山東省青島市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期初調(diào)研檢測(cè)試題含解析

Page21山東省青島市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期初調(diào)研檢測(cè)試題一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則即可化簡(jiǎn)求解.【詳解】由得，故選：B2.若集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解無(wú)理不等式確定集合，解指數(shù)不等式確定集合，然后由交集定義求解．【詳解】，，所以．故選：C．3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】對(duì)綻開化簡(jiǎn)可得，再對(duì)等式兩邊平方化簡(jiǎn)后結(jié)合二倍角公式可求出的值.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，所以，所以，即，所以，故選：A4.在的綻開式中，常數(shù)項(xiàng)為（）A.80 B. C.160 D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)二項(xiàng)式綻開式的特征即可知中間項(xiàng)（第4項(xiàng)）為常數(shù)項(xiàng).【詳解】由于互為倒數(shù)，故常數(shù)項(xiàng)為第4項(xiàng)，即常數(shù)項(xiàng)為，故選：D5.已知，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)中間值法結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可比較大小【詳解】因?yàn)椋?故，故選：C6.已知圓臺(tái)的上下底面半徑分別為1和2，側(cè)面積為，則該圓臺(tái)的外接球半徑為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)圓臺(tái)的側(cè)面積計(jì)算公式可求母線長(zhǎng)，進(jìn)而可求圓臺(tái)的高，依據(jù)球的性質(zhì)，即可利用球心與底面圓心的連線垂直與底面，依據(jù)勾股定理即可求解.【詳解】設(shè)圓臺(tái)的高和母線分別為，球心到圓臺(tái)上底面的距離為，依據(jù)圓臺(tái)的側(cè)面積公式可得，因此圓臺(tái)高，當(dāng)球心在圓臺(tái)內(nèi)部時(shí)，則，解得，故此時(shí)外接球半徑為，當(dāng)球心在圓臺(tái)外部時(shí)，則，，解得不符合要求，舍去，故球半徑為故選：B7.據(jù)史書記載，古代的算籌是由一根根同樣長(zhǎng)短和粗細(xì)的小棍制成，如圖所示，據(jù)《孫子算經(jīng)》記載，算籌記數(shù)法則是：凡算之法，先識(shí)其位，一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬(wàn)百相當(dāng).即在算籌計(jì)數(shù)法中，表示多位數(shù)時(shí)，個(gè)位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推.例如表示62，表示26，現(xiàn)有5根算籌，據(jù)此表示方式表示兩位數(shù)（算籌不剩余且個(gè)位不為0），則這個(gè)兩位數(shù)大于30的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)5根算籌，分為四類狀況：,逐一分類求解滿意要求的兩位數(shù)，即可求解概率.【詳解】依據(jù)題意可知：一共5根算籌，十位和個(gè)位上可用的算籌可以分為一共四類狀況；第一類：，即十位用4根算籌，個(gè)位用1根算籌，那十位可能是4或者8，個(gè)位為1，則兩位數(shù)為41或者81；其次類：，即十位用3根算籌，個(gè)位用2根算籌，那十位可能是3或者7，個(gè)位可能為2或者6，故兩位數(shù)可能32，36，72，76；第三類：，即十位用2根算籌，個(gè)位用3根算籌，那么十位可能是2或者6，個(gè)位可能為3或者7，故兩位數(shù)可能是23，27，63，67；第四類：，即十位用1根算籌，個(gè)位用4根算籌，那么十位為1，個(gè)位可能為4或者8，則該兩位數(shù)為14或者18，綜上可知：全部的兩位數(shù)有:14，18，23，27，32，36，41，63，67，72，76，81共計(jì)12個(gè)，則大于30的有32，36，41，63，67，72，76，81共計(jì)8個(gè)，故概率為，故選:C8.拋物線有一條重要性質(zhì)：從焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線上的一點(diǎn)反射后，反射光線平行于拋物線的軸.如圖所示，從拋物線的焦點(diǎn)向軸上方發(fā)出的兩條光線分別經(jīng)拋物線上的兩點(diǎn)反射，已知兩條入射光線與軸所成角均為，且，則兩條反射光線之間的距離為（）A. B.4 C.2 D.