2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用（解析版）

專題30平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用（新高考專用）

【知識梳理】................................................................2

【真題自測】................................................................3

【考點突破】................................................................9

【考點1】數(shù)量積的計算......................................................9

【考點2】數(shù)量積的應(yīng)用......................................................12

【考點3】平面向量的綜合應(yīng)用................................................17

【分層檢測】...............................................................24

【基礎(chǔ)篇】.................................................................24

【能力篇】.................................................................30

【培優(yōu)篇】.................................................................33

考試要求：

1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.

2.了解平面向量的數(shù)量積與投影向量的長度的關(guān)系.

3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算.

4.能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系.

5.會用向量的方法解決某些簡單的平面幾何問題.

6.會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實際問題.

L平面向量數(shù)量積的有關(guān)概念

(1)向量的夾角：已知兩個非零向量a和"。是平面上的任意一點，作為=a,OB=b,則N

AO3=e(0WeW7i)叫做向量a與力的夾角.

(2)數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量a與"它們的夾角為仇我們把數(shù)量lalOlcos。叫做向

量a與的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a也即a0=|。|由|cos_規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積

為0,即0?=0.

(3)投影向量

如圖，在平面內(nèi)任取一點。，作曲=°,ON=b,過點〃作直線ON的垂線，垂足為Mi,則由

就是向量a在向量〃上的投影向量.

設(shè)與b方向相同的單位向量為e,a與b的夾角為0,則曲i與e,a,6之間的關(guān)系為曲i=|a|cos

0e.

2.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示

設(shè)向量a=(xi,yi),b=(x2,yi),。為向量a,〃的夾角.

⑴數(shù)量積：a-Z>=|fl||/>|cos0=xixi+yiyi.

⑵模：\a\=\[a^a=y/jd+yi.

,jabxiX2+yiy2

⑶夾角：cos6=麗=：.+濟1

(4)兩非零向量a_LZ>的充要條件：a0=0=xix2+yiy2=0.

(5)|a仍|W|a||Z)|(當(dāng)且僅當(dāng)a//b時等號成立)Q|xix2+yi〉2|W4x?+資、/人+貨.

3.平面向量數(shù)量積的運算律

(l)a0=?a(交換律).

(2)丸(訪=23萬)=".(肪)(結(jié)合律).

(3)(a+b>c=a?c+"c(分配律).

4.平面幾何中的向量方法

三步曲：(1)用向量表示問題中的幾何元素，將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；

⑵通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系；

2

⑶把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.

常用結(jié)論

1.兩個向量。，〃的夾角為銳角=。乃＞0且。，力不共線；兩個向量〃的夾角為鈍角=a?方＜0

且。，方不共線.

2.平面向量數(shù)量積運算的常用公式

(1)(°+〃)?(0一辦)=屋一辦2；

(2')(a+by=a2+2a-b+b2.

(3)(°-8)2=〃2—2。辦+辦2.

3.數(shù)量積運算律要準(zhǔn)確理解、應(yīng)用，例如，。乃=a,c(aW0),不能得出〃=c,兩邊不能約去同一

個向量.

一、單選題

1.(2023?全國?高考真題)已知向量益，瓦1滿足同=W=L同=3,且。+5+^=。，則COS〈M-",B-2〉=()

4224

A.——B.——C.-D.-

5555

2.(2023?全國?高考真題)已知。。的半徑為1,直線B4與。。相切于點A,直線尸3與交于3,C兩點,

。為8C的中點，若|PO|=Q,則西.麗的最大值為()

△1+V2R1+2近

22

C.1+72D.2+0

3.(2023?全國?高考真題)已知向量￡=(1,1)3=(1,-1),若R++聞，則()

A.2+4=1B.X+"=—1

C.D.澳=一1

4.(2022?全國?高考真題)已知向量￡=(3,4)出=(1,0)￡=￡+/,若<￡,">=<瓦￡>,則/=()

A.-6B.-5C.5D.6

5.(2022?全國?高考真題)已知向量滿足|￡|=1,出|=右,|￡-2回=3,則￡而=()

A.-2B.-1C.1D.2

二、填空題

6.(2023?全國?高考真題)已知向量3滿足口一行卜君，歸+5卜恒_曰,則忖=

3

7.（2022?全國?高考真題）設(shè)向量入石的夾角的余弦值為:，且同=1,忖=3,則（2—+B）Z=

8.（2021?全國?高考真題）已知向量〃+B+c=6,忖=1,W=k|=2,a-b+b-c+c-a=.

