湖南省湘潭市2024-2025學年高三數學上學期期中試題含解析

Page18湖南省湘潭市2024-2025學年高三數學上學期期中試題一?單選題：（本大題共8小題，每題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的）1已知全集，集合，集合，則集合A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】,,則,故選B.考點：本題主要考查集合的交集與補集運算.2.已知為虛數單位，則在復平面上對應的點在（）A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】依據復數的除法運算化簡，即可得對應點進行求解.【詳解】由,所以在復平面對應的點為，在第一象限.故選：A3.在等差數列{an}中，若，則.A.4 B.6 C.8 D.10【答案】C【解析】【詳解】a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80,所以.4.已知向量=（1，2），=（2，x），若⊥，則|2+|=（）A. B.4 C.5 D.【答案】C【解析】【分析】依據求出x的值，再利用向量的運算求出的坐標，最終利用模長公式即可求出答案．【詳解】因為，所以解得，所以，因此，故選C．【點睛】本題主要考查向量的坐標預算以及模長求解，還有就是關于向量垂直的判定與性質．5.某種兼職工作雖然以計件的方式計算工資，但是對于同一個人的工資與其工作時間還是存在肯定的相關關系，已知小孫的工作時間（單位：小時）與工資（單位：元）之間的關系如下表：若與的線性回來方程為，預料當工作時間為小時時，工資大約為（）A.元 B.元 C.元 D.元【答案】B【解析】【分析】由樣本中心點可求得，將代入回來直線即可求得結果.【詳解】由表格數據知：，，，線性回來方程為，，即當工作時間為小時時，工資大約為元.故選：B.6.若，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將兩邊同時平方得到，進而可以縮小角的范圍，得到，從而得到，然后結合二倍角以及同角的平方關系即可求出結果.【詳解】將兩邊同時平方，，所以，因此，異號，故，且，則，因此，而，，所以，故選：D.7.如圖，平面平面，四邊形是正方形，四邊形是矩形，是的中點，，，則三棱錐外接球的表面積是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】取中點，由面面垂直性質可證得平面，由此可得；由勾股定理可證得，由線面垂直的判定可知平面，由此可得，依據直角三角形的性質可證得即為三棱錐的外接球球心，半徑為，代入球的表面積公式即可求得結果.【詳解】取中點，連接，平面平面，平面平面，，平面，平面，平面，；，，為中點，，，，又，平面，平面，平面，，均為以為斜邊的直角三角形，為斜邊中點，，為三棱錐的外接球球心，三棱錐的外接球半徑，三棱錐的外接球表面積.故選：B.8.已知函數的圖象上存在點，函數的圖象上存在點，且，關于軸對稱，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【詳解】因為函數與函數的圖象關于x軸對稱，依據已知得函數的圖象與函數的圖象有交點，即方程在上有解，即在上有解．令，，則，可知在上單調遞增，在上單調遞減，故當時，，由于，，且，所以．故選：A．二?多選題（本題共4小題，每題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.以下關于函數的命題，正確的是（）A.函數的最小正周期為B.點是函數圖象的一個對稱中心C.直線的函數圖象的一條對稱軸D.將函數的圖象向右平移個單位后得到的函數的圖象關于原點對稱【答案】AD【解析】【分析】整理可得，代入周期公式，可推斷A的正誤，依據可推斷B的正誤，依據可推斷C的正誤，求得平移后的解析式，可推斷D的正誤，即可得答案.