中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)特訓(xùn)：幾何證明 解答壓軸題（十三大題型含六大模型+三大中考熱點(diǎn)題型）解析版

特訓(xùn)06幾何證明解答壓軸題(十三大題型，含六大模型+三大中考熱點(diǎn)題型)

目錄

型

題

1：垂線模型

型

題

型2：一線三等角模型

題

型3：手拉手模型

題

型4:旋轉(zhuǎn)模型

題

型5：倍長(zhǎng)中線模型

題

型

題6：截長(zhǎng)補(bǔ)短模型

型

題7：線段的垂直平分線的綜合應(yīng)用

型

題8：角的平分線的綜合應(yīng)用

型

題9：直角三角形的性質(zhì)綜合應(yīng)用

型

題10：勾股定理的綜合應(yīng)用

型

題11：中考熱點(diǎn)題型1—幾何中的分類討論

型

題12：中考熱點(diǎn)題型2—作平行線

13：中考熱點(diǎn)題型2—作垂線

題型1：垂線模型

1.如圖，已知VABC中，AB=AC,ABAC=90°,分別過(guò)8、C向過(guò)A的直線作垂線，垂足分別為E、P.

(1)如圖1,過(guò)A的直線與斜邊BC不相交時(shí)，直接寫出線段所、BE、CP的數(shù)量關(guān)系是；

(2)如圖2,過(guò)A的直線與斜邊2c相交時(shí)，探究線段所、BE、CP的數(shù)量關(guān)系并加以證明；

(3)在(2)的條件下，如圖3,直線2交BC于點(diǎn)延長(zhǎng)3E交AC于點(diǎn)G,連接3尸、FG、HG,若

ZAHB=NGHC,EF=CF=6,EH=2FH,四邊形A2FG的面積是90,求GHC的面積.

【分析】(1)數(shù)量關(guān)系為：EF=BE+CF.利用一線三直角得到/BEA=NAFC=90。，ZEBA=ZFAC,再證

△EBA咨AFECCAAS)可得AE=CF即可；

(2)數(shù)量關(guān)系為：EF=BE-CF.先證尸C=90。，ZEBA+ZEAB=90°,ZEAB+ZFAC==90°,可

得/EBA=NFAC,再證△EBA四△FEC(A4S),可得8E=ARAE=CP即可；

(3)先由(2)結(jié)論*BE-CF；EF=CF=6,求出BE=AF=12,由EH=2FH,可求FW=2,EH=4,利

用對(duì)角線垂直的四邊形面積可求BG=V|^=￥；=15,再求EG=3,AH=10,分別求出SAACF=4

AFFC=36,SAHCF=LHFFC=6,S^AGH=-AH-EG=15,利用面積差即可求出.

22

【詳解】解：⑴數(shù)量關(guān)系為：EF=BE+CF.

■:BE2EF,CFLEF,ZBAC=90°,

：.ZBEA=ZAFC=90°,ZEBA^-ZEAB=90°,ZEAB+ZFAC=1SO°-ZBAC=9O°,

：.ZEBA=ZFAC,

在^￡84和4/EC中，

ZAEB=ZCFA

?；lzEBA=ZFAC9

AB=CA

:?XEB器匕FAC(AAS),

?：BE=AF,AE=CF,

：.EF=AF+AE=BE+CF；

(2)數(shù)量關(guān)系為：EF=BE-CF.

VBE±AF,CF±AF,ZBAC=90°,

：.ZBEA=ZAFC=90°,ZEBA+ZEAB=90°,ZEAB+ZFAC==90°,

：.ZEBA=ZFACf

在^EBAbEC中，

NAEB=ZCFA

?：\AEBA=AFAC,

AB=CA

FAC(AAS),

?：BE=AF,AE=CF,

：.EF=AF-AE=BE-CF；

(3)?；EF=BE-CF；EF=CF=6,

：.BE=AF=EF+CF=6+6=12,

*：EH=2FH,EH+FH=EF=6,

：?2FH+FH=6,

解得FH=2,

；?EH=2FH=4,

S四邊形ABFG=|AFBG=90,

：.BG=2=吧=15

AF12

EG=BG-BE=15-12=3,AH=AE+EH=6+4=10,

VSAACF=-AFFC=-X12X6=36,HCF=-HF-FC=-x2x6=6,SAGH=-AH-EG=-xl0x3=15,

22222A2

SAGHC=SAACF-SAHCF-SAAGH=36-6-15=15.

【點(diǎn)睛】本題考查圖形變換探究線段和差問(wèn)題，感知，探究以及應(yīng)用，三角形全等判定與性質(zhì)，三角形面

積，四邊形面積，與三角形高有關(guān)的計(jì)算，掌握?qǐng)D形變換探究線段和差問(wèn)題，感知，探究以及應(yīng)用，三角

形全等判定與性質(zhì)，三角形面積，四邊形面積，與三角形高有關(guān)的計(jì)算是解題關(guān)鍵.

題型2：一線三等角模型

證：BC=AE.

［模型應(yīng)用］如圖2,鉆_￡48且松=48,BCLCD且請(qǐng)按照?qǐng)D中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計(jì)算圖中實(shí)線

所圍成的圖形的面積為.

［深入探究］如圖3,ZBAD=ZCAE=90°,AB=AD,AC=AE,連接BC,DE,且5CLAF于點(diǎn)RDE

與直線■交于點(diǎn)G.若3C=21,AF=12,則△AZ)G的面積為.

