專題04 圓的方程及圓的位置關(guān)系（14大考點(diǎn)知識串講+熱考題型+專題訓(xùn)練）

專題04圓的方程及圓的位置關(guān)系知識點(diǎn)1圓的方程1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（1）定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做圓。其中，定點(diǎn)稱為圓心，定長稱為圓的半徑。（2）確定圓的基本要素是：圓心和半徑（3）圓的方程：圓心為，半徑長為的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（4）幾種特殊位置的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程條件方程的標(biāo)準(zhǔn)形式圓心在原點(diǎn)圓過原點(diǎn)圓心在軸圓心在軸圓心在軸上且過原點(diǎn)圓心在軸上且過原點(diǎn)圓與軸相切圓與軸相切圓與兩坐標(biāo)軸都相切2、圓的一般方程（1）定義：當(dāng)時(shí)，方程叫做圓的一般方程.其中為圓心，為半徑.（2）圓的一般方程的形式特點(diǎn)：=1\*GB3①項(xiàng)的系數(shù)相同且不等于0（和的系數(shù)如果是不為1的非零常數(shù)，只需在方程兩邊同時(shí)除以這個(gè)常數(shù)即可）；=2\*GB3②不含項(xiàng)；=3\*GB3③（3）一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程關(guān)系：對方程的左邊配方，并將常數(shù)移項(xiàng)到右邊，得，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知：=1\*GB3①當(dāng)時(shí)，方程只有實(shí)數(shù)解.它表示一個(gè)點(diǎn).=2\*GB3②當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)解，因而它不表示任何圖形．=3\*GB3③當(dāng)時(shí)，可以看出方程表示以為圓心，為半徑的圓.3、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，半徑為.設(shè)所給點(diǎn)為，則位置關(guān)系判斷方法幾何法代數(shù)法點(diǎn)在圓A上或點(diǎn)在圓A內(nèi)或點(diǎn)在圓A外或4、軌跡與軌跡方程（1）軌跡方程和軌跡的定義已知平面上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的軌跡方程是指點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式。軌跡是指點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)變化過程中形成的圖形，在解析幾何中，我們常常把圖形看作點(diǎn)的軌跡（集合）.“軌跡”與“軌跡方程”有區(qū)別：=1\*GB3①“軌跡”是圖形，要指出形狀、位置、大?。ǚ秶┑忍卣鳎?2\*GB3②“軌跡方程”是方程，不僅要給出方程，還要指出變量的取值范圍。2、坐標(biāo)法求軌跡方程的步驟第一步建系：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；第二步設(shè)點(diǎn)：用表示軌跡（曲線）上任意一點(diǎn)的的坐標(biāo)；第三步列式：列出關(guān)于的方程；第四步化簡：把方程化為最簡形式；第五步證明：證明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)。知識點(diǎn)2直線與圓的位置關(guān)系1、直線與圓的位置關(guān)系判斷（1）幾何法判斷直線與圓的位置關(guān)系：直線與圓，圓心到直線的距離=1\*GB3①直線與圓相離無交點(diǎn)；=2\*GB3②直線與圓相切只有一個(gè)交點(diǎn)；=3\*GB3③直線與圓相交有兩個(gè)交點(diǎn).（2）代數(shù)法判斷直線與圓的位置關(guān)系：聯(lián)立直線方程與圓的方程，得到，通過解的個(gè)數(shù)來判斷：=1\*GB3①當(dāng)時(shí)，直線與圓有2個(gè)交點(diǎn)，，直線與圓相交；=2\*GB3②當(dāng)時(shí)，直線與圓只有1個(gè)交點(diǎn)，直線與圓相切；=3\*GB3③當(dāng)時(shí)，直線與圓沒有交點(diǎn)，直線與圓相離；2、直線與圓相交時(shí)的弦長求法：（1）幾何法：利用圓的半徑，圓心到直線的距離，弦長之間的關(guān)系，整理出弦長公式為：（2）代數(shù)法：若直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)易求出，求出交點(diǎn)坐標(biāo)后，直接用兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算弦長；（3）弦長公式法：設(shè)直線與圓的交點(diǎn)為，，將直線方程代入圓的方程，消元后利用根與系數(shù)的關(guān)系得到弦長3、直線與圓相切時(shí)的切線問題（1）求過某點(diǎn)的圓的切線問題時(shí)，應(yīng)首先確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，再求切線方程。=1\*GB3①若點(diǎn)在圓上（即為切點(diǎn)），則過該點(diǎn)的切線只有一條；=2\*GB3②若點(diǎn)在圓外，過該點(diǎn)的切線有兩條，此時(shí)應(yīng)注意切線斜率不存在的情況【注意】過圓內(nèi)一點(diǎn)，不能作圓的切線。（2）求過圓上一點(diǎn)的切線方程法一：先求出切點(diǎn)與圓心的連線斜率，若不存在，則結(jié)合圖形可直接寫出切線方程；若，則結(jié)課圖形可直接寫出切線方程；若存在且，則由垂直關(guān)系知切線的斜率為，由點(diǎn)斜式寫出切線方程。法二：若不存在，驗(yàn)證是否成立；若存在，設(shè)點(diǎn)斜式方程，用圓心到直線的距離等于半徑列方程，解出方程即可。