9.（2021?全國?高考真題）已知向量a=（l,3）,B=（3,4）,若貝！JX=.

10.（2021?全國?高考真題）已知向量a=（3,l）,B=（l,0）,c=a+左若￡_1工，則左=.

參考答案：

1.D

【分析】作出圖形,根據(jù)幾何意義求解.

【詳解】因為商+B+1=所以5+。=-5,

即日2+廬+2萬石=/,即1+1+2:二=2,所以必3=0.

:

^^/&OA=a,OB=b,OC=cf

由題知,04=OB=1,0。=①,AOAB是等腰直角三角形，

AB邊上的高0。=也,AD=變，

22

所以8=(%>+。￡>=應(yīng)+^?=還，

22

tanNACD=-=-,cosZACD=

CD3阿

cos〈M-c,b-c)=cosZACB=cos2ZACD=2cos2ZACD-1

故選:D.

2.A

【分析岫題意作出示意圖,然后分類討論，利用平面向量的數(shù)量積定義可得/兩十冬BY

4

或標(biāo)麗小號加后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可確定瓦方的最大直

【詳解】如圖所示，|Q4|=L|OP|=0，則由題意可知:ZAPO=(,

由勾股定理可得|PA|=VOP2-OA2=i

jr

當(dāng)點A,D位于直線尸。異側(cè)時或PB為直徑時，設(shè)ZOPC=a,O<a<~,

4

則：PA.pD=\PA\\PD\cos^a+^

=1x^2cosacosa+-

I4

=y[2cosa

=cos2a—sinacosa

1+cos2a1.八

-----------------sin2a

22

22

c7171dTC71

0<a<一,貝I]----<la-------<—

4444

71

則：西?麗=1麗II而|cosa~~

5

71

=1x72cosacosa----

4

Bcos?+^sin?

=A/2COSa

22

=cos2cr+si?ncrcoscr

1+cos1..

--------------b—sm2a

22

=」+也sin（2a+&],

22I4j

a<

°-i貝字2a+?d

.?.當(dāng)2a+?=￡時，耳.而有最大值上手.

綜上可得，中.而的最大值為匕巫.

故選：A.

【點睛】本題的核心在于能夠正確作出示意圖，然后將數(shù)量積的問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值的問題，考查

了學(xué)生對于知識的綜合掌握程度和靈活處理問題的能力.

3.D

【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運算求出Z+萩，a+pb,再根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示即可求出.

【詳解】因為a=（U）,6=,所以a+46=（1+4,1-「）,a+〃b=（l+〃,l—〃）,

由+幾@_L（a+可得，（a+/lB＞（a+〃石）=0,

即++〃）+（1_九）（1_〃）=0,整理得：=—1.

故選：D.

4.C

【分析】利用向量的運算和向量的夾角的余弦公式的坐標(biāo)形式化簡即可求得

/、,、,、9+3,+163+1

【詳解】解：忑=（3+r,4）,cos僅?=cos。?,即一乖|—=解得1=5,

故選：C

5.C

【分析】根據(jù)給定模長，利用向量的數(shù)量積運算求解即可.

6

【詳解】解：0|a-2/j|2=|<7|2-Aa-b+4|&|,

又回方|=1,防|=6,監(jiān)一251=3,

國9=1一4d?3+4x3=13—4萬

回苕％=1

故選：C.

6.超

【分析】法一：根據(jù)題意結(jié)合向量數(shù)量積的運算律運算求解；法二：換元令二=5,結(jié)合數(shù)量積的運算律

運算求解.

【詳解】法一：因為1+.=忸一年即R+B『=(2"5『，

貝Ia+2a-b+b=^a-^a-b+b'整理得二-2a-b=0>

又因為卜-?=若，即"盯=3,

則工2荽+r』2=3,所以M=A

rrrrrrrrr

法二：設(shè)c=。-0，IjJlJ|c|=y/3,ct+b=c+2b,2a—b=2c+b,

由題意可得：(c+26)=(2c+b),貝心2+4鼻+4抹=4：+4；?力+；

整理得：廢=?，即利=卜卜退.