【答案】［模型呈現(xiàn)］見(jiàn)解析；［模型應(yīng)用］50；［深入探究］63

【分析】［模型呈現(xiàn)］證明A4BC9根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到5c=他；

［模型應(yīng)用］根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AP=BG=3,AG=EP=6,CG=DH=4,CG=BG=3,根據(jù)梯形

的面積公式計(jì)算，得到答案；

［深入探究］過(guò)點(diǎn)。作加，AG于尸，過(guò)點(diǎn)E作石Q，AG交AG的延長(zhǎng)線于。根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到

DP=AF=12,EQ=AF=12,AP=BF,AQ=CF,證明一。尸Gg/EQG,得到PG=G。.，進(jìn)而求出AG,根

據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可.

【解析】［模型呈現(xiàn)］證明：???NB4D=90。，

???ABAC+ZDAE=90°,

?:BC±AC,DE,LAC,

：.ZACB=ZDEA=90°,

：.ABAC-^-ZABC=90°,

:.ZABC=ZDAE,

在，ABC和-DIE1。

ZABC=ZDAE

<ZACB=/DAE,

BA=AD

：.ABC^DAE(AAS),

：.BC=AE-

［模型應(yīng)用］解：由［模型呈現(xiàn)］可知，「AEPWBAGQCBG'DCH,

：.AP=BG=3,AG=EP=6,CG=DH=4,CG=BG=3,

貝US實(shí)線圍成的圖形=—(4+6)x(3+6+4+3)——x3x6——x3x6——x3x4——x3x4=50,

乙乙乙乙乙

故答案為：50；

［深入探究］過(guò)點(diǎn)。作OP，AG于P,過(guò)點(diǎn)E作石Q，AG交AG的延長(zhǎng)線于Q,

由［模型呈現(xiàn)］可知，AFB”DPA,.AFC冬..EQA,

DP=AF=12,EQ=AF=12,AP=BF,AQ=CF,

在ADPG和二EQG中，

ZDPG=ZEQG

<ZDGP=ZEGQ,

DP=EQ

:.DPGAEQG(AAS),

.??PG=GQ,

?.?BC=21,

：.AQ+AP=21f

：.AP+AP+PG+PG=21,

???AG=AP+PG=10.5,

S=gx10.5x12=63,

故答案為：63.

【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積計(jì)算，熟記三角形確定的判定定理是解題

的關(guān)鍵.

題型3：手拉手模型

3.已知：△ABC與△8OE都是等腰三角形.BA=BC,BD=BE(AB>BD)且有

(1)如圖1,如果A、B、D在一直線上，且NABC=60。，求證：△是等邊三角形；

(2)在第(1)問(wèn)的情況下，直線AE和C。的夾角是。；

(3)如圖2,若A、B、。不在一直線上，但NABC=60。的條件不變則直線AE和C。的夾角是°；

(4)如圖3,若/AC8=60。，直線AE和CD的夾角是°.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)60；(3)60；(4)60；

【分析】(1)根據(jù)題意，得/ABC=NDBE=60。,從而得ZABE=ZDBC；通過(guò)證明，ASE烏,C8D,得

ZBAE=ZBCD；通過(guò)證明BAM-BCN,得BM=BN,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)分析，即可完成證明；

(2)結(jié)合題意，通過(guò)證明VABC為等邊三角形，得NA4C=NBC4=60。；結(jié)合(1)的結(jié)論，根據(jù)三角形

外角性質(zhì)，推導(dǎo)得NA8=120。，從而完成求解；

(3)同理，通過(guò)證明VABC為等邊三角形，得/瓦IC=NBG4=6O。；通過(guò)證明ABE-CBD,得

ZBAE=/BCD；根據(jù)三角形外角性質(zhì)，推導(dǎo)得48=120。，從而完成求解；

(4)根據(jù)題意，通過(guò)證明VABC為等邊三角形，推導(dǎo)得NABE=NCB。，通過(guò)證明ABE”CBD,得

NBAE=NBCD,結(jié)合三角形外角的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案.

【詳解】(1)ZABC=ZDBE=60°

：.ZMBN=1SO°-ZABC-ZDBE=6O°,ZABE=AABC+ZMBN,NDBC=NDBE+ZMBN

：.ZABE=ZDBC

*：BA=BC,BD=BE

..ABE和△CBD中

BA=BC

</ABE=NDBC

BE=BD

：.ABE^-CBD

：.ZBAE=ZBCD

和ABCN中

-/BAE=/BCD

<AB=BC

/ABC=/MBN=60°

???BAM均BCN

：.BM=BN

???BMN為等邊三角形;

(2)VZABC=ZDBE=60°,BA=BC

???VA5C為等邊三角形；

ZBAC=ZBCA=60°

根據(jù)題意，AE和。。相交于點(diǎn)O

?；/BAE=ZBCD

：.ZAOD=AOAC+ZACO=/OAC+/BCA+/BCD=ZOAC+ZBC4+/BAE

■:/OAC+/BAE=/BAC

：.ZAOD=NBAC+NBCA=120°

JZAOC=180°-ZAOD=60°,即直線AE和CD的夾角是60。

故答案為：60；

(3)VZABC=ZDBE=60°,BA=BC

???VABC為等邊三角形；

???ZBAC=ZBCA=60°

VZABE=ZABC+ZMBN,/DBC=/DBE+ZMBN,ZABC=ZDBE=6Q°

：.ZABE=ZDBC

*：BA=BC,BD=BE

石和△CBD中

'BA=BC

<NABE=ZDBC

BE=BD

:.ABE-CBD

：.ZBAE=ZBCD

如圖，延長(zhǎng)AE,交CO于點(diǎn)。

???ZAOD=AOAC+ZACO=ZQ4C+ZBC4+/BCD=ZQ4C+ZBG4+ZBAE

???ZOAC+ZBAE=ZBAC

：.ZAOD=/BAC+NBCA=120°

???ZAOC=180°-ZAOD=60°,即直線AE和CD的夾角是60。

故答案為：60；

(4)*：BA=BC,

：.ZACB=ZCAB

ZACB=60°

：.ZACB=ZCAB=60°

???VABC為等邊三角形

?:BD=BE,ZABC=ZDBE

：.ZDBE=60°

VZABE=ZABC-ZCBE,ZCBD=ZDBE-ZCBE

：.ZABE=ZCBD

A5E1和△CBD中

BA=BC

</ABE=NDBC

BE=BD

：.,ABEMCBD

：.NBAE=ZBCD

分別延長(zhǎng)CD、AE,相較于點(diǎn)O,如下圖:

