2025年中考數(shù)學(xué)技巧專項(xiàng)突破：最值模型之阿氏圓與胡不歸（解析版）

專題2-5最值模型之阿氏圓與胡不歸

知識(shí)點(diǎn)梳理

模塊一胡不歸模型

【題型1】胡不歸模型?已有相關(guān)角直接作垂線

【題型2】胡不歸模型?構(gòu)造相關(guān)角再作垂線

【題型3】胡不歸模型?取最值時(shí)對(duì)其它量進(jìn)行計(jì)算

模塊二阿氏圓模型

【題型4】點(diǎn)在圓外：向內(nèi)取點(diǎn)（系數(shù)小于1）

【題型5】點(diǎn)在圓內(nèi)：向外取點(diǎn)（系數(shù)大于1）

【題型6】一內(nèi)一外提系數(shù)

【題型7】隱圓型阿氏圓

滿分?技巧/

知識(shí)點(diǎn)梳理

一、胡不歸模型講解

如圖，一動(dòng)點(diǎn)P在直線MN外的運(yùn)動(dòng)速度為匕，在直線MN上運(yùn)動(dòng)的速度為力,且匕＜%,4、B為

.…ACBC

定點(diǎn)，點(diǎn)C在直線MN上，確定點(diǎn)C的位置使廠+1的值最小.

,2八

CHUC

ACBC_1BC+^-AC\,記k=

即求BC+fc4c的最小值.

匕J“2

構(gòu)造射線使得sinND4N=k,CH/AC=k,CH=kAC.

將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值，過B點(diǎn)作BH-LAD交MN于點(diǎn)C,交AD于H點(diǎn)，此時(shí)BC+CH取

到最小值，即BC+fa4c最小.

二、阿氏圓模型講解

【模型來源】

所謂阿圓，就是動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之比為定值，那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是圓，這個(gè)圓，稱為阿波羅尼斯

圓，簡稱為阿圓.其本質(zhì)就是通過構(gòu)造母子相似，化去比例系數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩定一動(dòng)將軍飲馬型求最

值，難點(diǎn)在于如何構(gòu)造母子相似.

【模型建立】

2

如圖1所示，。。的半徑為R,點(diǎn)4、B都在。。外，P為。。上一動(dòng)點(diǎn)，已知R=^OB,

2

連接PA、PB,則當(dāng)“勿+《。夕’的值最小時(shí)，P點(diǎn)的位置如何確定？

22

解決辦法：如圖2,在線段0B上截取0C使OC=1R,則可說明ABP。與APC。相似，則有

2

=PC。故本題求“24+]PB”的最小值可以轉(zhuǎn)化為“勿+P。'的最小值，其中與4與C為定點(diǎn)，P為動(dòng)

點(diǎn)，故當(dāng)4、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，“PA+PO'值最小。

核心?題型/

模塊一胡不歸模型

【題型a胡不歸模型?已有相關(guān)角直接作垂線

2023?西安?二模

1.如圖，在菱形N8CD中，N4BC=60。,4D=6,對(duì)角線/C、8。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E在線段/C

上，且4E=2,點(diǎn)尸為線段3。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則EF+/BF的最小值為.

【答案】26

【分析】過戶作FM_L8C,由菱形ABCD,NABC=60°,得到BD為NABC平分線，求出ZFBM=30°,

在RtAFBM中，利用30。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，得到尸Af=g尸，故E尸+尸=+

求出EF+FAf的最小值即為所求最小值，當(dāng)E、尸、M三點(diǎn)共線時(shí)最小，求出即可.

【詳解】解：過F作FM1BC,

■■■菱形ABCD,ZABC=60°,

ZFBM=^ZABC=30°,AB=BC,即為等邊三角形，//CM=60°,

在RLFBM中，F(xiàn)M=-BF,

2

:.EF+-BF=EF+FM,

2

...當(dāng)￡、F、M三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，

,/AE=2,AC=AB=BC=6,

/.EC=AC-AE=6-2=4f

在Rt^ECA/中，EM=EC?sin60°=4x1=2百，

2

則斯+/的最小值為2百.

故答案為：26.

2023?保定?一模

2.如圖，在矩形4BCD中，對(duì)角線NGBD交于點(diǎn)O,N8=O2=3,點(diǎn)〃在線段NC上，且

=2.點(diǎn)尸為線段05上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(1)ZOBC=°；

(2)+；尸3的最小值為.