【詳解】由題意得，所以最小正周期，所以A對．，所以直線是函數圖象的一條對稱軸，所以B錯．，所以點是函數圖象的一個對稱中心，所以C錯．將函數的圖象向右平移個單位后得到的圖象對應的函數為，是奇函數，所以D對．故選：AD．10.已知拋物線的焦點為，點)在拋物線上，若，則（）A. B.C. D.的坐標為【答案】AC【解析】【分析】依據拋物線定義和幾何性質求解即可.【詳解】由題可知,由，，所以，.故選：AC．11.已知函數，若是的導函數，則下列結論中正確的是（）A.函數的值域與的值域相同B.若是函數的極大值點，則是函數的微小值點C.把函數的圖象向右平移個單位，就可以得到函數的圖象D.函數和在區(qū)間上都是增函數【答案】AD【解析】【分析】A.利用正弦函數的性質求解推斷；B.利用函數的極值點定義求解推斷；C.利用三角函數的平移變換推斷；D.利用正弦函數的性質求解推斷；【詳解】因為，所以，A.因為函數的值域是，的值域是，故正確；B.若是函數的極大值點，則，解得，k為奇數，而，所以不是函數的微小值點，故錯誤；C.把函數的圖象向右平移個單位得到，故錯誤；D.當時，，函數和都是增函數，故正確.故選：AD【點睛】關鍵點點睛：探討三角函數性質時，關鍵是先把函數式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式．利用三角函數的性質求解.12.在棱長為1的正方體中，O為正方形的中心，則下列結論正確的是（）A. B.平面C.點B到平面的距離為 D.直線BO與直線的夾角為【答案】ABC【解析】【分析】依據線面垂直的判定定理證明平面，可推斷A;連接BD,交AC于E,連接，證明，依據線面平行的判定定理，可推斷B;利用等體積法，求得點B到平面的距離，推斷C;采納作平行線的方法，求出直線BO與直線的夾角，可推斷D.【詳解】對于A，如圖，連接,則交于點O,正方體中，平面平面,故,而平面,故平面,故平面，而平面,故，即，故A正確；對于B，連接BD,交AC于E,連接,則,故四邊形是平行四邊形，故平面不在平面ACD1,故平面，故B正確；對于C，設點B到平面的距離為d,因為,故，解得，故C正確；對于D,連接,則即為直線BO與直線的夾角或其補角，在中，,所以,則,故D錯誤，故選：ABC三?填空題（每題5分，共20分）13.的綻開式中的系數是___________.【答案】；【解析】【分析】依據二項式定理的通項公式，簡潔計算，可得結果.【詳解】由題可知：的通項公式為，令所以的系數是故答案為：【點睛】本題考查二項式中指定項的系數，駕馭公式，細心計算，屬基礎題.14.如圖，直線是曲線在處的切線，則___________.【答案】【解析】【分析】依據直線所過點可得斜率，即為，結合即可得到結果.【詳解】直線過點，，直線斜率，又直線是在處的切線，，又，.故答案為：.15.已知為圓上隨意一點，則的最大值是______.【答案】【解析】【分析】由題意，表示圓上的點與圓外的點連線的斜率.當過點的直線與圓相切時，取最值，即得最大值.【詳解】把圓化為標準式，圓心，半徑.則表示圓上的點與圓外的點連線的斜率.設過點的直線方程為，即.當直線與圓相切時，斜率取最值.由，解得或.的最大值是.故答案為：.【點睛】本題考查斜率的幾何意義，考查直線與圓的位置關系，屬于中檔題.16.已知橢圓與拋物線有相同的焦點，點是兩曲線的一個公共點，且軸，則橢圓的離心率是___________.【答案】##【解析】【分析】由可得，結合拋物線方程可得點坐標，代入橢圓方程后，可配湊出關于離心率的方程，結合可解方程求得結果.【詳解】由題意知：是橢圓的焦點，；軸，或，代入橢圓方程得：，，又橢圓的離心率，，解得：，又，.故答案為：.四?解答題（本大題共6小題，共70分，解題應寫出文字說明?證明過程或演算步驟）17.已知數列滿意，.（1）證明：數列為等差數列；（2）設，證明：.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）由變形得：，可得證明.