ZAOF=AOAC+ZACO=ZOAC+ZBCA+/BCD=ZOAC+ZBCA+ZBAE

???ZOAC+ZBAE=ABAC

：.ZAOF=ZBAC+ZBCA=120°

ZAOC=180°-ZAOF=60。，即直線AE和CO的夾角是60°

故答案為：60.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形、等邊三角形、全等三角形、補(bǔ)角、三角形外角的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟

練掌握等邊三角形、全等三角形、三角形外角的性質(zhì)，從而完成求解.

題型4：旋轉(zhuǎn)模型

4.如圖，等邊VA3C中，DE7/BA分別交BC、AC于點(diǎn)E.

(1)求證：,.CDE是等邊三角形；

(2)將CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，(0。＜6＜360。)，設(shè)直線AE與直線8￡＞相交于點(diǎn)尸.

①如圖，當(dāng)0。＜。＜180。時(shí)，判斷N/aB的度數(shù)是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由;

②若AB=7,CD=3,當(dāng)B,D,E三點(diǎn)共線時(shí)，求5。的長(zhǎng).

A

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)①/4FB的度數(shù)是定值，為60。；②5。=5或8.

【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可得NB4C=NABC=NACB=60。，再由DE〃血，可得到

ZEDC=ZABC=60。,ZDEC=ZBAC=60°f從而得到NXDC=NDEC=NC,即可求證；

(2)根據(jù)題意，可證得"CDmACE,從而得到NCBD=NC4E,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180。，即

可求解；

(3)分兩種情況討論：當(dāng)B,D,E三點(diǎn)共線，且。石在5。上方時(shí)，當(dāng)5,D,E三點(diǎn)共線，且。石在

3C下方時(shí)，即可求解.

【詳解】證明：(1)ABC是等邊三角形，

???ZBAC=ZABC=ZACB=60°,

?.?DE//BA,

ZEDC=ZABC=6O°,ZDEC=ZBAC=60°,

ZEDC=ZDEC=ZC,

???CD石是等邊三角形；

(2)解：①“B的度數(shù)是定值，理由如下：

AABC,ACDE是等邊三角形，

：.BC=AC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,

：.ZBCD=ZACE,

在△5CD和ZVICE1中，

BC=AC

</BCD=/ACE,

CD=CE

:.BCDwACE(SAS),

???ZCBD=ZCAE,

又?:Z1=Z2,

：.ZAFB=ZACB=60°,

即/位中的度數(shù)是定值，為60。；

②當(dāng)3,D,E三點(diǎn)共線，且OE在8C上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CFLDE,

A

：CDE是等邊三角形，CFLDE,

13

DF=-CD=~,

22

在Rt^a年中，由勾股定理得：

CF=YJCD2-DF2

2

133

:.BD=BF-FD=-----=5；

22

當(dāng)B,D,E三點(diǎn)共線，且。E在3c下方時(shí)

A

綜上所述，3￡)=5或8.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)，熟練掌握相

關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

題型5：倍長(zhǎng)中線模型

5.(1)如圖1,在AABC中，AB=4,AC=6,是BC邊上的中線，延長(zhǎng)到點(diǎn)E使。E=A。，連接

CE,把AB,AC,2A。集中在AACE中，利用三角形三邊關(guān)系可得A。的取值范圍是；

(2)如圖2,在AABC中，是邊上的中線，點(diǎn)、E,尸分別在AB,AC上，5.DE1DF,求證：BE

+CF>EF；

(3)如圖3,在四邊形4BC。中，/A為鈍角，/C為銳角，ZB+ZADC=180°,DA=DC,E,尸分

別在BC,A8上，且NEDF=g/AOC,連接EF,試探索線段AF,EF,CE之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證

2

明.

【答案】(1)1<AZ)<5:(2)見(jiàn)解析；(3)AF+EC=EF,見(jiàn)解析

【分析】⑴證明「CDE空皮推出CE=AB=4,在八40￡中，利用三角形的三邊關(guān)系解決問(wèn)題即

可.

(2)如圖2中，延長(zhǎng)ED到使得DH=DE,連接DH,FH.證明BDEqCDH(SAS),推出BE=CH,

再證明EF=FH,利用三角形的三邊關(guān)系即可解決問(wèn)題.

(3)結(jié)論：AF+EC=EF.延長(zhǎng)BC到H,使得CH=AF.提供兩次全等證明AF=CE,￡F=EH即可解決問(wèn)題.

【詳解】(1),:CD=BD,AD=DE,ZCDE=ZADB,

：..CDE^ABOA(SAS),

：.EC=AB=4,

V6-4cAE<6+4,

：.2<2AD<10,

：.1<AD<5,

故答案為：

(2)如圖2中，延長(zhǎng)ED到H,使得。H=Z)E,連接DH,FH.

ABDE^/XCDH(SAS),

：.BE=CH,

'：FD±EH,又DE=DH,

：.EF=FH,在中，CH+CF>FH,

"：CH=BE,FH=EF,

:?BE+CF>EF；

(3)結(jié)論：AF+EC=EF.理由：延長(zhǎng)8C到“，使得CH=AF.

