2024-2025學(xué)年高一【數(shù)學(xué)(人教A版)】二倍角的正弦、余弦、正切公式-教學(xué)設(shè)計

課程基本信息課例編號學(xué)科數(shù)學(xué)年級高一學(xué)期第一學(xué)期課題二倍角的正弦、余弦、正切公式教科書教學(xué)人員姓名單位授課教師指導(dǎo)教師教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：1.了解二倍角的正弦、余弦、正切公式，會運用公式進行簡單的三角恒等變換；2.經(jīng)歷二倍角公式推導(dǎo)過程，感悟從一般到特殊的研究方法，體會轉(zhuǎn)化和換元的思想；3.發(fā)展邏輯推理和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)整體觀.教學(xué)重點：二倍角的正弦、余弦、正切公式教學(xué)難點：二倍角公式在三角恒等變換中的應(yīng)用教學(xué)過程時間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動累計4分鐘累計12分鐘累計19分鐘累計21分鐘復(fù)習(xí)引入探究新知鞏固應(yīng)用課堂小結(jié)上節(jié)課我們由兩角差的余弦公式，得到了兩角和與差的正弦、余弦、正切共六個公式，我們一起來回顧一下上一節(jié)課具體的探究思路：我們當(dāng)時已經(jīng)得到的是兩角差的余弦公式：，首先我們將兩角差的余弦公式中替換為，得到了兩角和的余弦公式：，然后我們?yōu)榱烁淖內(nèi)呛瘮?shù)名，借助誘導(dǎo)公式得到了兩角和與差的正弦公式：；，最后利用同角關(guān)系將正切轉(zhuǎn)化為正余弦，得到了兩角和與差的正切公式：；.以及上一節(jié)課我們也說到，正切的公式使用起來有相應(yīng)角范圍的限制，也就是正切值都要存在。例如這個兩角和的正切公式，要求均不等于，并且也不等于，如果碰到相應(yīng)的情況例如已知去求，就不能用兩角差的正切公式了，只能通過同角關(guān)系轉(zhuǎn)化回正余弦求解了。那回顧完之前的內(nèi)容，今天我們在這六個和角、差角公式的基礎(chǔ)上，來探究倍角公式。（一）探究二倍角的正弦、余弦、正切公式我們先來看二倍角的正弦公式【問題1.1】我們需要求的和已知的公式形式上有什么聯(lián)系嗎？我們發(fā)現(xiàn)它們都是角的正弦，只是角的形式不同，但不同角的形式從運算或換元的角度都有內(nèi)在聯(lián)系，因此基于差異可以建立聯(lián)系，進行轉(zhuǎn)化。【問題1.2】你能類比上一節(jié)課的探究過程，利用公式推導(dǎo)出的公式嗎？我們比較和，注意到，由于兩角和的正弦公式對任意的都成立，那么把其中的換為后，也一定成立。則由公式，有剛剛我們的推導(dǎo)過程是借助來完成的，如果用來完成推導(dǎo)方法也基本相同，把公式中的替換為即可。這樣我們就得到了二倍角的正弦公式。這個推導(dǎo)過程實質(zhì)上是一個從一般到特殊的推導(dǎo)過程，后續(xù)這樣的方法在三角恒等變換中非常有用?！締栴}1.3】你能仿照剛剛的推導(dǎo)過程，利用得到的公式嗎？和剛才一樣，我們將，公式中的換為后，得到：【問題1.4】如果要求二倍角的余弦公式中僅含的正弦或者余弦，那么還有其它的表示形式嗎？我們可以借助同角關(guān)系進行形式上的等價轉(zhuǎn)化：【過渡】以上這些公式都叫做倍角公式.倍角公式給出了的三角函數(shù)與的三角函數(shù)之間的關(guān)系.特別注明：上面說的“倍角”專指“二倍角”，遇到“三倍角”等名詞時，不能省略.【問題1.5】由二倍角的余弦公式我們看到，已知或者可以求出的值，那么已知時，是否能夠反向求出和呢？我們可以通過方程的的角度看二倍角的余弦公式，有下面的等價形式：即即與的符號由角的范圍確定.剛剛這兩個公式的變形我們從左向右看，角之間是倍角關(guān)系，從結(jié)構(gòu)上是和或者差轉(zhuǎn)化到積，從次數(shù)上是從一次變成了二次。這樣無論從右向左，還是從左向右它能實現(xiàn)角的改變，式子結(jié)構(gòu)的改變，我們舉兩個例子：第一個，我們可以寫成，這樣實現(xiàn)了升高代數(shù)式的次數(shù)，同時降低相應(yīng)角的大小；第二個，大家會求嗎？