2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章常用邏輯用語1.1.1命題學(xué)案含解析新人教A版選修2-1

PAGE1-第一章常用邏輯用語1.1命題及其關(guān)系1.1.1命題[目標(biāo)]1.了解命題的概念.2.會推斷命題的真假.3.能正確理解命題的結(jié)構(gòu)形式，并把命題化為“若p，則q”的形式．[重點]命題的概念的理解及命題的構(gòu)成形式．[難點]命題概念的理解．學(xué)問點一命題的概念及其真假[填一填]一般地，在數(shù)學(xué)中，我們把用語言、符號或式子表達(dá)的，可以推斷真假的陳述句叫做命題．其中推斷為真的語句叫做真命題，推斷為假的語句叫做假命題．[答一答]1．陳述句肯定是命題嗎？提示：不肯定，命題雖然是陳述句，但陳述句不肯定是命題，如“瑞雪兆豐年”，這句話表達(dá)的是一種可能性，但不具有確定性，所以不是命題．2．疑問句、感嘆句、祈使句是命題嗎？提示：都不是，因為不能推斷真假．3．怎樣推斷命題的真假？提示：要推斷一個命題是假命題，只須要舉出一個反例即可，而要推斷一個命題是真命題，一般須要經(jīng)過嚴(yán)格的推理論證．在推斷時，要有推理依據(jù)，有時應(yīng)綜合各種狀況作出正確的推斷．學(xué)問點二命題的結(jié)構(gòu)形式[填一填]命題的結(jié)構(gòu)形式：“若p，則q”，也可寫成“假如p，那么q”的形式，也可寫成“只要p，就有q”的形式．通常，我們把這種形式的命題中的p叫做命題的條件，q叫做命題的結(jié)論．[答一答]4．怎樣將命題寫成“若p，則q”的形式？提示：要把一個表面上不是“若p，則q”形式的命題寫成“若p，則q”的形式，關(guān)鍵是分清命題的條件和結(jié)論，然后寫成“若條件，則結(jié)論”的形式，即“若p，則q”的形式．5．“平行四邊形的對角線相互平分”的條件和結(jié)論分別是什么？提示：條件：一個四邊形是平行四邊形；結(jié)論：四邊形的對角線相互平分．1．命題的推斷推斷一個語句是不是命題，首先視察其句型是否為陳述句，其次看它是否能推斷真假．2．推斷真假命題的方法首先考慮特例法，依據(jù)給定條件舉出特例，假如得出與給定結(jié)論相反的結(jié)果，那么就可證明它是假命題，若條件和結(jié)論的因果關(guān)系不明顯，不簡單找到反例，只能依據(jù)所學(xué)學(xué)問進(jìn)行證明．類型一命題的概念【例1】推斷下列語句是不是命題，并說明理由．(1)三角形的三個內(nèi)角的和等于360°；(2)a＋b＝4；(3)2024年奧運會的舉辦城市是巴西的里約熱內(nèi)盧；(4)這是一棵大樹；(5)你是高二的學(xué)生嗎？(6)求證：eq\r(2)是無理數(shù)；(7)并非全部的人都喜愛數(shù)學(xué)；(8)x2＋1>0.【分析】依據(jù)命題的定義進(jìn)行分析推斷．【解】(1)這是陳述句，且可以推斷真假，因此是命題；(2)由于變量a，b的值不確定，無法推斷其真假，因此不是命題；(3)這是陳述句，且可以推斷真假，因此是命題；(4)“大樹”的標(biāo)準(zhǔn)不確定，無法推斷其真假，因此不是命題；(5)這是疑問句，不是命題；(6)這是祈使句，不是命題；(7)可以推斷為真，人群中有的人喜愛數(shù)學(xué)，也存在著不喜愛數(shù)學(xué)的人，因此是命題；(8)雖然變量x的值不確定，但可以推斷其真假，因此是命題．1命題一般是陳述句.但并非全部的陳述句都是命題，凡是在陳述句中含有比方、形容等詞的，詞義模糊不清的，都不是命題；2一般來說感嘆句、疑問句、祈使句等語句都不是命題；3凡是悖論都不是命題；4凡是科學(xué)猜想都是命題.下列語句，不是命題的是(B)A．5>12B．x>0C．若a⊥b，則a·b＝0D．三角形的三條高線交于一點解析：選項A能推斷不成立，選項C，D都能推斷成立，但選項B不能推斷是否成立．類型二命題的真假推斷【例2】已知a、b是兩個實數(shù)，試推斷下列命題的真假．(1)假如a、b是正實數(shù)且a2>b2，那么a>b.(2)假如a、b是隨意實數(shù)且a2>b2，那么a>b.【解】(1)∵a2>b2，∴a2－b2＝(a－b)(a＋b)>0.又∵a>0，b>0，∴a＋b>0.因此，a－b>0，即a>b.所以，命題(1)是真命題．(2)取a＝－2，b＝1，a2>b2，但a<b.所以，命題(2)是假命題．