VZB+ZAZ)C=180°,

JZA+ZBC￡>=180°,

?；/DCH+NBCD=180。,

NA=/DCH,

?：AF=CH,AD=CD,

：.AFD^CHD(SAS),

：.DF=DH,ZADF=ZCDH,

：.ZADC=ZFDH,

*：ZEDF=-NA。。，

2

ZEDF=-/FDH,

2

???/EDF=/EDH,

?:DE=DE,

/\FDF^/\FDH(SAS),

:?EF=EH,

EH=EC+CH=EC+AF,

：.EF=AF+EC.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中線的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)，解題的

關(guān)鍵是學(xué)會(huì)倍長(zhǎng)中線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考常考題型.

題型6：截長(zhǎng)補(bǔ)短模型

6.問(wèn)題背景：

如圖1：在四邊形A5CD中，AB=AD.ZBAD=120°.ZB=ZADC=90°.E,尸分別是3C.CD上的點(diǎn)，且

NE4尸=60。，探究圖中線段3瓦EF,尸。之間的數(shù)量關(guān)系.

(1)小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)陽(yáng)到點(diǎn)G.使。G=BE.連接AG,先證明△ABEgAAOG,再證

明AAEF絲AAG凡可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是_；(直接寫結(jié)論，不需證明)

探索延伸：

⑵如圖2,若在四邊形ABC。中，AB=AD,ZB+ZADF=180°.E,尸分別是8C,CD上的點(diǎn)，且NEAP=；

/BAD,(1)中結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由；

⑶如圖3,在四邊形ABCD,AB=AD,ZB+ZADC=180°,E、尸分別是邊BC、CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且/014

^ZBAD,(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明：若不成立，請(qǐng)直接寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】｛V)EF=BE+FD

(2)(1)中的結(jié)論EF=8E+FD仍然成立.證明見(jiàn)解析；

⑶結(jié)論EF=8E+ED不成立，結(jié)論是：EF=BE-FD.證明見(jiàn)解析.

【分析】(1)延長(zhǎng)加到點(diǎn)G.使。G=BE.連接AG,利用全等三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題即可；

(2)延長(zhǎng)CB至使BM=DF,連接AM.證明△ABM^AAZ)F(SAS),由全等三角形的性質(zhì)得出AF=AM,

Z2=Z3.AAME^/\AFE(SAS),由全等三角形的性質(zhì)得出EF=BE+BM,則可得出結(jié)論；

(3)在8E上截取BG,使BG=OF,連接AG.證明△ABG經(jīng)△AD尸(SAS).由全等三角形的性質(zhì)得出

ZBAG=ZDAF,AG=AF.證明△AEGgAAEP(SAS),由全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：EF=BE+FD.

延長(zhǎng)尸。到點(diǎn)G.使。G=8E.連接AG,

ZABE=ZADG=ZADC=9Q°,AB=AD,

：.^ABE^^ADG(SAS).

：.AE=AG,ZBAE=ZDAG.

：.ZBAE+ZDAF=ZDAG+ZDAF=ZEAF=60°.

：.ZGAF=ZEAF=6Q°.

^L'：AF=AF,

：.^AGF^^AEF(SAS).

：.FG=EF.

,:FG=DF+DG.

:?EF=BE+FD.

故答案為：EF=BE+FD；

(2)解：(1)中的結(jié)論石尸=88+尸。仍然成立.

證明：如圖②中，延長(zhǎng)C3至使憶連接AM.

VZABC+Z￡>=180°,Z1+ZABC=18O°,

.\Z1=ZZ),

在△與△A。/中，

AB=AD

<Z1=ZD,

BM=DF

：.AABM^AADF(SAS).

：.AF=AM,Z2=Z3.

9：ZEAF=-ZBAD,

2

Z2+Z4=-ZBAD=ZEAF.

2

AZ3+Z4=ZEAF,^ZMAE=ZEAF,

在△AME與△A尸E中，

'AM=AF

</MAE=ZEAF,

AE=AE

：.AAME^AAFE(SAS).

：.EF=ME,即

：.EF=BE+DF；

(3)解：結(jié)論不成立，結(jié)論：EF=BE-FD.

證明：如圖③中，在3E上截取BG,使BG=DF,連接AG.

VZB+ZAZ)C=180°,ZADF+ZADC=180°f

ZB=ZADF.

在△A8G與△A。/中，

'AB=AD

<ZABG=ZADF,

BG=DF

：.AABG^AADF(SAS).

：.ZBAG=ZDAF,AG=AF.

：.ZBAG+ZEAD=ZDAF^-ZEAD=ZEAF=-ZBAD.

2

：.ZGAE=ZEAF.

\'AE=AE,

：.AAEG^AAEF(SAS),

：.EG=EF,

?：EG=BE-BG,

：.EF=BE-FD.

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了三角形全等的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造

全等三角形解決問(wèn)題.

題型7：線段的垂直平分線的綜合應(yīng)用

7.如圖，在，ABC中，AB=AC,ABAC=90°.

(1)如圖1,B。平分NABC交AC于點(diǎn)。，歹為BC上一點(diǎn)，連接AR交BD于點(diǎn)E.

①若AB=BF,求證：BD垂直平分AF；

②若AF_LfiD,求證：AD=CF.

(2)如圖2,BD平分/A3C交AC于點(diǎn)￡>,CE1BD,垂足E在BD的延長(zhǎng)線上.試判斷線段CE和BD的數(shù)量

關(guān)系，并說(shuō)明理由.

