北京某中學(xué)2024-2025學(xué)年高一年級上冊期中考試數(shù)學(xué)試卷（解析）

北京交大附中2024-2025學(xué)年第一學(xué)期期中練習(xí)

局一數(shù)學(xué)

命題人：審題人：2024.10

說明：本試卷共8頁，共100分?？荚嚂r長120分鐘。

1.集合尸={xCZ|0WxV3},M={XGZ|X2<9},則()

A.{1,2}B.{0,1,2}C.{x|0^x<3}D.{x|0WxW3}

【分析】由題意集合尸={x6Z|0Wx<3},M={xez\x1<9},分別解出集合P,M,從而

求出

【解答】解：?集合P={x6Z|0Wx<3},

.?.尸={0,1,2},

'：M={X￡Z|X2<9},

：.M={-2,-1,0,I,2},

：.PCiM^{0,1,2},

故選：B.

2.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且不存在零點的是()

A.v=x2B.y=yjx

C.v=x4(x>0)D.y=\x\+1

答案D

解析對于A,函數(shù)歹=/的對稱軸為j軸，故丁=/是偶函數(shù),

令》2=0得X=0,所以>=爐的零點為x=0.不符合題意；

對于B,函數(shù)了=心的定義域為［0,+8),不關(guān)于原點對稱,

故了=也不是偶函數(shù)，不符合題意；

對于C,函數(shù)了=短的定義域為(0,+8),不關(guān)于原點對稱，

故了=/不是偶函數(shù)，不符合題意.

對于D,函數(shù)y=|x|+l,

所以函數(shù)為偶函數(shù),令博+1=0,此時方程無解，所以函數(shù)了=慟+1無零點,

符合題意.

3.定義在R上的函數(shù)寅X),對任意XI,X2GR(X1#X2),篦8)—f5)<0,則

X1~X\

AX3)<A2)<A1)B^1)<A2)<A3)

DX3M1M2)

答案A

解析對任意XI,X2GR（X1關(guān)X2）,有―/（X1）Y0,

X2—Xl

則X2—XI與人X2）一兀Vl）異號，則兀V）在R上是減函數(shù).

又3>2>1,則火3）勺（2）勺⑴.

4.已知命題p：3xo￡R,x：+2xo+a〈O是假命題，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.（-8,J]B.[1,+8）C.（-°°,1）D.（1,+8）

【分析】由題意得/+2x+a>0恒成立，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求.

【解答】解：因為/>：3xo￡R,x/+2xo+aWO是假命題，

故xCR,，+2》+0>0恒成立，

所以4-4。<0,

所以a>l.

故選：D.

5.關(guān)于函數(shù)加）=三匕，下列說法不正確的是（）

X—1

A.火x）有且僅有一個零點

B.八工）在（一8,1）,（1,+8）上單調(diào)遞減

C.於）的定義域為{x|xWl}

D./）的圖象關(guān)于點（1,0）對稱

答案D

解析令A(yù)）=o,即:==。，解得尸一；，

所以外）有且僅有一個零點，故A正確；

函數(shù)/（x）=3-2=3+上_（彳=1）,

X—1X—1

因為y=W一在（一8,1）,（1,+8）上單調(diào)遞減，

X—1

所以函數(shù)y（x）在（一8,1）,（1,十8）上單調(diào)遞減，故B正確；

函數(shù)4）的定義域為{x|xWl},故C正確；

因為函數(shù)了=工的圖象關(guān)于點(1,0)對稱，

X—1

所以函數(shù)40=3+上的圖象關(guān)于點(1,3)對稱，故D錯誤.

X—1

6.若關(guān)于x的不等式辦一5>0的解集為{x|x>l},則關(guān)于x的不等式”9>0的解

x-2

集為()

A.{x|x<—2,或%>1}

B.{x|l<x<2}

C.{x|x<一1,或x>2}

D.{x|—2<x<—1}

答案C

解析..?不等式ax-b>0的解集為

**?x=1為ctx—b=0的根且Q>0,

.\a—b=0,即a=b,

.ax-\-ba(x+1)八科/人丁/,八、八

故L----=--------->0,等價于(x+l)(x—2)>0.

x—2x—2

.*.x>2或x<—1.

