小初高試卷模板

第頁(yè)大連王府高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年度上學(xué)期第二學(xué)段考試高二數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間：120分鐘一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出直線的斜率，進(jìn)而求出其傾斜角.【詳解】直線的斜率為，直線的傾斜角為.故選：C2.已知向量，則與共線的一個(gè)單位向量（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用共線向量及單位向量的意義直接求解.【詳解】與同向共線的一個(gè)單位向量，與反向共線的一個(gè)單位向量.故選：B3.用這五個(gè)數(shù)字能組成無(wú)重復(fù)數(shù)字且與不相鄰的五位數(shù)的個(gè)數(shù)有（）A.36 B.48 C.60 D.72【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意分當(dāng)在萬(wàn)位，當(dāng)在萬(wàn)位，當(dāng)在萬(wàn)位和當(dāng)在萬(wàn)位四種情況分別求解即可.【詳解】根據(jù)題意：當(dāng)在萬(wàn)位時(shí)，千位不能排，所以千位有：種，再排列剩下的數(shù)字有：，所以當(dāng)在萬(wàn)位時(shí)，共有：種；當(dāng)在萬(wàn)位時(shí)，先排和，有：種，會(huì)出現(xiàn)三個(gè)空，再將數(shù)字和插入三個(gè)空，有種，所以當(dāng)在萬(wàn)位時(shí)，共有：種；當(dāng)在萬(wàn)位時(shí)，千位不能排，所以千位有：種，再排列剩下的數(shù)字有：，所以當(dāng)在萬(wàn)位時(shí)，共有：種；當(dāng)在萬(wàn)位時(shí)，先排和，有：種，會(huì)出現(xiàn)三個(gè)空，再將數(shù)字和插入三個(gè)空，有種，所以當(dāng)在萬(wàn)位時(shí)，共有：種；綜上所述：滿足條件的方法共有：.故選：C.4.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)M在棱上，且，點(diǎn)P是平面上的動(dòng)點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)P到直線的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離的平方差為1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（）A.圓 B.拋物線 C.雙曲線 D.直線【答案】B【解析】【分析】作，，即為點(diǎn)到直線的距離，由勾股定理得，由已知，故，即到點(diǎn)的距離等于到的距離【詳解】解：如圖所示，在正方體中，作，垂足為，則平面，過(guò)作，則平面，則為點(diǎn)到直線的距離，由題意得，由已知得，所以，即到點(diǎn)的距離等于到的距離，所以根據(jù)拋物線的定義可得，點(diǎn)P的軌跡是拋物線，故選：B【點(diǎn)睛】此題考查拋物線的定義，求點(diǎn)的軌跡方程的方法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題5.已知：，：，則滿足的的值是（）A. B.0 C.或0 D.或0【答案】C【解析】【分析】由兩直線平行列出方程求解，再驗(yàn)證即得.【詳解】直線：，：，由，得，解得或，當(dāng)時(shí)，直線與平行，當(dāng)時(shí)，直線與，即平行，所以或.故選：C6.已知點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為圓：上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線焦點(diǎn)，點(diǎn)到軸的距離為.若的最小值為3.則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】由拋物線的定義，數(shù)形結(jié)合可知當(dāng)共線，且在線段上時(shí)，最短，此時(shí)有最小值，列方程即可求解.【詳解】圓的圓心，半徑，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，則由拋物線的定義知點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為，則，由圖知，當(dāng)共線，且在線段上時(shí)，最短，此時(shí)，而，則，所以.故選：B7.設(shè)，是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn).且，若的面積為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用焦點(diǎn)三角形的面積公式及橢圓的定義可得，進(jìn)一步得為等邊三角形，且軸，從而可得解.