廣東省深圳市羅湖區(qū)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期1月期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題

廣東省深圳市羅湖區(qū)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期1月期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________題號(hào)一二三四總分評(píng)分一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合A={x∣0≤x≤4}，A．[0，1) B．(?1，2．已知復(fù)數(shù)z滿足z(i?1)A．1?i B．1+i C．?1?i D．?1+i3．雙曲線x2a2A．1cos70° B．1sin70° C．4．已知A，B是平面α上的點(diǎn)，A1，B1是平面β上的點(diǎn)，且A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知A．80 B．160 C．121 D．2426．已知Ai是邊長(zhǎng)為2的正六邊形A1AA．[?8，8] B．[?4，7．若函數(shù)f(x)=cosA．(0，43] B．(438．已知曲線E：y=ex與y軸交于點(diǎn)A，設(shè)E經(jīng)過原點(diǎn)的切線為l，設(shè)E上一點(diǎn)B橫坐標(biāo)為m(A．?1<m<0 B．0<m<1 C．1<m<32 二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．在正方體ABCD?A1BA．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形10．已知a，b∈R+，直線A．a(chǎn)b的最大值是1 B．a(chǎn)2+C．2a+4b的最小值是411．已知直線l：y=x與圓A．所有圓Γ均不經(jīng)過點(diǎn)(B．若Γ關(guān)于l對(duì)稱，則k=?1C．若l與Γ相交于AB且AB=2，則D．存在圓Γ與x軸與y軸均相切12．定義在R上的函數(shù)f(x)滿足2fA．fB．曲線y=f(x)在點(diǎn)C．f(x)?D．f三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。13．在(x+2)5(1?y14．某同學(xué)收集了變量x，x0.5233.545yy15yyyy為了研究x，y的相關(guān)關(guān)系，他由最小二乘法求得y關(guān)于x的線性回歸方程為y=bx+17，經(jīng)驗(yàn)證回歸直線正好經(jīng)過樣本點(diǎn)15．已知拋物線Γ：x2=2py(p>0)的頂點(diǎn)為O，焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過F的直線與Γ在y軸右側(cè)交于點(diǎn)E．若E在l上的射影為Q16．將正方形ABCD延對(duì)角線BD折起，當(dāng)AC=23時(shí)，三棱錐A?BCD的體積為433四、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17．已知數(shù)列{an}（1）求{a（2）求數(shù)列{1an+a18．正四棱錐P?ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為6的正方形，高為4，點(diǎn)M，N分別在線段PC，AB上，且（1）求證：BE∥平面DMN；（2）求直線AC與平面DMN所成角的正弦值．19．△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，從條件①bcos條件②2ccos條件③4S=3（1）求角C的大小；（2）點(diǎn)D是△ABC外一點(diǎn)，DC=3，DA=1，若∠ABC=60°，求四邊形20．在一個(gè)地區(qū)篩查某種疾病，由以往經(jīng)驗(yàn)可知該地區(qū)居民得此病（血液樣本化驗(yàn)呈陽(yáng)性）的概率為p(方法1：逐個(gè)化驗(yàn)；方法2：3個(gè)樣本各取一部分混合在一起化驗(yàn)。若混合樣本呈陽(yáng)性，就把這3個(gè)樣本再逐個(gè)化驗(yàn)；若混合樣本呈陰性，則判斷這3個(gè)樣本均為陰性。（1）若p=0.4，用隨機(jī)變量Y表示3個(gè)樣本中檢測(cè)呈陽(yáng)性的個(gè)數(shù)，請(qǐng)寫出Y的分布列并計(jì)算（2）若p=0.（3）若要完成化驗(yàn)篩查，且已知“方法2”比“方法1”更優(yōu)，求p的取值范圍．21．已知函數(shù)f(（1）若f(x)的最值為a（2）當(dāng)a=1en22．在平面直角坐標(biāo)系中，已知F1(?1，0)，F(xiàn)2(1，0)，Q為動(dòng)點(diǎn)，且|F2Q|=4（1）求C的方程；（2）若PF1=