【答案】302

【分析】(1)由矩形的性質(zhì)得到。4=O8=OC=OD,ZABC=90°,又由=08得到AO48是等邊

三角形，則//8。=60°,即可得到答案；

(2)過點(diǎn)P作尸E_L3C于點(diǎn)￡,過點(diǎn)A/作MF_L8C于點(diǎn)￡證明+=MP+PE2披，進(jìn)

一求解即可得到答案.

【詳解】解：(1)?.?四邊形48co是矩形，

OA=OB=OC=OD,ZABC=90°,

:AB=OB,

/.AB=OB—OA,

???△CM3是等邊三角形，

：.ZABO=60°,

：.ZOBC=ZABC-AABO=90°-60°=30°,

故答案為：30.

(2)過點(diǎn)夕作P￡_L5C于點(diǎn)瓦過點(diǎn)M作“F_LBC于點(diǎn)尸，

BEFC

在RtABPE中，

由（1）知：NPBE=30。，

：.PE=-PB,

2

：.MP+-PB=MP+PE>MF,

2

在矩形/BCD中，

AC=2OA=2OB=6,

?：AM=2,

CM=AC—AM=6—2=4,

在RtZkCW中，ZMCF=ZOBC=30°f

：.MF=-CM=2,

2

：.MP+^PB的最小值為2

2023?湘西?中考真題

3.如圖，。。是等邊三角形/3C的外接圓，其半徑為4.過點(diǎn)8作班，ZC于點(diǎn)￡,點(diǎn)尸為線段BE

上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)尸不與8,E重合），貝工尸+33的最小值為----------

【分析】過點(diǎn)P作尸。_LZ8,連接CO并延長交于點(diǎn)尸，連接/。，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和圓

內(nèi)接三角形的性質(zhì)得到。4=08=4,CF1AB,然后利用含30。角直角三角形的性質(zhì)得到

OE=^OA=2,進(jìn)而求出AEuBO+EOuG,然后利用CP+：3P=CP+POWC尸代入求解即可.

【詳解】如圖所示，過點(diǎn)P作尸。_L/B,連接CO并延長交于點(diǎn)憶連接力。

A

???力3C是等邊三角形，BEVAC

：./ABE=/CBE=-ZABC=3CP

2

???。。是等邊三角形力5C的外接圓，其半徑為4

OA=OB=4fCF1AB,

：.NOBA=NOAB=30。

：.NOAE=NOAB=-ABAC=30c

2

?：BELAC

：.OE=-OA=2

2

BE=BO+EO=6

PDLAB,AABE=30°

PD^-PB

2

CP+-BP=CP+PD<CF

2

...CP+工AP的最小值為CF的長度

2

：。是等邊三角形，BELAC,CF1AB

:.CF=BE=6

：.CP+’AP的最小值為6

2

4.如圖，AB=AC,^(0，V15),C(1,0),。為射線/。上一點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)P從/出發(fā)，運(yùn)動(dòng)路徑

為4-D-C,在4D上的速度為4個(gè)單位/秒，在CD上的速度為1個(gè)單位/秒，則整個(gè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間

最少時(shí)，。的坐標(biāo)為

【答案】0,

【分析】如圖，作DHLAB于H,CM_L48于M,交/。于。.運(yùn)動(dòng)時(shí)間/二任+里二任+儀），

414

由LAHDs^AOB,推出可得上4D+CD=CD+DH,推出當(dāng)C,D,”共線且和CM

44

重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短.

【詳解】如圖，作DH_LAB于H,交/。于。上

ADCD=Q+CD

*/運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=---+---

414

VAB=AC,AOIBC,

BO=OC=\9

V^(0,V15),C(1,0),AB=AC,AOIBC,

??AB=AC=SH+OB2=J15+1=4,

?:/DAH=/BAO,ZDHA=ZAOB=90°f

：.AAHDS^AOB,

?AD_PH

,?下一奇,

：.DH=-AD,

4

：.-AD+CD=CD+DH,

4

???當(dāng)C,D,“共線且和CM重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短,

:.-BCAO=-ABCM,

22

.“V15

..CM=-----,

2

，AM=4AC1-CM7

2

VAD1=AMD1,設(shè)MD'=m,則40'=4加，

49

則有：16m2-m2=——

4

,m*或一巫（舍去），

3030

15

：.D

2023?江蘇宿遷中考模擬

5.如圖，二次函數(shù)了=62+2"-3a與x軸交于點(diǎn)/,B,對(duì)稱軸為直線/,頂點(diǎn)C到x軸的距離為

2vL點(diǎn)尸為直線/上一動(dòng)點(diǎn)，另一點(diǎn)從C出發(fā)，先以每秒2個(gè)單位長度的速度沿C尸運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)

