安徽省 合肥市肥東縣2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

九年級數(shù)學(xué)期末試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）1.拋物線的開口方向是（）A.向右 B.向上 C.向左 D.向下2.在中，，則的長為（）A. B. C. D.3.下列函數(shù)中，當(dāng)時，y隨x的增大而減小的是（）A. B. C. D.4.將拋物線向右平移2個單位長度，再向下平移6個單位長度，平移后的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為（）A B. C. D.5.如圖，C是線段的黃金分割點，，則下列結(jié)論中正確的是（）A B. C. D.6.若點（x1，y1）、（x2，y2）和（x3，y3）分別在反比例函數(shù)的圖象上，且，則下列判斷中正確的是（）A.y1＜y2＜y3 B.y3＜y1＜y2 C.y2＜y3＜y1 D.y3＜y2＜y17.若反比例函數(shù)的圖象位于第一、三象限，則二次函數(shù)的圖象大致為（）A. B.

C.

D.8.已知中，是高，，，，則為（）A. B. C.或 D.或9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，將沿y軸向上平移3個單位長度至，連接，若反比例函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過點A及的中點D，則k值等于（）A.6 B. C.3 D.10.的邊上有D、E、F三點，各點位置如圖所示．若，，，則根據(jù)圖中標(biāo)示的長度，求四邊形與的面積比為何？（）A. B. C. D.二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，滿分16分）11.設(shè)，那么______________12.如圖，直線，若，，，則的長為_____．13.如圖，在中，為上一點，且于，連結(jié)，則_____．14.在二次函數(shù)中，t為大于0的常數(shù)．（1）若此二次函數(shù)的圖象過點，則t等于______；（2）如果，，都在此二次函數(shù)的圖象上，且，則m的取值范圍是______．三、解答題（本大題共7小題，滿分64分）15.計算：16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個頂點的坐標(biāo)分別為，，．（1）與是位似圖形，位似中心是點E，請在圖中標(biāo)出點E的位置，并寫出點E的坐標(biāo)；（2）以點為位似中心，將放大為原來2倍得到（其中與A，與B，與C是對應(yīng)點，并且每對對應(yīng)點分別在點D的同側(cè)）．17.已知拋物線．（1）用配方法確定它的頂點坐標(biāo)、對稱軸；（2）x取何值時，？18.如圖，在中，，，點P從點A開始沿邊向B點以的速度移動，點Q從點B開始沿邊向點C以的速度移動，如果點P，Q分別從A，B同時出發(fā)，問經(jīng)過幾秒鐘，與相似．19.學(xué)校科技創(chuàng)新社團(tuán)制作了一種固定翼飛機(jī)機(jī)翼模型，形狀如圖所示．測得，，，，，求邊的長．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）20.如圖1放置的木板余料，下方邊緣為，上方邊緣呈拋物線形狀，最大高度為．如圖2，建立平面直角坐標(biāo)系，在軸上，軸正好是此木板的對稱軸．（1）求木板上方邊緣對應(yīng)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）如圖3，若從此木板中切割出矩形，且邊在軸上，求此矩形的最大周長；（3）若從此木板中橫向切割出短邊為的矩形木板若干塊（矩形的長邊與軸共線或平行），然后拼接成一個短邊為的矩形，如何切割才能使拼接后的矩形的長邊最長？請在備用圖上畫出此時的切割方案，并直接寫出拼接后矩形長邊的最長長度．（結(jié)果保留根號）21.如圖1，E是矩形邊的中點，F(xiàn)是邊上一點，線段和相交于點P，連接，過點A作交于點Q．（1）求證：；（2）已知，，，求長；（3）當(dāng)F是的中點時，求值．

九年級數(shù)學(xué)期末試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）1.拋物線的開口方向是（）A.向右 B.向上 C.向左 D.向下【答案】B【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，掌握“，開口向上，，開口向下，”即可求解．【詳解】解：中二次項系數(shù)為，，拋物線開口向上．故選：B．2.在中，，則的長為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，再把已知條件代入即可得到答案．【詳解】解：故選：B．【點睛】本題考查的是銳角三角函數(shù)的含義，掌握利用銳角三角函數(shù)解直角三角形是解題的關(guān)鍵．3.下列函數(shù)中，當(dāng)時，y隨x的增大而減小的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查正比例函數(shù)、反比例函數(shù)以及二次函數(shù)的增減性，掌握相關(guān)函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可解題．【詳解】解：A、，當(dāng)時，y隨x的增大而增大，不符合題意．B、，當(dāng)時，y隨x的增大而減小，符合題意．C、，當(dāng)時，y隨x的增大而增大，不符合題意．D、，當(dāng)時，y隨x的增大而增大，不符合題意．故選：B．4.將拋物線向右平移2個單位長度，再向下平移6個單位長度，平移后的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查二次函數(shù)的平移，熟練掌握“上加下減，左加右減”是解題的關(guān)鍵．根據(jù)“上加下減，左加右減”即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)“上加下減，左加右減”，向右平移2個單位長度，再向下平移6個單位長度，故平移后表達(dá)式為，即為．故選A．5.如圖，C是線段的黃金分割點，，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)黃金分割的定義得出，即可得到答案．【詳解】解：C是線段的黃金分割點，，，故選D．6.若點（x1，y1）、（x2，y2）和（x3，y3）分別在反比例函數(shù)的圖象上，且，則下列判斷中正確的是（）A.y1＜y2＜y3 B.y3＜y1＜y2 C.y2＜y3＜y1 D.y3＜y2＜y1【答案】B【解析】【分析】由題意可得，根據(jù)反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解即可．【詳解】解：由題意得，，∴反比例函數(shù)的圖象在二、四象限，且在每個象限內(nèi)隨的增大而增大，又∵，∴，，即，故選：B．【點睛】此題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)．7.若反比例函數(shù)圖象位于第一、三象限，則二次函數(shù)的圖象大致為（）A. B.

