上海市楊浦區(qū)2025屆高三上學(xué)期模擬質(zhì)量調(diào)研（一模）數(shù)學(xué)試題答案

第1頁(yè)/共1頁(yè)楊浦區(qū)2024學(xué)年度第一學(xué)期高三年級(jí)模擬質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試卷2024.12一?填空題（本大題滿分54分，共12題，第1—6題每題4分，第7—12題每題5分）1.已知集合，則的子集個(gè)數(shù)為__________.【答案】4【解析】【分析】利用子集概念列舉出即可得到答案.【詳解】集合,則集合的子集有：所以集合的子集個(gè)數(shù)有個(gè).故答案為：4.2.函數(shù)的最小正周期是___________．【答案】【解析】【詳解】的最小正周期是，故答案為：3.不等式的解集為__________.【答案】【解析】【分析】首先將分式不等式轉(zhuǎn)化為二次不等式，利用一元二次不等式的解法，求得其解集即可.【詳解】分式不等式可以轉(zhuǎn)化，解得，所以原不等式的解集為.故答案：.4.已知函數(shù)是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為__________.【答案】0【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意可知，由于為偶函數(shù)，故，即，即，故，故答案為：05.已知，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】討論去絕對(duì)值求解.【詳解】由，當(dāng)時(shí)，上式為，解得（舍），當(dāng)時(shí)，上式為，解得（舍），當(dāng)時(shí)，上式為.所以實(shí)數(shù)的的取值范圍為.故答案為：.6.已知，若，則向量與的夾角的余弦值為__________.【答案】##【解析】【分析】設(shè)向量與的夾角為，根據(jù)向量垂直運(yùn)算可得答案.【詳解】設(shè)向量與的夾角為，若，則，所以，可得.故答案為：.7.已知一個(gè)正四棱錐的每一條棱長(zhǎng)都為2，則該四棱錐的體積為__________.【答案】【解析】【分析】作出輔助線，求出正四棱錐的高，由錐體體積公式進(jìn)行求解.【詳解】如圖，正四棱錐，正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，連接，則⊥平面，因?yàn)槠矫?，所以⊥，其中，故，所以該四棱錐的體積為.故答案為：8.某次楊浦區(qū)高三質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試卷中的填空題第八題，答對(duì)得5分，答錯(cuò)或不答得0分，全區(qū)共4000人參加調(diào)研，該題的答題正確率是，則該次調(diào)研中全區(qū)同學(xué)該題得分的方差為__________.【答案】6【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差的定義計(jì)算求解即可.【詳解】同全區(qū)同學(xué)中答對(duì)的人數(shù)為人，答錯(cuò)或不答的人數(shù)為人，所以全區(qū)同學(xué)該題得分的平均數(shù)為分，則全區(qū)同學(xué)該題得分的方差為.故答案為：6.9.將一個(gè)半徑為1的球形石材加工成一個(gè)圓柱形擺件，則該圓柱形擺件側(cè)面積的最大值為__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)圓柱形工件高為h，底面半徑為r，得到圓柱形工件的側(cè)面積為，再結(jié)合基本不等式求解側(cè)面積的最大值.【詳解】設(shè)圓柱形工件的高為h，底面半徑為r，，則圓柱形工件的側(cè)面積為，又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，故答案為：.10.已知，其中實(shí)數(shù).若函數(shù)有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】由題意可知有兩根，通過方程求解即可.【詳解】由題意可知：有兩根，結(jié)合在和都是單調(diào)遞增，所以有一解，解得：，有一解，解得：，所以，故答案為：.11.中國(guó)探月工程又稱“嫦娥工程”，是中國(guó)航天活動(dòng)的第三個(gè)里程碑.在探月過程中，月球探測(cè)器需要進(jìn)行變軌，即從一條橢圓軌道變到另一條不同的橢圓軌道上.若變軌前后的兩條橢圓軌道均以月球中心為一個(gè)焦點(diǎn)，變軌后橢圓軌道上的點(diǎn)與月球中心的距離最小值保持不變，而距離最大值擴(kuò)大為變軌前的4倍，橢圓軌道的離心率擴(kuò)大為變軌前的2.5倍，則變軌前的橢圓軌道的離心率為__________.（精確到0.01）【答案】【解析】【分析】根據(jù)橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離最小值為，到焦點(diǎn)距離最大值為，列式運(yùn)算得解.