故答案為：右.

7.11

【分析】設(shè)￡與區(qū)的夾角為。，依題意可得；,再根據(jù)數(shù)量積的定義求出

cosd=7,最后根據(jù)數(shù)量積的運

算律計算可得.

【詳解】解：設(shè)Z與B的夾角為凡因為Z與B的夾角的余弦值為:，即cose=g,

又忖=1,1|=3,所以°石=卜|第8$。=1><3*!=1,

所以+=2〃=2〃.5+|4=2x1+32=11.

故答案為：11.

7

【分析】由已知可得,+1+。2=0,展開化簡后可得結(jié)果.

【詳解】由已知可得（Z+B+"）=/+石2+（72+2（〃.方+~0+0〃）=9+2（〃.5+5.0+0〃）=0,

因止匕，a-b+b-c+c-a=

2

Q

故答案為：--.

3

9.-

5

【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及向量的線性運算列出方程，即可解出.

【詳解】因為2-0=（1,3）—4（3,4）=?！?43—4X）,所以由可得,

3（1-32）+4（3-42）=0,解得力=：

3

故答案為：—.

【點睛】本題解題關(guān)鍵是熟記平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，設(shè)￡=（石,％）3=（%,%），

=芯w+M%=。，注意與平面向量平行的坐標(biāo)表示區(qū)分.

10

10.——.

3

【分析】利用向量的坐標(biāo)運算法則求得向量E的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積為零求得上的值

【詳解】?.2=（3,1）,5=。,0）,「1=互+防=（3+匕1）,

,.,少,不,「.無1=3（3+左）+1乂1=0,解得左二一岑，

故答案為：-g.

【點睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運算，平面向量垂直的條件，屬基礎(chǔ)題，利用平面向量

力=a,%）4=（%,為）垂直的充分必要條件是其數(shù)量積xixi+%%=。.

【考點1】數(shù)量積的計算

一、單選題

1.（2024?江蘇揚州?模擬預(yù)測）已知向量入5滿足同=1,M,且行與石的夾角為費，則忸-=（）

A.gB.拒C.1D.13

8

2.(2024?湖北?模擬預(yù)測)直線，=履與圓(x-l)2+(y-l)2=l交于M、N兩點，O為坐標(biāo)原點，貝I?.砒=

()

1k2

A.——B.——-C.1D.2

l+k2T1+k2

二、多選題

3.(2024?廣東廣州?二模)在梯形ABCD中，AB//CD,AB=1,CZ)=3,cosZDAC=—,cosZACD=上，則()

44

A.-=Bcos/BAD=C.BA-AD=—D.ACBD

244

4.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知4高是兩個單位向量，若麗=4+運，〃=1,2,3,貝?。?)

A.匕鳥,月三點共線B.|阿＜|網(wǎng)＜|呵

C.AP^-ex<AP2-ex<AP3-exD.APX-e2<AP2-e2<APi-e2

三、填空題

一114

5.(2024?河南?模擬預(yù)測)已知向量a=^=(1,2),若7B=1，則7+7的取值范圍為

6.(2024高三?全國?專題練習(xí))已知向量M+B+1=0,⑷=1,⑸=?=2,a-b+b-c+c-a=_

參考答案：

1.B

【分析】根據(jù)忸一*J(2萬叫2,結(jié)合數(shù)量積運算求解.

【詳解】根據(jù)題意，=|耶卜。sg=lx?x『當(dāng)卜一|,

貝”2小卜”21一=yj4a-4a-b+b2=J4+6+3=V13.

故選：B

2.C

【分析】先聯(lián)立方程，結(jié)合韋達定理可求出占/，%%，根據(jù)向量數(shù)量積可求答案.

y=kx/、

【詳解】聯(lián)立/-2(?/得1+公%2―2億+1)%+1=0,

(x-1)—=1'/

貝即4優(yōu)+1)2—4儼+1)>0,所以％>0,

]女

設(shè)Af(3,y),N(%2,%)，貝I：=]+左2，M%=A?%%=]+2嚴(yán)，

OM.ON=%9+%%=(1+%?),J]=1,

故選：C

9

3.ABD

【分析】在AACD中由正弦定理求解4)判斷A；利用兩角和差公式求解cos/ADC判斷B；利用向量數(shù)量積

計算麗?礪判斷C；利用數(shù)量積計算而?麗=0判斷D.