C.

D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)的圖像，根據(jù)象限得到系數(shù)的取值范圍是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意得到即可得到答案．【詳解】解：反比例函數(shù)的圖象位于第一、三象限，，故二次函數(shù)開口向上，且交軸的負(fù)半軸，故選D．8.已知中，是高，，，，則為（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】分兩種情況討論，①AD在三角形內(nèi)部，②AD在三角形外部，分別畫出圖形求解即可．【詳解】①當(dāng)AD在三角形內(nèi)部時：∵tan∠B==1，tan∠C==，∴∠B=45°，∠C=30°，∴∠BAC=180°-45°-30°=105°，②當(dāng)AD在△ABC外部時：∵tan∠C==，tan∠ABD==1，∴∠C=30°，∠ABD=45°，∴∠BAC=45°-30°=15°，故選C.【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，分類討論并熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵.9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，將沿y軸向上平移3個單位長度至，連接，若反比例函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過點A及的中點D，則k值等于（）A.6 B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】本題考查反比例函數(shù)與幾何綜合，延長，交軸于點，有軸，根據(jù)平移的特點證明四邊形為菱形，得到，設(shè)，則，，由與都在反比例函數(shù)圖象上，建立等式，求得值，再利用勾股定理求得值，即可解題．【詳解】解：延長，交軸于點，由題意知，軸，沿y軸向上平移3個單位長度至，且，，，四邊形為菱形，，設(shè)，則，，且點D為的中點，，與都在反比例函數(shù)圖象上，，解得，即，，，即，，即．故選：B．10.的邊上有D、E、F三點，各點位置如圖所示．若，，，則根據(jù)圖中標(biāo)示的長度，求四邊形與的面積比為何？（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先證明，再利用相似三角形的性質(zhì)求出，得出，再證明，求出，即可求出答案．【詳解】解：∵，，，，∵，，，，，∵，，，，同理可證，∵，，，四邊形與的面積比，故選D．【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，滿分16分）11.設(shè)，那么______________【答案】【解析】【分析】根據(jù)比例式的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵，∴．故答案為．【點睛】本題考查了比例的基本性質(zhì)．如果，那么．12.如圖，直線，若，，，則的長為_____．【答案】【解析】【分析】由平行線分線段成比例定理得出比例式，即可得出DE的長．【詳解】解：∵l1∥l2∥l3．AB＝6，BC＝10，∴，∵EF＝9，∴DE．故答案為：．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理；熟練掌握平行線分線段成比例定理，并能進(jìn)行推理計算是解決問題的關(guān)鍵．13.如圖，在中，為上一點，且于，連結(jié)，則_____．【答案】【解析】【分析】作，將的值轉(zhuǎn)化為與的比，根據(jù)題中所給的條件，在直角三角形中解題，根據(jù)角的正切值與三角形邊的關(guān)系，代入三角函數(shù)進(jìn)行求出與的長．【詳解】解：如圖，作出，垂足為，則，設(shè)，則，，，，．，，，，，．故答案是：．【點睛】本題考查了比例線段性質(zhì)和銳角三角函數(shù)的概念，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14.在二次函數(shù)中，t為大于0的常數(shù)．（1）若此二次函數(shù)的圖象過點，則t等于______；（2）如果，，都在此二次函數(shù)的圖象上，且，則m的取值范圍是______．【答案】①.②.或【解析】【分析】本題考查根據(jù)點坐標(biāo)求未知數(shù)的值，（1）根據(jù)題意將代入中即可得到本題答案；（2）根據(jù)題意求得對稱軸，再利用增減性及題干條件分情況討論即為本題答案．