之前大家可以通過兩角差的正弦公式把寫成去求解；那現(xiàn)在呢，可以直接用倍角公式寫成，這樣就通過三角變換轉(zhuǎn)化為了我們熟知的三角函數(shù)值，很容易就可以得到答案。這也是一個反向使用公式的過程。所以從上面的例子我們看到，倍角公式的正向使用與反向使用需要依據(jù)求解內(nèi)容和所給條件靈活判斷?！締栴}2.1】從和（差）角、倍角公式的推導(dǎo)過程可以發(fā)現(xiàn)，這些公式存在緊密的邏輯聯(lián)系，你能歸納總結(jié)一下它們之間的聯(lián)系嗎？（ppt逐步呈現(xiàn)）我們發(fā)現(xiàn)兩角差的三個公式通過將替換為，可以得到對應(yīng)的兩角和的三個公式，兩角和的正弦公式與兩角差的余弦公式，兩角差的正弦公式與兩角和的余弦公式，可以通過誘導(dǎo)公式進行等價轉(zhuǎn)化，在上述的兩個過程中體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化和換元的思想；誘導(dǎo)公式可以看作兩角和、差公式的特殊形式，兩角和差公式可以看作是誘導(dǎo)公式更一般的形式；可以將和角公式中的替換為，或者將差角公式中的替換為，得到對應(yīng)的倍角公式，這個過程中體現(xiàn)了從一般到特殊的數(shù)學(xué)思想；所有的正切公式都可以利用相同角的正余弦公式通過同角關(guān)系得到；二倍角的余弦公式的三種等價表達形式可以通過同角關(guān)系互相推導(dǎo).（二）二倍角的正弦、余弦、正切公式的初步應(yīng)用【例1】已知，，求，，的值.分析：我們觀察到是的二倍角，因此可以考慮用倍角公式求解接下來我們設(shè)計一下解決問題的路徑：根據(jù)二倍角的正弦公式，，因此只需通過同角關(guān)系由求出即可，的符號通過角的范圍確定；，可以直接求出值；既可以通過同角關(guān)系計算；也可用求出，再利用二倍角的正切公式求解.解：由，得，又，所以.于是（或，）【問題3.1】通過這道例題，你對倍角公式中的“倍”有更深入的理解嗎？我們從這道例題中發(fā)現(xiàn)，“倍”是描述兩個數(shù)量之間關(guān)系的，是的二倍，是的二倍，是的二倍，這里蘊含著換元思想.【例2】在△中，，，求的值.分析：這道題要求的值，我們可以拆分為求解和的值，再用正切兩角和的公式就可以求出答案。和相比我們已知的和雖然三角函數(shù)名不盡相同，但角是二倍的關(guān)系，所以我們可以考慮用倍角公式求解，涉及到符號的確定借助三角形內(nèi)角在的范圍即可.解法1：在△中，由，，得，所以，，又，所以于是【問題3.2】剛剛我們從已知的和，求出了和，最后得到了題目中要求的。那請大家思考，這道題目還有其他能夠解決問題的方法嗎？我們可以把要求的看成，也就是角與角和的二倍角的正切值，那么可以設(shè)計出下面的路徑：由和統(tǒng)一三角函數(shù)名得到和，然后利用兩角和的正切公式得到，最后通過二倍角公式得到所需的.具體過程我們一起來看：解法2：在△中，由，，得，所以，又，所以，所以我們看到，解法2相比解法1少了一個運算步驟，但它們都是對倍角、和角關(guān)系的聯(lián)合運用，只是對角，與角之間關(guān)系的看法不同，或者說計算順序不同，本質(zhì)上沒有區(qū)別。同時做完這道題后我們也發(fā)現(xiàn)，題干中的“在△中”隱含了的條件，這類在三角形中隱含的條件值得同學(xué)們進行總結(jié).【小結(jié)】這節(jié)課我們從之前得到的六個兩角和與差的正弦、余弦、正切公式入手，通過轉(zhuǎn)化與換元的方法得到了二倍角的正弦、余弦、正切公式，借助同角關(guān)系發(fā)現(xiàn)了余弦二倍角公式的三個等價形式，并且探究了這節(jié)課與之前共11個三角變換的公式之間的邏輯聯(lián)系，然后應(yīng)用倍角公式解決了幾個實際的問題。在解決問題的過程中我們發(fā)現(xiàn)：倍角公式的“倍”代表了一種數(shù)量關(guān)系，并不只是與，只要符合這種角關(guān)系的問題都可以考慮應(yīng)用倍角公式；在三角函數(shù)名與角之間，我們應(yīng)當(dāng)先關(guān)注所求角與已知角之間的關(guān)系，并以此來設(shè)計解決問題的方法，三角函數(shù)名可以通過同角關(guān)系進行轉(zhuǎn)化；倍角公式相比兩角和差的公式形式上更簡潔，多樣，并且