2023-2024學年北京市昌平區(qū)九年級（上）期末數(shù)學試卷

第1頁（共1頁）2023-2024學年北京市昌平區(qū)九年級（上）期末數(shù)學試卷一、選擇題（共8道小題，每小題2分，共16分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個1．（2分）如圖，這是一張海上日出照片，如果把太陽看作一個圓，把海平面看作一條直線，那么這個圓與這條直線的位置關系是（）A．相離 B．相切 C．相交 D．不確定2．（2分）如果2m＝3n（n≠0），那么下列比例式成立的是（）A． B． C． D．3．（2分）將拋物線y＝2x2向左平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度，所得到的拋物線的表達式為（）A．y＝2（x+2）2+3 B．y＝2（x﹣2）2+3 C．y＝2（x﹣2）2﹣3 D．y＝2（x+2）2﹣34．（2分）如圖，點A，B，C，D在⊙O上，AC是⊙O的直徑，∠BAC＝40°，則∠D的度數(shù)是（）A．40° B．50° C．60° D．90°5．（2分）在平面直角坐標系xOy中，若點A（x1，1）和B（x2，4）在反比例函數(shù)圖象上，則下列關系式正確的是（）A．0＜x2＜x1 B．0＜x1＜x2 C．x1＜x2＜0 D．x2＜x1＜06．（2分）如圖，一艘輪船航行至O點時，測得某燈塔A位于它的北偏東40°方向，且它與燈塔A相距13海里，繼續(xù)沿正東方向航行，航行至點B處時，測得燈塔A恰好在它的正北方向，則AB的距離可表示為（）A．13cos40°海里 B．13sin40°海里 C．海里 D．海里7．（2分）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于點D，，則sin∠CBD的值（）A． B．2 C． D．8．（2分）如圖，△ABC是等邊三角形，D，E分別是AC，BC邊上的點，且AD＝CE，連接BD，AE相交于點F，則下列說法正確的是（）①△ABD≌△CAE；②∠BFE＝60°；③△AFB∽△ADF；④若，則．A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④二、填空題（共8道小題，每小題2分，共16分）9．（2分）寫出一個開口向下且過（0，1）的拋物線的表達式．10．（2分）如圖，M為反比例函數(shù)的圖象上的一點，MA⊥y軸，垂足為A，△AOM的面積為3，則k的值為．11．（2分）在2022年北京冬奧會開幕式和閉幕式中，一片“雪花”的故事展現(xiàn)了“世界大同，天下一家”的主題，讓世界觀眾感受了中國人的浪漫．如圖，作出“雪花”圖案（正六邊形ABCDEF）的外接圓，已知正六邊形ABCDEF的邊長是4，則長為．12．（2分）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為BC的中點，DE，AC交于點F，則△CEF和△ADF的面積比為．13．（2分）如圖，在⊙O中，半徑OC垂直弦AB于點D，若OC＝3，，則CD的長為．14．（2分）小明同學測量一個圓形零件的半徑時，他將直尺、三角板和這個零件如圖放置于桌面上，零件與直尺，三角板均相切，測得點A與其中一個切點B的距離為3cm，則這個零件的半徑是cm．15．（2分）如圖，AB是⊙O直徑，點C是⊙O上一點，OC＝1且∠BOC＝60°，點D是的中點，點P是直徑AB上一動點，則CP+DP的最小值為．16．（2分）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）的對稱軸是直線x＝1，其部分圖象如圖，則以下四個結論中：①abc＞0；②2a+b＝0；③3a+c＜0；④4a+b2＞4ac，其中，正確結論的序號是．三、解答題（本題共12道小題，第17題5分，第18題4分，第19題6分，第20-22題，每小題5分，第23-26題，每小題5分，第27、28題，每小題5分，共68分）17．（5分）計算：sin30°?tan45°+tan30°﹣cos245．18．（4分）如圖，△ABC中，點D是邊AB上一點，點E為△ABC外一點，DE∥BC，連接BE．從下列條件中：①∠E＝∠A；②，選擇一個作為添加的條件，求證：△EDB∽△ABC．19．（6分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的y與x的部分對應值如表：x…﹣3﹣113…y…﹣3010…（1）求這個二次函數(shù)表達式；（2）在平面直角坐標系中畫出這個函數(shù)圖象；（3）當x的取值范圍為時，y＞﹣3．20．