(3)如圖3,尸為BC上一點(diǎn)，NEFC=；NB,CE1EF,垂足為E,E戶與AC交于點(diǎn)。.寫出線段CE和

即的數(shù)量關(guān)系(不要求寫出過(guò)程).

【答案】(1)①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析

(2)BD=2CE,理由見(jiàn)解析

⑶CE=；FD

【分析】(1)①由等腰三角形的性質(zhì)可得出答案；

②過(guò)點(diǎn)C作CM，A尸交A尸的延長(zhǎng)線于點(diǎn)“，證明ABE^.C4M(AAS),由全等三角形的性質(zhì)得出

AE=CM,證明AAED之一CMF(ASA),則可得出AD=CF；

(2)延長(zhǎng)54、CE相交于點(diǎn)尸，利用“角邊角”證明.3CE和一段E全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得

CE=EF,根據(jù)等角的余角相等求出/ABD=NACF,然后利用“角邊角”證明和ACF全等，根據(jù)

全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得30=CF,然后求解即可.

(3)過(guò)點(diǎn)下作PG〃區(qū)4,交AC于H,交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.證明CEF均GEF(ASA)，由全等三角形

的性質(zhì)得出CE=GE,證明LCG“四AFD"(ASA),得出CG=O7<則可得出結(jié)論.

【詳解】⑴①證明：AB=BF,BD平分ZABC,

:.BE±AF,AE=EF,

即BD垂直平分AF；

②證明：過(guò)點(diǎn)C作CMLAF交A尸的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Af,

:.ZCAM^ZABE,

在.ABE和CAM4>,

ZAEB=ZAMC

</ABE=ZCAM,

AB=AC

ABE咨CW(AAS),

:.AE=CM,

AF±BD,AF1CM,

BD//CMf

:"FCM=/CBD,

3。平分ZA5C,

:.ZABD=/CBD,

.\ZFCM=ZABDf

:"FCM=/EAD,

在AA￡D和CMF中，

/EAD=ZFCM

<ZAED=ZCMF,

AE=CM

AED^CMF(ASA),

:.AD=CF；

(2)解：BD=2CE.

理由如下：如圖2,延長(zhǎng)B4、CE相交于點(diǎn)尸,

3。平分ZA3C,

:.ZABD=/CBD,

在一BCE和二瓦芯中，

ZCBE=ZFBE

<BE=BE

ZBEF=/BEC=90°

BCEWBFE(ASA),

;.CE=EF,

ABAC=90°,CE上BD,

/.ZACF+ZF=90°,ZABD+ZF=90°,

:.ZABD=ZACFf

在［ABD和ACF中，

ZABD=ZACF

<AB=AC,

ABAC=ZCAF=90°

,ABD^ACF(ASA),

:.BD=CFf

CF=CE+EF=2CE,

:.BD=2CE.

(3)解：CEJFD.過(guò)點(diǎn)尸作尸G〃區(qū)4,交AC于H,交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.

2

;./EFC=/GFE,

又CELFE,

:.ZCEF=ZGEF=90°,

在/CEF和GEF中，

ZCFE=ZGFE

<FE=FE,

ZFEC=ZFEG

:qCEF務(wù)GEF(ASA),

:.CE=GE,即C￡」cG,

2

FG//AB,ZA=90°fAB=ACf

:"CHG=/DHF=90°,CH=FH.

又Z.GCH=ZDFH,

.hCGH-FDH(ASA),

:.CG=DF.

:.CE=LFD.

2

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等

角的余角相等的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，四邊形OACB中,OA±OB,聯(lián)結(jié)OC,SLOA=OB=OC,分別作AC于點(diǎn)E,OF_L3c于

點(diǎn)、F,垂足分別為E、

圖1圖2備用圖

(1)如圖1,當(dāng)OC為ZAO3的平分線時(shí)，試說(shuō)明:OC1EF；

(2)如圖2,延長(zhǎng)昉、OE交于點(diǎn)。,

①直接寫出線段C。、OF、M之間的數(shù)量關(guān)系

②聯(lián)結(jié)AD,若=8,求四邊形Q4O3的面積.

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)@OF=DC+BF；@64

【分析】(1)利用AOC咨,BOC(SAS)和OEC也；ORC(AAS)得至〕JOE=O尸，CE=CF即可得出結(jié)論;

(2)①利用三角形內(nèi)角和性質(zhì)得到,ECD的度數(shù)，從而得出△“已是等腰直角三角形，由

OF=DF=DC+CF=DC+BF即可得到結(jié)果；

②根據(jù)S四邊形AOBD=S&AOD+S^COD+$AOFC+SAOFB即可求解?

【詳解】(1)證明：???。。是—AO5是平分線,

ZAOC=/BOC,

OA=OB

在△AOC和.30。中，＜ZAOC=/BOC,

OC=OC

：.AOC^BOC(SAS),

NOCA=/OCB,

VOELAC,OF±BC,

：.ZOEC=ZOFC=90°,

ZOEC=/OFC

在△OEC和△QFC中，＜/OCE=NOCF,

OC=OC

：.OFC(AAS),

AOE=OF,CE=CF,

???oc垂直平分斯,

???OC.LEF；

(2)解：?OF=DC+BF^

?：OA=OC=OB,

.yMNAOC,ZOCB=i^-ZBOC

22

.360°-(ZAOC+ZBOC)