（3）過圓外一點(diǎn)的圓的切線方程法一：當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)為，則切線方程為，即由圓心到直線的距離等于半徑，即可求出的值，進(jìn)而寫出切線方程；法二：當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)為，則切線方程為，即代入圓的方程，得到一個(gè)關(guān)于的一元二次方程，由，求得，切線方程即可求出。知識點(diǎn)3圓與圓的位置關(guān)系1、圓與圓的位置關(guān)系判斷（1）幾何法：若兩圓的半徑分別為，，兩圓連心線的長為d位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示交點(diǎn)個(gè)數(shù)01210d與，的關(guān)系（2）代數(shù)法：通過兩圓方程組成方程組的公共解的個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷．消元，一元二次方程2、兩圓的公切線（1）定義：與兩個(gè)圓都相切的直線叫做兩圓的公切線，包括外公切線和內(nèi)公切線；（2）兩圓的位置關(guān)系與公切線的條數(shù)的關(guān)系位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示公切線條數(shù)4條3條2條1條無公切線（3）兩圓公切線方程的確定=1\*GB3①當(dāng)公切線的斜率存在時(shí)，可設(shè)公切線方程為，由公切線的意義（兩圓公公的切線）可知，兩圓心到直線的距離分別等于兩圓的半徑，這樣得到關(guān)于和的方程，解這個(gè)方程組得到，的值，即可寫出公切線的方程；=2\*GB3②當(dāng)公切線的斜率不存在時(shí)，要注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，觀察并寫出公切線的方程。3、兩圓公共弦所在直線方程圓：，圓：，則為兩相交圓公共弦方程.【注意】（1）若與相切，則表示其中一條公切線方程；（2）若與相離，則表示連心線的中垂線方程.考點(diǎn)1求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程【例1】（2023秋·重慶·高二校考階段練習(xí)）圓心為，且經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A．B．C．D．【變式1-1】（2023秋·吉林長春·高二校考期中）圓心在軸上，并且過點(diǎn)和的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A．B．C．D．【變式1-2】（2023秋·四川眉山·高二校考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知、兩點(diǎn)，若圓以為直徑，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A．B．C．D．【變式1-3】（2023秋·重慶·高二?？茧A段練習(xí)）若的三個(gè)頂點(diǎn)分別是，，，則的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【變式1-4】（2023秋·四川遂寧·高二?？茧A段練習(xí)）分別根據(jù)下列條件，求圓的方程：（1）過點(diǎn)，，且圓心在直線上；（2）過、、三點(diǎn)．考點(diǎn)2二元二次方程與圓的關(guān)系【例2】（2023秋·浙江·高二校考階段練習(xí)）若，則方程表示的圓的個(gè)數(shù)為（）A．1B．2C．3D．4【變式2-1】（2023秋·浙江臺(tái)州·高二?？茧A段練習(xí)）已知方程表示圓，則的取值范圍是．【變式2-2】（2023秋·浙江嘉興·高二?？茧A段練習(xí)）若方程表示圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【變式2-3】（2023秋·黑龍江哈爾濱·高二?？茧A段練習(xí)）若表示圓的一般方程，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【變式2-4】（2023秋·廣西河池·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）已知方程，則下列說法正確的是（）A．方程表示圓，且圓的半徑為1時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，方程表示圓心為的圓C．當(dāng)時(shí)，方程表示圓且圓的半徑為D．當(dāng)時(shí)，方程表示圓心為的圓考點(diǎn)3與圓有關(guān)的對稱問題【例3】（2023秋·北京豐臺(tái)·高二統(tǒng)考期中）已知圓關(guān)于直線對稱，則實(shí)數(shù)（）A．B．C．D．或【變式3-1】（2023秋·河北保定·高二校考階段練習(xí)）若圓關(guān)于直線對稱，則此圓的半徑為．【變式3-2】（2022·全國·高二專題練習(xí)）點(diǎn)M，N是圓＝0上的不同兩點(diǎn)，且點(diǎn)M，N關(guān)于直線x－y＋1＝0對稱，則該圓的半徑等于（）A．B．C．3D．9【變式3-3】（2023秋·寧夏銀川·高二?？计谥校﹫A：關(guān)于直線對稱的圓的方程為（）A．B．C．D．【變式3-4】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）若圓和圓關(guān)于直線對稱，則直線的方程是考點(diǎn)4與圓有關(guān)的軌跡問題【例4】（2023·全國·高二專題練習(xí)）古希臘幾何學(xué)家阿波羅尼斯證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程為（）A．B．C．D．【變式4-1】（2022秋·內(nèi)蒙古包頭·高二統(tǒng)考期末）已知兩點(diǎn)，.