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】集合A={x∣0≤x≤4}，B={x∣(x+3)(2．【答案】B【解析】【解答】因?yàn)閦(i?1)=2i，所以z=2ii?1=2i-i?13．【答案】A【解析】【解答】因?yàn)殡p曲線的一條漸近線的傾斜角為110°，所以-ba=tan110°，所以ba=tan70°，

所以離心率e=ca=a4．【答案】B【解析】【解答】若A，B是平面α上的點(diǎn)，A1，B1是平面β上的點(diǎn)，且AA1//BB1，設(shè)p：α//β，q：AA1=BB1，

必要性：p?q，若a//β，且有AA1//BB1，則A，A1，B，B1四點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)平面AA1BB1，且面AA1BB1∩面α=AB，面AA1BB1∩面β=A1B1，所以AB//A1B1，所以四邊形AA1BB1為平行四邊形，所以AA1=BB1，故必要性成立；

充分性：q?p，若AA1=BB1，且有AA1//BB1，則四邊形AA1B1B為平行四邊形，所以AB//A1B1，因?yàn)锳，B是平面α上的點(diǎn)，A1，B1是平面β上的點(diǎn)，所以AB?α，A1B1?β，只有兩直線平行無法得出a//β，所以充分性不成立.

所以“AA1=BB1”是“a//β”的必要不充分條件.

故答案為：B．

【分析】在前提條件下，設(shè)p：α//β，q：AA1=BB1，然后p?q和q?p是否成立即可.5．【答案】A【解析】【解答】由題意Sn+1=3Sn，+2，n∈N*，所以Sn+2=3Sn+1+2，n∈N*，兩式相減得an+2=3an+1，

又?jǐn)?shù)列{an}是等比數(shù)列，所以它的公比q=an+2an+1=3，在Sn+1=3Sn+2，n∈N*中，令n=1得，

a1+3a1=3a1+2，解得S1=a1=2，又Sn+1+1=3(Sn+1)，n∈N*，所以{Sn+1}是首項(xiàng)為S1+1=3，

公比為3的等比數(shù)列，所以Sn+1=3n，所以S4=34-1=80.

故答案為：A．

【分析】由Sn，an的關(guān)系結(jié)合數(shù)列{an}是等比數(shù)列，先得出q=an+2an+16．【答案】C【解析】【解答】由題意，在邊長(zhǎng)為2的正六邊形中，建立如圖所示坐標(biāo)系，

則A1(0，0)，A2(2，0)，A3(3，3)，A4(2，23)，A5(0，23)，A6(-1，3)，

則A1A4→=2，23，A2A1→=-2，0，A2A3→=7．【答案】D【解析】【解答】當(dāng)x∈(0，π4)時(shí)，ωx+π6∈(π6，πω4+π6)，

由函數(shù)f(x)=cos(ωx+π6)在(0，π4)有最小值，沒有最大值，得π<πω48．【答案】D【解析】【解答】∵曲線E：y=ex與y軸交于點(diǎn)A，∴A(0，1)，

設(shè)直線l與曲線E相切于點(diǎn)(x0，ex0)，

∵曲線E：y=ex，∴y'=ex，∴切線l的斜率k=ex0，

∴切線l的方程為y-ex0=ex0x-x0，

又∵切線l過原點(diǎn)，∴-ex0=ex0-x0，∴x0=1，

∴切線l的斜率k=e，∵直線AB//l，∴kAB=e，

∵A(0，1)，B(m，em)，∴em-1m=e，即em-em-1=0，

則m是方程em-em-1=0的不等于0的根，9．【答案】A,D【解析】【解答】如圖所示：

在正方體中BD⊥AC，BD⊥AA1，又AC∩AA1=A，AC?平面AA1C1C，AA1?平面AA1C1C，

則BD⊥平面AA1C1C，又AC1?平面AA1C1C，則BD⊥AC1，同理BA1⊥AC1，

又BD∩BA1=B，BD?平面BDA1，BA1?平面BDA1，所以AC1⊥平面BDA1，同理AC1⊥平面CB1D1，

由直線與平面垂直的性質(zhì)得：與平面BDA1和平面CB1D1平行的平面，都與AC1垂直，

由圖象知：在平面BDA1和平面CB1D1之間的平面，與正方體所得截面的形狀為六邊形；

在平面BDA1和平面CB1D1之外的平面，與正方體所得截面的形狀為三角形.