【詳解】設(shè)變軌前的橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，短半軸長(zhǎng)為，半焦距為，離心率為，變軌后的橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，短半軸長(zhǎng)為，半焦距為，離心率為，由題意可得，化簡(jiǎn)得，即，解得（負(fù)值舍去）.故答案為：.12.已知實(shí)數(shù)，是虛數(shù)單位，設(shè)集合，集合，如果，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】解法一：明確集合A，B的幾何意義，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)幾何意義即可求得參數(shù)范圍.解法二：先證明不屬于的復(fù)數(shù)，恰好是那些區(qū)間上的實(shí)數(shù)，再利用該結(jié)論得到取值范圍.【詳解】解法一：由于，設(shè)，則，設(shè)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則，所以，其中，當(dāng)時(shí)，該方程的幾何意義為表示所有橢圓的并集，即平面上除去線段的點(diǎn)的集合，其中，集合表示復(fù)平面上的圓，圓心為，半徑為a，如果，則該圓與線段無公共點(diǎn)，結(jié)合圖形可知的取值范圍為；解法二：先證明：不屬于的復(fù)數(shù)，恰好是那些區(qū)間上的實(shí)數(shù).下設(shè)是復(fù)數(shù).①情況一：不是實(shí)數(shù)，也不是純虛數(shù).設(shè)，，并令，.則對(duì)，有，即.假設(shè)，則，矛盾，所以，從而.又因?yàn)?，所?此時(shí)，假設(shè)：由于，故.同理，根據(jù)可以得到.對(duì)和相加和相減，就能得到，.若假設(shè)，則，從而或，這和情況一的定義矛盾，所以.若假設(shè)，則，從而，這和情況一的定義矛盾，所以.這就得到，所以，所以，即.這就得到.所以或，無論哪種情況都能得到是實(shí)數(shù)，故可設(shè).若，則，得是實(shí)數(shù)，這和情況一的定義矛盾.若，則，得是純虛數(shù)，這和情況一的定義矛盾.故前面的假設(shè)不成立，所以結(jié)合可知，一定存在使得，結(jié)合可知.②情況二：是純虛數(shù).此時(shí)設(shè)，則滿足，且.故.③情況三：是實(shí)數(shù)，且.此時(shí)滿足，且，故.④情況四：是實(shí)數(shù)，且.此時(shí)滿足，且，故.⑤情況五：是實(shí)數(shù)，且.假設(shè)，則存在復(fù)數(shù)使得，且，設(shè).則.從而，，而由可知，所以，故.這就得到，矛盾.所以假設(shè)不成立，從而.綜合上面五種情況，就得到了結(jié)論：不屬于的復(fù)數(shù)，恰好是那些區(qū)間上的實(shí)數(shù).現(xiàn)在回到原題，結(jié)合上面的結(jié)論，條件等價(jià)于中包含的每個(gè)實(shí)數(shù)都不屬于.一方面，若中包含一個(gè)實(shí)數(shù)，滿足.則，，從而.另一方面，若，則實(shí)數(shù)滿足，.故中包含一個(gè)實(shí)數(shù)，滿足.這就說明，中包含一個(gè)實(shí)數(shù)滿足的充要條件是.所以的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于對(duì)復(fù)數(shù)知識(shí)和三角恒等變換的使用.二?選擇題（本大題滿分18分，共4題，第13?14題每題4分，第15?16題每題5分.）13.已知實(shí)數(shù)，則“”是“”的（）條件.A.充分非必要 B.必要非充分C.充分必要 D.既非充分也非必要【答案】A【解析】【分析】根據(jù)分式不等式化簡(jiǎn)可得或，即可根據(jù)集合間的關(guān)系求解.【詳解】由得，解得或，由于或，故“”是“”的充分不必要條件，故選：A14.如果是獨(dú)立事件，分別是的對(duì)立事件，那么以下等式不一定成立的是（）.A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件的定義以及性質(zhì)，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】對(duì)于A,由于是獨(dú)立事件，故，A正確，對(duì)于B，由于是獨(dú)立事件，則也是相互獨(dú)立事件，故，B正確，對(duì)于C，,故由于不一定為0，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D,由于是獨(dú)立事件，則也是相互獨(dú)立事件，,D正確，故選：C15.小李研究數(shù)學(xué)建?！坝曛行小眴栴}，在作出“降雨強(qiáng)度保持不變”?“行走速度保持不變”?“將人體視作一個(gè)長(zhǎng)方體”等合理假設(shè)的前提下，他設(shè)了變量：人的身高人體寬度人體厚度降雨速度雨滴密度行走距離風(fēng)速行走速度并構(gòu)建模型如下：當(dāng)人迎風(fēng)行走時(shí)，人體總的淋雨量為.根據(jù)模型，小李對(duì)“雨中行”作出如下解釋：①若兩人結(jié)伴迎風(fēng)行走，則體型較高大魁梧的人淋雨是較大；②若某人迎風(fēng)行走，則走得越快淋雨量越小，若背風(fēng)行走，則走得越慢淋雨量越??