（5分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，，BD＝1，求sin∠BCD及AC的長．21．（5分）已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC．求作：射線BP，使得．作法：①以點A為圓心，AB長為半徑畫圓；②延長BA交⊙A于點D，以點D為圓心，BC長為半徑畫弧，與⊙A交于點P（點C，P在線段BD的同側）；③作射線BP．射線BP即為所求．（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明：證明：連接AP，DP．∵AB＝AC，∴點C在⊙A上．∵，∴（）（填推理依據(jù)）．∵DP＝BC，∴∠DAP＝．∴．22．（5分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A（1，2）在雙曲線上，點B在雙曲線上，且滿足OA⊥OB，連接AB．（1）求雙曲線的表達式；（2）若，求k2的值．23．（6分）某校組織九年級學生參加社會實踐活動，數(shù)學學科的項目任務是測量銀山塔林中某塔的高度AB，其中一個數(shù)學興趣小組設計的方案如圖所示，他們在點C處用高1.5m的測角儀CD測得塔頂A的仰角為37°，然后沿CB方向前行7m到達點F處，在F處測得塔頂A的仰角為45°．請根據(jù)他們的測量數(shù)據(jù)求塔高AB的長度大約是多少．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈．）24．（6分）如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，點D為的中點，過點D作⊙O的切線，交BC延長線于點P，連接OD交AC于點E．（1）求證：四邊形DECP是矩形；（2）作射線AD交BC的延長線于點F，若，BC＝6，求DF的長．25．（6分）如圖，小靜和小林在玩沙包游戲，沙包（看成點）拋出后，在空中的運動軌跡可看作拋物線的一部分，小靜和小林分別站在點O和點A處，測得OA距離為6m，若以點O為原點，OA所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，小林在距離地面1m的B處將沙包拋出，其運動軌跡為拋物線C1：y＝a（x﹣3）2+2的一部分，小靜恰在點C（0，c）處接住，然后跳起將沙包回傳，其運動軌跡為拋物線C2：的一部分．（1）拋物線C1的最高點坐標為；（2）求a，c的值；（3）小林在x軸上方1m的高度上，且到點A水平距離不超過1m的范圍內可以接到沙包，若小林成功接到小靜的回傳沙包，則n的整數(shù)值可為．26．（6分）在平面直角坐標系xOy中，點（0，3），（6，y1）在拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）上．（1）當y1＝3時，求拋物線的對稱軸；（2）若拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點（﹣1，﹣1），當自變量x的值滿足﹣1≤x≤2時，y隨x的增大而增大，求a的取值范圍；（3）當a＞0時，點（m﹣4，y2），（m，y2）在拋物線y＝ax2+bx+c上．若y2＜y1＜c，請直接寫出m的取值范圍．27．（7分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點M為BC的中點，連接AM，點D為線段CM上一動點，過點D作DE⊥BC，且DE＝DM，（點E在BC的上方），連接AE，過點E作AE的垂線交BC邊于點F．（1）如圖1，當點D為CM的中點時，①依題意補全圖形；②直接寫出BF和DE的數(shù)量關系為；（2）當點D在圖2的位置時，用等式表示線段BF與DE之間的數(shù)量關系，并證明．28．（7分）對于在平面直角坐標系xOy中⊙T和⊙T外的點P，給出如下定義：已知⊙T的半徑為1，若⊙T上存在點Q，滿足PQ≤2，則稱點P為⊙T的關聯(lián)點．（1）如圖1，若點T的坐標為（0，0），①在點P1（3，0），P2（3，﹣2），P3（﹣2，2）中，是⊙T的關聯(lián)點的是；②直線y＝2x+b分別交x軸，y軸于點A，B，若線段AB存在⊙T的關聯(lián)點，求b的取值范圍；（2）已知點，D（1，0），T（m，1），△COD上的每一個點都是⊙T的關聯(lián)點，直接寫出m的取值范圍．