..ZOCA+ZOCB=-------------------------------二

2

360°-ZAOB360°-90°…。

------------------=--------------=135,

22

/ECD=180°-(ZOC4+ZOCB)=45°,

丁OE1AC,ZOEC=90°,

ZD=ZOEC-ZECD=45°,

*：OB=OC,OFIBC,

：.ZOFC=9009CF=BF9

???△OED是等腰直角三角形,

OF=DF=DC+CF=DC+BF,

:.OF=DC+BF；

②由①知△OQ尸是等腰直角三角形,

D

oB

；.OF=DF=8,ZOFD=90°f

*：OF±BGOB=OC,

：.ZOFC=ZOFB=90°,CF=BF,

OF=OF

在△。尸。和△。尸B中，</OFC=/OFB,

CF=BF

：.OFC^OFB(SAS),

?Q—V

,,UAOFC一屋OFB，

'：OA=OC,OELAC,

?,?OE垂直平分AC,

:.DA=DC,

OA=OC

在△AOD和△CQD中，\DA=DC,

OD=OD

AOD^cor>(sss),

,?S"QO-S^COD，

,?S四邊形AO3D=^^AOD+S^COD+^AOFC+ZoFB=2(SMO0+2OFc)

=2se)尸=2x—x8x8=64.

lA\ULJr2

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握全等三

角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

題型8：角的平分線的綜合應(yīng)用

9.【發(fā)現(xiàn)】如圖1,ZABC=ZC=90°,E為BC的中點(diǎn)，OE平分/ADC,過(guò)點(diǎn)E作EF2AD,垂足為

F,連接AE.

(1)求證：AE是N7MB的平分線；

【拓展】如圖2,AB//DC,44D和NADC的平分線AE和DE相交于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E的直線與A5,DC分

別相交于點(diǎn)8，C（點(diǎn)8,C在的同側(cè)）.

（2）判斷E是否為線段BC的中點(diǎn)，并說(shuō)明理由；

（3）若四邊形ABCD的面積為16,ABE的面積為2,則「CDE的面積是.

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）E為線段BC的中點(diǎn)，理由見(jiàn)解析；（3）6

【分析】本題主要考查角平分線性質(zhì)定理與判定定理、線段垂直平分線的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì),

正確作出輔助線是解決此題的關(guān)鍵.

（1）由題意得砂=EC和EB=EC,根據(jù)角平分線的判定定理即可判定；

（2）過(guò)點(diǎn)E作AB的垂線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)/，交于點(diǎn)G,有FGLCD.作即LAD于點(diǎn)尸，由角

平分線的性質(zhì)可得即=EG,證得△3￡F0Z\CEG,即可求證；

（3）因?yàn)椤搿?四一AEF和有%防+SAOEG=；$四邊形AR?，根據(jù)43跖四△CEG,得到

^△ABE+SADCE=]S四邊形ABCD即可.

【詳解】（1）證明：NC=90。，

:.ECLCD.

又?EFLAD,DE平分NADC,

:.EF=EC.

E為8C的中點(diǎn)，

/.EB=EC，

:.EF=EB.

ZABC=90°,

：.EB.LAB.

又石尸_LAZ）,

.：AE1是mm的平分線;

（2）解：石為線段BC的中點(diǎn);

理由：過(guò)點(diǎn)E作A3的垂線，交A5的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，交于點(diǎn)G,如圖,

,ABCD,

:.FG±CD.

作于點(diǎn)尸，由角平分線的性質(zhì)可得￡F=EP=￡G.

在AB石廠與二CEG中，

ZEFB=ZEGC=90°

<EF=EG,

NBEF=NCEG

Z.BEF^fCEG(ASA),

:.BE=CE,

為線段BC的中點(diǎn)；

(3)解：在△%￡尸和ZkAE尸中，

ZEAP=ZEAF

<ZAPE=ZAFE,

EP=EF

：.AEF(AAS),

則SAEP—SAEF，

同理可證△OEPg/XDEG,則SVOEP=SYDEG，

…S^AEF+S^DEG=5S四邊形A產(chǎn)GO?

又.&BEF學(xué)ACEG,

一SBEF=SCEG,

一^AABE+S/\DCE=]S四邊形Ageo=，

??SCDE=8—2=6.

10.如圖，△CAB與.CDE中，ZACB=ZDCE=90°,CA=CB,CD=CE,ZCAB=ZCBA=45°,

ZCDE=ZCED=45°,連接AD、BE.

圖l圖2圖3

(1)如圖1,若NC4r>=20。，ZDCB=26。,求NDEB的度數(shù)；

(2)如圖2,若CE〃AB,AD平分ZR4C,求證：CD+AC=AB；

(3)如圖3,BE與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G,若CDLAD,延長(zhǎng)C。與AB交于點(diǎn)N,在BC上有一點(diǎn)Af,且

BM=CG,連接M0,請(qǐng)猜想CN、NM、3G之間的數(shù)量關(guān)系并證明你的猜想.

【答案】(1)51。

(2)見(jiàn)解析

e)CN+MN=BG,證明見(jiàn)解析

【分析】本題是三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的

關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題.

(1)先證明,ACD組3CE(SAS),可得/ADC=/BEC,由NOCB=26。，ZCAD20°,得

ZACD=ZACB-ZDCB=64°,Z.BEC=ZADC=180°-ZACD-ACAD=96°,再結(jié)合

/DEB=ZBEC-ACED即可求解；

(2)延長(zhǎng)CO交AB于尸，在AB上取AG=AC,連接DG,由題意可得/BFC=90。，ZBCE=ZCBA=45°,

ZBCF=AACF=45°=ZCBA,進(jìn)而可得班'=由AD平分/BAC,可知NG4。=NG4D,易證

ADG^.AZ)C(SAS),可得ZAGD=ZACF=45。，則NFDG=45°,可知。尸=GF,可證3G=CD,由

AB=AG+BG=AC+CD,即可證明結(jié)論；

(3)如圖，結(jié)論：OV+肱V=3G.如圖過(guò)點(diǎn)3作BTLBC交CN的延長(zhǎng)線于T.證明一CBT空BCG(ASA),

BW^BAT(SAS),利用全等三角形的性質(zhì)，可得結(jié)論.

