4.3.2 等比數(shù)列的前n項和公式(基礎(chǔ)知識+基本題型)(含解析)-【一堂好課】2022-2023學年高二數(shù)學同步名師重點課堂(人教A版2019選擇性必修第二冊)_第1頁
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倒賣拉黑,關(guān)注更新免費領(lǐng)取,淘寶唯一每月更新店鋪:知二教育倒賣拉黑,關(guān)注更新免費領(lǐng)取,淘寶唯一每月更新店鋪:知二教育4.3.2等比數(shù)列的前n項和公式(基礎(chǔ)知識+基本題型)知識點一等比數(shù)列的前n項和公式1.等比數(shù)列的前n項和公式等比數(shù)列的前n項公比已知量適用公式首項首項、公比、項數(shù)首項、公比、末項警示(1)在運用等比數(shù)列的前n項和公式時,一定要注意對公比進行討論.(2)由等比數(shù)列的通項公式及其前項和公式可知,已知中任意三個量,便可解方程組求出另外兩個量.(3)當時,若已知及,則用公式較好;若已知,則用公式較好.2.等比數(shù)列的前n項和公式的推導一般的,對于等比數(shù)列,它的前n項和是.根據(jù)等比數(shù)列的通項公式,上式可寫成.①由①式兩邊分別乘,得.②由,得.當時,等比數(shù)列的前n項和公式為.上述推導方法叫做錯位相減法.因為,所以上面的公式還可以寫成.當時,數(shù)列變?yōu)椋椎盟那皀項和為.拓展錯位相減法是指在求和式子的左右兩邊先同乘等比數(shù)列的公比,再錯位相減,使其轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和的問題.此種方法一般應(yīng)用于形如數(shù)列的求和,其中數(shù)列是等差數(shù)列,數(shù)列是等差數(shù)列.此種方法求和步驟如下:設(shè)數(shù)列是公差為的等差數(shù)列,設(shè)數(shù)列是公比為的等比數(shù)列,設(shè)數(shù)列滿足,則的前n項和為.①.②由,得,所以.在寫出與的表達式時,應(yīng)特別注意將兩式錯項對齊,以便于下一步準確寫出的表達式.知識點二等比數(shù)列的前n項和的常用性質(zhì)1.在等比數(shù)列中,公比為.(1)若共有項,則;(2)若共有()項,則(,且).2.在等比數(shù)列中,公比為,前項和為,則構(gòu)成公比為的等比數(shù)列,即等比數(shù)列的前項的和與以后依次項的和構(gòu)成等比數(shù)列.3.(為公比).拓展兩個常用性質(zhì)的證明(1)等比數(shù)列的公比為,若項數(shù)為,則.證明:因為項數(shù)為,所以當時,,,所以;當時,,,結(jié)論顯然成立.綜上可得,.(2)若等比數(shù)列的公比為,首項為,則.證明:當時,,,所以;當時,,原結(jié)論成立.綜上可得,.知識點三等比數(shù)列前n項和的函數(shù)特性1.當公比時,我們已經(jīng)求得等比數(shù)列前項和的公式是,它可以變形為,設(shè),上式可寫成.由此可見,非常數(shù)列的等比數(shù)列的前項和是由一個指數(shù)式與一個常數(shù)的和構(gòu)成的,而指數(shù)式的系數(shù)與常數(shù)項互為相反數(shù).當公比時,因為,所以是的正比例函數(shù).2.如果已知數(shù)列的前項和的公式為,那么這個數(shù)列一定是等比數(shù)列.理由:因為,當時,;當時,,也符合上式.所以.于是,因此,對任意的,都有(常數(shù)),所以數(shù)列是等比數(shù)列,其首項為,公比為.拓展(1)當時,,注意到指數(shù)式的系數(shù)和常數(shù)項互為相反數(shù),且.(2)當時,數(shù)列的圖象是函數(shù)圖象上一群孤立的點;當時,數(shù)列的圖象是正比例函數(shù)圖象上一群孤立的點.考點一等比數(shù)列前n項和的基本運算例1設(shè)等比數(shù)列的公比,前項和為,已知,求的通項公式.解:由題意,知,,則.由②,得,,即,因為,解得或.當時,代入①,得,通項公式;當時,代入①,得,通項公式.綜上,當時,;當時,.總結(jié):在運用等比數(shù)列的前n項和公式時,要注意公比和兩種情形.在解有關(guān)的方程組時,通常用約分或兩式相除的方法進行消元.考點二等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)例2在等比數(shù)列中,若前10項的和,前20項的和,求前30項的和.分析:可先利用和聯(lián)立解得公比q的值,再代入求和公式求得,也可直接利用等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)解題.