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不定積分與定積分的運(yùn)算第三節(jié)二、定積分的換元法三、分部積分法一、不定積分的換元法定積分的分部積分法不定積分的分部積分法四、積分的其它例子法2、第二類(lèi)換元法1、第一類(lèi)換元法一、換元積分法第四章第二類(lèi)換元法第一類(lèi)換元法基本思路

設(shè)可導(dǎo),則有

1．第一換元積分法(湊微分法)

直接驗(yàn)證得知,計(jì)算方法正確．

我們可以把原積分作下列變形后計(jì)算：

換和計(jì)算：

第一類(lèi)換元公式（湊微分法）計(jì)算步驟：定理1例1.

求解:

令則則原式

=注:

當(dāng)時(shí)例2

求解例3.(1)

求解:令則想到公式練習(xí)：求解練習(xí)

被積函數(shù)的分母為二次式，分母為一次時(shí)，而分母的

導(dǎo)數(shù)正好為一次式，我們將分子湊成如下形式解例3(2).

求想到解:(直接配元)練習(xí)：求解例3(3).

求解:∴原式

=例4求解練習(xí)：例5

求解例6求解類(lèi)似地即例7解例8解例9解規(guī)律1：例10

求解規(guī)律2：例11解例12求解例13求解1解2解3思考與練習(xí)1.下列各題積分方法有何不同?第一類(lèi)換元法解決的問(wèn)題難求易求若所求積分易求,則得第二類(lèi)換元積分法.難求，問(wèn)題解決方法做變量替換,消去根號(hào).過(guò)程令（應(yīng)用“湊微分”即可求出結(jié)果）二、第二類(lèi)換元法困難:含有根號(hào)定理2.

設(shè)是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù),且具有原函數(shù),證明略.則有換元公式例1.

求解:

令則∴原式例1

求解令例1.

求解:令則∴原式令于是說(shuō)明(1)以上幾例所使用的均為三角代換.三角代換的目的是化掉根式.一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有可令可令可令更一般地,方法：配方化成以上三種形式之一。例2

例2

求解例3求解例4求解令說(shuō)明被積函數(shù)含有兩個(gè)根式時(shí),取根指數(shù)的最小公倍數(shù).令令說(shuō)明(2)以上幾例所使用的均為根式代換.令例5

求解令例6

求原式例7

求令解說(shuō)明(3)當(dāng)分母中因子次數(shù)較高時(shí),可采用倒代換基本積分表

P204常用基本積分公式的補(bǔ)充(P204)（補(bǔ)充）必須熟記！小結(jié):1.第二類(lèi)換元法常見(jiàn)類(lèi)型:令令令令令2.常用基本積分公式的補(bǔ)充(P204)(7)

分母中因子次數(shù)較高時(shí),可試用倒代換

令思考.

求提示:法1法2法3法4倒代換作業(yè)P222習(xí)題4.3(A)部分：2(1)(5)(7)(13)(17)(

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