【詳解】由橢圓的定義，得，由余弦定理，得，整理得：，又，，因此，，又，則為等邊三角形，由橢圓對(duì)稱性得軸，所以.故選：B.8.過(guò)雙曲線：的右焦點(diǎn)作直線，且直線與雙曲線的一條漸近線垂直，垂足為，直線與另一條漸近線交于點(diǎn).已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的內(nèi)切圓的半徑為，則雙曲線的離心率為（）A. B. C.或4 D.或2【答案】D【解析】【分析】按A，B在y軸同側(cè)或A，B在y軸異側(cè)分類畫(huà)出對(duì)應(yīng)圖形，同側(cè)時(shí)，結(jié)合，由幾何關(guān)系表示出，再結(jié)合離心率公式即可求解；異側(cè)時(shí)，結(jié)合內(nèi)切圓半徑公式得，化簡(jiǎn)可得，聯(lián)立勾股定理求出，|OB|，求出，再由離心率公式即可求解.【詳解】若A，B在y軸同側(cè)，不妨設(shè)A在第一象限，如圖，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為M，則M在∠AOB的平分線Ox上，過(guò)點(diǎn)M分別作于N，于T，由得四邊形MTAN為正方形，由焦點(diǎn)到漸近線的距離為b得，又，則，又，則，，因此；若A，B在y軸異側(cè)，不妨設(shè)A在第一象限，如圖，易知，則的內(nèi)切圓半徑為，即，又，解得，于是，則，因此.所以雙曲線C的離心率為或2.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說(shuō)法正確的是（）A.過(guò)點(diǎn)且在、軸截距相等的直線方程為B.過(guò)點(diǎn)且垂直于直線的直線方程為C.過(guò)兩圓及的交點(diǎn)的直線的方程是D.直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】BC【解析】【分析】求出直線的方程，可判斷A選項(xiàng)；利用兩直線垂直求出直線的方程，可判斷B選項(xiàng)；求出相交弦所在直線的方程，可判斷C選項(xiàng)；利用直線與圓的位置關(guān)系以及數(shù)形結(jié)合思想求出的取值范圍，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，則有，此時(shí)所求直線方程為，若直線不過(guò)原點(diǎn)，設(shè)所求直線方程為，則，此時(shí)所求直線方程為，所以，過(guò)點(diǎn)且在、軸截距相等的直線方程為或，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，直線的斜率為，所以，過(guò)點(diǎn)且垂直于直線的直線方程為，即，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，，，故兩圓相交，將兩圓方程作差得，所以，過(guò)兩圓及的交點(diǎn)的直線的方程是，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，由可得，得，所以曲線表示圓的上半圓，直線表示過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線，如下圖所示：當(dāng)直線與半圓相切且切點(diǎn)位于第二象限時(shí)，則，解得；當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，則，解得.由圖可知，直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，D錯(cuò).故選：BC.10.某工程隊(duì)有6輛不同的工程車，按下列方式分給工地進(jìn)行作業(yè)，每個(gè)工地至少分1輛工程車，則下列結(jié)論正確的有（）A.分給甲?乙?丙三地每地各2輛，有120種分配方式B.分給甲?乙兩地每地各2輛，分給丙?丁兩地每地各1輛，有180種分配方式C.分給甲?乙?丙三地，其中一地分4輛，另兩地各分1輛，有60種分配方式D.分給甲?乙?丙?丁四地，其中兩地各分2輛，另兩地各分1輛，有1080種分配方式【答案】BD【解析】【分析】對(duì)A，工地不同，工程車不同，可分步，甲先選2輛，然后乙選2輛，剩下2輛給丙；對(duì)B，同A相同方法可得；對(duì)C，由于不知哪個(gè)工地是4輛車，因此可把6輛車按分組，再全排列可得；對(duì)D，與C相同方法，先分組再分配．計(jì)算后判斷各選項(xiàng)．【詳解】對(duì)A，先從6輛工程車中分給甲地2輛，有種方法，再?gòu)氖Ｓ嗟?輛工程車中分給乙地2輛，有種方法，最后的2輛分給丙地，有種方法，所以不同的分配方式有（種），故A錯(cuò)誤；對(duì)B，6輛工程車先分給甲?乙兩地每地各2輛，有種方法，剩余2輛分給丙?丁兩地每地各1輛，有種方法，所以不同的分配方式有（種），故B正確；對(duì)C，先把6輛工程車分成3組：4輛?1輛?1輛，有種方法，再分給甲?乙?丙三地，所以不同的分配方式有（種），故C錯(cuò)誤；對(duì)D，先把6輛工程車分成4組：2輛?2輛?1輛?1輛，有種方法，再分給甲?乙?丙?丁四地，所以不同的分配方式有（種），故D正確.故選：BD.11.