2023-2024學年北京市昌平區(qū)九年級（上）期末數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共8道小題，每小題2分，共16分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個1．（2分）如圖，這是一張海上日出照片，如果把太陽看作一個圓，把海平面看作一條直線，那么這個圓與這條直線的位置關系是（）A．相離 B．相切 C．相交 D．不確定【分析】根據(jù)直線和圓的位置關系定理可得出答案．【解答】解：根據(jù)圖形可知：這個圓與這條直線的位置關系是相交．故選：C．【點評】此題主要考查了直線與圓的位置關系，熟練掌握直線與圓的位置關系定理是解決問題的關鍵．2．（2分）如果2m＝3n（n≠0），那么下列比例式成立的是（）A． B． C． D．【分析】利用比例的性質進行計算，逐一判斷即可解答．【解答】解：A、∵＝，∴3m＝2n，故A不符合題意；B、∵＝，∴2m＝3n，故B符合題意；C、∵＝，∴3m＝2n，故C不符合題意；D、∵＝，∴mn＝6，故D不符合題意；故選：B．【點評】本題考查了比例的性質，熟練掌握比例的性質是解題的關鍵．3．（2分）將拋物線y＝2x2向左平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度，所得到的拋物線的表達式為（）A．y＝2（x+2）2+3 B．y＝2（x﹣2）2+3 C．y＝2（x﹣2）2﹣3 D．y＝2（x+2）2﹣3【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的平移規(guī)則“上加下減，左加右減”進行求解即可．【解答】解：將拋物線y＝2x2向左平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度，所得到的拋物線的表達式為y＝2（x+2）2﹣3．故選：D．【點評】本題考查二次函數(shù)圖象的平移，熟練掌握函數(shù)圖象平移規(guī)則是解答的關鍵．4．（2分）如圖，點A，B，C，D在⊙O上，AC是⊙O的直徑，∠BAC＝40°，則∠D的度數(shù)是（）A．40° B．50° C．60° D．90°【分析】由圓周角定理得到∠ABC＝90°，由∠BAC＝40°，求出∠C＝90°﹣40°＝50°，即可得到∠D＝∠C＝50°．【解答】解：∵AC是圓的直徑，∴∠ABC＝90°，∵∠BAC＝40°，∴∠C＝90°﹣40°＝50°，∴∠D＝∠C＝50°．故選：B．【點評】本題考查圓周角定理，關鍵是圓周角定理得到∠ABC＝90°，∠D＝∠C＝50°．5．（2分）在平面直角坐標系xOy中，若點A（x1，1）和B（x2，4）在反比例函數(shù)圖象上，則下列關系式正確的是（）A．0＜x2＜x1 B．0＜x1＜x2 C．x1＜x2＜0 D．x2＜x1＜0【分析】結合題意根據(jù)反比例函數(shù)的性質可得，反比例函數(shù)圖象經(jīng)過一、三象限，且在每一象限內，y隨x的增大而減小，再結合點A，B的坐標即可解答．【解答】解：∵k＝4＞0，∴反比例函數(shù)圖象經(jīng)過一、三象限，且在每一象限內，y隨x的增大而減小，∴A（x1，1）和B（x2，4）都在第一象限，∵4＞1＞0，∴x1＞x2＞0．故選：A．【點評】本題主要考查反比例函數(shù)的性質、反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題關鍵是明確題意，利用反比函數(shù)的性質或反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征解決問題．6．（2分）如圖，一艘輪船航行至O點時，測得某燈塔A位于它的北偏東40°方向，且它與燈塔A相距13海里，繼續(xù)沿正東方向航行，航行至點B處時，測得燈塔A恰好在它的正北方向，則AB的距離可表示為（）A．13cos40°海里 B．13sin40°海里 C．海里 D．海里【分析】根據(jù)余弦的定義計算即可．【解答】解：在Rt△AOB中，OA＝13海里，∠OAB＝40°，∵cos∠OAB＝，∴AB＝OA?cos∠OAB＝13cos40°（海里），故選：A．【點評】本題考查的是解直角三角形的應用﹣方向角問題，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．7．（2分）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于點D，，則sin∠CBD的值（）A． B．2 C． D．【分析】根據(jù)cosA的值設出AD和AB，進而求出BD和CD，再利用勾股定理求出BC即可解答．【解答】解：∵，設AD＝3x，AB＝5x，∵AB＝AC，∴CD＝2x，在Rt△ABD中，BD＝＝4x，∴在Rt△BCD中，BC＝＝2x，∴sin∠CBD＝．故選：D．