；③若某人迎風(fēng)行走了秒，則行走距離越長(zhǎng)淋雨量越大.這些解釋合理的個(gè)數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用作差法可以比較兩人淋雨量判斷①，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷②③.【詳解】①若兩人結(jié)伴迎風(fēng)行走，設(shè)體型較高大魁梧的人身高為，寬度為，厚度為，另一人身高為，寬度為，厚度為，則，又，，，則，，即，即體型較高大魁梧的人淋雨是較大，①正確；②若某人迎風(fēng)行走，則，則隨的增大而減小，即走得越快淋雨量越??；若某人逆風(fēng)行走，則，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，即走得越快淋雨量越小，當(dāng)時(shí)，，隨的增大而減小，即走得越慢淋雨量越小，當(dāng)時(shí)，淋雨量與無關(guān)，②錯(cuò)誤；③若某人迎風(fēng)行走了秒，則為定值，且，則，所以隨的增大而增大，即行走距離越長(zhǎng)淋雨量越大，③正確；綜上所述合理的解釋有個(gè)，故選：C.16.設(shè)無窮數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)任意的正整數(shù)，則的值可能為（）A. B.0 C.6 D.12【答案】A【解析】【分析】根據(jù)與的關(guān)系，探索數(shù)列的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，分別求出和，再根據(jù)及數(shù)列是無窮數(shù)列對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，所以，兩式相減得：，因?yàn)椋?所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，且.所以.同理，數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以.所以.若，則數(shù)列各項(xiàng)均不為0，數(shù)列是無窮數(shù)列，故A正確；若，這與矛盾，故B錯(cuò)誤；若，根據(jù)奇數(shù)項(xiàng)成公差為1的等差數(shù)列，則，則無法求出，這與數(shù)列是無窮數(shù)列矛盾，故C錯(cuò)誤；若，根據(jù)奇數(shù)項(xiàng)成公差為1的等差數(shù)列，則，則無法求出，這與數(shù)列是無窮數(shù)列矛盾，故D錯(cuò)誤.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：觀察出數(shù)列的特點(diǎn)后，一定要注意及數(shù)列是無窮數(shù)列這兩個(gè)條件的應(yīng)用.三?解答題（本大題滿分78分，共5題.）17.如圖，在正方體中，點(diǎn)、分別是棱、的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求二面角的大小.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用線面垂直證線線垂直；（2）法一：利用幾何法可得二面角，法二：建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求二面角.【小問1詳解】如圖所示，連接，，，由為正方體，可知，平面，又平面，，，分別為，中點(diǎn)，，，，且，平面，平面，平面，；【小問2詳解】設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，法一：如圖所示，設(shè)，連接，由（1）得平面，，平面，，，二面角的平面角即為，又，在中，，，所以，所以，所以二面角的余弦值為，即二面角的大小為；法二：如圖所示，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，方向分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，即，，設(shè)平面的法向量n=x,y,z，則，則，令，則，易知平面的一個(gè)法向量為，，二面角為銳二面角，二面角的余弦值為，即二面角的大小為.18.已知的內(nèi)角所對(duì)邊的長(zhǎng)度分別為.（1）若，求的面積；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）結(jié)合題設(shè)及余弦定理可得，進(jìn)而結(jié)合三角形面積公式求解即可；（2）由正弦定理和三角恒等變換的公式，化簡(jiǎn)求得，進(jìn)而結(jié)合平方關(guān)系求解即可.【小問1詳解】由，得，由余弦定理得，即，所以，即，所以的面積為.【小問2詳解】由，由正弦定理得，可得，則，因?yàn)?，所以，則，又，所以.19.為加強(qiáng)學(xué)生睡眠監(jiān)測(cè)督導(dǎo)，學(xué)校對(duì)高中三個(gè)年級(jí)學(xué)生的日均睡眠時(shí)間進(jìn)行調(diào)查.根據(jù)分層隨機(jī)抽樣法，學(xué)校在高一?高二和高三年級(jí)中共抽取了100名學(xué)生的日均睡眠時(shí)間作為樣本，其中高一35人，高二33人.