7.如果a,b,C滿足CVbVQ且QCV0,那么下列選項中不一定成立的是()

A.ab>acB.c(b—a)>0

C.cb2<ab2D.ac(a—c)<0

答案C

解析*.*c<a,且ac<0,c<0,a>0.

A成立,c<b,ac<ab,艮Rab>ac.

B成立，b<a,b—a<0,/.c(b~a)>0.

C不一定成立，當(dāng)b=0時，必2〈4接不成立.

D成立，c<a,/.a~c>0,/.ac(a—c)<0.

8.已知a,6€R,貝lj是“a>b”的()

ab

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

【分析】根據(jù)題意作差可得!上曳，由此結(jié)合充要條件的定義，判斷出正確答案.

abab

【解答】解：由上」上曳，可得：

abab

若上《工，則上衛(wèi)＜0，當(dāng)成＜0時，b＞a,故不能推出a＞6；

abab

若a＞b,則當(dāng)成＜0時，工」上曳＞0,可得上＞1,也不能推出上〈」.

abababab

綜上所述，“工《工”是“a＞b”的既不充分也不必要條件.

ab

故選：D.

9.已知函數(shù)了=/）是定義在R上的偶函數(shù)，且在（一8,0]上是增函數(shù)，若不等

式八°）蕓為0對任意的x?[l,2]恒成立，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.（—8,1]B..[—1,1]

C.（—8,2]D..[-2,2]

答案B

解析由題意，知道x）在[0,+8）上是減函數(shù)，則不等式義a）書G）對任意的X?[1,

2]恒成立,即不等式加目）三川x|）對任意的x?[l,2]恒成立,

|a|W|x|對任意的x?[l,2]恒成立,

即一iWaWl,故選B.

YX6P

10.函數(shù)f（x）=（'廠.其中p,M為實數(shù)集R的兩個非空子集，又規(guī)定/（尸）

-x,xtM

=f(x),xGP},f(Af)={y\y=fCx\x&M}.下列四個判斷其中正確的是（）

①若PCM=0,則/(尸)n/(M)=0；

②若尸CMW0,貝丫（尸）n/(Ww。；

③若PUM=R,則/（尸）U/(M)=R；

④若尸UA//尺，則/i（P）U/(WWR.

A.①③B.②③C.②④D.①④

【分析】根據(jù)題意，通過取特殊集合判斷出①③的正誤；然后分析尸nw的結(jié)果，根據(jù)

結(jié)果判斷②的正誤；最后考慮。C(PUW的情況，并且分析0的唯一性，由此判斷④

的正誤.

【解答】解：對于①：若尸={1},M={-1},滿足尸CM=0,此時/(尸)={1},f(M)

={1},/(尸)n/(W={1}#0,故①錯誤；

對于②：若尸HMW0,則由函數(shù)定義可知x=-x,即x=0,所以PCM={0},則Oe[f

(、P)A/(M)],所以/(P)0/(M)W0,故②正確；

對于③：若尸=[0，+°°),M=(-8,0],滿足PUM=R,此時/(尸)=[0,+°°),f

(M)=[0,+8),/(尸)n/(WN0,故③錯誤；

對于④：若。名(PUM),則0任，(尸)U/(W],/(P)U/(WWR；若xoe(PUW,

xoWO,

假設(shè)『(尸)U/(W]=R,則xo￡P(guān),xo《M,所以xo救(尸)，-x比fQM)所以-猶可(P),

xoEf(Af),

所以-xoEP,-xoEM,-xoG(MAP),這顯然與尸{0}矛盾，故假設(shè)不成立，即

“若PUMWR,則/(尸)U/(WWR”成立，故④正確.