P,再以每秒1個(gè)單位長度的速度沿R4運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)/停止，則時(shí)間最短為秒.

【分析】如圖，連接NC,BC,作4D/3C于點(diǎn)。，與EC交點(diǎn)即為符合題意的點(diǎn)P,可得

CP

==利用30。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半得到動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為；-+/尸解題即可.

【詳解】如圖，連接作AD，BC于點(diǎn)、D,40與EC交點(diǎn)即為符合題意的點(diǎn)尸，

令歹=。，則ax2+2ax-3a=0,

解得x=-3或x=1,

：.Af8兩點(diǎn)坐標(biāo)為(—3,0),(1,0),

AB=4,

,：A,5兩點(diǎn)關(guān)于/對(duì)稱，

，AE=BE=2,

?頂點(diǎn)C到x軸的距離為2』,

AC=BC=dEA?+EC?=4

AB=AC=BC,

；/D,CE都是ABC的高，

AD=CE=2-5,

CP

由題意得動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為《-+AP,

；AABC是等邊三角形，CE1AB,

：.ZPCD=-ZACB=30°,

2

:作PD_LCD,

：.PD=-CP,

2

^CP+AP=PD+AP=2y[i,

顯然在/上另取一點(diǎn)P,連接尸‘4P'D,

"：P'A+P'D>AD,

...當(dāng)P/+PD=4D時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短為26,

故答案為：2VL

2023?四川自貢?統(tǒng)考中考真題

6.如圖，直線了=-；x+2與x軸，y軸分別交于/,2兩點(diǎn)，點(diǎn)。是線段N8上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)8是直

線y=-gx+2上的一動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)E（m,0）,F（m+3X））,連接BE,DF,HD.當(dāng)5E+OF取最小

值時(shí)，38/7+5DH的最小值是.

【答案】y

【分析】作出點(diǎn)C(3,-2),作CD_L/8于點(diǎn)D,交x軸于點(diǎn)F,此時(shí)尸的最小值為的長,

利用解直角三角形求得尸］?,利用待定系數(shù)法求得直線CD的解析式，聯(lián)立即可求得點(diǎn)D的坐

標(biāo)，過點(diǎn)D作。G_Ly軸于點(diǎn)G,此時(shí)3BZ/+5DH的最小值是5OG的長，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：?.,直線y=-gx+2與x軸，y軸分別交于A,B兩點(diǎn)，

.?.8(0,2),4(6,0),

作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)5'(0,-2),把點(diǎn)8'向右平移3個(gè)單位得到C(3,-2),

作CD_L4B于點(diǎn)D,交x軸于點(diǎn)F,過點(diǎn)8'作B'E〃C。交x軸于點(diǎn)E,則四邊形EFCB'是平行四邊

形，

此時(shí)，BE=B'E=CF,

：.BE+DF^CF+DF=CD有最小值，

作CP_Lx軸于點(diǎn)P,

；?NFCP=/FAD,

tanZFCP=tanZFAD,

PFOB°PF2

..-,即——

PCOA26

2

:.PF=1,則尸

設(shè)直線CD的解析式為y=b+b,

3k+b=—2

k=3

則，11入八，解得

——左7+6=06=—11'

13

直線C。的解析式為了=3x-ll,

39

y=3x-\\x二一

7,即。

聯(lián)立，，1解得＜黯;

y=——x+2

3

過點(diǎn)D作DGLy軸于點(diǎn)G,

直線y=-gx+2與X軸的交點(diǎn)為則80=切療+好=|.,

3

sinNOB。=—=4=-,/.HG=BHsinNGBH=。BH,

BQI5,5

2

3BH+SDH=5^|BH+DH^=[〃G+O均=5DG,

即38〃+5?！ǖ淖钚≈凳?DG=5x記=了

2023?成都市七中?？?/p>

7.如圖，在矩形襤。0中，AB=4,AD=8,點(diǎn)、E,尸分別在邊ZD,8c上，且NE=3,沿直線

E尸翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)H恰好落在對(duì)角線/C上，點(diǎn)3的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為"，點(diǎn)M為線段04,上一

動(dòng)點(diǎn)，則EM+—A'M的最小值為.