【答案】D【解析】【分析】由題意得，則可求出直線的方程，分別與拋物線方程聯(lián)立表示出的坐標(biāo)，由結(jié)合拋物線的定義可求出，從而可求出兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的差，即可得兩條反射光線之間的距離.【詳解】由題意得，因?yàn)?，所以直線的斜率為，所以直線為，由，得，解得或，所以，同理直線方程為，由，得，解得或，所以，因?yàn)?，所以，所以，解得，所以兩條反射光線之間的距離為，故選：D二?多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線，則（）A.直線過定點(diǎn)B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，D.當(dāng)時(shí)，兩直線之間的距離為1【答案】ACD【解析】【分析】依據(jù)直線過定點(diǎn)的求法，可推斷A,依據(jù)直線的一般式在垂直平行滿意的條件可推斷BC,依據(jù)兩平行線間距離公式即可求解D.【詳解】對(duì)A;變形為令，則，因此直線過定點(diǎn)，A正確；對(duì)于B;當(dāng)時(shí)，，故兩直線不垂直，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C;當(dāng)時(shí)，，故兩直線平行，C正確；對(duì)于D;當(dāng)時(shí),則滿意，此時(shí)則兩直線距離為，故D正確；故選：ACD10.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為B.在上單調(diào)遞增C.的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱D.上有4個(gè)零點(diǎn)【答案】AC【解析】【分析】依據(jù)周期的計(jì)算公式可推斷A，依據(jù)整體法即可驗(yàn)證是否單調(diào)，推斷B,計(jì)算，由此可推斷C,將函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的根，即可求解D.【詳解】對(duì)于A;周期,故A正確；對(duì)于B;當(dāng)時(shí)，，故在上不單調(diào)遞增，B錯(cuò)誤；對(duì)于C;，故是的一個(gè)對(duì)稱中心，故C正確；對(duì)于D;令,解得，故當(dāng)時(shí)，取分別得故在上有5個(gè)零點(diǎn)，D錯(cuò)誤,故選：AC11.在四棱錐中，底面為菱形，平面，為線段的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A.平面平面B.三棱錐的體積為C.與平面所成角的最小值為D.與所成角的余弦值為【答案】BCD【解析】【分析】依據(jù)特別位置的點(diǎn),即可解除A,依據(jù)等體積法求三棱錐的體積可求解B，依據(jù)線面角的幾何法即可找到角，然后在三角形中求解最小值即可推斷C，依據(jù)平移，用幾何法找線線角，即可用三角形的余弦定理求解D.【詳解】對(duì)于D;取中點(diǎn),連接,則,故或其補(bǔ)角為與所成角，由于為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則,因此故,在中，由余弦定理可得,故與所成角的余弦值為，D正確；對(duì)于A;由于為線段上的動(dòng)點(diǎn)，若移動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，此時(shí)考慮平面與平面是否垂直，若兩平面垂直，則其交線為,由于,平面，則平面，平面，故,這明顯與D選項(xiàng)沖突，故平面與平面不垂直，A錯(cuò)誤，對(duì)于B;取中點(diǎn)為，則所以平面平面,故平面,因此點(diǎn)到平面的距離與點(diǎn)到平面的距離相等，故,因此，故B正確；對(duì)于C;取中點(diǎn)為,連接,則,所以平面,故為與平面所成角，在直角三角形中，,故當(dāng)長(zhǎng)度最大時(shí)，最小，故當(dāng)運(yùn)動(dòng)到與重合時(shí)，最大值為，此時(shí)最小為，故C正確；故選：BCD12.已知函數(shù)的定義域?yàn)闉榈膶?dǎo)函數(shù)，且，，若為偶函數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】由是偶函數(shù)得出是奇函數(shù)，然后在已知式中對(duì)自變量賦值求解．【詳解】是偶函數(shù)，則，兩邊求導(dǎo)得，所以是奇函數(shù)，由，，得，即，所以是周期函數(shù)，且周期為4，，在，中令得，，A正確；沒法求得的值，B錯(cuò)；令得，，，則，無(wú)法求得，同理令得，，，因此，相加得，只有在時(shí)，有，但不肯定為0，因此C錯(cuò)；在中令得，，在中令得，，兩式相加得，即，D正確；故選：AD．三?填空題：本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.13.已知為中點(diǎn)，則___________.