（2）由（1）知：,∴,用裂項相消可求和,從而可證明.【詳解】（1）由變形得：又，故∴數列是以1為首項1為公差的等差數列.（2）由（1）知：∴∴∴【點睛】本題考查依據數列的遞推公式證明數列為等差數列，考查用裂項相消法求和，屬于基礎題.18.已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求角B；（2）若b=4，求周長的最大值.【答案】（1）；（2）12.【解析】【分析】（1）利用差角的余弦公式，結合正弦定理，化簡計算作答.（2）利用余弦定理，結合均值不等式求出a+c的最大值【小問1詳解】因為，則，中，由正弦定理得，，而，即，整理得，即，又，解得，所以.【小問2詳解】在中，由余弦定理得：，即，而，于是得，當且僅當a=c=4時取“=”，因此，當a=c=4時，a+c取最大值8，從而a+b+c取最大值12，所以周長的最大值為12.19.年月日是中國傳統(tǒng)二十四節(jié)氣“立秋”，該日，“秋天的第一杯奶茶”再度出圈，據此，學校社會實踐小組隨機調查了該地區(qū)位奶茶愛好者的年齡，得到如下樣本數據頻率分布直方圖.（1）估計奶茶愛好者的平均年齡；（同一組數據用該區(qū)間的中點值作代表）（2）估計奶茶愛好者年齡位于區(qū)間的概率；（3）以頻率替代概率進行計算，若從該地區(qū)全部奶茶愛好者中任選人，求人中年齡在歲以下的人數的分布列和期望.【答案】（1）歲（2）（3）分布列見解析，數學期望為【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖估計平均數的方法干脆計算即可；（2）依據頻率分布直方圖可計算得到的頻率，用頻率估計概率即可；（3）依據頻率分布直方圖可計算得到年齡在歲以下的頻率，可得，由二項分布概率公式可求得每個取值對應的概率，由此可得分布列；依據二項分布數學期望計算公式可求得期望.【小問1詳解】由頻率分布直方圖估計奶茶愛好者的平均年齡為：（歲）.【小問2詳解】由頻率分布直方圖得：奶茶愛好者年齡位于區(qū)間的頻率為，由頻率估計概率可知：奶茶愛好者年齡位于區(qū)間的概率為.【小問3詳解】由頻率分布直方圖得：從該地區(qū)全部奶茶愛好者中任選人，年齡在歲以下概率為，；則全部可能的取值為，；；；；的分布列為：則數學期望.20.如圖，四棱錐中，底面是矩形，，.為上的點，且平面；（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用勾股定理、平行關系和線面垂直性質可得，，由線面垂直的判定可證得結論；（2）依據線面垂直性質可得，依據角度和長度關系可證得為中點，以為坐標原點可建立空間直角坐標系，利用二面角的向量求法可求得結果.小問1詳解】，，，，又，；平面，平面，；，平面，平面.【小問2詳解】平面，平面，，，，，即，，為中點，以為坐標原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，，，設平面的法向量，則，令，解得：，，；設平面的法向量，則，令，解得：，，；，；即二面角的正弦值為.21.已知雙曲線的右焦點到漸近線的距離為．（1）求雙曲線的方程．（2）過點的直線與雙曲線的右支交于兩點，在軸上是否存在點，使得點到直線的距離相等?若存在，求出點的坐標;若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）存在．【解析】【分析】（1）利用點線距離公式及即可求得，從而求得雙曲線的方程；（2）假設存在點，據題意設，聯立方程得到，，再由點到直線的距離相等可得，由此代入式子即可求得，故存在.【小問1詳解】由題意得，，故，又因為雙曲線的漸近線為，故是雙曲線C的一條漸近線，所以右焦點到漸近線的距離為，解得，所以，，所以雙曲線C的標準方程為．【小問2詳解】假設存在，設，，由題意知，直線斜率不為0，設直線，聯立，消去，得，則，，且，，因為使得點F到直線PA，PB的距離相等，所以PF是的角平分線，則，即，則，整理得，故，即，因為，所以，故存在．22.已知函數.（1）若是的極值點，求的單調區(qū)間；（2）求在區(qū)間上的最小值.【答案】（1）單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為；（2）.【解析】【分析】（1）依據，求出，再依據導數與函數單