若動(dòng)點(diǎn)M滿足，則“”是“動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是圓”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【變式4-2】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)定點(diǎn)M(－3，4)，動(dòng)點(diǎn)N在圓x2＋y2＝4上運(yùn)動(dòng)，以O(shè)M、ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點(diǎn)P的軌跡.【變式4-3】（2023秋·新疆烏魯木齊·高二?？茧A段練習(xí)）已知的斜邊為AB，且.求:（1）外接圓的一般方程;（2）直角邊的中點(diǎn)的軌跡方程．【變式4-4】（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知圓過三個(gè)點(diǎn).（1）求圓的方程；（2）過原點(diǎn)的動(dòng)直線與圓相交于不同的兩點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)的軌跡.考點(diǎn)5直線與圓的位置關(guān)系判斷【例5】（2023秋·江蘇南通·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）直線與圓的位置關(guān)系是（）A．相交B．相切C．相離D．不確定【變式5-1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)在圓內(nèi)，則直線與圓的位置關(guān)系是（）A．相切B．相交C．相離D．不確定【變式5-2】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）（多選）直線與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不可能為（）A．0B．1C．2D．3【變式5-3】（2023秋·江西九江·高二?？茧A段練習(xí)）直線與圓的位置關(guān)系為.【變式5-4】（2023秋·江西南昌·高二校考階段練習(xí)）（多選）下列直線中，與圓：相切的有（）A．B．C．D．考點(diǎn)6由直線與圓位置關(guān)系求參【例6】（2023秋·云南曲靖·高二校考階段練習(xí)）若直線與圓相切，則等于【變式6-1】（2023秋·重慶·高二校聯(lián)考期中）（多選）若過點(diǎn)的直線l與圓有公共點(diǎn)，則直線l的斜率可為（）A．B．C．D．【變式6-2】（2023秋·天津·高二?？茧A段練習(xí)）已知直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【變式6-3】（2023秋·黑龍江齊齊哈爾·高二校聯(lián)考期中）已知直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【變式6-4】（2023秋·浙江舟山·高二校考階段練習(xí)）若圓上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線l：的距離為2，則c的取值范圍是（）A．B．C．D．考點(diǎn)7求圓的切線方程【例7】（2023秋·遼寧鞍山·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）過點(diǎn)作圓：的切線，切線的方程為．【變式7-1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）過點(diǎn)作圓的切線，則切線的方程為.【變式7-2】（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·高二校考階段練習(xí)）已知圓，自點(diǎn)作圓的切線，則切線的方程．【變式7-3】（2023秋·河北衡水·高二校考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，圓.（1）求的取值范圍，并求出圓心坐標(biāo)；（2）若圓的半徑為1，過點(diǎn)作圓的切線，求切線的方程.【變式7-4】（2023秋·貴州·高二貴校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓的圓心在直線上，且經(jīng)過點(diǎn)和．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若自點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過軸反射后，其反射光線所在的直線與圓相切，求直線的方程．考點(diǎn)8與切線長有關(guān)的問題【例8】（2023秋·天津·高二?？茧A段練習(xí)）已知圓被直線截得的弦長為，若過點(diǎn)作圓的切線，則切線長為.【變式8-1】（2022秋·江蘇泰州·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）點(diǎn)在圓：上，，，則最小時(shí)，.【變式8-2】（2023秋·湖北荊州·高二校考階段練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為，則的最小值為（）A．1B．C．D．2【變式8-3】（2023秋·廣東·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓，點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作直線與圓相切于點(diǎn)，則的周長的最小值為.【變式8-4】（2023·全國·高二專題練習(xí)）過圓：上一點(diǎn)作圓：的兩切線，切點(diǎn)分別為，，設(shè)兩切線的夾角為，當(dāng)取最小值時(shí)，.考點(diǎn)9切點(diǎn)弦及其方程應(yīng)用【例9】（2022秋·河南許昌·高二?？茧A段練習(xí)）過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，則．【變式9-1】（2022秋·廣西梧州·高二?？茧A段練習(xí)）過坐標(biāo)原點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，，直線被圓截得弦的長度為．【變式9-2】（2023秋·湖南長沙·高二校考階段練習(xí)）過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，則直線的方程為．