5

【分析】過點(diǎn)M作肱V1,HE于點(diǎn)N,作點(diǎn)E關(guān)于/C的對(duì)稱點(diǎn)G,連接MG.由勾股定理求出4D

的長，根據(jù)銳角三角函數(shù)的知識(shí)可得=從而可得當(dāng)G,M,N三點(diǎn)共線時(shí)GM+AGV取

5

得最小值，即以/+且/'初取得最小值，然后利用銳角三角函數(shù)和勾股定理可求出GN的長.

5

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)M作MN_L/'E于點(diǎn)N,作點(diǎn)E關(guān)于NC的對(duì)稱點(diǎn)G,連接MG,則EM=MG.

由折疊的性質(zhì)可知，EF1AC,AE=A'E,AAEF=ZA'EF,

:./DAC=NAA'E.?.?四邊形"CD是矩形，CD=AB=4,ND=90°.

AD=^AD2+CD2=4A/5?

....?CDy/5..,V5MN.A/5,

?sin/Z/rX,4c-----——t??sin^-AAE———------,??]\dN=—A,

AC55AM5

：.EM+—A'M=GM+MN,

5

???當(dāng)G,M,N三點(diǎn)共線時(shí)GM+MN取得最小值，即取得最小值,

5

VZDAC+ZAEF=90°f/EGN+ZA'EF=90。，：,NEGN=/DAC,

???sinZEGN=sinZDAC=——=-----

5GE

VsinZDAC=—=—,4E=3,：.OE=—,：.GE=^-,56也，--EN=-,

AE555-5

5

仁12

即瓦以+二目屈取得最小值是一.

55

【題型2】胡不歸模型?構(gòu)造相關(guān)角再作垂線

8.如圖，在長方形48co中，AB=2,AD=2道,點(diǎn)￡在3c上，連接DE,在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中,

BE+42DE的最小值為.

【答案】2+2百/2月+2

【分析】在線段BC下方作/CBM=45°,過點(diǎn)E作所于點(diǎn)尸，連接DF,求出此時(shí)的DF的

長度便可.

【詳解】解：?..四邊形48co是矩形，48=2,/。=2百，

NDCE=90°,CD=AB=2,BC=AD=2退，

BE=2y5-CE,

在線段3c下方作/CBM=45°,過點(diǎn)E作斯于點(diǎn)尸，連接。尸，

EF=—BE

2

：.-BE+DE=EF+DE>DF,

2

當(dāng)。、E、b三點(diǎn)共線時(shí)，JBE+DE=EF+DE=DF的4邕最，1、,

2

此時(shí)ZDEC=ZBEF=45°,

:,CE=CD=2,

:?BE=26-2,DE=yJ*+*=2行,

??EF=---BE=-\/6—5/2,

2

???2-BE+OE的最小值為：EF+DE=C+&,

2

的最小值為~BE+DE=2+2-\/3

2023?廣西二模

9.如圖所示，在“中，乙4=30。，M為線段43上一定點(diǎn)，尸為線段ZC上一動(dòng)點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)尸在

運(yùn)動(dòng)的過程中，滿足9+工/尸的值最小時(shí)，則N4PM=

2

【答案】120°

【詳解】解：作/CAF=/CAB,過M作必）_L力產(chǎn)交/C于一點(diǎn)即為點(diǎn)尸,

ZCAB=30°f

???/CAF=/CAB=30。,

：.DP=-AP,

2

.,.當(dāng)兒〃)_L4F時(shí)尸M+』4P的值最小，

2

.?.在△/年中，ZAPM=90°+30°=120°,

故答案為120°;

10.如圖，ZACB=90°,AC=2,AB=4,點(diǎn)P為48上一點(diǎn)，連接尸C,則尸C的最小值

2

為_J_

【答案】3

【解答】解：作N4BE=30。，過點(diǎn)C作CD_L8E于點(diǎn)。，

則此時(shí)尸C+gpB最小，

ZACB=90°,AC=2,AB=4,

Ar21______

sinZCBA=-=-=-,Bd?=2。

ZCBA=30°,

:.DP=-PB,

2

/CBE=60°,

DCCDV3

sin60°=—

BC2G2

解得：DC=3,

:.PC+-PB=DC=3.

