2024-2025學(xué)年重慶市涪陵區(qū)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年重慶市涪陵區(qū)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．已知，則A，B兩點(diǎn)間的距離為（

）A． B． C．12 D．243．經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，則的周長是（

）A．8 B．9 C．10 D．204．已知圓經(jīng)過點(diǎn)，則圓在點(diǎn)P處的切線方程為（）A． B．C． D．5．圓與圓的公切線有（

）條A．1 B．2 C．3 D．46．如圖，空間四邊形OABC中，，，，點(diǎn)M在OA上，且，點(diǎn)N為BC中點(diǎn)，則等于（

）

A． B．C． D．7．已知圓與圓關(guān)于直線對稱，則圓的方程為（）A． B．C． D．8．已知圓：，點(diǎn)在橢圓：運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知空間向量，，，則（）A． B．C． D．是共面向量10．如圖，在棱長為的正方體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，則下列說法正確的是（

）A．與的距離為B．當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，C．當(dāng)點(diǎn)在的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為D．點(diǎn)到直線的距離的最小值為11．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，上頂點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，則下列描述正確的有（

）A．若的周長為6，則B．若當(dāng)時(shí)，的內(nèi)切圓半徑為，則C．若存在點(diǎn)，使得，則D．若的最大值為2b，則三、填空題（本大題共3小題）12．已知直線與直線平行，則它們之間的距離是．13．如圖，在正方體中，M，N分別為DB，的中點(diǎn)，則直線和BN的夾角的余弦值為14．已知橢圓的左焦點(diǎn)為，過原點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，，，則橢圓的離心率為.四、解答題（本大題共5小題）15．平面直角坐標(biāo)系中，已知三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，.(1)求邊所在的直線方程；(2)求的面積.16．如圖，在四棱錐中，平面，，，，為棱的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)若，，求平面和夾角的余弦值.17．已知，，圓是以線段為直徑的圓，圓．(1)求圓的方程；(2)判斷圓與圓的位置關(guān)系并說明理由：若相交，求兩圓公共弦的長．18．如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，側(cè)棱底面，，，，，是棱的中點(diǎn)．(1)求證：面；(2)求異面直線與所成角的余弦值；(3)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線和平面所成角為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．19．已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為且焦距為2，上頂點(diǎn)為，且直線的斜率之積為.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線不經(jīng)過點(diǎn)且與相交于兩點(diǎn)，(i)證明：直線過定點(diǎn)；(ii)設(shè)為①中點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，過點(diǎn)作直線交于橢圓于兩點(diǎn)，且，求四邊形面積的取值范圍.