【詳解】(1)解：ZACB=ZDCE=90°,即ZACD+ZBCDuNBCD+NBCEngO。，

ZACD=ZBCE,

XVCA=CB,CD=CE,

_AC由一fiCE(SAS)

：./ADC=/BEC,

'："CB=26。，

ZACD=ZACB-ZDCB=90°-26°=64°,

ZC4D=20°,

：.々￡。=/4￡2=180。-/48-/。1￡>=96。，

又,:ZCED=45°,

：.NDEB=ZBEC-ZCED=51。；

(2)證明：延長(zhǎng)CD交AB于歹，在AB上取AG=AC,連接￡>G,

:CE〃AB,ZACB=ZDCE=90°,ZCAB=ZCBA=45°,

：.NBCE=NCBA=45°,ZBFC=90°,

貝I]ZBCF=ZACF=45°=ZCBA,

：.BF=CF,

'：A￡>平分/A4C,

ZGAD=ZCAD,

VAG^AC,AD^AD,

ADgADC(SAS),

/.ZAGD=ZACF=45°,貝！|ZFDG=45°,

DF=GF,

VBF=CF,BG+GF=CD+DF,

：.BG=CD,

貝(JAB=AG+3G=AC+CD；

即：CD+AC=AB；

(3)結(jié)論：CN+MN=BG.

理由：如圖過(guò)點(diǎn)B作BTLBC交CN的延長(zhǎng)線于T,

,?/CBA=45°,

/.ZNBT=45°,

'：AD±CD,

：.ZAZ)C=90°,

由(1)可知VACC^VBCE,

ZADC=ZBEC=90°,

ZBCT+ZECB=90°,ZECB+ZCBG=90°,

ZBCT=ZCBG,

ZCBT=ZBCG=9O°,BC=CB,

CBT空BCG(ASA),

BT=CG,CT=BG,

BM=CG,

BM=BT,

ZNBM=ZNBT=45°,BN=BN,

BNM-BNTg網(wǎng),

MN=NT,

CN+MN=CN+NT=CT=BG.

題型9:直角三角形的性質(zhì)綜合應(yīng)用

11.如圖，在四邊形ABCD中，AC平分ZA4。，且N3+"=180。.

(1)求證：CB=CD；

(2)如圖2,其余條件不變，若448=90。,43=8,/。=。.

(3)如圖3,其余條件不變，若4AD=120。，判斷AB,AC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)60

O)AB+AD=AC,見(jiàn)解析

【分析】(1)過(guò)點(diǎn)C作CE人于點(diǎn)E,CFLAD交AO延長(zhǎng)線于點(diǎn)孔角平分線的性質(zhì)，得到CE=CF,

證明CBEMCDF(AAS),即可得證；

(2)延長(zhǎng)AB,￡>C交于點(diǎn)E,證明iACE^..ACD(ASA),得到CE=C￡>,/E=/。，證明ZEBC=NE=ZECB,

進(jìn)而求出NE=60。，即可得出結(jié)果;

（3）過(guò)點(diǎn)C作CE1AB交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,于點(diǎn)區(qū)先證明RtACE絲RtACD（HL）,得到

AE=AF,ZAEC=ZD,再證明CBE^,CDF（AAS）,得到BE尸，根據(jù)線段的和差關(guān)系，以及含30

度角的直角三角形的性質(zhì)，即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE1AB于點(diǎn)E,CFLAD交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)足

；AC平分N&LD,

CE=CF,

?.?ZB+ZADC=180°,ZCDF+ZADC=180。，

：.ZB=ZCDFf

丁ZCEB=ZCFD=90°,

???CBE^CDF（AAS）f

：.CB=CD；

（2）解：如圖，延長(zhǎng)AB,DC交于點(diǎn)及

：.ZEAC=ZDAC,

;^ACD=9Q°,

???NACE=90。，

ZACE=ZACD=90°f

■:AC=AC,

：.ACE^ACD（ASA）,

CE=CD,NE=ND,

?:AB=CD,

：.CE=CD=AB,

?.?ZABC+ZD=180°,ZABC+Z.EBC=180。，

NEBC=ND,

：.NEBC=NE,

：.CE=CB,

:.CE=CB=AB,

/BCA=/BAC,

9：ABAC=ADAC,

:.ZBCA=ZDACf

：.BC//AD,

ZBCE=ZD,

：.ZEBC=ZE=ZECB,

Z￡BC+ZE+ZECB=180°,

???/EBC=AE=NECB=60°,

：.ZD=60°,

故答案為：60；

(3)解：AB^AD=AC,理由如下：

如圖，過(guò)點(diǎn)。作CE1AB交A3延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,C尸，AD于點(diǎn)凡

C

???AC平分

CE=CF,ABAC=ADAC=-ABAD=-xl20°=60°,

22

?:AC=AC,

ARtACE^RtACD(HL),

AE=AF,ZAEC=ZDf

,/ZABC+Z￡)=180°,ZABC+NEBC=180°,

ZEBC=ZD,

:NCEB=NCFD=90°,

：...CBE^CDF(AAS),

/.BE=DF,

：.AB+AD=AE-BE+AF+DF=AE+AF=2AE,

?：ZEAC=60°,ZCEB=90°,

/.NACE=30。，

?\AC=2AE,

：.AB+AD=AC.

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的

直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，添加輔助線構(gòu)造特殊圖形和全等三角形，是解題的關(guān)鍵.

