北師大版九年級上冊數(shù)學(xué)期中考試試題含答案詳解

北師大版九年級上冊數(shù)學(xué)期中考試試卷一、選擇題。（每小題只有一個正確答案）1．一元二次方程x2﹣5x﹣6=0的根是（）A．x1=1，x2=6 B．x1=2，x2=3 C．x1=1，x2=﹣6 D．x1=﹣1，x2=62．一個不透明的袋中有四張完全相同的卡片，把它們分別標(biāo)上數(shù)字1、2、3、4．隨機抽取一張卡片，然后放回，再隨機抽取一張卡片，則兩次抽取的卡片上數(shù)字之積為偶數(shù)的概率是（）A． B． C． D．3．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，點E在邊AB上，點F在邊CD上，點G、H在對角線AC上.若四邊形EGFH是菱形，則AE的長是（）A．2 B． C． D．4．如圖，已知在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，AD：BD=2：1，點F在AC上，AF：FC=1：2，聯(lián)結(jié)BF，交DE于點G，那么DG：GE等于（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5．5．根據(jù)表格對應(yīng)值：x1.11.21.31.4ax2+bx+c-0.590.842.293.76判斷關(guān)于x的方程ax2+bx+c=3的一個解x的范圍是()A．1.1<x<1.2 B．1.2<x<1.3 C．1.3<x<1.4 D．無法判定6．如圖，線段AB兩個端點的坐標(biāo)分別為A（2，2）、B（3，1），以原點O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段AB擴(kuò)大為原來的2倍后得到線段CD，則端點C的坐標(biāo)分別為（）A．（4，4） B．（3，3） C．（3，1） D．（4，1）7．如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個實數(shù)根，且其中一個根為另一個根的三倍，則稱這樣的方程為“3倍根方程”，以下說法不正確的是（）A．方程x2﹣4x+3=0是3倍根方程B．若關(guān)于x的方程（x﹣3）（mx+n）=0是3倍根方程，則m+n=0C．若m+n=0且m≠0，則關(guān)于x的方程（x﹣3）（mx+n）=0是3倍根方程D．若3m+n=0且m≠0，則關(guān)于x的方程x2+（m﹣n）x﹣mn=0是3倍根方程8．如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，以AB為一邊作等邊△ABE，使點E落在正方形ABCD的內(nèi)部，連接AC交BE于點F，連接CE、DE，則下列說法中：①△ADE≌△BCE；②∠ACE=30°；③AF=CF；④=2+，其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題9．8與2的比例中項是_____________．10．柳州市為了擴(kuò)大綠化面積，進(jìn)行了大量的樹木移栽．下表記錄的是在相同條件下某種幼樹的棵數(shù)與成活棵樹：依此估計這種幼樹成活的概率是_____．（結(jié)果用小數(shù)表示，精確到0.1）移栽棵數(shù)100100010000成活棵數(shù)89910900811．在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點O．請你添加一個條件，使得四邊形ABCD成為菱形，這個條件可以是_____．（寫出一種情況即可）12．某商廈10月份的營業(yè)額為50萬元，第四季度的營業(yè)額為182萬元，若設(shè)后兩個月平均營業(yè)額的增長率為x，則由題意可得方程：_____．13．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，將矩形沿對角線BD折疊，使點C落在點E處，BE交AD于點F，則BF的長為________.14．下面是用棋子擺成的“上”字：如果按照以上規(guī)律繼續(xù)擺下去，那么通過觀察，可以發(fā)現(xiàn)：第n個“上”字需用_____枚棋子．三、解答題15．已知：如圖∠α和線段a．求作：菱形ABCD，使∠BAD=∠α，較長對角線AC等于線段a．16．解方程：（1）x（x﹣1）=3﹣3x（2）2x2﹣4x﹣1=0（用配方法）17．已知關(guān)于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣2m﹣3=0的兩個不相等實根中有一個是0．（1）請求出m的值；（2）是否存在實數(shù)k，使關(guān)于x的方程x2﹣（k﹣m）x﹣k﹣m2+5m﹣2=0的兩個實根x1，x2之差的絕對值為1？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．