2

故答案為：3.

11.如圖，4c是圓。的直徑，/C=4,弧A4=120。，點(diǎn)。是弦上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么OD+’B。

2

的最小值為（）

,6

A.——B.V3c.tD.1+V3

2

【答案】B

【解答】解::防的度數(shù)為120。，AZC=60°,?.?4C是直徑，ZABC=90°,

/A=30°,作3K//C/,DE工BK于E,。/_L3K于連接。8.

ZDBE=ABAC=30°,在RtADBE中，DE=^BD,

-：BK!/AC,

根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)￡與“重合時(shí)，+的值最小，最小值為?！?，

■：ZBAO=NABO=30°,

ZOBM=60°,

在RtAOBM中,

■：OB=2,AOBM=60°,

:.OM=OB-sm60°=y5>

.1+的最小值為6，故選：B.

12.如圖，在A45C中，乙4=15。，42=10,尸為4。邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與4、。重合），連接5尸,

則+必的最小值是（）

C1°百

A.5A/2B.573D.8

,3

【答案】B

【解答】解：如圖,以AP為斜邊在/C下方作等腰RtAADP,過3作8￡_L4D于E,

ZPAD=45°,

:“AD工旦,

AP2

:.DP=—AP,

2

—AP+PB=DP+PB^BE,

2

ABAC=\50,

ABAD=60°,

r.BE=ABsin60。=56，

J/P+P3的最小值為5人.故選：B.

2

13.如圖，在放△NBC中，ZACB=9Q°,NB=30°,A8=4,點(diǎn)。、/分別是邊3C上的動(dòng)點(diǎn),

連接CD,過點(diǎn)A作AELCD交BC于點(diǎn)E,垂足為G,連接GF,則GF+^FB的最小值是.

【分析】由3陽聯(lián)想到給尸3構(gòu)造含30。角的直角三角形，故把RtAABC補(bǔ)成等邊N4BP,過廠作

BP的垂線FH,GF+^FB=GF+FH,易得當(dāng)G、足〃成一直線時(shí)，GF+^FB又由于點(diǎn)G為

動(dòng)點(diǎn)，易證點(diǎn)G在以NC為直徑的圓上，求點(diǎn)G到PB的最短距離即當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)O到BP的垂線段

上時(shí)，G。的長度.

【詳解】延長NC到點(diǎn)尸，使CP=4C,連接BP,這點(diǎn)、F作FHLBP于點(diǎn)、H,取NC中點(diǎn)。，連接

OG,過點(diǎn)O作OQLBP于點(diǎn)Q,

V^ACB=90°,N/8C=30。，AB=4

:.AC=CP=2,BP=AB=4

：.△ZAP是等邊三角形

NFBH=30。

：.RtAFHB中,FH=gFB

.?.當(dāng)G、F、X在同一直線上時(shí)，

GF+-FB=GF+取得最小值

2

"JAE-LCD于點(diǎn)G

：.N/GC=90°

VO為/c中點(diǎn)

：.OA=OC=OG=-AC

2

：.A.C、G三點(diǎn)共圓，圓心為O,即點(diǎn)G在。。上運(yùn)動(dòng),

當(dāng)點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)到O。上時(shí)，GH取得最小值

■:R3OPQ中，NP=60°,。尸=3,sinNP=9=也

OP2

AOQ=—OP=—...GX最小值為述-1

222

14.如圖，在RtA48C中，ZACB=90。，AC=4,BC=3,點(diǎn)。是斜邊上的動(dòng)點(diǎn)，則CD+在AD

2

的最小值為

AC

D

【答案】g1

5

［分析］根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短畫出圖形，再根據(jù)銳角三角函數(shù)及相似三角形判定可知ABCESABAC,

最后利用相似三角形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)即可解答.