答案1．【正確答案】B【詳解】直線的方程為，即，所以直線的斜率，設(shè)傾斜角為，則，因?yàn)椋?故選：B.2．【正確答案】B【詳解】因?yàn)?，所以，故選：B3．【正確答案】D【詳解】為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，，的周長為．故選：D．4．【正確答案】A【詳解】因?yàn)閳A經(jīng)過點(diǎn)，將點(diǎn)代入圓的方程可得.即，所以，則圓的方程為.對于圓，其圓心坐標(biāo)為，所以此圓的圓心.根據(jù)斜率公式，這里，，則.因?yàn)閳A的切線與圓心和切點(diǎn)連線垂直，若兩條垂直直線的斜率分別為和，則.已知，所以切線的斜率.又因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)斜式方程（這里），可得切線方程為.整理得.故選：A.5．【正確答案】B【詳解】由題可得圓圓心，半徑為2；圓圓心2,3，半徑為3.則兩圓圓心距為，注意到，則兩圓相交，故兩圓有2條公切線.故選：B6．【正確答案】B【詳解】∵點(diǎn)為中點(diǎn)，∴，∴.故選：B.7．【正確答案】D【詳解】由題意可得，圓的圓心坐標(biāo)為，圓和圓的半徑均為1，設(shè)圓心關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，解得，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：D8．【正確答案】A【分析】設(shè)，依題意可得切點(diǎn)弦方程為，取的中點(diǎn)，連接，則，利用點(diǎn)到直線的距離公式及的范圍計(jì)算可得.【詳解】設(shè)，設(shè)切線上任意一點(diǎn)為，則，所以，即，即切線的方程為，同理可得切線的方程為，所以且，所以直線的方程為，取的中點(diǎn)，連接，則，又，即，所以，因?yàn)?，所以，則，所以.故選A.9．【正確答案】ABD【詳解】由向量，可得，，所以A、B正確；設(shè)，可得，所以，此時(shí)方程組無解，所以向量與向量不共線，所以C錯(cuò)誤；設(shè)，可得，所以，解得，所以共面，所以D正確.故選：ABD.10．【正確答案】BC【詳解】對于A選項(xiàng)，連接，因?yàn)槠矫妫矫?，則，同理可得，所以，與的距離為，A錯(cuò)；以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，對于B選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)，，B對；對于C選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)在的中點(diǎn)時(shí)，，，，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，則，取，可得y=?1，，所以為平面的一個(gè)法向量，此時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為，C對；對于D選項(xiàng)，設(shè)，其中，，所以，點(diǎn)到直線的距離為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故點(diǎn)到直線的最短距離為，D錯(cuò).故選：BC.11．【正確答案】ABD【詳解】對于A,由橢圓，可得，因?yàn)榈闹荛L為6，所以，解得，因?yàn)椋?，解得，故A正確；對于B，由，可得，當(dāng)時(shí)，由余弦定理可得，則，解得，所以，又的內(nèi)切圓半徑為，所以，所以，所以，解得（舍去）或，所以，故B正確；對于C，若，則以為圓心，為半徑的圓與橢圓有交點(diǎn)，則，所以，所以，解得，所以存在點(diǎn)，使得，則，故C錯(cuò)誤；對于D，設(shè)，，又因?yàn)?，因?yàn)橄马旤c(diǎn)到上頂點(diǎn)的距離為2b，又的最大值為2b，故時(shí)取最大值，所以，解得，故D正確.故選：ABD.12．【正確答案】【詳解】直線即，所以平行直線與直線的距離.故13．【正確答案】【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為2，則，故和BN的夾角的余弦值為.故14．【正確答案】【詳解】解：設(shè)是橢圓的右焦點(diǎn)，連接，，由對稱性可知：，，則四邊形為平行四邊形，則，即，且，因?yàn)?，則AF2=2在中，由余弦定理可得，即，解得，所以橢圓的離心率為.

故答案為.15．【正確答案】(1)(2)15【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以BC所在的直線方程為，即.（2）B，C兩點(diǎn)間的距離為，點(diǎn)A到直線BC的距離，所以的面積為.16．【正確答案】(1)證明見解析；(2).【詳解】（1）若為中點(diǎn)，連接，又為棱的中點(diǎn)，，所以，且，即是平行四邊形，所以，面，面，則面.（2）由平面，，構(gòu)建如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由，，，則，顯然面的一個(gè)法向量為，所以，若面的一個(gè)法向量為，則，令，則，所以平面和夾角的余弦值為.17．【正確答案】(1)(2)相交，【詳解】（1）因?yàn)?，，所以的中點(diǎn)為，且，因?yàn)閳A是以線段為直徑的圓，即圓心為，半徑，所以圓的方程為；（2）圓的圓心，半徑；圓：的圓心，半徑；又，所以，所以兩圓相交，則兩圓方程作差得到公共弦方程為.18．【正確答案】(1)證明見解析；(2)；(3)存在，或【詳解】（1）以A為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，,,,，且平面平面.（2）由（1）得，，,異面直線與所成角的余弦值為．（3）由（1）得,．設(shè)平面的法向量n=x,y,z由得，，令，則，設(shè)，．,整理得，解得或存在點(diǎn)或．19．【正確答案】(1)；(2)（i）;(ii).【分析】（1）根據(jù)直線與的斜率之積得到，故，結(jié)合焦距得到，，得到橢圓方程；（2）（i）設(shè)直線,橢圓方程整理為,利用直線的方程將橢圓的方程齊次化，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于斜率的方程，，此方程的兩根為.利用橢圓的性質(zhì)，結(jié)合已知條件得到，進(jìn)而利用韋達(dá)定理求得，從而得到直線經(jīng)過定點(diǎn)；（ii）設(shè)，利用弦長公式求得，同理得,利用由對角線及其夾角所表示的四邊形的面積公式得到四邊形面積關(guān)于的表達(dá)式，進(jìn)而進(jìn)行變換，利用基本不等式和函數(shù)單調(diào)性求得其面積的取值范圍.【詳解】（1）由題意有，，設(shè)，，化簡得，結(jié)合，可得，由橢圓焦距為2，有，得，，橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）(i)由題意可知直線不過橢圓的右頂點(diǎn)，故可設(shè)直線①,橢圓方程整理為,整理得：②,聯(lián)立①②得：③，設(shè),這兩點(diǎn)坐標(biāo)都滿足方程③，,方程③兩邊同除以得：,即，此