【答案】【解析】【分析】由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得點(diǎn)坐標(biāo)，再求得向量的坐標(biāo)后由數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算．【詳解】是中點(diǎn)，則點(diǎn)坐標(biāo)為，，，．故答案為：．14.某地有6000名學(xué)生參與考試，考試后數(shù)學(xué)成果近似聽從正態(tài)分布，若，則估計(jì)該地學(xué)生數(shù)學(xué)成果在130分以上的人數(shù)為___________.【答案】300【解析】【分析】依據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性即可成果在130分以上的概率，進(jìn)而可求人數(shù).【詳解】由正態(tài)分布曲線的對(duì)稱軸為，以及可得，因此,故130分以上的人數(shù)為.故答案為：30015.已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)不等實(shí)根，分別參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求新函數(shù)的極值、單調(diào)性、改變趨勢(shì)，從而得參數(shù)范圍．【詳解】，由題意有兩個(gè)不等的實(shí)根，即有兩個(gè)不等的實(shí)根，設(shè)，是，時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，所以，又時(shí)，，且時(shí)，，，所以，方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，且都是變號(hào)的根，即有兩個(gè)極值點(diǎn)．故答案為：．16.已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，若線段上存在點(diǎn)，使得線段與的一條漸近線的交點(diǎn)滿意：，則的離心率的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】設(shè)，，由得，求出點(diǎn)坐標(biāo)，代入漸近線方程得用表示的式子，求得其范圍后可得離心率范圍．【詳解】設(shè)，，，，則，，則，，，則，，點(diǎn)在漸近線上，所以，，由得，所以，又，所以，所以．故答案為：．四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求；（2）若為銳角三角形，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)正弦定理邊化角，由和差角公式即可化簡(jiǎn)求值，（2）依據(jù)銳角確定的范圍，由正弦定理化邊為角，結(jié)合三角函數(shù)即可求解.【小問1詳解】因?yàn)?所以由正弦定理得：,即,因?yàn)?，所以，因?yàn)?，故，所以，進(jìn)而,【小問2詳解】由（1）知,因?yàn)闉殇J角三角形，所以且,所以,由正弦定理得：,因?yàn)椋?所以.18.如圖，在直三棱柱中，.（1）證明：；（2）若三棱錐的體積為，求二面角的大小.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)線面垂直可得線線垂直，依據(jù)正方形對(duì)角線相互垂直得線線垂直，進(jìn)而依據(jù)線面垂直的判定定理即可證明平面,進(jìn)而可證，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，依據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算可求平面法向量，依據(jù)向量夾角求二面角大小.【小問1詳解】證明：連接，由三棱柱為直三棱柱可得平面，平面,所以因?yàn)?平面,所以平面,因?yàn)槠矫?所以.因?yàn)?，所以四邊形是正方形，所以，又因?yàn)椋矫?所以平面,因?yàn)槠矫?所以【小問2詳解】由（1）得平面所以點(diǎn)到平面的距離為.所以解得.因?yàn)閮蓛纱怪?，以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為,因?yàn)?則,令，則,設(shè)平面的法向量為,因?yàn)?則,令，則,設(shè)二面角的平面角為，依據(jù)幾何體特征可知為銳角，所以,所以二面角的大小為.19.記關(guān)于的不等式的整數(shù)解的個(gè)數(shù)為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿意.（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，若對(duì)隨意，都有成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解不等式可確定，由及可求得；（2）由（1）求得，單調(diào)性轉(zhuǎn)化為恒成立，然后按的奇偶性分類探討得參數(shù)范圍．