18．現(xiàn)有兩個紙箱,每個紙箱內(nèi)各裝有4個材質(zhì)、大小都相同的乒乓球,其中一個紙箱內(nèi)4個小球上分別寫有1、2、3、4這4個數(shù)，另一個紙箱內(nèi)4個小球上分別寫有5、6、7、8這4個數(shù)，甲、乙兩人商定了一個游戲，規(guī)則是：從這兩個紙箱中各隨機摸出一個小球，然后把兩個小球上的數(shù)字相乘，若得到的積是2的倍數(shù)，則甲得1分，若得到積是3的倍數(shù)，則乙得2分.完成一次游戲后,將球分別放回各自的紙箱,搖勻后進(jìn)行下一次游戲,最后得分高者勝出.．(1)請你通過列表(或樹狀圖)分別計算乘積是2的倍數(shù)和3的倍數(shù)的概率;(2)你認(rèn)為這個游戲公平嗎?為什么?若你認(rèn)為不公平,請你修改得分規(guī)則,使游戲?qū)﹄p方公平.19．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，過點D作對角線BD的垂線交BA的延長線于點E.（1）證明：四邊形ACDE是平行四邊形；（2）若AC＝4，BD＝3，求△ADE的周長20．如圖，某小區(qū)規(guī)劃在一個長30m，寬20m的長方形ABCD上修建三條同樣寬的通道，使其中兩條與AB平行，另一條與AD平行，其余部分種花草．要使每一塊花草的面積都為78m2，那么通道的寬應(yīng)設(shè)計成多少m？21．如圖，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分線，點O為AB的中點，連接DO并延長到點E，使OE=OD，連接AE，BE，（1）求證：四邊形AEBD是矩形；（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時，矩形AEBD是正方形，并說明理由．22．我縣古田鎮(zhèn)某紀(jì)念品商店在銷售中發(fā)現(xiàn)：“成功從這里開始”的紀(jì)念品平均每天可售出20件，每件盈利40元．為了擴(kuò)大銷售量，增加盈利，盡快減少庫存，該商店在今年國慶黃金周期間，采取了適當(dāng)?shù)慕祪r措施，改變營銷策略后發(fā)現(xiàn)：如果每件降價4元，那么平均每天就可多售出8件．商店要想平均每天在銷售這種紀(jì)念品上盈利1200元，那么每件紀(jì)念品應(yīng)降價多少元？23．閱讀材料，用配方法求最值．已知a，b為非負(fù)實數(shù)，∵a+b﹣2=（）2+（）2﹣2=（﹣）2≥0，∴a+b≥2，當(dāng)且僅當(dāng)“a=b”時，等號成立．示例：當(dāng)x＞0時，求y=x++1的最小值；解：y=（x+）+1＞2=3，當(dāng)x=，即x=1時，y的最小值為3．（1）探究：當(dāng)x＞0時，求y=的最小值；（2）問題解決：隨著人們生活水平的提高，汽車已成為越來越多家庭的交通工具，假設(shè)某種汽車的購車費用為10萬元，每年應(yīng)繳保險費等各類費用共計0.4萬元，n年的保養(yǎng)，維修費用總和為萬元，問這種汽車使用多少年報廢最合算（即使用多少年的年平均費用最少，年平均費用=所有費用：年數(shù)n）？最少年平均費用為多少萬元？24．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＜AC，M是BC邊的中點，MN⊥BC交AC于點N，動點P在線段BA上以每秒cm的速度由點B向點A運動．同時，動點Q在線段AC上由點N向點C運動，且始終保持MQ⊥MP．一個點到終點時兩個點同時停止運動，設(shè)運動的時間為t秒(t＞0)．(1)求證：△PBM∽△QNM．(2)若∠ABC＝60°，AB＝4cm，①求動點Q的運動速度；②設(shè)△APQ的面積為S(cm2)，求S與t的等量關(guān)系式(不必寫出t的取值范圍)．參考答案與詳解1．D【分析】本題應(yīng)對原方程進(jìn)行因式分解，得出（x-6）（x+1）=0，然后根據(jù)“兩式相乘值為0，這兩式中至少有一式值為0．”來解題．【詳解】x2-5x-6=0（x-6）（x+1）=0x1=-1，x2=6故選D．【點睛】本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的提點靈活選用合適的方法．本題運用的是因式分解法．2．C【詳解】【分析】畫樹狀圖展示所有16種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出兩次抽取的卡片上數(shù)字之積為偶數(shù)的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．【詳解】畫樹狀圖為：共有16種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩次抽取的卡片上數(shù)字之積為偶數(shù)的結(jié)果數(shù)為12，所以兩次抽取的卡片上數(shù)字之積為偶數(shù)的概率=，故選C．