已知該校高三年級(jí)一共512人.（1）學(xué)校高中三個(gè)年級(jí)一共有多少個(gè)學(xué)生？（2）若抽取100名學(xué)生的樣本極差為2，數(shù)據(jù)如下表所示（其中是正整數(shù)）日均睡眠時(shí)間（小時(shí)）8.599.510學(xué)生數(shù)量3213114求該樣本的第40百分位數(shù).（3）從這100名學(xué)生的樣本中隨機(jī)抽取三個(gè)學(xué)生的日均睡眠時(shí)間，求其中至少有1個(gè)數(shù)據(jù)來自高三學(xué)生的概率.【答案】（1）1600（2）（3）【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣，按比例抽取即可得到答案．根據(jù)極差可得，再結(jié)合學(xué)生總數(shù)量為100，可求出，再根據(jù)求第百分位數(shù)的方法即可求得.根據(jù)古典概型的概率計(jì)算，如果一次實(shí)驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有個(gè)，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，如果某個(gè)事件包含的結(jié)果有個(gè)，那么事件的概率為，即可解得.【小問1詳解】設(shè)學(xué)校高中三個(gè)年級(jí)一共有個(gè)學(xué)生,因?yàn)椴捎梅謱映闃臃ǔ槿∫粋€(gè)容量為100的樣本，在高一年級(jí)抽取了35人，高二年級(jí)抽取了33人，所以高三抽取的人數(shù)為：人，又因?yàn)楦呷昙?jí)一共512人，所以有：，解得.所以學(xué)校高中三個(gè)年級(jí)一共有1600個(gè)學(xué)生.【小問2詳解】因?yàn)槌槿?00名學(xué)生的樣本極差為2，所以又因?yàn)椋詷颖镜牡?0百分位數(shù)為：【小問3詳解】因?yàn)?00名學(xué)生的樣本中隨機(jī)抽取三個(gè)學(xué)生的總情況數(shù)為：其中至少有1個(gè)數(shù)據(jù)來自高三學(xué)生的情況為：所以至少有1個(gè)數(shù)據(jù)來自高三學(xué)生概率為：20.如圖所示，已知拋物線，點(diǎn)是拋物線上的四個(gè)點(diǎn)，其中在第一象限，在第四象限，滿足，線段與交于點(diǎn).記線段與的中點(diǎn)分別為.（1）求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求證：點(diǎn)三點(diǎn)共線；（3）若，求四邊形的面積.【答案】（1）（2）證明見解析；（3）【解析】【分析】（1）由拋物線方程可直接得焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）當(dāng)直線AB，CD斜率不存在時(shí)，由對(duì)稱性可證明結(jié)論；當(dāng)直線AB，CD斜率存在時(shí)，設(shè)直線MN與線段AC，BD交點(diǎn)為P，Q，證明P，Q重合即P，Q為H時(shí)可證明結(jié)論；（3）由（2）結(jié)合，可得，后由，可得與四邊形面積組成部分的比例關(guān)系，即可得答案.【小問1詳解】因拋物線方程為，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為；【小問2詳解】證明：設(shè).若，則直線AB，CD斜率不存在，由對(duì)稱性，可知M，N，H均在x軸上，則三點(diǎn)共線；若，則直線斜率存在，直線方程為：，結(jié)合，則，同理可得方程：，方程：，BD方程：.設(shè)，因，則.則直線MN與x軸平行，設(shè)直線MN與線段AC，BD交點(diǎn)為.將代入直線AC方程，則；將代入直線BD方程，則.注意到，又，則P，Q兩點(diǎn)重合，即P，Q為線段與交點(diǎn)H，且點(diǎn)三點(diǎn)共線；【小問3詳解】由（2），直線MN與x軸平行，則.又，同理可得，又由（2），則，由，則，即.則.如圖，過B作MN平行線，交CD為E，則四邊形MBEN為平行四邊形，結(jié)合，則，.因，則，結(jié)合，則，又M為AB中點(diǎn)，則N為DE中點(diǎn).則，則四邊形的面積.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：對(duì)于所涉點(diǎn)較多的圓錐曲線綜合問題，常不設(shè)直線，而改為設(shè)點(diǎn)，并用點(diǎn)的坐標(biāo)結(jié)合曲線方程化簡(jiǎn)直線方程；對(duì)于不規(guī)則圖形面積，常分割為多個(gè)三角形求面積.21.已知y=fx是定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，實(shí)數(shù)，稱函數(shù)為函數(shù)y=fx的“-生成函數(shù)”，記作.（1）若，求函數(shù)的值域；（2）若，函數(shù)滿足對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若y=fx滿足：①；②y=fx在0,1上存在導(dǎo)函數(shù)y=f′x，且y=f′x在0,1上是嚴(yán)格增函數(shù)；③對(duì)于任意的“