【詳解】在△ACD中，cos^DAC=,cos^ACD=—

44

貝I」sin/ZMC=巫,sin/ACD=—,

44

CD

由正弦定理知

sin/ACDsin^DAC

3xU

CDsinZACD30

即AD=___4_故A正確;

sinZDAC~2~

4

cosZADC=cos(7T-ADAC-ZACD)

D

=-cos(ZZMC+ZACD)

=sinZDACsmZACD—cosADACcosZACD

V14A/7A/23V2

=------x---------------x—=------，

44444

???AB//CD,二ABAD=7t-ZADC,

cosZBAD=cos(it-ZADC)=-cosZADC=-^-,故B正確；

麗.而=|麗H囤cos(兀-N8A0

=|BA|-|AO|COSZADC=1X^IX^=|,故C錯誤；

AC-BD=(AD+DCy(BA+AD^

=ADBA+DCBA+AD2+DCAD

故/，而，即AC13。，故D正確.

故選：ABD

4.ABD

【分析】利用平面向量共線的性質(zhì)判斷A,利用向量模的性質(zhì)判斷B,用定義計算向量積判斷C,D即可.

【詳解】對于選項A：=AP2-APX=e1+2e2-^e1+e2'j=e2,6A=A月一=q+3e?—卜+e?)=2e2,所

10

以蔗=2匾，

于是匕鳥,《三點共線，故A正確.

選項B：設(shè)烏,62的夾角為凡則=1+1+2cos6=2+2cos6,|A/^|=1+4+4COS6=5+4cos6,

|A^|2=1+9+6cos0=10+6cos6,|M|2一|正(=5+4cos6>-(2+2cos0)=3+2cos6>>0,所以|愆狗'

故國卜|理，同理|福碉2=10+6cose-(5+4cose)=5+2cos6>0,

所以|碉2>|正卜故|陽<|陽，因此網(wǎng)卜|陽<|間，故B正確.

選項C：易知qq=cos。,所以A片.q=(q+02)?q=1+cosd,鉆.q=(勿+2馬)-q=l+2cos/,

AP3.q=(q+3%).G=1+3cosd,

因為cos。的值不確定，所以無法比較大小，故C不正確.

選項D：AF[-e2=(el+e2\-e2=l+cos0,AP2-e2=(e1+2e2]-e2=2+cos0,AP3-e2=+3e2\e2=3+cos0,

顯然-e2cA-e2,故D正確.

故選:ABD

5.19+4忘,+(?)

14

【分析】根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到根+2〃=1,再利用乘“甘法及基本不等式求出上+2的最小值，即可求

mn

出其范圍.

【詳解】因為a=(〃2,〃)(〃z,〃>0),5=(1,2),0.5=1，所以無5=相+2〃=1,

14

所以上+色=?(m+2n)=9+—+—>9+2=9+4夜,

mnmn

當(dāng)且僅當(dāng)&=坦，即〃?=述二1,〃=山1時取等號,

mn77

故答案為：［9+4夜,+8)

9

6.

2

【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的運算及數(shù)量積的性質(zhì)即可得結(jié)論.

【詳解】因為向量M+B+乙=0，|a|=l，|B|=|C|=2,

11

/—?—?—-?2.—?2.—*Z/—?—?—?—?—?—?\/-?—?—?—?—?—?\

所以（a+Z?+c）=a+b+c+2（a?Z?+b.c+c.Q）=9+2（a./?+b.c+LQ）=0,

因止匕，a-b+b-c+c-a=~~.

2

o

故答案為：-萬.

反思提升：

平面向量數(shù)量積的兩種運算方法

（1）基底法：當(dāng)已知向量的模和夾角。時，可利用定義法求解，適用于平面圖形中的向量數(shù)量

積的有關(guān)計算問題；

（2）坐標(biāo)法：當(dāng)平面圖形易建系求出各點坐標(biāo)時，可利用坐標(biāo)法求解.