已知拋物線與圓交于、兩點(diǎn)，且，直線過(guò)的焦點(diǎn)，且與交于、兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的是（）A.B.C.存在某條直線，使得D.若點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】由則、兩點(diǎn)坐標(biāo)且在拋物線上，代入方程進(jìn)而判斷選項(xiàng)；直線方程為與拋物線聯(lián)立，再根據(jù)韋達(dá)定理代入可求其值則可判斷選項(xiàng)B；利用選項(xiàng)B中代入利用不等式求最小值后進(jìn)行判斷選項(xiàng)C；畫(huà)出大致圖像，過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，交軸于，過(guò)作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，結(jié)合的周長(zhǎng)為，進(jìn)而判斷選項(xiàng)D即可．【詳解】由對(duì)稱性得點(diǎn)在拋物線上，所以，解得，故A選項(xiàng)正確；設(shè)直線和雙曲線交于兩點(diǎn)，設(shè)直線方程為，代入拋物線方程可得：，，所以，所以：故B選項(xiàng)正確；則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故C錯(cuò)誤；如圖，過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，交軸于，取的中點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，過(guò)作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，所以的周長(zhǎng)為，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)取等號(hào)，故D選項(xiàng)正確．故選：ABD．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：我們?cè)谔幚碛嘘P(guān)焦點(diǎn)弦，以及焦半徑問(wèn)題時(shí)長(zhǎng)度問(wèn)題時(shí)有以下幾種方法；（1）常規(guī)處理手段，求交點(diǎn)坐標(biāo)然后用距離公式，含參的問(wèn)題不適合；（2）韋達(dá)定理結(jié)合弦長(zhǎng)公式，這是此類問(wèn)題處理的通法；（3）拋物線定義結(jié)合焦點(diǎn)弦公式.三、填空題，本題共3小題，每小題5分，共15分.12.如圖，在四面體OABC中，，，，點(diǎn)在OA上，且，點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，設(shè)，則______.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算結(jié)合空間向量的基本定理運(yùn)算求解.【詳解】在四面體OABC中，，而，所以，.故答案為：113.已知過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與圓：交于，兩點(diǎn).若，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，則原點(diǎn)到直線的距離是______.【答案】【解析】【分析】求出直線的方程，與圓的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及數(shù)量積的坐標(biāo)表示，列式求出，進(jìn)而求出點(diǎn)到直線距離.【詳解】依題意，直線：，設(shè)，由消去得，則，，，于是，解得，當(dāng)時(shí)，方程中，符合題意，所以的方程為，原點(diǎn)到直線的距離是.故答案為：14.如圖所示，平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形ABCD滿足，，，若點(diǎn)，分別為焦點(diǎn)在軸上的橢圓：的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)不在橢圓上，設(shè)橢圓的離心率為，則______.【答案】##0.5【解析】【分析】由，可得，，，四點(diǎn)共圓，再由題設(shè)求出圓心，表示出圓的方程，將代入橢圓及圓的方程，可求出，即可求得離心率.【詳解】依題意，，，設(shè)，，連接，由，，知，，，在以為直徑的圓上，且，又原點(diǎn)為圓的弦的中點(diǎn)，則圓心在的垂直平分線上，即在軸上，有，由，得，而，于是，當(dāng)時(shí)，則0，若，則四邊形為矩形，則點(diǎn)也在橢圓上，與點(diǎn)不在橢圓上矛盾，于是，則，圓的圓心坐標(biāo)為，圓的方程為，將代入得，又，因此，所以橢圓的離心率.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，．