【詳解】解：過點(diǎn)A做/34/=45。，過點(diǎn)。作04,■于過點(diǎn)。作CEJ.4B于點(diǎn)E,

，DH=AD-sinADAH=AD-sin45°=—AD,

2

/.CD+—AD=CD+DH,

2

?.?兩點(diǎn)之間線段最短，

.?.當(dāng)C、〃共線時(shí)，CD+D”的值最小，

即CD+OH的最小值為CH,

【法一：正切和角公式】詳情見本專輯1-3”12345模型

1+3_

tanZCAH=—*=7,故△AHC的三邊之比為1?7。5后，則答案為

1--5

4

【法二：常規(guī)法】

VZACB=90°,AC=4,BC=3,

JAB=NAC、BC?=5,

■:CE1AB,

：./CEB=ZACB=90。,

???NB=NB,

：?ABCES八BAC,

,CEBE_BC

??獲一疏—商一《，

31239

：.CE=-x4=—,BE=_x3=_,

5555

VZCDE=ZADH=45°,：.DE=CE=-

59

_1?/?1?94

:.CD=?CE=^^,AD=AB-DE-BE=5---------=-,

5555

.41ATyV242>/2.「口「八八〃12722V214723及安打14友

22555555

【題型3］胡不歸模型?取最值時(shí)對(duì)其它量進(jìn)行計(jì)算

2023東深圳?統(tǒng)考三模

15.如圖，在A/CE中，CA=CE,ZCAE=30°,。。經(jīng)過點(diǎn)C,且圓的直徑N5在線段NE上.

r

（2）若A/CE中/E邊上的高為力，試用含〃的代數(shù)式表示。。的直徑42；

（3）設(shè)點(diǎn)。是線段NC上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接。D,當(dāng)?shù)淖钚≈禐?時(shí)，求0。

的直徑N3的長.

【答案】（1）證明見試題解析；（2）AB=^h;（3）8G.

3

【詳解】解：（1）連接OC,如圖1,VCA=CE,ZCAE=30°,

：.NE=NCAE=30°,NCOE=1N/=60°,

，ZOCE=90°,

:.CE建?O的切線；

（2）過點(diǎn)C作CH-LAB于H,連接OC,

如圖2,由題可得C77=〃，在必△O/fC中，CH=OCsin^COH,

Ji2h2J3

h=OC?sin60°=——OC,OC=—j==------h,

2V33

4J3

：.AB=2OC=-^-h;

3

（3）作。尸平分N/OC,交。。于尸，連接/人CF、DF,

如圖3,則N/OF=NCO尸N/OC=g（180°-60°）=60°,

'：OA=OF=OC,:.△AOF、ACO廠是等邊三角形，

AF=AO=OC=FC,，四邊形/OCb是菱形，

...根據(jù)對(duì)稱性可得。/=。。，過點(diǎn)。作。HJ-OC于&VOA=OC,：.ZOCA=ZOAC=30°,

：.DH=DCsinZDCH=DC'sM00=^DC,

：.1CD+OD=DH+FD.

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得：當(dāng)F、D、H三點(diǎn)、共線時(shí)，DH+FD（即1CD+OD）最小，此時(shí)FH=OFsin

ZFOH=—OF=6,貝I。尸=4壞，AB=2OF=SS5,

2

...當(dāng)。CD+OD的最小值為6時(shí)，。。的直徑的長為8百.

圖3

16.如圖，矩形的對(duì)角線/C,?。┫嘟挥邳c(diǎn)。，AC。。關(guān)于CD的對(duì)稱圖形為ACE0.

（1）求證：四邊形OCED是菱形；

（2）連接AE,若AB=6cm,BC=y/icm.

①求sin/E4D的值；

②若點(diǎn)P為線段/E上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)/重合），連接。尸，一動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)。出發(fā)，以1c加/s的速度

沿線段。尸勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)尸，再以1.5cm/s的速度沿線段尸區(qū)勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A,到達(dá)點(diǎn)A后停止運(yùn)動(dòng),

當(dāng)點(diǎn)。沿上述路線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A所需要的時(shí)間最短時(shí)，求AP的長和點(diǎn)Q走完全程所需的時(shí)間.

AB

【解答】(1)證明：???四邊形Z5C。是矩形.

/.OD=OB=OC=OA,

?「\EDC和AODC關(guān)于對(duì)稱，

/.DE=DO9CE=CO,

DE=EC=CO=OD,

:.四邊形CODE是菱形.