故答案為：AD．

【分析】先證明AC1⊥平面BCA1，AC1⊥平面CB1D1，再平移平面BCA1和平面CB1D1判斷.10．【答案】B,C【解析】【解答】由l1⊥l2，故1x2b+(a-2)x1=0，即a+2b=2，且a，b∈R+，

A、2ab≤a+2b22=1，即ab≤12，A錯(cuò)誤；

B、由a+2b=2，故a=2-2b，且有2-2b>0b>0，即0<b<1，a2+b2=(2-2b)2+b2=5b2-8b+4=5b-45+45，故當(dāng)b=45時(shí)，a2+b2有最小值45，B正確；

C、2a+4b11．【答案】A,B【解析】【解答】Γ：(x?2k)2+(y?k+1)2=1，則圓心為(2k，k-1)，半徑r=1，

A、假設(shè)圓Γ：(x?2k)2+(y?k+1)2=1過點(diǎn)(1，1)，則(1-2k)2+(1-k+1)2=1，

化簡(jiǎn)整理可得，5k2-8k+5=0，△=(-8)2-4x5x5<0，k無解，故所有圓Γ均不經(jīng)過點(diǎn)(1，1)，A正確；

B、Γ關(guān)于l對(duì)稱，則直線|過圓心(2k，k-1)，即2k=k-1，解得k=-1，B正確；

C、l與Γ相交于AB且AB=2，則2k-k+1112．【答案】A,B,D【解析】【解答】A、由2f(3-x)-f(x)=x2-12x+18，有2f(3-x)=f(x)+x2-12x+18，

則2f(3+x-3)=f(-x+3)+(-x+3)2-12(-x+3)+18，即2f(x)=f(3-x)+x2+6x-9，

則2fx=fx+x2-12x+182+x2+6x-9，整理得f(x)=x2，有f'(x)=2x，

則f(0)=0，f'(0)=0，即f(0)+f'(0)=0，，A正確；

B、f(1)=1，f'(1)=2x1=2，故切線方程：y=2(x-1)+1，化簡(jiǎn)得2x-y-1=0，B正確；

C、f(x)-f'(x)=x2-2x≥m在R上恒成立，由x2-2x=(x-1)2-1≥-1，故m≤-1，C錯(cuò)誤；

D、fx-f'x-7ex=x2-2x-7ex≥-4e，令13．【答案】-10【解析】【解答】在(x+2)5(1?y)的展開式中，x414．【答案】69【解析】【解答】因?yàn)榫€性回歸方程y=bx+17經(jīng)過樣本點(diǎn)(2，15)，所以15=2b^+17?b^=-1，

因?yàn)閤15．【答案】?【解析】【解答】

設(shè)準(zhǔn)線與y軸交于點(diǎn)P，則3|FQ|=4|FO|=2|FP|，在△FPQ中，sin∠FQP=FPFQ=32，

所以∠FQP=π3，∠PFQ=π6，易知PF//EQ，所以∠EQF=∠PFQ=π6，

在△EFQ中，因?yàn)閨EQ|=|EF|，所以∠EFQ=∠EQF=π6，所以∠EFO=π3，

直線EF的傾斜角為5π616．【答案】32π【解析】【解答】將正方形ABCD延對(duì)角線BD折起，如圖：

設(shè)正方形ABCD邊長(zhǎng)為a，則OA=OB=OC=OD=22a，則點(diǎn)O為三棱錐A-BCD外接球的球心，半徑

為22a，

在三角形AOC中，作AM⊥OC，設(shè)AM=h，由于ABCD為正方形，則OA⊥BD，OC⊥BD，OA∩OC=O，

則BD⊥平面AOC，則BD⊥AM，又AM⊥OC，BD∩OC=O，則AM⊥平面BCD，

在△AOC中，

根據(jù)面積相等有：12×23×22a2-32=12×22a，又三棱錐A-BCD的體積為4317．【答案】（1）解：解法一、由an+1=n+1由累乘法得an解法二、由an+1=n+1則數(shù)列{ann}是各項(xiàng)為1的常數(shù)列，所以（2）解：由（1）得1a所以Sn【解析】【分析】（1）解法一：對(duì)遞推式變形為an+1an=n+1n，利用累乘法求解通項(xiàng)公式；18．【答案】（1）證明：方法一、在線段CD上取點(diǎn)F，使得CF=2DF，連接EF、BF，