故選：C.

H.已知集合/={1,2},B={a,4+3}.若205={1},則實數(shù)。的值為.

答案1

解析由已知得2iB,顯然層+3巳3,所以。=1,此時/+3=4,滿足

題意.

12.函數(shù)八-的定義域

|x+l|-5

答案.[3,4)U(4,+8)

ylx——3lx—3NO,

解析要使'有意義,只需，解得x@[3,4)U(4,+8).

|x+l|-51+1儼5,

13.設(shè)XI,X2是方程3/—2x—4=0的兩根，不解方程，求下列各式的值:

(1)-+-;(2)x?+xl

XlX2

?_2

X\~TX2——,

3

解由根與系數(shù)的關(guān)系，得‘4

X\X2------

（］產(chǎn)?%1_一++（%1+%2）2—21112

'XIX2X\X2X1X2

（Xl+12）2

X\X2

（2）X?~\-xi=（XI+%2）（X?~X1X2+x5）

=（X1+X2）［（X1+%2）2—3X1X2］

=（X1+%2）3—3X1X2（X1+%2）—畋.

-ax+1,x<Ca,

14.設(shè)函數(shù)f(X)=<若/(x)存在最小值，則a的一個取值為0；

(x-2)。x〉a.

a的最大值為—1

【分析】對函數(shù)/(X)分段函數(shù)的分界點進(jìn)行分類討論，研究其不同圖像時函數(shù)取最小

值時4的范圍即可.

函數(shù)/(x)圖像如圖所示，不滿足題意,

當(dāng)。=0時，函數(shù)/(%)圖像如圖所示，滿足題意;

當(dāng)0VQV2時，函數(shù)/G)圖像如圖所示，要使得函數(shù)有最小值，需滿足-M+ieo,解

得：0<QW1；

當(dāng)。=2時，函數(shù)/'(x)圖像如圖所示，不滿足題意,

當(dāng)0>2時，函數(shù)/(x)圖像如圖所示，要使得函數(shù)/(x)有最小值，需(a-2)2忘-

cr+\,無解，故不滿足題意；

綜上所述：。的取值范圍是[0,1],

故答案為：0,L

15.設(shè)/是非空數(shù)集，若對任意x,西4都有x+y&、xyEA,則稱/具有性質(zhì)P,給出以下

命題：

①若/具有性質(zhì)尸，則/可以是有限集；

②若/具有性質(zhì)P,且NWR,貝曉運具有性質(zhì)產(chǎn)；

③若出、/2具有性質(zhì)產(chǎn)，且/1C/2W0，則/m/2具有性質(zhì)產(chǎn)；

④若小、，2具有性質(zhì)P,則/1U/2具有性質(zhì)尸.

其中所有真命題的序號是①⑶.

【分析】舉特例判斷①；利用性質(zhì)尸的定義證明③即可；舉反例說④錯誤；利用反證

法判斷②，元素0是關(guān)鍵.

【解答】解：設(shè)/是非空數(shù)集，若對任意x,yEA,都有x+ye/、xyEA,則稱/具有性質(zhì)

P,

對于①，取集合/={0}具有性質(zhì)P,故N可以是有限集，故①正確；

對于③，取X,yGAin^2,貝！JxC/i,XEA2)y&Ai,y&Ai,又4,如具有性質(zhì)P>?'?x+yEAi,

xyEAi,x+y￡A2>xyEAi,.'.x+yEAir\A2>xyEAiA^2,所以出C/2具有性質(zhì)P，故③正

確；

對于④，取4i={x|x=2履任Z},/2={x|x=3匕keZ},2EAi,3EA2,但2+3千1UZ2,

故④錯誤；

對于②，若/具有性質(zhì)P,且/WR假設(shè)CM也具有性質(zhì)P，

設(shè)06/,在。謖中任取一個x,xWO,此時可證得-xC/,否則若-XECR),由于CRN也

具有性質(zhì)P,則x+(-X)=O6CR/,與0E4矛盾，故-XEA,

由于/具有性質(zhì)P,CR/也具有性質(zhì)P,

所以(-x)2GA,X2GCRA,

22

而(-x)=x,這與NCCRN=0矛盾，

故當(dāng)06/且A具有性質(zhì)P時，則CR/不具有性質(zhì)P，

同理當(dāng)謖時，也可以類似推出矛盾，故②錯誤.