(2)①設(shè)AE交CD于K.

???四邊形CODE是菱形，

/.DE//AC,DE=OC=OA,

DKDE_1

,正一就一2

AB=CD=6,

DK=2,CK=4,

在RtAADK中，AK=>jAD2+DK2=J(V5)2+22=3,

sinZDAE=-2

AK3

2

②作尸產(chǎn)，4D于尸.易知尸尸二4尸位由/以月二孑人尸，

r)pAp2

=——+-=OP+-AP=OP+PF

???點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)時(shí)間133

2

.??當(dāng)。、P、b共線時(shí)，OP+P/的值最小，此時(shí)。尸是。CD的中位線,

:.OF=-CD=3.AF=-AD=—,PF=-DK=\,

2222

3

當(dāng)點(diǎn)。沿上述路線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)/所需要的時(shí)間最短時(shí)，4P的長為點(diǎn)。走完全程所需的時(shí)間

為3s.

17.拋物線了=-/+云+。與x軸交于/、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,且3(-1,0),C(0,3).

(1)求拋物線的解析式;

(2)如圖，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，將拋物線沿。方向平移，使點(diǎn)。落在點(diǎn)。處，且。。=2CD,

點(diǎn)M是平移后所得拋物線上位于D'左側(cè)的一點(diǎn)，軸交直線于點(diǎn)N,連結(jié)CN.當(dāng)

好。W+CN的值最小時(shí)，求血W的長.

5

【解答】解：⑴:歹二一丁+6x+c經(jīng)過8(-1,0),C(0,3),

fc=3[b=2

J,,八，解得〈c,，拋物線的解析式為y=-無2+2x+3.

[-l-o+c=0[c=3

(2)如圖，連接過點(diǎn)N作于J,過點(diǎn)C作CT_L/。于7.

?.?拋物線了=-/+2尤+3=-(x-iy+4,頂點(diǎn)。(1,4),VC(0,3),

直線的解析式為夕=x+3,CD=42,

-：DD'=2CD,DD,=2V2,CO=30,，。'(3,6),v^(3,0),

AD'lx^,：.0D=d0#+DA?=庭+6?=36,

:.sinZOD'A=—=—,vCT1AD',CT=3,vNJYAD',

OD'5

NJ=ND'-sinZOD'A=—D'N,：.—D'N+CN=CN+NJ,；CN+NJ0T,

55

:.好D'N+CN#,：.旦D'N+CN的最4、悔為3,此時(shí)N為。。'與CT的交點(diǎn)，N(1.5,3),

55

???平移后拋物線的解析式為了=-(尤-3)2+6,女W平行N軸，將x=1.5代入拋物線解析式，

.-.M(1.5,3.75),：.MN=0.75

模塊二阿氏圓模型

【題型4】點(diǎn)在圓外：向內(nèi)取點(diǎn)（系數(shù)小于1）

18.如圖，已知正方ABCD的邊長為6,圓B的半徑為3,點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，貝巾尸。-工尸C

2

的最大值為.

【答案】—

2

【分析】當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到BC邊上時(shí)，此時(shí)PC=3,根據(jù)題意要求構(gòu)造!尸。，在BC上取M使得此時(shí)

PM=-,則在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的任意時(shí)刻，均有PM=，PC,從而將問題轉(zhuǎn)化為求PD-PM的最大值.連接

22

PD,對(duì)于APDM,PD-PM<DM,故當(dāng)D、M、P共線時(shí)，PD-PM=DM為最大值”.

19.如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,CB=4,CA=6,圓。的半徑為2,點(diǎn)尸為圓上一動(dòng)點(diǎn),

連接/P,BP.

AP+-BP；?2AP+BP；?-AP+BP；④月產(chǎn)+38尸的最/J、值.

23

【解答】解：①取CE的中點(diǎn)D,連結(jié)PD,AD,

PDCD11

???NPCD=NBCP,NPCDsNBCP,：.—=——=一，:.PD=—PB,

PBCP22

AP+^PB=AP+PD,當(dāng)P在上時(shí)，NP+PD最小，

最小值為/尸的長，AF=AC2+CF2=V37,+的最小值為67,

②?;2AP+BP=2QP+；BP),r.24P+AP的最小值為2厲，

_12

③在。。取一點(diǎn)G,ftCG——DC——

33

2

CGCP

vCG__1CP_2

PC~7~3,7C~6PC

GpCG1]

?;NACP=NPCG,:.NCGPs'CPA,——=——=-,/.GP=-AP,

APPC33

:.；AP+BF=GP+BP#G,當(dāng)P在3G上B,GP+BP=BG,

22

BG=^BC+CG=磬=等，\AP+BP的最小值為客,

VVJ。J

④AP+3BP=^AP+BP),:.4P+3B尸的最小值為2歷.