（1）求BC邊上的中線AD的所在直線方程；（2）求△ABC的外接圓O被直線l：截得的弦長(zhǎng)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求BC邊的中點(diǎn)D的坐標(biāo)，再得AD的斜率即可求解；（2）先求△ABC的外接圓O，再求圓心到直線.直線l的距離，再由勾股定理可求解.【小問(wèn)1詳解】∵，∴BC邊的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為，∴中線AD的斜率為，∴中線AD的直線方程為：，即【小問(wèn)2詳解】設(shè)△ABC的外接圓O的方程為，∵A、B、C三點(diǎn)圓上，∴解得：∴外接圓O的方程為，即，其中圓心O為，半徑,又圓心O到直線l的距離為,∴被截得的弦長(zhǎng)的一半為,∴被截得的弦長(zhǎng)為.16.已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)過(guò)點(diǎn)A(2，－4)．（1）求拋物線C的方程，并求其準(zhǔn)線方程；（2）若點(diǎn)B(0，2)，求過(guò)點(diǎn)B且與拋物線C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線l的方程．【答案】（1），（2）或或【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，代點(diǎn)計(jì)算，即可求解；（2）根據(jù)題意，易知點(diǎn)不在拋物線上，分別討論過(guò)點(diǎn)的直線斜率不存在、斜率為0、斜率存在且不為0三種情況，即可求解.【小問(wèn)1詳解】由拋物線C：過(guò)點(diǎn)，可得，解得.所以拋物線C的方程為，其準(zhǔn)線方程為.【小問(wèn)2詳解】根據(jù)題意，易知點(diǎn)不在拋物線上.①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，符合題意；②當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，符合題意；③當(dāng)直線l的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為，由，得，由，得，故直線l的方程為.綜上直線l的方程為或或.17.已知雙曲線：的虛軸長(zhǎng)為4，直線為雙曲線的一條漸近線.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）記雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線交雙曲線于點(diǎn)，（點(diǎn)在第一象限），記直線MA斜率為，直線NB斜率為，求證：為定值.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）由虛軸長(zhǎng)和漸近線方程求得和的值即可.（2）設(shè)直線的方程為，將其與雙曲線的方程聯(lián)立，得到關(guān)于的一元二次方程，再結(jié)合韋達(dá)定理和直線的斜率公式，計(jì)算的值即可得證.【小問(wèn)1詳解】由雙曲線：虛軸長(zhǎng)為4，得，雙曲線的漸近線方程為，由直線為雙曲線C的一條漸近線，得，則，所以雙曲線C標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，，顯然直線不垂直于軸，設(shè)直線的方程為，設(shè)，由消去得，，，，直線的斜率，直線的斜率，所以，為定值．18.如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，AC為底面直徑，為底面圓的內(nèi)接正三角形，且邊長(zhǎng)為，在母線PC上，且，，.（1）求證：平面平面ABD；（2）求二面角的余弦值.（3）設(shè)線段PO上動(dòng)點(diǎn)為，求直線DM與平面ABE所成角的正弦值的最大值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）1【解析】【分析】（1）設(shè)AC與BD交于點(diǎn)F，證明平面ABD，根據(jù)面面垂直的判定定理，即可證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間角的向量求法，即可求得答案；（3）利用向量法求出直線DM與平面ABE所成角的正弦值的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式即可求得最大值.【小問(wèn)1詳解】如圖所示，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)F，連接EF，由于底面底面，故，又，即，平面，故平面，又平面，故，，為底面圓的內(nèi)接正三角形，且邊長(zhǎng)為，則，；又，即,而∽，則，即，結(jié)合，平面ABD，，∴平面ABD，又平面，∴平面平面.【小問(wèn)2詳解】以點(diǎn)F為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合（1）可知，則，則，設(shè)平面ABE的法向量為n=x,y,z，則令，則，平面的