故答案為：①③.

16.(10分=4+3+3)已知全集。=尺,集合/=(x|x2-4x+3^0},5={x||x-3|<1},C={x\2a

WxWa+2,crGR}.

(I)分別求/CB,AU(Cu5)；

(II)若BUC=3,求a的取值范圍；

(III)若NACW0,求a的取值范圍.

【分析】(I)先求出集合/,B,再利用集合的基本運算求解；

(II)由可得CU3,分C=0和CW0兩種情況討論，分別求出a的取值范圍，

最后取并集即可；

(III)先求出/nc=。時。的取值范圍，再取補(bǔ)集即可.

【解答】解：(I)集合/=(4?-4x+3W0}={x|lWxW3},B^{x\\x-3|<1}={X|2<X

<4}，

C3={x[2<xW3},CuS={x|xW2或x\4},

.?./U(CuB)={x|xW3或x24}；

(II)-：B^C=B,：.CQB,

①當(dāng)C=0時，2a>a+2,：.a>2,

2a4a+2

②當(dāng)CW0時，貝!h2a>2,

a+2<4

解得l<a<2,

綜上所述，a的取值范圍為(1,2)U(2,+8)；

(III)若NCC=0,

①當(dāng)C=0時，2a>a+2,：.a>2,

(2a<a+2_(2a<a+2

②當(dāng)CW0時，"個二或I二,

［a+2<l12a>3

：.a<-1或3<aW2,

2

綜上所述，若/nc=0,則。的取值范圍為(-8,-1)u(士，+8),

2

所以若/AC/0,則。的取值范圍［7,3］.

17.(10分=2+4+4)已知函數(shù)八x)=g^,小)為R上的奇函數(shù)且近1)=」

x2+12

⑴求a,b；

(2)判斷於)在［1,+8)上單調(diào)性并證明；

(3)當(dāng)x￡［—4,—1］時，求小)的最大值和最小值.

解(1次%)為R上奇函數(shù)，

.,m0)=0,得6=0,

又寅D—；-—,

?,??=^T7-

十1

經(jīng)檢驗，/(%)=*是奇函數(shù)。

x^+1

(2次乃在［1,+8)上為減函數(shù)，證明如下:

設(shè)X2>X121，

??必2)一大用)=之7-Utr

xs+lxf+1

_(x/+l)X2—(x/+l)Xl

一(x?+l)(招+1)

_X僅2—X/l+x2-Xl

一(x?+l)(xHl)

一(X1—X2)(X1X2—1)

一(x?+l)(遙+1).

".*X2>X1^1,/.X1X2-l>0,Xl—X2<0,

?,，(X2)—/(X1)<O,即/(X2)勺(XI),

...?0在［1,+8)上為減函數(shù).

(3)'."(x)為奇函數(shù)，

且人》)在［1,+8)上為減函數(shù)，

在(一8,—1］上為減函數(shù)，

又X?［—4,—1］,

.??〃)的最大值為八一4)=一齊加)的最小值為八一1)=一；.

18(11分=3+4+4).已知函數(shù)/G)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)xWO時，/(x)=x2+2x.

(1)求出當(dāng)x>0時，f(x)的解析式；

(2)如圖，請補(bǔ)出函數(shù)/(x)的完整圖象，根據(jù)圖象直接寫出函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;

(3)結(jié)合函數(shù)圖象，討論函數(shù)/(x)在［-3,a］上的值域.

-2

【分析】(1)由奇函數(shù)的定義求出解析式作答.