【詳解】解：（1）∵若此二次函數(shù)的圖象過點，∴將代入中得：，解得：；（2）∵，，都在此二次函數(shù)的圖象上，∴二次函數(shù)對稱軸為：，即：，∵，即：，解得：，∵，∴在對稱軸左側(cè)，在對稱軸右側(cè)，在中，令，即：，∴與軸的交點為，∴關(guān)于對稱軸直線的對稱點為，∵，∴，即：，①當(dāng)，都在對稱軸左側(cè)時，∵隨增大而減小，且，∴，解得：，②當(dāng)在對稱軸左側(cè)，在對稱軸右側(cè)時，∵，∴到對稱軸的距離大于到對稱軸的距離，∴，解得：，∴此時滿足的條件是，故答案：或．三、解答題（本大題共7小題，滿分64分）15.計算：【答案】【解析】【分析】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟記幾個特殊角的三角函數(shù)值，將特殊角的三角函數(shù)值代入，然后運用實數(shù)運算法則進(jìn)行計算，即可解題．【詳解】解：．16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個頂點的坐標(biāo)分別為，，．（1）與是位似圖形，位似中心是點E，請在圖中標(biāo)出點E的位置，并寫出點E的坐標(biāo)；（2）以點為位似中心，將放大為原來的2倍得到（其中與A，與B，與C是對應(yīng)點，并且每對對應(yīng)點分別在點D的同側(cè)）．【答案】（1）圖見解析，點E的坐標(biāo)為．（2）見解析【解析】【分析】本題考查根據(jù)位似圖形找位似中心，位似作圖，掌握位似圖形的特征是解題的關(guān)鍵．（1）由位似中心是對應(yīng)點連線的交點作圖即可，再根據(jù)點的位置直接寫出點的坐標(biāo)即可解題；（2）根據(jù)位似比確定、、的位置，再連線即可得到．【小問1詳解】解：點E的位置如下圖所示：由圖知，點E的坐標(biāo)為．【小問2詳解】解：得到如圖所示：17已知拋物線．（1）用配方法確定它的頂點坐標(biāo)、對稱軸；（2）x取何值時，？【答案】（1），（2）或【解析】【分析】本題主要考查了頂點式，熟練掌握函數(shù)的圖形和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）用配方法變成頂點式即可得到答案；（2）令，確定函數(shù)圖像與軸的交點，結(jié)合開口方向即可得到答案．【小問1詳解】解：，頂點坐標(biāo)，對稱軸；【小問2詳解】解：令，即，解得或，由于拋物線開口向下，故當(dāng)或時，．18.如圖，在中，，，點P從點A開始沿邊向B點以的速度移動，點Q從點B開始沿邊向點C以的速度移動，如果點P，Q分別從A，B同時出發(fā)，問經(jīng)過幾秒鐘，與相似．【答案】經(jīng)過秒或秒鐘，與相似．【解析】【分析】本題考查相似三角形的性質(zhì)，設(shè)經(jīng)過秒鐘時，與相似，得到，，，討論對應(yīng)邊的不同，分別利用相似三角形對應(yīng)邊成比例，建立方程求解即可．【詳解】解：設(shè)經(jīng)過秒鐘，與相似．由題意得，，，，，，與相似，當(dāng)與對應(yīng)時，有，即，解得，當(dāng)與對應(yīng)時，有，即，解得，綜上所述，經(jīng)過秒或秒鐘，與相似．19.學(xué)?？萍紕?chuàng)新社團(tuán)制作了一種固定翼飛機(jī)的機(jī)翼模型，形狀如圖所示．測得，，，，，求邊的長．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【答案】【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，作垂線構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．作，在中求出；證四邊形是矩形得；在中求出即可求解．【詳解】解：作，如圖所示：在中，，∴∵，，∴∴四邊形是矩形，∴在中，，∴∴20.如圖1放置的木板余料，下方邊緣為，上方邊緣呈拋物線形狀，最大高度為．如圖2，建立平面直角坐標(biāo)系，在軸上，軸正好是此木板的對稱軸．（1）求木板上方邊緣對應(yīng)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）如圖3，若從此木板中切割出矩形，且邊在軸上，求此矩形的最大周長；（3）若從此木板中橫向切割出短邊為的矩形木板若干塊（矩形的長邊與軸共線或平行），然后拼接成一個短邊為的矩形，如何切割才能使拼接后的矩形的長邊最長？請在備用圖上畫出此時的切割方案，并直接寫出拼接后矩形長邊的最長長度．（結(jié)果保留根號）【答案】（1）（2）（3）見詳解，【解析】【分析】（1）根據(jù)已知可得拋物線的頂點坐標(biāo)為，，，再設(shè)拋物線表達(dá)式為，把代入，可求出，即可得出拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）在矩形中，設(shè)，由拋物線的對稱性可知，因此矩形的周長為，由于，且，當(dāng)時，矩形的周長有最大值，最大值為；（3）如圖畫出的切割方案，分別令，，，，即可求出，，，，再加起來即為拼接后的矩形的長邊長．【小問1詳解】根