【點評】本題考查了勾股定理和解直角三角形，掌握直角三角形的邊角間關系和勾股定理是解決本題的關鍵．8．（2分）如圖，△ABC是等邊三角形，D，E分別是AC，BC邊上的點，且AD＝CE，連接BD，AE相交于點F，則下列說法正確的是（）①△ABD≌△CAE；②∠BFE＝60°；③△AFB∽△ADF；④若，則．A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④【分析】由“SAS”可證△ABD≌△ACE，可得∠DAF＝∠ABD，由外角的性質可求∠BFE＝60°，通過證明△ADF∽△BDA，△BFE∽△BCD，可得，，即可求解．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAD＝∠C＝60°，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），故①正確；∴∠DAF＝∠ABD，BD＝AE，∴∠BFE＝∠ABD+∠BAF＝∠DAF+∠BAF＝∠BAD＝60°，故②正確；∵∠DAF＝∠ABD，∠ADF＝∠ADB，∴△ADF∽△BDA，故③錯誤；∴，∵，∴設AD＝x＝CE，則AC＝AB＝3x＝BC，CD＝2x＝BE，∴AF?BD＝3x2，∵∠FBE＝∠CBD，∠BFE＝∠C＝60°，∴△BFE∽△BCD，∴，∴BF?BD＝6x2，∴＝，故④正確；故選：B．【點評】本題考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是正確尋找相似三角形解決問題，學會利用參數(shù)解決問題，屬于中考壓軸題．二、填空題（共8道小題，每小題2分，共16分）9．（2分）寫出一個開口向下且過（0，1）的拋物線的表達式y(tǒng)＝﹣2x2+1（答案不唯一）．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質，拋物線開口向下a＜0，然后寫出即可．【解答】解：拋物線解析式為y＝﹣2x2+1（答案不唯一）．故答案為：y＝﹣2x2+1（答案不唯一）．【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質，開放型題目，主要利用了拋物線的開口方向與二次項系數(shù)a的關系．10．（2分）如圖，M為反比例函數(shù)的圖象上的一點，MA⊥y軸，垂足為A，△AOM的面積為3，則k的值為6．【分析】根據(jù)反比例函數(shù)y＝（k≠0）系數(shù)k的幾何意義得到S△AOM＝|k|＝3，然后根據(jù)k＞0去絕對值得到k的值．【解答】解：∵MA⊥y軸，垂足為A，△AOM的面積為3，∴S△AOM＝|k|＝3，∵k＞0，∴k＝6．故答案為：6．【點評】本題考查了反比例函數(shù)y＝（k≠0）系數(shù)k的幾何意義：從反比例函數(shù)y＝（k≠0）圖象上任意一點向x軸和y軸作垂線，垂線與坐標軸所圍成的矩形面積為|k|．11．（2分）在2022年北京冬奧會開幕式和閉幕式中，一片“雪花”的故事展現(xiàn)了“世界大同，天下一家”的主題，讓世界觀眾感受了中國人的浪漫．如圖，作出“雪花”圖案（正六邊形ABCDEF）的外接圓，已知正六邊形ABCDEF的邊長是4，則長為π．【分析】設正六邊形ABCDEF的圓心為點O，易求∠BOC的度數(shù)，則△BOC為等邊三角形，圓的半徑也可求出，進而利用弧長公式計算即可．【解答】解：設正六邊形ABCDEF的圓心為點O，∵∠BOC＝＝60°，OB＝OC，∴△BOC為等邊三角形，∴OB＝OC＝BC＝4，∴的長＝＝π，故答案為：π．【點評】本題考查的是正六邊形的性質，弧長的計算公式，解答此題的關鍵是熟知正六邊形的邊長等于半徑．12．（2分）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為BC的中點，DE，AC交于點F，則△CEF和△ADF的面積比為1：4．【分析】證明△ECF∽△DFA即可解決問題．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴△ECF∽△DFA，∵E為BC的中點，∴BE＝EC，∴EC：AD＝1：2，∴△CEF和△ADF的面積比為1：4．故答案為：1：4．【點評】本題考查相似三角形的判定和性質、平行四邊形的性質等知識，解題的關鍵是掌握相似三角形面積比等于相似比的平方．13．（2分）如圖，在⊙O中，半徑OC垂直弦AB于點D，若OC＝3，，則CD的長為2．【分析】連接OA，由垂徑定理得到AD＝AB＝2，由勾股定理求出OD＝＝1，即可得到CD＝OC﹣OD＝3﹣1＝2．