(2)由奇函數(shù)的圖象特征，補(bǔ)全函數(shù)/(x)的圖象，并求出單調(diào)增區(qū)間作答.

(3)利用圖象，借助單調(diào)性求出最值作答.

【解答】解：(1)依題意，設(shè)x>0,則-x<0,

于是/(-%)=(-x)2-2x=x2-2x,

因為/(x)為R上的奇函數(shù)，因此f(x)=-/(-%)=-X2+2X,

所以當(dāng)x>0時，/(x)的解析式/(x)=-X2+2X.

(2)由已知及(1)得函數(shù)/(x)的圖象如下：

觀察圖象，得函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為：(-8,-1］,［1,+8).

⑶

當(dāng)ae(-3,-1］時,函數(shù)/(x)的值域為［a2+2a,3］.

當(dāng)ae(-1,1+正］時，函數(shù)/(x)的值域為［-1,3］

當(dāng)旺(1+亞，+oo］時，函數(shù)/(x)的值域為［一a2+2a,3］

19.(12分=4+4+4)近年來，國內(nèi)多個城市紛紛加碼布局“夜經(jīng)濟(jì)”，以滿足不同層次的多

元消費，并拉動就業(yè)、帶動創(chuàng)業(yè)，進(jìn)而提升區(qū)域經(jīng)濟(jì)發(fā)展活力.某夜市的一位工藝品售賣者，

通過對每天銷售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該工藝品在過去的一個月內(nèi)(以30天計)，每件的銷售價

格P(單位:元)與時間雙單位:天)的函數(shù)關(guān)系近似滿足尸(x)=10+編為常數(shù),且左>0,14W30,

X

xdN+),日銷售量。(單位：件)與時間x(單位：天)的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：

X1015202530

0(無)5055605550

已知第10天的日銷售收入為505元.

(1)給出以下四個函數(shù)模型：①。(x)=ax+6；②。(x)=a|x—利+6；③。(x)=°—bx.請你根據(jù)

表中的數(shù)據(jù),從中選擇你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)模型來描述日銷售量0(x)與時間x的變化關(guān)

系，并求出該函數(shù)的解析式;

(2)設(shè)該工藝品的日銷售收入為加)(單位：元)，求人x)的解析式.

(3)該工藝品的日銷售收入哪天最低？最低收入是多少？

解(1)由表格中的數(shù)據(jù)知，當(dāng)時間x變長時，0(x)先增后減,

①③函數(shù)模型都描述的是單調(diào)函數(shù)，不符合該數(shù)據(jù)模型.

所以選擇函數(shù)模型②：Q(x)=a\x—m\+b.

由0(15)=0(25),可得|15一劑=|25一劑,解得加=20,

，5尸5“+-55,解得Cl=1,

由

@20)=6=60,b=60,

則日銷售量0(x)與時間x的關(guān)系式為

Q(x)=—|x—20|+60(lWxW30,x￡N+).

(2)因為第10天的日銷售收入為505元，

flO+^l

則I10jX50=505,解得左=1,

所以P(x)=l+10.

X

由(1)知Q(x)=~\x—20|+60

x+40,1W%W2O,%￡N+,

.—x+80,20VxW30,x￡N+,

則｛x)=P(x>°(x)

40

10x+^+401,1WXW20,%￡N+,

x

—QA

-10x+^+799,20<xW30,x￡N+,

x

當(dāng)1WXW20,x￡N+時，

40I40

外尸10x+^+40122、/10x—+401=441,

x\lx

當(dāng)且僅當(dāng)10x=K,即x=2時，等號成立；

當(dāng)20<x^30,x《N+時，

/x)=-10x+^+799單調(diào)遞減，

所以函數(shù)的最小值為H30)=499+：＞441,

綜上可得，當(dāng)x=2時，函數(shù)?r)取得最小值441.

20.(12分=4+4+4)對于正整數(shù)集合4={m,ai,???an](nG