【考點2】數(shù)量積的應(yīng)用

一、單選題

1.（2024?四川眉山?三模）已知向量汗石忑滿足同=網(wǎng)=1,同=右，且分+不=0,貝UcosR-*By）=（）

13363月13

A.—B.C.D.——

14141414

2.（2024.遼寧葫蘆島.一模）已知向量海的夾角為會且同=2忖=2,若（焉—力小心+力），貝隈=（）

2123

A.—B.-C.-D.一

5234

二、多選題

3.（2022?全國?模擬預(yù)測）在邊長為2正六邊形ABCDEF中，G是線段上一點，AG=AAB,則下列說法

正確的有（）

1—.1—.—.

A.若幾=5，貝！JEG=-5AB-2AF

B.若向量麗在向量徑上的投影向量是〃AS,則〃=；

C.若尸為正六邊形ABCD瓦內(nèi)一點（包含端點），則Q.通的取值范圍是[-2,6]

D.若國.國=1，則九的值為:

4.（2023河北唐山■二模）已知向量Z=（cose,cos⑶，5=（sintz,sin/?）,"=（1,1）,下列命題成立的是（）

A.若蕨,則。=￡+E（LeZ）

B.若a.B=l，貝!]a+4=2^+5（%eZ）

C.若（4+B）_L（a—9），貝!|tz+￡=bt+g（左eZ）

D.設(shè)7"=相，b-c=n＞當(dāng)病+”2取得最大值時，。=6+2E（7eZ）

三、填空題

12

5.（2023?全國?模擬預(yù)測）己知平面向量獲滿足同=2止6,卜+岡=3嶼力石=9,則實數(shù)上的值為

6.（2024?四川?模擬預(yù)測）平面向量商，石滿足方=（一3,2）,a-b=（i,k）,且力，則上的值為

參考答案：

1.A

【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算律求出臚6、a-c,b-c-即可求出他-沙色-"、\a-c\.\b-c\,再根據(jù)夾

角公式計算可得.

【詳解】由題意得5+力=」，則0+療=片有「+2無方+F=（百產(chǎn)，解得小5=；,

3

又由4+3=—則0+0)2=52有F+2Mg+(百＞=12,解得^1二一,，

一3

同理可得bN=-3,

2

\a-c\=yla2-2a-c+c2=A/7,

-c|=yjb2-2b'C+c2=幣,

13

伍一）倒

所以cos仿-"513

忸一斗,_《14

故選：A

2.A

【分析】利用平面向量的數(shù)量積運算公式結(jié)合已知直接計算即可.

【詳解】因為（左a-Z?）_L（a+Z?）,

所以（左：一%）?（「+2）=0,BPka2+（k-l）a-b-b2=0,

因為同=2網(wǎng)=2,向量2,B的夾角為

所以同=2,忖=1,萬=2xlx^=1,

2

所以4k+左一1一1=0,BP.

故選：A.

3.AC

【分析】由向量線性運算可利用福,衣表示出院，知A正確；由投影向量定義可求得向量①在羽上的

13

投影向量為-g通，知B錯誤；以A為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P（m,"）（-14機43）,利用向量數(shù)

量積的坐標(biāo)運算可知C正確；設(shè)G&O）（OVK2）,根據(jù)歷?麗=1可求得/的值，進而得到而=?通，知

6

D錯誤.

【詳解】對于A,若％=則G為A3中點，

1—.—.~

EG=EF+FA+AG=EB+BF-AF+-AB=2FA+AF-AB-AF+-AB=AB-2AF,A正確;

222

對于B,由正六邊形的性質(zhì)知向量前與通的夾角為胃,

...〃=一（，錯誤;

則向量前在荏上的投影向量為B

對于C,以A為坐標(biāo)原點，荏，衣正方向為x，y軸，可建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系,

則A（0,0）,B（2,0）,設(shè)尸（僅孔）（一14機＜3）,:.AP=（m,n）,AB=（2,0）,

.*.AP-AB=2me[-2,6],C正確；

對于D,由題意知：￡（0,2V3）,C（3,6）,AB=（2,0）,

14

二

設(shè)G（f,0）（04/W2）,;.互=（一3,道），箕=，-3,-』），

.-.CG-CE=-3（r-3）-3=l,解得：f=],，AG=[§,Oj,AB=（2,0）,

AG=-AB,即4=巳，D錯誤.