解:方法1:設(shè)數(shù)列的首項為a1,公比為q,顯然,則 由,得,所以.所以.方法2:因為,,仍成等比數(shù)列.且,,所以,即.(1)上述兩種解法中均滲透了“整體思想”的應(yīng)用,其中方法1中“兩式整體作商”,并巧用優(yōu)化解題過程,減少了運算量.方法2中“每10項和”視為一個整體,構(gòu)造新的等比數(shù)列,從而將問題解決,應(yīng)重視“整體思想”的應(yīng)用練習,這對等比數(shù)列問題的順利求解大有幫助.(2)高次方程的處理方法:因為在等比數(shù)列中,無論是通項公式還是前n項和公式,均與q的若干次冪有關(guān),所以在解決等比數(shù)列問題時,經(jīng)常出現(xiàn)高次方程,為達到降冪的目的,在解方程組時經(jīng)常利用兩式相除,以達到整體消元的目的.例3已知等比數(shù)列的首項是1,項數(shù)是偶數(shù),其奇數(shù)項的和為85,偶數(shù)項的和為170,求此數(shù)列的公比和項數(shù).分析:(1)常規(guī)解法:依據(jù)前n項和公式,結(jié)合性質(zhì)——偶數(shù)項、奇數(shù)項也構(gòu)成等比數(shù)列,列方程組求解.(2)簡便解法:應(yīng)用性質(zhì)求解.解:設(shè)原等比數(shù)列的公比為q,項數(shù)為.方法1:由已知,,有 由,得.所以,即,所以.故公比為2,項數(shù)為8.方法2:因為,所以.又因為,,據(jù),得,所以,所以.故公比,項數(shù)為8.在遇到奇數(shù)項和與偶數(shù)項和的時候,如果總項數(shù)為2n,要優(yōu)先考慮利用奇數(shù)項和與偶數(shù)項和之間的關(guān)系式:,運用此式能非常迅速地求出公比q.考點三錯位相減法的應(yīng)用例4已知數(shù)列的首項,,.(1)求證:數(shù)列是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列的前n項和.分析:先將遞推公式進行運算變形后轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的形式,再求通項公式,最后求“運算數(shù)列”的前n項和.(1)證明:因為,所以,所以.又因為,所以,所以數(shù)列是以為首項,為公比的等比數(shù)列.(2)解:由(1),知,即,所以.設(shè), ①則. ②由①-②,得所以.又因為,所以數(shù)列的前n項和.本題以方程為工具,力求轉(zhuǎn)化為宗旨,體現(xiàn)了“整體代換”思想的巨大威力,由變形為是關(guān)鍵的一步,這直接影響到后續(xù)問題能否順利解決.考點四等比數(shù)列前n項和的實際應(yīng)用例5從社會效益和經(jīng)濟效益出發(fā),某地投入資金進行生態(tài)環(huán)境建設(shè),并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè).根據(jù)規(guī)劃,本年度投入800萬元,以后每年投入將比上年減少,本年度當?shù)芈糜螛I(yè)收入估計為400萬元,由于該項建設(shè)對旅游業(yè)的促進作用,預(yù)計今后的旅游業(yè)收入每年會比上年增加.(1)設(shè)n年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為萬元,旅游業(yè)總收入為萬元,求,的表達式;(2)至少經(jīng)過幾年旅游業(yè)的總收入才能等于總投入?分析:(1)表示n年內(nèi)投入的總和,表示n年內(nèi)旅游業(yè)收入的總和,均需利用等比數(shù)列的前n項和公式進行求解;(2)令,求出n的值即可.解:(1)第一年投入為800萬元.第二年投入為萬元,第n年投入為萬元,所以n年內(nèi)的總投入為第一年旅游業(yè)收入為400萬元,第二年旅游業(yè)收入為萬元,第n年旅游業(yè)收入為萬元所以n年內(nèi)的旅游業(yè)總收入為.(2)設(shè)至少經(jīng)過n年旅游業(yè)的總收入才能等于總投入,由此得,即,化簡,得.設(shè),代入上式得.解此方程,得或(舍去).要使總收入等于總投入必須使,由此得.由于,故取.故至少經(jīng)過5年旅游業(yè)的總收入才能等于總投入.解等差數(shù)列、等比數(shù)列應(yīng)用題時,首先要認真審題,深刻理解問

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