(dāng)時(shí)，在點(diǎn)由點(diǎn)移動(dòng)到中點(diǎn)的過(guò)程中，求面積的取值范圍．【答案】(1)；(2)【分析】（1）連接．根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定定理和性質(zhì)求出∠CBM，根據(jù)正方形的性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系即可求出PF．（2）連接AC交EF于點(diǎn)O，連接OB，OD，OG，再以O(shè)為圓心，以O(shè)A為半徑畫圓，取AD的中點(diǎn)為K，連接KO并延長(zhǎng)交于J．根據(jù)正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定定理和性質(zhì)確定G，A，B，C，D共圓，然后確定點(diǎn)G在上運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而確定當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)C或點(diǎn)B重合時(shí)，△ADG面積取得最小值，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)J重合時(shí)，△ADG面積取得最大值，最后根據(jù)正方形的性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線定理，三角形面積公式求解即可．【詳解】（1）解：如下圖所示，連接．∵正方形ABCD對(duì)折后，折痕為EF，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∴EF垂直平分BC，BC=4．∴NB=NC，BF=2．∵正方形折疊后點(diǎn)C到點(diǎn)N的位置，∴NB=BC，．∴NB=NC=BC．∴△NBC是等邊三角形．∴∠NBC=60°．∴∠CBM=30°．∴．（2）解：如下圖所示，連接AC交EF于點(diǎn)O，連接OB，OD，OG，再以O(shè)為圓心，以O(shè)A為半徑畫圓，取AD的中點(diǎn)為K，連接KO并延長(zhǎng)交于J．∵四邊形ABCD是正方形，∴．∴∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC．∵AE=CF，∴．∴OA=OC．∴O是AC中點(diǎn)．∴OA=OB=OC=OD．∵正方形ABCD折疊后，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)G，∴OG=OC．∴B，C，D，G都在上．∴OA=OB=OC=OD=OG．

∴在點(diǎn)E由點(diǎn)A移動(dòng)到AD中點(diǎn)K的過(guò)程中，點(diǎn)G在上移動(dòng)．∴當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)C或點(diǎn)B重合時(shí)，△ADG的面積取得最小值．∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∴AD=CD=4，∠ADC=90°．∴，．∴△ADG面積的最小值是8，．∴．∵K是AD中點(diǎn)，O是AC中點(diǎn)，∴KO是△ACD中位線．∴，．∴∠AKO=∠ADC=90°，KO是固定值．

∴OK⊥AD，即OJ⊥AD．∴當(dāng)OG⊥AD時(shí)，即點(diǎn)G與點(diǎn)J重合時(shí)，△ADG面積取得最大值．∴．∴．∴△ADG面積的最大值是．∴△ADG面積的取值范圍是．6．（2022·山西大同·統(tǒng)考二模）綜合與實(shí)踐：如圖1，已知正方形紙片ABCD．實(shí)踐操作第一步：如圖1，將正方形紙片ABCD沿AC，BD分別折疊．然后展平，得到折痕AC，BD．折痕AC，BD相交于點(diǎn)O．第二步：如圖2，將正方形ABCD折疊，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E恰好落在AC上，得到折痕AF，AF與BD相交于點(diǎn)G，然后展平，連接GE，EF．問(wèn)題解決（1）的度數(shù)是______；（2）如圖2，請(qǐng)判斷四邊形BGEF的形狀，并說(shuō)明理由；探索發(fā)現(xiàn)（3）如圖3，若，將正方形ABCD折疊，使點(diǎn)A和點(diǎn)F重合，折痕分別與AB，DC相交于點(diǎn)M，N．求的值．【答案】（1）；（2）四邊形BGEF是菱形，理由見解析；（3）．【分析】（1）由正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)在中利用三角形內(nèi)角和即可求出答案；（2）由正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)得出BG=EF，且BG∥EF，一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，得出四邊形BGEF是平行四邊形，又，一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，就可判斷得出答案；（3）做輔助線由正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)得出條件證明，全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，故，由等角對(duì)等邊得出BF的長(zhǎng)，最后根據(jù)勾股定理求出