【小問1詳解】由不等式可得：，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)檫m合上式，；【小問2詳解】由（1）可得：，，，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，由于隨著的增大而增大，當(dāng)時(shí)，的最小值為，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，由于隨著的增大而減小，當(dāng)時(shí)，的最大值為，，綜上可知：．20.為了有針對(duì)性地提高學(xué)生體育熬煉的主動(dòng)性，某中學(xué)須要了解性別因素是否對(duì)學(xué)生體育熬煉的常常性有影響，為此隨機(jī)抽查了男女生各100名，得到如下數(shù)據(jù)：性別熬煉不常常常常女生4060男生2080（1）依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析性別因素與學(xué)生體育熬煉的常常性有無(wú)關(guān)聯(lián)；（2）從這200人中隨機(jī)選擇1人，已知選到的學(xué)生常常參與體育熬煉，求他是男生的概率；（3）為了提高學(xué)生體育熬煉的主動(dòng)性，學(xué)校設(shè)置了“學(xué)習(xí)女排精神，塑造健康體魄”的主題活動(dòng)，在該活動(dòng)的某次排球訓(xùn)練課上，甲乙丙三人相互做傳球訓(xùn)練.已知甲限制球時(shí)，傳給乙的概率為，傳給丙的概率為；乙限制球時(shí)，傳給甲和丙的概率均為；丙限制球時(shí)，傳給甲的概率為，傳給乙的概率為.若先由甲限制球，經(jīng)過3次傳球后，乙隊(duì)員限制球的次數(shù)為，求的分布列與期望.附：【答案】（1）認(rèn)為性別因素與學(xué)生體育熬煉的常常性有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于（2）（3）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：【解析】【分析】（1）依據(jù)卡方的計(jì)算，與臨界值比較，即可依據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想求解，（2）依據(jù)條件概率計(jì)算公式即可求解，（3）由離散型隨機(jī)變量取值對(duì)應(yīng)的事務(wù)，求出對(duì)應(yīng)的概率，即可求解.【小問1詳解】零假設(shè)為：性別因素與學(xué)生體育熬煉的常常性無(wú)關(guān)聯(lián)依據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為性別因素與學(xué)生體育熬煉的常常性有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于.【小問2詳解】用表示事務(wù)“選到常常參與體育熬煉的學(xué)生”，B表示事務(wù)“選到男生”，則.【小問3詳解】由題知的全部可能取值為，；所以的分布列為:01221.在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)圓與圓內(nèi)切，且與圓外切，記動(dòng)圓的圓心的軌跡為.（1）求軌跡的方程；（2）不過圓心且與軸垂直的直線交軌跡于兩個(gè)不同的點(diǎn)，連接交軌跡于點(diǎn).（i）若直線交軸于點(diǎn)，證明：為一個(gè)定點(diǎn)；（ii）若過圓心的直線交軌跡于兩個(gè)不同的點(diǎn)，且，求四邊形面積的最小值.【答案】（1）（2）（i）證明見解析；（ii）【解析】【分析】（1）依據(jù)兩圓內(nèi)切和外切列出圓心距與半徑的關(guān)系，即可發(fā)覺圓心的軌跡滿意橢圓的定義，進(jìn)而可求其方程，（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，得韋達(dá)定理，依據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)可得方程，進(jìn)而代入韋達(dá)定理即可求出坐標(biāo)，依據(jù)弦長(zhǎng)公式可求長(zhǎng)度，進(jìn)而得長(zhǎng)，依據(jù)垂直，即可表示四邊形的面積，依據(jù)不等式即可求解最值.【小問1詳解】設(shè)動(dòng)圓的半徑為，圓心的坐標(biāo)為由題意可知：圓的圓心為，半徑為；圓的圓心為，半徑為.動(dòng)圓與圓內(nèi)切，且與圓外切，動(dòng)圓的圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)其方程為：，其中從而軌跡的方程為：【小問2詳解】（i）設(shè)直線的方程為，則由可得：直線的方程為，令可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：為一個(gè)定點(diǎn)，其坐標(biāo)為（ii）依據(jù)（i）可進(jìn)一步求得：.，則，四邊形面積（法一）等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取，即時(shí)，（法二）令，則當(dāng)，即時(shí)，【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的方程，以及直線與橢圓的位置關(guān)系