12.如圖1,等腰三角形ABC和等腰三角形ADE共頂點(diǎn)A,AB=AC,AD=AE,連接B。、CE.利用

所學(xué)知識(shí)解決下列問(wèn)題：

(1)^ABAC=ZDAE,求證：BD=CE；

(2)連接8E,當(dāng)點(diǎn)。在線段8E上時(shí)：

①如圖2,若/區(qū)4C=NZME=60。，則/3EC的度數(shù)為一，線段2￡)與CE之間的數(shù)量關(guān)系是二

②如圖3,若N54C=ND4E=90。，40為VADE中。E邊上的中線，請(qǐng)判斷N3EC的度數(shù)及線段

AM.BE、CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【答案】⑴見(jiàn)解析；

(2)①60°,BD=CE；?ZBEC=90°,BE=CE+2AM

【分析】(1)利用SAS證明汪△ACE即可得證；

(2)①利用SAS證明叵△ACE得出BD=CE,ZADB=ZAEC,然后證明VADE是等邊三角形即

可求解；

②利用SAS證明△ABD^ACE得出,然后利用等腰三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】(1)證明：VZBAC=ZDAE,

：.ZBAD=ZCAE,

在△ABD和/VICE1中

AB=AC

<NBAD=NCAE,

AD=AE

???ABD竺AC石(SAS),

:.BD=CE：

(2)解：①???ZBAC=NZME=60。，

.\ZBAD=ZCAE,

在△ABD和△ACE中

AB=AC

</BAD=/CAE,

AD=AE

??..ABD空AC石(SAS),

：.BD=CE,ZADB=ZAECf

VAD=AE,ZZME=60°,

**?VAD￡是等邊三角形，

：.ZADE=ZAED=60°,

：.ZADB=ZAEC=1SO°-ZADE=120°=ZAEC,

：.Z.BEC=ZAEC-ZAED=60°.

故答案為：60°,BD=CE；

②NBECugOoiEuCE+ZAM,理由如下:

*：ABAC=ZDAE=90°,

：.ZBAD=ZCAE,

在△ABD和△ACE中

AB=AC

<ABAD=/CAE,

AD=AE

：.ABD^ACE(SAS),

；?BD=CE,ZADB=ZAEC,

AD=AE,ZDAE=900,

/.VADE是等腰直角三角形,

ZADE=ZAED=45°,

ZADB=1800-ZADE=135°=ZAEC,

：.Z.BEC=ZAEC-ZAED=90°.

?-?ZDAE=90°,AAf為V">E中DE邊上的中線，

/.AM=-DE,即DE=2AM,

2

又BE=BD+DE,BD=CE,

：.BE=CE+2AM.

【點(diǎn)睛】本題是結(jié)合了直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的

性質(zhì)與判定等知識(shí)的綜合問(wèn)題，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，由簡(jiǎn)入難，層層推進(jìn)是解答關(guān)鍵.

題型10:勾股定理的綜合應(yīng)用

13.在VABC中，AC=BC,。為AB的中點(diǎn)，E、尸分別為AC、3C上的動(dòng)點(diǎn).

(1)若NC=90。，當(dāng)ED=￡D時(shí)，是否成立？若成立，結(jié)合圖1給出證明；若不成立，在圖1中舉

出反例；

(2)如圖2,當(dāng)/C+/￡Z/=180。時(shí)，求證：DE=DF；

(3)若/C=120。，NEDF=60。,AB=4,直接寫出所,的長(zhǎng)度的范圍為一

【答案】(1)不成立，見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

(3)1<￡F2<-

【分析】(1)連接C。，過(guò)點(diǎn)。作AC和的垂線，垂足分別為G、H,利用HL證明RtAEDG絲RtAEDH

和RtZ\EDG^Rt/\F'DH,得到ZEDF=90°或ZEDF'H90°；

(2)在BC上取點(diǎn)G,使BG=AE,連接DG,證明一ADE空BDG(SAS)，推出DE=DG,ZDEA=ZDGB,

再利用四邊形內(nèi)角和以及鄰補(bǔ)角的性質(zhì)得到NDEC=NDFG=NDGC,根據(jù)等角對(duì)等邊即可證明DE=DF；

(3)連接CD,作。G,3c于點(diǎn)G,求得C。和DG的長(zhǎng)，先證明乃是等邊三角形，得到￡F=D尸，

當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)G重合時(shí)，EF=。產(chǎn)有最小值為1,當(dāng)點(diǎn)廠與點(diǎn)C重合時(shí)，尸有最大值為空，據(jù)此

3

即可求解.

【詳解】(1)解：如圖，連接8,過(guò)點(diǎn)。作AC和3C的垂線，垂足分別為G、H,

VZC=90°,AC=BC,。為AB的中點(diǎn)，

???CO是NACB的平分線，ZGDH=90°,

:?DG=DH,

,:ED=FD,

：.RtEDG^RtFDH(HL),

???NEDG=ZFDH,ZEDF=ZFDH+Z.EDH=ZEDG+ZEDH=ZGDH=90°；

同理RtEDG@LFDH(明,顯然/EDF'w90。,

￡D_LFD不一定成立；

(2)證明：如圖，在上取點(diǎn)G,使5G=AE,連接。G,

VAC=BC,。為AB的中點(diǎn),

：?AD=BD,ZA=ZB,

.」ADEWABDG(SAS),

:,DE=DG,/DEA=/DGB,

:?NDEC=ZDGC,

ZC+ZEDF=180°,

:.ZDEC+NDFC=180°,

Z￡)FG+Z￡)FC=180°,

:./DEC=ZDFG=ZDGC,

JDG=DF,

:.DE=DF；

(3