【點睛】本題考查了列表法與樹狀圖法求概率，用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．3．D【詳解】解：連接EF交AC于O，∵四邊形EGFH是菱形，∴EF⊥AC，OE=OF，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=∠D=90°,ABCD，AD=BC=3，∴∠FCO=∠EAO，在△OCF與△OAE中，∴△OEA≌△OFC(AAS)，∴AO=CO，故選D.4．B【解析】∵DE∥BC，∴==2，∴CE：CA=1：3，==，∵AF：FC=1：2，∴AF：AC=1：3，∴AF=EF=EC，∴EG：BC=1：2，設(shè)EG=m，則BC=2m，∴DE=m，DG=m﹣m=m，∴DG：GE=m：m=1：3，故選B．5．C【分析】利用表中數(shù)據(jù)得到x=1.3和x=1.4時，代數(shù)式ax2+bx+c的值一個小于3，一個大于3，從而可判斷當(dāng)1.3<x<1.4時，代數(shù)式ax2+bx+c的值為0．【詳解】解：當(dāng)x=1.3時,ax2+bx+c=2.29，當(dāng)x=1.4時,ax2+bx+c=3.76，所以方程的解的范圍為1.3<x<1.4.故選C.【點睛】本題主要考查估算一元二次方程的近似解，關(guān)鍵觀察函數(shù)值的變化.6．A【分析】利用位似圖形的性質(zhì)結(jié)合對應(yīng)點坐標(biāo)與位似比的關(guān)系得出C點坐標(biāo)．【詳解】∵以原點O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段AB擴(kuò)大為原來的2倍后得到線段CD，∴A點與C點是對應(yīng)點，∵C點的對應(yīng)點A的坐標(biāo)為（2，2），位似比為1：2，∴點C的坐標(biāo)為：（4，4）故選A．【點睛】本題考查了位似變換，正確把握位似比與對應(yīng)點坐標(biāo)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．7．B【解析】【分析】通過解一元方程可對A進(jìn)行判斷；先解方程得到x1=3，x2=-，然后通過分類討論得到m和n的關(guān)系，則可對B進(jìn)行判斷；先解方程，則利用m+n=0可判斷兩根的關(guān)系，則可對C進(jìn)行判斷；先解方程，則利用3m+n=0可判斷兩根的關(guān)系，則可對D進(jìn)行判斷．【詳解】解：A.解方程?4x+3=0得x1=1,x2=3，所以A選項的說法正確；B.解方程得x1=3,x2=-,當(dāng)?=3×3,則9m+n=0;當(dāng)?=×3，則m+n=0，所以B選項的說法錯誤；C.解方程得x1=3,x2=?,而m+n=0,則x2=1，所以C選項的說法正確；D.解方程得x1=?m,x2=n,而3m+n=0,即n=?3m,所以x1=3x2，所以D選項的說法正確.故選B.【點睛】本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系,一元二次方程的解，熟悉掌握是關(guān)鍵.8．D【解析】【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定，可以證明①②正確，作FH⊥BC于H，設(shè)FH=CH=a，則BH=a，利用勾股定理求出a，即可判斷③④正確；【詳解】∵四邊形ABCD是正方形，△AEB是等邊三角形，∴AD=AE=AB=BE=BC,∠DAB=∠CBA=90°,∠EAB=∠EBA=60°，∴∠DAE=∠EBC=30°，∴△ADE≌△BCE，故①正確，∵∠BEC=∠BCE=(180°?30°)=75°,∠ACB=45°，∴∠ACE=∠BCE?∠ACB=30°，故②正確，作FH⊥BC于H,設(shè)FH=CH=a,則BH=3，∵BC=4，∴a+a=4，∴a=2?2，∴CF=a=2?2，∵AC=4，∴AF=AC=CF=6?2，∴AF=CF，故③正確，∵BF=2FH=4?4，∴EF=BE?BF=8?4，∴S△BCES△ECF==2+，故④正確，故選D.【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟悉掌握是關(guān)鍵.9．4或﹣4【分析】先根據(jù)比例中項的定義列出比例式，再利用兩內(nèi)項之積等于兩外項之積即可得出答案．【詳解】解：設(shè)8與2的比例中項是x，可得：8：x=x：2，解得：x=4或﹣4，故答案為：4或﹣4【點睛】本題主要考查了比例線段問題，關(guān)鍵是利用比例中項和比例的基本性質(zhì)解答．10．0.9【解析】【分析】成活的總棵樹除以移栽的總棵樹即為所求的概率.【詳解】解：根據(jù)抽樣的意義可得幼樹成活的概率為.