【解答】解：連接OA，∵半徑OC垂直弦AB于點D，∴AD＝AB，∵，∴AD＝2，∵OA＝OC＝3，∴OD＝＝1，∴CD＝OC﹣OD＝3﹣1＝2．故答案為：2．【點評】本題考查垂徑定理，勾股定理，關鍵是由勾股定理、垂徑定理求出OD的長．14．（2分）小明同學測量一個圓形零件的半徑時，他將直尺、三角板和這個零件如圖放置于桌面上，零件與直尺，三角板均相切，測得點A與其中一個切點B的距離為3cm，則這個零件的半徑是3cm．【分析】設圓形零件的圓心是O，連接OA，OB，由切線的性質定理得到OB⊥AB，由切線長定理推出OA平分∠BAC，求出∠BAC＝180°﹣60°＝120°，得到∠OAB＝60°，由銳角的正切求出OB＝3tan60°＝3（cm），得到這個零件的半徑是3cm．【解答】解：設圓形零件的圓心是O，連接OA，OB，∵⊙O與直尺，三角板均相切，切點分別是B和C，∴OB⊥AB，OA平分∠BAC，∴∠OAB＝∠BAC，∵∠BAC＝180°﹣60°＝120°，∴∠OAB＝60°，∵tan∠OAB＝tan60°＝，∴OB＝3tan60°＝3（cm），∴這個零件的半徑是3cm．故答案為：3．【點評】本題考查切線的性質，切線長定理，解直角三角形，關鍵是由切線長定理推出∠OAB＝∠BAC．15．（2分）如圖，AB是⊙O直徑，點C是⊙O上一點，OC＝1且∠BOC＝60°，點D是的中點，點P是直徑AB上一動點，則CP+DP的最小值為．【分析】過D作DM⊥AB交圓于M，連接MC交AB于P，連接PD，得到D和M關于AB對稱，此時PC+PD最小，由垂徑定理得到＝，由∠BOC＝60°，D是中點，求出∠MOB＝30°，得到∠MOC＝∠BOC+∠MOB＝90°，由等腰直角三角形的性質求出MC＝OC＝，由線段垂直平分線的性質得到PD＝PM，得到PC+PD＝CM＝，即可得到CP+DP的最小值為．【解答】解：過D作DM⊥AB交圓于M，連接MC交AB于P，連接PD，∴直徑AB垂直平分DM，∴D和M關于AB對稱，此時PC+PD最小，由垂徑定理得：＝，∵∠BOC＝60°，D是中點，∴∠MOB＝×60°＝30°，∴∠MOC＝∠BOC+∠MOB＝90°，∵OC＝OM＝1，∴△OCM是等腰直角三角形，∴MC＝OC＝，∵直徑AB垂直平分MD，∴PD＝PM，∴PC+PD＝PC+PM＝CM＝，∴CP+DP的最小值為．故答案為：．【點評】本題考查垂徑定理，軸對稱﹣最短路線問題，關鍵是作D關于AB的對稱點M，連接MC交AB于P，得到P到C、D的距離和最?。?6．（2分）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）的對稱軸是直線x＝1，其部分圖象如圖，則以下四個結論中：①abc＞0；②2a+b＝0；③3a+c＜0；④4a+b2＞4ac，其中，正確結論的序號是②③④．【分析】①根據(jù)拋物線開口向下可得a＜0，對稱軸在y軸右側，得b＞0，拋物線與y軸正半軸相交，得c＞0，進而即可判斷；②根據(jù)拋物線對稱軸是直線x＝1，即﹣＝1，可得b＝﹣2a，進而可以判斷；③當x＝﹣1時，y＜0，即a﹣b+c＜0，根據(jù)b＝﹣2a，可得3a+c＜0，即可判斷；④根據(jù)頂點坐標和b＝﹣2a，進而可以判斷．【解答】解：①根據(jù)拋物線開口向下可知：a＜0，因為對稱軸在y軸右側，所以b＞0，因為拋物線與y軸正半軸相交，所以c＞0，所以abc＜0，所以①錯誤；②因為拋物線對稱軸是直線x＝1，即﹣＝1，所以b＝﹣2a，所以b+2a＝0，所以②正確；③由圖象知，當x＝﹣1時，y＜0，即a﹣b+c＜0，因為b＝﹣2a，所以3a+c＜0，所以③正確；④∵c＞1，a＜0，∴4a＞4ac，∴4a+b2＞4ac，∴結論④正確．故答案為：②③④．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，解決本題的關鍵是掌握二次函數(shù)圖象和性質．三、解答題（本題共12道小題，第17題5分，第18題4分，第19題6分，第20-22題，每小題5分，第23-26題，每小題5分，第27、28題，每小題5分，共68分）17．（5分）計算：sin30°?tan45°+tan30°﹣cos245．【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值分別代入，進而得出答案．【解答】解：原式＝×1+×﹣（）2＝+1﹣＝1．【點評】此題主要考查了實數(shù)的運算，正確記憶相關數(shù)據(jù)是解題關鍵．18．（4分）如圖，△ABC中，點D是邊AB上一點，點E為△ABC外一點，DE∥BC，連接BE．從下列條件中：①∠E＝∠A；②，選擇一個作為添加的條件，求證：△EDB∽△ABC．【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理解答即可．