66

故選：AC.

4.AD

【分析】若；〃力，則cosasin分-sinacos/=0,結(jié)合兩角差的正弦公式即可判斷A；若7B=1，貝I

cosasiim+cos乃sin￡=l,再結(jié)合二倍角的正弦公式及正弦函數(shù)的值域即可判斷B；若伍+可乂￡詢，則

伍+斗僅悶=0,再結(jié)合二倍角的余弦公式即可判斷C；求出牡〃再結(jié)合兩角差的余弦公式即可判斷D.

【詳解】對于A,若；〃），貝ijcosasin，—sinacos；?=0,

即sin（a—0=O,所以a—#=E,即a=77+E（左￡Z）,故A正確；

對于B若75=1，則cosasina+cos尸sin￡=l,

即gsin2a+gsin2￡=l,即sin2a+sin2/3=2,

因為sin2cr<l,sin2分4l,所以sin2cr=sin2/7=1,

JIJI

所以2a=2k[it+于20=2k2兀+5,勺4eZ,

所以2a+2尸=2勺兀+2k27i+兀=2kn+K,,Z:GZ,

jr

所以a+/=E+,（左EZ）,故B錯誤；

對于C,a+b=（cosa+sina,cos/3+sin/3^,a-b=（cosa-sina,cos/3-sin4）,

由（Q+B）_L（〃_B）,得（〃+石）.（a_石）=0,

即（cosa-sina）（cosa+sina）+（cos/3-sinj3）（cosP+sin/?）=0,

即cos2a+cos2/3=0,貝Ijcos2a=—cos2/3,

15

貝ij2a=24+兀+2kit或2a=兀一2/+2fai,keZ,

7Tjr

所以a—/=E+耳或二+/=后1+耳（左EZ）,故C錯誤；

對于D,a-c=m=cosa+cos/3,B1=〃=sina+sin/,

則m2+n2=cos2a+cos2萬+2c+sacos/?+sin26Z+sin2/7+2sinasin0

=2+2cos（cr-/?）,

當(dāng)小+》取得最大值時，cos（a-0=1,

止匕時。一/?=2E,所以。=/7+2E（左EZ）,故D正確.

故選：AD.

5.1或-3

【分析】結(jié)合平面向量的相關(guān)知識，將K+石|=36兩邊平方，計算即可.

【詳解】將B+閩=36兩邊平方，得，+2初0+琲『=63,

得36+18左+9^=63，即左？+2左一3=0,解得左=1或一3.

故答案為：1或-3.

6.8

【分析】首先求出行的坐標(biāo)，依題意。出=0,根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到方程，解得即可.

【詳解】因為商=（-3,2）,a-b=（l,k）,

所以石=（一3,2）-（"）=（工2-后），

又萬人B，所以萬京=-3><（7）+2（2—左）=0,解得％=8.

故答案為：8

反思提升：

（1）根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)：若a,為非零向量，則cos。=言言（夾角公式），a.Lb<^ab=

0等，可知平面向量的數(shù)量積可以用來解決有關(guān)角度、垂直問題.

（2）計算向量的模：①當(dāng)向量有坐標(biāo)或適合建坐標(biāo)系時，可用模的計算公式；②利用|旬=也5及

（a±b）2=\a\2±2a-b+\b\2,把向量的模的運算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運算；③幾何法，利用向量的幾何意

義，即利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等方法求解.

【考點3】平面向量的綜合應(yīng)用

一、單選題

1.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測）已知AASC是邊長為4—的正三角形，點P是所在平面內(nèi)的一點，且