20.如圖，48為。。的直徑，N8=2,點(diǎn)C與點(diǎn)。在48的同側(cè)，且BCLAB,/。=1,

8c=3,點(diǎn)P是OO上的一動(dòng)點(diǎn)，則YZpo+PC的最小值為.

2

【答案】畫

2

【分析】連接OD,先利用勾股定理求得。。=也，ZAOD=45°,在0。上截取O/=Y-,過/作

2

135V34

IHLAB于H,/6,8。于3,求得BG=IH=m，IG=BH=~,CG=~,進(jìn)而求得C/=

2

BF)

證明APO/SADOP求得P/=JPD,利用兩點(diǎn)之間線段最短得到注尸。+尸。二尸/+尸。2/。，當(dāng)

22

C、P、/共線時(shí)取等號(hào)，即可求解.

【詳解】解：連接O。，???/5為OO的直徑，AB=2,

OA=OB=1,1?在Rt^AOD中，OA—AD=1,

?*-OD=yjAD^OA2=41,ZAOD=45°,

在。。上截取O/=注，過I作出上AB于H,IGLBC于G,連接ZP、IC,

2

Bi

???四邊形〃汨G是矩形，IH=OH=—OI=-

22f

13

:?BG=IH=—，IG=BH=OH+OB=-

22

CG=BC-BG=3--=-

22f

V34

在RMC/G中，CI=y/lG2+CG2=35

?：2L=QL=旦,/p。。是公共角，

OPOD2

???APOIS^DOP,

???旦=空=包,則叫qPD,

PDOD22

B

:.—PD+PC=PI+PC>IC當(dāng)C、P、/共線時(shí)取等號(hào),

29

故受尸。+尸。的最小值為。/=在工，

22

故答案為：X.

2

21.如圖，正方形ABCD邊長為2也,內(nèi)切圓。上一動(dòng)點(diǎn)尸，連接4尸、。尸，貝I」4尸十曲”的最小值

2

為

【答案】

作EO=；DO=1

△OEP-AOPD

WPD=EP

-^PD+AP=EP+AP>AE=V5

22.如圖，等邊三角形48c邊長為43，圓O是△N8C的內(nèi)切圓，尸是圓。上一動(dòng)點(diǎn)，連接P3、

PC,則AP+1CP的最小值為

【答案】V2i

易知CO=4,OH=2

，-1

作OD=1OC=1

△ODP-AOPC

1

.-.PD=TPC

。J

BP=-PC=BP+DP>BD=721

23.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，M(6，3),N(10,0),A(5,0),點(diǎn)P為以。/為半徑的圓。上一

動(dòng)點(diǎn)，則P"十』PN的最小值為

2------------------------

(15

作OB=1ON=5

△OPB-AONP

1

,-.PB=-PN

1-麻

PM+TPN>BM=^—

2-2

2023?山東煙臺(tái)?統(tǒng)考中考真題

24.如圖，拋物線y=f-6x+5與x軸交于48兩點(diǎn)，與V軸交于點(diǎn)C,4B=4,以點(diǎn)B為圓心，畫

半徑為2的圓，點(diǎn)尸為。5上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)求出%+的最小值.

【答案】V41

BFPB

［分析］在AB上取點(diǎn)尸，使AF=1,連接CF,證得——=——，又NPBF=NABP,得至U^PBF^^ABP,

PBAB

推出尸尸=；尸4,進(jìn)而得到當(dāng)點(diǎn)C、P、尸三點(diǎn)共線時(shí)，PC+^P/的值最小，即為線段CF的長，利

22

用勾股定理求出CF即可.

【詳解】如圖，在上取點(diǎn)/，使BF=1,連接CF,

PB=2,

BF_1

TB~29

PB_2_1

~AB~4~2

BF_PB

PB一A