【解答】證明：選擇①∠E＝∠A時，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠ABC，∵∠E＝∠A，∴△EDB∽△ABC；選擇②時，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠ABC，，∴△EDB∽△ABC．【點評】本題考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解題的關鍵．19．（6分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的y與x的部分對應值如表：x…﹣3﹣113…y…﹣3010…（1）求這個二次函數(shù)表達式；（2）在平面直角坐標系中畫出這個函數(shù)圖象；（3）當x的取值范圍為﹣3＜x＜5時，y＞﹣3．【分析】（1）設交點式為y＝a（x+1）（x﹣3），然后把（1，1）代入求出a即可；（2）利用描點法畫二次函數(shù)圖象；（3）先利用對稱性確定函數(shù)值為﹣3所對應的自變量的值，然后結合函數(shù)圖象求解．【解答】解：（1）設二次函數(shù)的表達式為y＝a（x+1）（x﹣3），把（1，1）代入得1＝a×2×（﹣2），解得a＝﹣，∴二次函數(shù)的表達式為y＝﹣（x+1）（x﹣3），即y＝﹣x2+x+；（2）如圖，拋物線的頂點坐標為（1，1），（3）∵y＝﹣3時，x＝﹣3或x＝5，∴當﹣3＜x＜5時，y＞﹣3．故答案為：﹣3＜x＜5．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO出關系式，從而代入數(shù)值求解．也考查了二次函數(shù)的性質和二次函數(shù)圖象．20．（5分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，，BD＝1，求sin∠BCD及AC的長．【分析】根據(jù)正切的定義求出∠BCD，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出sin∠BCD，直角三角形的性質求出∠A＝30°，根據(jù)正弦的定義計算，求出AC．【解答】解：∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠CDB＝90°，在Rt△CDB中，BD＝1，CD＝，則tan∠BCD＝＝＝，∴∠BCD＝30°，∴sin∠BCD＝sin30°＝，∵∠B+∠BCD＝90°，∠B+∠A＝90°，∴∠A＝∠BCD＝30°，在Rt△ACD中，sinA＝，∴AC＝＝＝2．【點評】本題考查的是解直角三角形、直角三角形的性質，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關鍵．21．（5分）已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC．求作：射線BP，使得．作法：①以點A為圓心，AB長為半徑畫圓；②延長BA交⊙A于點D，以點D為圓心，BC長為半徑畫弧，與⊙A交于點P（點C，P在線段BD的同側）；③作射線BP．射線BP即為所求．（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明：證明：連接AP，DP．∵AB＝AC，∴點C在⊙A上．∵，∴（圓周角定理）（填推理依據(jù)）．∵DP＝BC，∴∠DAP＝∠BAC．∴．【分析】（1）根據(jù)作法進行作圖即可．（2）根據(jù)圓周角定理、圓心角、弧、弦的關系可得答案．【解答】（1）解：如圖所示．（2）證明：連接AP，DP．∵AB＝AC，∴點C在⊙A上．∵，∴（圓周角定理）．∵DP＝BC，∴∠DAP＝∠BAC．∴．故答案為：圓周角定理；∠BAC．【點評】本題考查作圖—復雜作圖、圓周角定理、圓心角、弧、弦的關系，熟練掌握相關知識點是解答本題的關鍵．22．（5分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A（1，2）在雙曲線上，點B在雙曲線上，且滿足OA⊥OB，連接AB．（1）求雙曲線的表達式；（2）若，求k2的值．【分析】（1）將點A代入雙曲線之中求出k1＝2，進而可得雙曲線的表達式；（2）分別過點A，B作x軸的垂線，垂足分別為C，D，先證△BOD和△OAC相似，從而得，再根據(jù)點A的坐標得OC＝1，AC＝2，，，進而得，，由此可得點B的坐標為，然后再將點B的坐標代入雙曲線之中即可求出k2的值．