1推斷一個命題的真假時，首先要弄清晰命題的結(jié)構(gòu)，即它的條件和結(jié)論分別是什么，然后聯(lián)系其他相關(guān)的學(xué)問，經(jīng)過邏輯推理來判定.2要說明一個命題為真命題，必需由條件及相關(guān)學(xué)問，通過嚴(yán)格的邏輯推理得到結(jié)論；而要證明一個命題為假命題，只需舉一個反例即可.給出下列四個命題：①垂直于同始終線的兩條直線相互平行；②垂直于同一平面的兩個平面相互平行；③若直線l1、l2與同一平面所成的角相等，則l1、l2相互平行；④若直線l1、l2是異面直線，則與l1、l2都相交的兩條直線是異面直線．其中假命題的個數(shù)是(D)A．1 B．2C．3 D．4解析：①②③④都不正確．類型三命題的結(jié)構(gòu)【例3】指出下列命題中的條件p和結(jié)論q，并推斷各命題的真假．(1)若整數(shù)a能被2整除，則a是偶數(shù)；(2)若a>0，b>0，則a＋b<0；(3)面積相等的兩個三角形全等．【分析】留意對命題的表述形式進(jìn)行變更，然后找出其條件和結(jié)論．【解】(1)條件p：整數(shù)a能被2整除，結(jié)論q：a是偶數(shù)．這是一個真命題．(2)條件p：a>0，b>0，結(jié)論q：a＋b<0.這是一個假命題．(3)命題改寫為：若兩個三角形面積相等，則這兩個三角形全等．條件p：兩個三角形面積相等，結(jié)論q：這兩個三角形全等．這是一個假命題．1數(shù)學(xué)中的命題基本上都是“若p，則q”的形式，但也有一些命題，從形式上看，不是“若p，則q”的形式，而將其表述進(jìn)行適當(dāng)變更，也可以寫成“若p則q”的形式，因此在探討命題時，不要受其形式的影響.2改寫命題時，不能把大前提放在條件中，應(yīng)寫在“若”前面，仍作為命題的大前提.3對一個命題的形式進(jìn)行改寫后，其真假性保持不變.把下列命題改寫成“若p，則q”的形式，并推斷命題的真假．(1)奇數(shù)不能被2整除；(2)兩個相像三角形是全等三角形；(3)在空間中，平行于同一個平面的兩條直線平行．解：(1)若一個數(shù)是奇數(shù)，則它不能被2整除，是真命題．(2)若兩個三角形是相像三角形，則這兩個三角形是全等三角形，是假命題．(3)在空間中，若兩條直線平行于同一個平面，則這兩條直線平行，是假命題．類型四素養(yǎng)提升改寫命題時忽視大前提【例4】將命題“當(dāng)a>0時，函數(shù)y＝ax＋b的值隨x的增大而增大”寫成“若p，則q”的形式．【錯解】“若p，則q”的形式：若a>0，則函數(shù)y＝ax＋b的值隨x的增大而增大．【錯因分析】原命題有兩個條件：“a>0”和“x增大”，其中“a>0”是大前提，將原命題改寫為“若p，則q”的形式時，要把“a>0”置于“若”字的前面，把“x增大”作為條件．【正解】“若p，則q”的形式：當(dāng)a>0時，若x增大，則函數(shù)y＝ax＋b的值也增大．【解后反思】有大前提的命題，改寫成“若p，則q”的形式時，要留意其書寫格式為“大前提，若p，則q”．把下列命題改寫成“若p，則q”的形式，并推斷命題的真假．(1)當(dāng)(a－1)2＋(b－1)2＝0時，a＝b＝1；(2)已知x，y為正整數(shù)，當(dāng)y＝x＋1時，y＝3，x＝2.解：(1)若(a－1)2＋(b－1)2＝0，則a＝b＝1，真命題．(2)已知x，y為正整數(shù)，若y＝x＋1，則y＝3，x＝2，是假命題．例如y＝4，x＝3也符合條件.1．推斷下列語句哪個是命題(A)A．eq\f(π,2)是無限不循環(huán)小數(shù)B．3x≤5C．什么是“溫室效應(yīng)”？D．明天給我買本《紅對勾》！解析：選項A，“eq\f(π,2)是無限不循環(huán)小數(shù)”是陳述句，并且它是真的，所以是命題；選項B，因為無法推斷“3x≤5”的真假，所以選項B錯；選項C是疑問句，選項D是祈使句，故都不是命題．2．下列語句中不是命題的是(C)A．y＝sinx(x∈R)是奇函數(shù)B．taneq\f(π,4)＝eq\f(\r(3),3)C．這是一條大河D．x∈R，x2＋2x＋1≥0解析：選項C，“這是一條大河”不是命題，因為“大河”沒有界定標(biāo)準(zhǔn)，故不能推斷“這是一條大河”的真假．3．命題“函數(shù)y＝2x＋1是增函數(shù)”的條件是函數(shù)為y＝2x＋1，結(jié)論是該函數(shù)是增函數(shù)．4．下列命題：①若xy＝1，則x，y互為倒數(shù)；②二次函數(shù)的圖象與x軸有公共點；③平行四邊形是梯形；④若ac2>bc2，則a>b.其中真命題是①④(寫出全部真命題的編號)．解析：對于②，二次函數(shù)的圖象與x軸不肯定有公共點；對于③，