16

滿足|Q+旃+萬卜3,則的最小值是（）

8

A.1B.2C.3D.-

3

2.（2024?廣東廣州?模擬預(yù)測）在中，角A、B、。的對邊分別為。、b、c,若c=3,b=2,ZBAC

的平分線AO的長為生也，則BC邊上的中線的長等于（）

5

.V17R4五,再N4A/3

2343

二、多選題

2

3.（2024?廣東廣州?二模）已知雙曲線C:/-匕=1的左右焦點分別為月，耳，左頂點為4,點P是C的右

3一

支上一點，則（）

A.|P與「-|尸乙『的最小值為&

B.若直線P乙與C交于另一點。，則|PQ帕勺最小值為6

C.|尸耳卜|「耳|一|。尸『為定值

D.若/為△小功的內(nèi)心，則|匹卜|/閶為定值

4.（2024?山西?三模）蜜蜂的巢房是令人驚嘆的神奇天然建筑物，巢房是嚴(yán)格的六角柱狀體，它的一端是平

整的六角形開口，另一端是封閉的六角菱形的底（由三個相同的菱形組成）巢中被封蓋的是自然成熟的蜂

蜜，如圖是一個蜂巢的正六邊形開口AB8EP,它的邊長為1,點P是SDE尸內(nèi)部（包括邊界）的動點，則

C.若P為EP的中點，則。在成上的投影向量為-6反

D.陛+司的最大值為不

三、填空題

5.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知等邊AASC的外接圓。的面積為36萬，動點”在圓。上，若

17

MAMB+MBMC<A^則實數(shù)％的取值范圍為.

22

6.（2024?河北秦皇島?二模）己知雙曲線C：》-方=1（。>0*>0）的左焦點為尸，過坐標(biāo)原點。的直線與

C交于A,8兩點，且|網(wǎng)=2|F3|,FA.FB=3a2,則C的離心率為.

參考答案：

1.C

【分析】可由重心的性質(zhì)結(jié)合向量運算得到點尸的軌跡，再結(jié)合圓上的點到圓外定點的距離最小值為圓心到

定點減半徑得到；亦可建立適當(dāng)平面直角坐標(biāo)系，借助向量的坐標(biāo)運算結(jié)合圓的性質(zhì)得解.

【詳解】法一：設(shè)AABC的重心為G,貝UQ+而+可=和+^+方+3麗=3聲，

|麗+麗+所卜3,|西=1,.?.點尸的軌跡是以G為圓心，工為半徑的圓，

又R同=|x2x4如=4,，|而|的最小值是卜@一1=3.

B

法二：以AC所在直線為X軸，以AC中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，

則A（-2A/3,0）,B（0,6）,C（2A/3,0）,

設(shè)尸（無,y）,|/+麗+麗1=3,即-0-2A/3）2+（3y-6）2=3，

化簡得4+（y-2>=1,點P的軌跡方程為f+⑶-方=1,

設(shè)圓心為G,G（0,2）,由圓的性質(zhì)可知當(dāng)AP過圓心時口可最小，

又|A;G|=j+Q⑹2=4,故|存|得最小值為一1=4-1=3.

AO\Cx

故選：c.

2.A

【分析】由設(shè)NB4Z）=NC4Z>=e,S4ABe=S-ABD+S“c?可得cos。的值，進而可求得cos2（z,sin2a的值，結(jié)

18

合余弦定理可得“，由而2=:（荏+前］可求得加2,即可求得結(jié)果.

【詳解】由題意知，^ZBAD=ZCAD=a,則/BAC=20,如圖所示,

整理得3sin2a=2#sina,即sinc(3cosa-6)=0,

又因為sine*0,所以cosa=近^,

3

所以cos2a=2cos~a—1=；,所以sin2a=Jl—cos*2a=2y,

33

在AABC中，由余弦定理得標(biāo)=32+22—2x3x2cos2a=13—4=9，所以a=3,

由AH是8C邊上的中線，得加=g（而+記）

=^AB+AC2+2通.呵=；(/+0z+2bccos2a)=Ub2+c2+^bc

^22+32+2X2X3X1^=

所以，中線長人”=姮.

2

故選：A

3.ACD

【分析】根據(jù)雙曲線的定義判斷A；取直線/：y=0可判斷B；由向量的數(shù)量積公式和運算律進行化簡判斷C；

根據(jù)雙曲線的定義判斷D.