故答案為:0.9.【點睛】本題主要考查概率知識點，本題利用了用大量試驗得到的頻率可以估計事件的概率．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.11．AC⊥BD（答案不唯一）【分析】依據(jù)菱形的判定定理進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴當(dāng)AC⊥BD時，四邊形ABCD為菱形．故答案為AC⊥BD(答案不唯一).【點睛】本題主要考查菱形的判定，平行四邊形的性質(zhì)，熟悉掌握菱形判定條件是關(guān)鍵.12．50（1+x）2+50（1+x）+50=182【解析】根據(jù)題意可得十一月份的營業(yè)額為50（1+x）萬元，十二月份的營業(yè)額為50（1+x）（1+x）萬元，第四季度的營業(yè)額為50+50（1+x）+50（1+x）2，因此可得到方程：50+50（1+x）+50（1+x）2=182.故答案為：50+50（1+x）+50（1+x）2.13．5【解析】【分析】由翻折的性質(zhì)可以知道,由矩形的性質(zhì)可以知道:,從而得到,于是,故此BF=DF,在中利用勾股定理可求得BF的長.【詳解】由折疊的性質(zhì)知,CD=ED,BE=BC.

四邊形ABCD是矩形,

在和中,

,

,

;

設(shè)BF=x,則DF=x,AF=8-x,

在中,可得:,即,

計算得出:x=5,

故BF的長為5.

因此，本題正確答案是:5【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)折疊前后兩圖形全等，即對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等，也考查了勾股定理,矩形的性質(zhì).14．4n+2【解析】∵第1個有：6=4×1+2；第2個有：10=4×2+2；第3個有：14=4×3+2；……∴第1個有：4n+2；故答案為4n+215．見解析【解析】【分析】首先找出∠BAD的平分線，進(jìn)而利用直角三角尺將a線段移到角平分線上，最后進(jìn)行點與點連接.【詳解】解：如圖所示：．【點睛】本題主要考查作圖—復(fù)雜作圖，角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵在于對角線AC找對.16．（1）x1=1，x2=﹣3；（2），．【解析】【分析】（1）移項然后根據(jù)因式分解法可以解答本題；（2）利用配方法可以解答本題．【詳解】（1）x（x﹣1）=3﹣3xx（x﹣1）=3（1﹣x）x（x﹣1）+3（x﹣1）=0（x﹣1）（x+3）=0∴x﹣1=0或x+3=0，解得，x1=1，x2=﹣3；（2）2x2﹣4x﹣1=02x2﹣4x=12（x2﹣2x）=1（x2﹣2x）=（x2﹣2x+1）=+1∴x﹣1=∴，．【點睛】本題主要考查解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣配方法，靈活運用方程解法是關(guān)鍵.17．（1）m的值為3；（2）存在實數(shù)k，使關(guān)于x的方程x2﹣（k﹣m）x﹣k﹣m2+5m﹣2=0的兩個實根x1，x2之差的絕對值為1．【解析】【分析】（1）先根據(jù)△的意義得到m＞-1，再把x=0代入方程x2-2（m+1）x+m2-2m-3=0得m2-2m-3=0，解得m1=3，m2=-1，即可得到滿足條件的m的值；

（2）把m=3代入方程x2-（k-m）x-k-m2+5m-2=0得x2-（k-3）x-k+4=0，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2=k-3，x1x2=-k+4，然后由|x1-x2︳=1變形得（x1-x2）2=1，即（x1+x2）2-4x1x2-1=0