因?yàn)镻C=4PM，E為PC的中點(diǎn)，所以CE=2ME，所以又EF?平面DMN，DM?平面DMN，所以EF∥在平行四邊形ABCD中，因?yàn)锳N=2NB，CF=2DF，所以DF=NB，且所以四邊形DFBN是平行四邊形，所以DN∥FB，又BF?平面DMN，DN?平面DMN，所以BF∥又BF，EF?平面EFB，且BF∩EF=F，所以平面EFB∥平面又BE?平面EFB，所以BE∥平面DMN．方法二、延長(zhǎng)CB、DN交于點(diǎn)G，連接MG，

在平行四邊形ABCD中，因?yàn)锳N=2NB，由三角形相似，易證BC=2GB，因?yàn)镻C=4PM，E為PC的中點(diǎn)，所以CE=2ME，所以又BE?平面DMN，MG?平面DMN，所以BE∥（2）解：連接BD交AC于點(diǎn)O，連接PO，

因?yàn)檎睦忮FP?ABCD的底面ABCD是正方形，所以PO⊥平面ABCD，且OA⊥OB，故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB，OP所在直線依次為所以，AC設(shè)平面DMN的一個(gè)法向量為n=由DM→?n取x=5，則y=?1，z=設(shè)直線AC與平面DMN的夾角為θ，則sinθ=|【解析】【分析】（1）方法一：構(gòu)造面面平行，再證線面平行；

方法二：構(gòu)造線線平行，再證線面平行；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的方法求線面角的正弦值.19．【答案】（1）解：選①，方法一（射影定理），因?yàn)閎由射影定理c=acosB+ccosA得因?yàn)?<C<π，所以C=π方法二（邊化角）因?yàn)閎cos由正弦定理得sinB即sin(A+B因?yàn)锳+B+C=π，所以A+B=π?C，所以sin(A+B因?yàn)?<C<π，所以sinC>0，cosC=方法三（角化邊）因?yàn)閎cosb?b2+所以cosC=因?yàn)?<C<π，所以C=π選②，方法一（角化邊）因?yàn)?ccosA+a=2b，由余弦定理得即a2+b因?yàn)?<C<π，所以C=π方法二（邊化角）因?yàn)?ccosA+a=2b，由正弦定理得因?yàn)锳+B+C=π，所以B=π?(所以2sin因?yàn)閟inA>0，所以cos因?yàn)?<C<π，所以C=π選③，因?yàn)?S=3(a2+由余弦定理得，sinC=3?因?yàn)?<C<π，所以C=π（2）解：在△ABC，∠CBA=60°，C=π在△ACD中，由余弦定理可得AC由于DA=1，DC=3，代入上式可得所以四邊形ABCD的面積y=S因?yàn)?<D<π，所以?π所以當(dāng)D=5π6時(shí)，四邊形ABCD的面積取最大值，最大值為【解析】【分析】(1)結(jié)合恒等變換和正余弦定理進(jìn)行公式帶入即可求解；

(2)由題可知△ABC為等邊三角形，在△ACD中，由余弦定理可得AC2=AD2+CD2-2AD·CDcosD，得到△ABC的邊長(zhǎng)與角D的關(guān)系，在列出四邊形的面積公式，利用三角函數(shù)求解最值即可.20．【答案】（1）解：Y的分布列為：Y0123p2754368E(（2）解：采用方法1，3個(gè)樣本需要試驗(yàn)次數(shù)為3次，或采用方法2，以實(shí)驗(yàn)次數(shù)為隨機(jī)變量X，則X的可能取值為1或4，且p(所以E(因?yàn)镋(（3）解：采用方法2，設(shè)3個(gè)樣本完成化驗(yàn)篩查的實(shí)驗(yàn)次數(shù)為隨機(jī)變量X，則X的可能取值為1或4，且p(由已知得(解之得，0<p<1?3所以p的取值范圍為0<p<1?3【解析】【分析】(1)根據(jù)題意分析可知隨機(jī)變量Y~B(3，