2_

【詳解】對A,=1得H3c=2,所以|尸耳日尸閭=2a=2,忸笈|=2c=4,

所以附陽巡「=（附卜尸項（|吶+|陽）=2（附|+附|"2閨閶=8,

當(dāng)P為雙曲線右支與x軸交點時，取等號,

即「的最小值為g,故人正確;

對B,若直線/經(jīng)過后，當(dāng)直線/的斜率為0時，直線/的方程為，=0,

與雙曲線C的兩個交點為Q（T0）,P（l,0）,此時|「。|=2,故B錯誤;

19

對C,因為2Pd=兩+呵，包=函一質(zhì),

所以=尸耳尸耳尸巴，

4Po+PF2+2PFXPF1,FE=PF}+PF2-2

兩式相加得，4而,+16=2(西+電］=2(|尸￡|一「用)2+4?用|尸用=8+4?用|尸用,

所以歸引尸詞-|P0『=2,故C正確；

對D,設(shè)I(x,y)A-l,0),鳥(2,0),尸優(yōu),%),?”為APAB的內(nèi)心，

二忸周.闔+|巳41|?毫+|A"卜爐=。，

=>(2x0-1)(-1-x,-y)+J(x0+1)+y：(2-x,-y)+3(x()-x,%-y)=0,

2x0+2+^(x0+1)+y；

在雙曲線/一：=1上，|閩-|名|=2,為定值，D正確,

故選：ACD.

4.AD

【分析】對于A：根據(jù)正六邊形的性質(zhì)結(jié)合向量的線性運算求解；對于C：根據(jù)CELEF結(jié)合投影向量的定

義分析判斷；對于BD：建系，根據(jù)向量的坐標(biāo)運算求解.

uumuunuumuuniuun

【詳解】對于選項A：因為?！?0后-0￡>=4尸-54。，故A正確；

對于選項C：由題意可知：CE±EF,

若尸為E尸的中點，所以而在配上的投影向量為一淺，故C錯誤；

對于選項BD：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，

20

設(shè)尸(x,y),可知-14x4JeVyw],

則屋,FP=(x+l,y),可得度+而=，+卜+

則阿+麗|=

>+2廠

可知當(dāng)x=g,y=^,即點P與點O重合時，|麗+麗|的最大值為近，故D正確;

故選：AD.

5.[72,+8）

【分析】根據(jù)正三角形的幾何性質(zhì)可得外接圓半徑，再由正弦定理得邊長AB,取線段AC的中點N,取線

段3N的中點P,根據(jù)向量的線性運算及數(shù)量積的運算性可得初入礪+礪.碇=2痂?麗，且后方麗=

MP-\BN\再由三角形三邊關(guān)系列不等式得結(jié)論.

【詳解】依題意，設(shè)"RC的外接圓的半徑為R,則兀店=36兀，故R=6,

4R

在等邊AABC中由正弦定理得二—=12,則AB=6A/L

sin60

取線段AC的中點N,連接BN,則BN=3AB=9,

2

所以內(nèi).旃+旃.碇=荻?（加+近）=2礪.麗；

1Q3

取線段BN的中點尸，連接6P,則。在線段BN上，5.ON=-BN=3,所以O(shè)P=NP—ON=-3=萬，

21

c

M

225

~T

—?—?//)(\I

故MB-MNM-----------=36,則X272.

故答案為：［72,+8).

V26

~r

【分析】記c的右焦點為4,連接做，BF1,由雙曲線的定義結(jié)合題意可得|即=4%|做|=2匹再由數(shù)

量積的定義和余弦定理可得26〃=船2,即可求出答案.

【詳解】記C的右焦點為耳，連接然，BK，如圖所示.

Fxx

過坐標(biāo)原點。的直線與。交于A,3兩點，

所以四邊形Aq與為平行四邊形，所以|FB|=|A￡|,

因為|網(wǎng)—|M|=2a,\F^=2\FB\=2\AFt\,

所以|E4|=4a,|故|=2a.

因為西.麗=|麗口麗卜osZAFB=3q2,所以cos/AEB=^=。

11118/8

在△AM中,由余弦定理可得4c2=164+44—2x4Qx2acosZFAF,,

,3

因為35/￡4耳=—8544五5=-—,所以26/=4/,

8

即《=叵，即C的離心率為

22

故答案為：遒.

2

反思提升：

向量數(shù)量積綜合應(yīng)用的方法和思想

(1)坐標(biāo)法：把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，就賦予了有關(guān)