【變式9-3】（2023秋·全國·高二專題練習(xí)）若是直線上一動(dòng)點(diǎn)，過作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則的最小值為（）A．B．3C．D．2【變式9-4】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)為直線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為，則直線必過定點(diǎn)（）A．B．C．D．考點(diǎn)10求直線與圓的的弦長【例10】（2023秋·云南紅河·高二?？茧A段練習(xí)）直線被圓所截得的弦長為.【變式10-1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知圓：，圓的弦被點(diǎn)平分，則弦所在的直線方程是．【變式10-2】（2023秋·高二課前預(yù)習(xí)）（多選）已知圓的一般方程為，則下列說法正確的是（）A．圓的圓心為B．圓被軸截得的弦長為8C．圓的半徑為5D．圓被軸截得的弦長為6【變式10-3】（2023秋·河南南陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知?jiǎng)又本€與圓.則直線l被圓C所截得的弦長的最小值是（）A．B．C．D．【變式10-4】（2023秋·安徽淮南·高二校考階段練習(xí)）圓，過點(diǎn)作圓的所有弦中，以最長弦和最短弦為對角線的四邊形的面積是（）A．B．C．D．考點(diǎn)11圓與圓的位置關(guān)系判斷【例11】（2023秋·浙江嘉興·高二?？茧A段練習(xí)）已知圓：與圓：，則圓與圓的位置關(guān)系為（）A．相交B．外切C．內(nèi)切D．內(nèi)含【變式11-1】（2023秋·全國·高二專題練習(xí)）圓與圓的位置關(guān)系是（）A．外離B．外切C．相交D．內(nèi)切【變式11-2】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)圓，圓，則圓，的位置（）A．內(nèi)切B．相交C．外切D．外離【變式11-3】（2023秋·江西九江·高二校考階段練習(xí)）已知圓，圓，其中，那么這兩個(gè)圓的位罝關(guān)系不可能為（）A．外離B．外切C．內(nèi)含D．內(nèi)切【變式11-4】（2023秋·江蘇連云港·高二校考階段練習(xí)）（多選）下列圓中與圓：相切的是（）A．B．C．D．考點(diǎn)12由圓與圓的位置關(guān)系求參【例12】（2023秋·福建三明·高二?？茧A段練習(xí)）（多選）圓與圓外切，則的值為（）A．B．C．2D．5【變式12-1】（2023秋·山東菏澤·高二?？茧A段練習(xí)）已知圓，圓，如果這兩個(gè)圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則常數(shù).【變式12-2】（2023秋·江西上饒·高二?？茧A段練習(xí)）已知圓：上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離均為，則的取值范圍是.【變式12-3】（2023秋·湖南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，若圓上任意一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)都不在圓上，則的取值范圍為．【變式12-4】（2023秋·江西上饒·高二?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)，若圓O：上存在點(diǎn)A，使得線段PA的中點(diǎn)也在圓O上，則a的取值范圍是（）A．B．C．D．考點(diǎn)13兩圓的公共弦問題【例13】（2023秋·福建龍巖·高二校考階段練習(xí)）圓：與圓：的公共弦所在直線方程為（）A．B．C．D．【變式13-1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）圓與圓相交于兩點(diǎn)，則等于（）A．B．C．D．【變式13-2】（2023秋·上海浦東新·高二校考階段練習(xí)）已知圓與圓交于A，B兩點(diǎn)，若直線AB的傾斜角為，則．【變式13-3】（2023秋·遼寧大連·高二校考階段練習(xí)）已知圓與圓得公共弦所在直線恒過定點(diǎn)，而且點(diǎn)在直線上，則的最小值是.【變式13-4】（2023秋·福建龍巖·高二校考階段練習(xí)）已知圓，圓的圓心在直線上，且經(jīng)過，兩點(diǎn).（1）求圓的方程.（2）求經(jīng)過兩圓的交點(diǎn)的圓中面積最小的圓的方程.考點(diǎn)14兩圓的公切線問題【例14】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）圓與圓的公切線的條數(shù)為（）A．1B．2C．3D．4【變式14-1】（2023秋·陜西西安·高二?？茧A段練習(xí)）若圓與圓恰有3條公切線，則（）A．B．C．D．【變式14-2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）若圓與圓恰有兩條公共的切線，則m的取值范圍為（）A．B．C．D．【變式14-3】（2023秋·江西宜春·高二?？计谀﹫A與圓的公切線方程為．【變式14-4】（2023秋·河南南陽·高二校考階段練習(xí)）（多選）圓M：，圓N：，則兩圓的一條公切線方程為（）A．B．C．D．1．（2023秋·河北石家莊·高二校考階段練習(xí)）圓心為且過點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A．B．C．D．2．（2023秋·內(nèi)蒙古赤峰·高二?？茧A段練習(xí)）已知圓的半徑為2，圓心在軸的正半軸上，直線與圓相切，則圓的方程為（）A．B．C．D．3．（2023秋·河北·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)在圓C：外，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A．B．C．或D．或4．（2022秋·浙江嘉興·