【解答】解：（1）∵點A（1，2）在雙曲線上，∴k1＝1×2＝2，∴；（2）分別過點A，B作x軸的垂線，垂足分別為C，D，如下圖所示：∴∠AOC+∠OAC＝90°，∠BDO＝∠OCA＝90°，∵OA⊥OB，∴∠AOC+∠BOD＝90°，∴∠BOD＝∠OAC，∴△BOD∽△OAC，∴，∵A的坐標為（1，2），∴OC＝1，AC＝2．∵Rt△AOB中，∴，∴，，∴B的坐標為，∴將代入，得：k2＝＝﹣4．【點評】此題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，相似三角形的判定和性質，銳角三角函數(shù)，熟練掌握待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，正確地作出輔助線構造相似三角形是解決問題的關鍵．23．（6分）某校組織九年級學生參加社會實踐活動，數(shù)學學科的項目任務是測量銀山塔林中某塔的高度AB，其中一個數(shù)學興趣小組設計的方案如圖所示，他們在點C處用高1.5m的測角儀CD測得塔頂A的仰角為37°，然后沿CB方向前行7m到達點F處，在F處測得塔頂A的仰角為45°．請根據(jù)他們的測量數(shù)據(jù)求塔高AB的長度大約是多少．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈．）【分析】根據(jù)題意可得：BG＝CD＝EF＝1.5m，DE＝CF＝7m，然后在Rt△AGE中，利用銳角三角函數(shù)的定義可得AG＝GE，從而可設AG＝GE＝xm，則GD＝（x+7）m，再在Rt△AGD中，利用銳角三角函數(shù)的定義可得4AG≈3GD，從而可得4x≈3（x+7），最后進行計算即可解答．【解答】解：由題意得：BG＝CD＝EF＝1.5m，DE＝CF＝7m，在Rt△AGE中，∠AEG＝45°，∴tan45°＝＝1，∴AG＝GE，設AG＝GE＝xm，∵DE＝7m，∴GD＝EG+DE＝（x+7）m，在Rt△AGD中，∠ADG＝37°，∴tan37°＝≈，∴4AG≈3GD，4x≈3（x+7），解得：x＝21，∴AB＝AG+GB＝21+1.5＝22.5（m），答：塔高AB的長約為22.5m．【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．24．（6分）如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，點D為的中點，過點D作⊙O的切線，交BC延長線于點P，連接OD交AC于點E．（1）求證：四邊形DECP是矩形；（2）作射線AD交BC的延長線于點F，若，BC＝6，求DF的長．【分析】（1）根據(jù)垂徑定理、圓周角定理、切線的性質求出∠ACP＝90°，∠DEC＝90°，∠PDE＝90°，根據(jù)“三個角是直角的四邊形是矩形”即可得解；（2）解直角三角形及根據(jù)垂徑定理求出AC＝8，AB＝10，AE＝EC＝4，OE＝3，DE＝OD﹣OE＝2，AD＝2，根據(jù)矩形的性質得出OD∥BF，根據(jù)平行線分線段成比例定理求解即可．【解答】（1）證明：連接OC，∵AB為⊙O直徑，C為⊙O上一點，∴∠ACB＝90°，∴∠ACP＝180°﹣∠ACB＝90°，∵點D為的中點，∴OD⊥AC，∴∠DEC＝90°，∵DP是⊙O的切線，D為切點，∴OD⊥DP，∴∠PDE＝90°，∴四邊形DECP是矩形；（2）解：如圖補全圖形，在Rt△ABC中，BC＝6，，∴AC＝8，∴AB＝＝10，∵OD⊥AC，∴AE＝EC＝AC＝4，在Rt△AEO中，OA＝5，AE＝4，∴OE＝＝3，∴DE＝OD﹣OE＝2，在Rt△AED中，DE＝2，AE＝4，∴AD＝＝2，∵四邊形DECP是矩形，∴OD∥BF，∴，∴．【點評】此題考查了矩形的判定與性質、垂徑定理、切線的性質、解直角三角形等知識，熟練運用矩形的判定與性質、垂徑定理是解題的關鍵．25．（6分）如圖，小靜和小林在玩沙包游戲，沙包（看成點）拋出后，在空中的運動軌跡可看作拋物線的一部分，小靜和小林分別站在點O和點A處，測得OA距離為6m，若以點O為原點，OA所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，小林在距離地面1m的B處將沙包拋出，其運動軌跡為拋物線C1：y＝a（x﹣3）2+2的一部分，小靜恰在點C（0，c）處接住，然后跳起將沙包回傳，其運動軌跡為拋物線C2：的一部分．（1）拋物線C1的最高點坐標為（3，2）；（2）求a，c的值；（3）小林在x軸上方1m的高度上，且到點A水平距離不超過1m的范圍內可以接到沙包，若小林成功接到小靜的回傳沙包，則n的整數(shù)值可為4或5．