再把x1+x2=k-3，x1x2=-k+4代入得到關(guān)于k的方程，然后解方程，若k有實數(shù)解并且使原方程也有解，就可判斷存在．【詳解】（1）∵方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣2m﹣3=0的兩個不相等實根，∴△=4（m+1）2﹣4（m2﹣2m﹣3）＞0，∴m＞﹣1，把x=0代入方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣2m﹣3=0得m2﹣2m﹣3=0，∵（m﹣3）（m+1）=0，∴m1=3，m2=﹣1，而m＞﹣1，∴m的值為3；（2）存在．把m=3代入方程x2﹣（k﹣m）x﹣k﹣m2+5m﹣2=0得x2﹣（k﹣3）x﹣k+4=0，∴x1+x2=k﹣3，x1x2=﹣k+4，∵|x1﹣x2︳=1，∴（x1﹣x2）2=1，即（x1+x2）2﹣4x1x2﹣1=0（k﹣3）2﹣4（﹣k+4）﹣1=0，整理得k2﹣2k﹣8=0，k1=4，k2=﹣2，當(dāng)k=4和﹣2時方程x2﹣（k﹣3）x﹣k+4=0都有兩個實數(shù)，∴存在實數(shù)k，使關(guān)于x的方程x2﹣（k﹣m）x﹣k﹣m2+5m﹣2=0的兩個實根x1，x2之差的絕對值為1．【點睛】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系:若方程兩根為,,則,.也考查了一元二次方程根的判別式.18．（1）（2）游戲不公平，修改得分規(guī)則為：把兩個小球上的數(shù)字相乘，若得到的積是2的倍數(shù)，則甲得7分，若得到的積是3的倍數(shù)，則乙得12分【解析】試題分析：（1）列表如下：共有16種情況，且每種情況出現(xiàn)的可能性相同，其中，乘積是2的倍數(shù)的有12種，乘積是3的倍數(shù)的有7種.∴Ｐ（兩數(shù)乘積是2的倍數(shù)）Ｐ（兩數(shù)乘積是3的倍數(shù)）（2）游戲不公平，修改得分規(guī)則為：把兩個小球上的數(shù)字相乘，若得到的積是2的倍數(shù)，則甲得7分，若得到的積是3的倍數(shù)，則乙得12分考點：概率的計算點評：題目難度不大，考查基本概率的計算，屬于基礎(chǔ)題．本題主要是第二問有點難度，對游戲規(guī)則的確定，需要一概率為基礎(chǔ)．19．（1）見解析；（2）9.【解析】分析：（1）根據(jù)平行四邊形的判定證明即可；（2）利用平行四邊形的性質(zhì)得出平行四邊形的周長即可．詳解：（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD.∴AE∥CD，∠AOB＝90°∵DE⊥BD，即∠EDB＝90°∴∠AOB＝∠EDB.∴DE∥AC.∴四邊形ACDE是平行四邊形．（2）∵四邊形ABCD是菱形，AC＝4，BD＝3，∴AO＝2，DO＝1.5，AD＝CD＝＝2.5，.∵四邊形ACDE是平行四邊形，∴AE＝CD＝2.5，DE＝AC＝4，∴△ADE的周長C△ADE＝AD＋AE＋DE＝2.5＋2.5＋4＝9點睛：此題考查平行四邊形的性質(zhì)和判定問題，關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的判定解答即可．20．通道應(yīng)設(shè)計成2米．【分析】設(shè)道路的寬為xm，將6塊草地平移為一個長方形，長為（30-2x）m，寬為（20-x）m．根據(jù)長方形面積公式即可列方程（30-2x）（20-x）=6×78．【詳解】設(shè)道路的寬為xm，由題意得：（30﹣2x）（20﹣x）=6×78，整理得：（x﹣2）（x﹣33）=0，解得x=2或x=33舍去），答：通道應(yīng)設(shè)計成2米．【點睛】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，掌握長方形的面積公式，求得6塊草地平移為一個長方形的長和寬是解決本題的關(guān)鍵.21．解：（1）證明：∵點O為AB的中點，連接DO并延長到點E，使OE=OD，∴四邊形AEBD是平行四邊形．∵AB=AC，AD是△ABC的角平分線，∴AD⊥BC．∴∠ADB=90°．∴平行四邊形AEBD是矩形．（2）當(dāng)∠BAC=90°時，矩形AEBD是正方形．理由如下：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是△ABC的角平分線，∴AD=BD=CD．∵由（1）得四邊形AEBD是矩形，∴矩形AEBD是正方形．【詳解】試題分析：（1）利用平行四邊形的判定首先得出四邊形AEBD是平行四邊形，進(jìn)而由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ADB=90°，即可得出答案；（2）利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出AD=BD=CD，進(jìn)而利用正方形的判定得出即可．（1）證明：∵點O為AB的中點，連接DO并延長到點E，使OE=OD，∴四邊形AEBD是平行四邊形，∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分線，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴平行四邊形AEBD是矩形；（2）當(dāng)∠BAC=90°時，理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是∠BAC的角平分線，∴AD=BD=CD，∵由（1）得四邊形AEBD是矩形，∴矩形AEBD是正方形．22．20元【分析】先設(shè)每件紀(jì)念品應(yīng)降價x元，然后根據(jù)題意可列出方程，解出即可．【詳解】設(shè)每件紀(jì)念品應(yīng)降價x元，則：(40-x)(20+化簡得：x2﹣30x+200=0解得：x1=20，x2=10∵商店要盡快減少庫存，擴(kuò)大銷量而降價越多，銷量就越大∴x=20答：每件紀(jì)念品應(yīng)降價20元．