【分析】（1）依據(jù)題意，由拋物線C1：y＝a（x﹣3）2+2可得最高點坐標，進而可以得解；（2）依據(jù)題意，可得B（6，1），將B（6，1）代入拋物線C1：y＝a（x﹣3）2+2，從而得解析式，再令x＝0，可得c的值；（3）依據(jù)題意，根據(jù)點B的取值范圍代入解析式可求解．【解答】解：（1）由題意，∵拋物線C1：y＝a（x﹣3）2+2，∴拋物線C1的最高點坐標為的（3，2）．故答案為：（3，2）．（2）由題得，B（6，1）．將B（6，1）代入拋物線C1：y＝a（x﹣3）2+2，∴．∴拋物線C1：y＝﹣（x﹣3）2+2．∴當x＝0時，y＝c＝1．（3）∵小林在x軸上方1m的高度上，且到點A水平距離不超過1m的范圍內可以接到沙包，∴此時，點B的坐標范圍是（5，1）～（7，1），當經(jīng)過（5，1）時，1＝﹣×25+×5+1+1，解得：n＝．當經(jīng)過（7，1）時，1＝﹣×49+×7+1+1，解得：n＝，∴≤n≤，∵n為整數(shù)，∴符合條件的n的整數(shù)值為4和5．故答案為：4或5．【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的應用，讀懂題意，掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征是解題的關鍵．26．（6分）在平面直角坐標系xOy中，點（0，3），（6，y1）在拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）上．（1）當y1＝3時，求拋物線的對稱軸；（2）若拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點（﹣1，﹣1），當自變量x的值滿足﹣1≤x≤2時，y隨x的增大而增大，求a的取值范圍；（3）當a＞0時，點（m﹣4，y2），（m，y2）在拋物線y＝ax2+bx+c上．若y2＜y1＜c，請直接寫出m的取值范圍．【分析】（1）當y1＝3時，（0，3），（6，3）為拋物線上的對稱點，根據(jù)對稱性求出對稱軸；（2）把（0，3），（﹣1，﹣1）代入拋物線解析式得出a，b的關系，然后求出對稱軸，再分a＞0和a＜0，由函數(shù)的增減性求出a的取值范圍；（3）先畫出函數(shù)圖象，再根據(jù)y2＜y1＜c確定m的取值范圍．【解答】解：（1）當y1＝3時，（0，3），（6，3）為拋物線上的對稱點，∴x＝＝3，∴拋物線的對稱軸為直線x＝3；（2）∵y＝ax2+bx+c（a≠0）過（0，3），（﹣1，﹣1），∴c＝3，a﹣b+3＝﹣1，b＝a+4，∴對稱軸為直線x＝﹣＝﹣，①當a＞0時，∵﹣1≤x≤2時，y隨x的增大而增大，∴，解得a≤4，∴0＜a≤4；②當a＜0時，∵﹣1≤x≤2時，y隨x的增大而增大，∴，解得，∴，綜上：a的取值范圍是或0＜a≤4；（3）∵點（0，3）在拋物線y＝ax2+bx+c上，∴c＝3，∵點（m﹣4，y2），（m，y2）在拋物線y＝ax2+bx+c上，∴對稱軸為直線x＝＝m﹣2，①如圖所示：∵y2＜y1＜c，∴m＜6且m﹣2＞＝3，∴5＜m＜6；②如圖所示：∵y2＜y1＜c，∴m﹣4＞6，∴m＞10，綜上所述，m的取值范圍為5＜m＜6或m＞10．【點評】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系以及二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，關鍵是利用數(shù)形結合和分類討論的思想進行解答．27．（7分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點M為BC的中點，連接AM，點D為線段CM上一動點，過點D作DE⊥BC，且DE＝DM，（點E在BC的上方），連接AE，過點E作AE的垂線交BC邊于點F．（1）如圖1，當點D為CM的中點時，①依題意補全圖形；②直接寫出BF和DE的數(shù)量關系為BF＝2DE；（2）當點D在圖2的位置時，用等式表示線段BF與DE之間的數(shù)量關系，并證明．【分析】（1）①依題意補全圖形即可；②由等腰直角三角形的性質得∠B＝∠C＝45°，BM＝CM，再證△CDE是等腰直角三角形，得DE＝CD，即可得出結論；（2）設AM與EF交于點N，連接EM、EC，由等腰直角三角形的性質得，∠AMC＝∠AMB＝90°，再證∠EMC＝∠EMA，進而證△AME≌△CME（SAS），得∠EAM＝∠ECM，則∠EFC＝∠ECM，得EF＝EC，然后由等腰三角形的性質得CF＝2DC，即可解決問題．【解答】解：（1）①依題意補全圖形如圖1，．②BF＝2DE，理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