福建省寧德市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第三次階段測試數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

福建省寧德市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第三次階段測試數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知點(diǎn)O0,0，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)到直線的距離的最大值為（）A． B． C． D．2．若雙曲線的實(shí)軸長為4，焦距為，則該雙曲線的漸近線方程為（）A． B．C． D．3．若點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，分別是的左、右焦點(diǎn)，則（）A． B．2 C． D．44．已知直線過點(diǎn)，且縱截距為橫截距的兩倍，則直線的方程為（

）A．B．C．或D．或5．若等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，則為（

）A． B． C． D．?26．10人（含甲、乙、丙）隨機(jī)站成一排，則甲、乙、丙3人站在一起的不同站法種數(shù)為（

）A． B．C． D．7．如果一個(gè)三位正整數(shù)“”滿足且，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)（如120，343，275），當(dāng)中間數(shù)為3或4時(shí)，那么所有凸數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A．18 B．15 C．16 D．218．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，經(jīng)過的直線交橢圓于，，的內(nèi)切圓的圓心為，若，則該橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列命題中錯(cuò)誤的是（

）A．若直線的傾斜角為鈍角，則其斜率一定為負(fù)數(shù) B．任何直線都存在斜率和傾斜角C．直線的一般式方程為 D．任何一條直線至少要經(jīng)過兩個(gè)象限10．甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列說法正確的是（）A．如果甲，乙必須相鄰且乙在甲的右邊，那么不同的排法有24種B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有42種C．甲乙不相鄰的排法種數(shù)為82種D．甲乙丙按從左到右的順序排列的排法有20種11．已知曲線，則下列說法正確的是（

）A．若，則為橢圓B．若，則為雙曲線C．若為橢圓，則其長軸長一定大于2D．曲線不能表示圓三、填空題（本大題共3小題）12．過圓的圓心且與直線垂直的直線方程為．13．中國古樂中的五聲音階依次為：宮、商、角、徵、羽，如果用這五個(gè)音階，排成一個(gè)沒有重復(fù)音階的五音音序，且商、角、徵不全相鄰，則可排成的不同音序有種.（用數(shù)字作答）14．如圖，在矩形中，，，分別為邊，的中點(diǎn)，分別為線段（不含端點(diǎn)）和上的動(dòng)點(diǎn)，滿足，直線，的交點(diǎn)為，已知點(diǎn)的軌跡為雙曲線的一部分，則該雙曲線的離心率為______.四、解答題（本大題共5小題）15．已知兩條直線:和(1)若，求實(shí)數(shù)a的值;(2)若，求與之間的距離.16．根據(jù)下列條件求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)過點(diǎn)（2，0），與雙曲線1的離心率相等；(2)與雙曲線1具有相同的漸近線，且過點(diǎn)M（3，﹣2）．17．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．18．要從5名女生，7名男生中選出5名代表，按下列要求，分別有多少種不同的選法？(1)至少有1名女生入選；(2)至多有2名女生入選；(3)男生甲和女生乙入選；(4)男生甲和女生乙不能同時(shí)入選；(5)男生甲、女生乙至少有一個(gè)人入選．19．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，是拋物線上與點(diǎn)不重合的任意一點(diǎn)．(1)設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，若以為圓心，為半徑的圓交的準(zhǔn)線于兩點(diǎn)，且的面積為，求圓的方程；(2)若是拋物線上的另外一點(diǎn)，非零向量滿足，證明：直線必經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)．

答案1．【正確答案】B【詳解】

如圖，因點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓，又直線經(jīng)過定點(diǎn)，由圖知，要使點(diǎn)到直線的距離最大，只需使圓心到直線的距離最大，即當(dāng)且僅當(dāng)軸時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，為.（理由：如圖，過點(diǎn)另作一條直線，過點(diǎn)作于點(diǎn)，在中顯然有，故當(dāng)且僅當(dāng)軸時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大）.故選：B.2．【正確答案】B【詳解】根據(jù)題意可知，即可得，且，即；因此可得，可得；再由漸近線方程可得該雙曲線的漸近線方程為.故選：B3．【正確答案】D【詳解】由方程可知：，由橢圓的定義可知．故選：D．4．【正確答案】D【詳解】根據(jù)題意，分2種情況討論:①直線過原點(diǎn)，設(shè)直線方程為，又由直線經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得，此時(shí)直線的方程為，即；②直線不過原點(diǎn)，設(shè)其方程為，又由直線經(jīng)過點(diǎn)，則有，解可得，此時(shí)直線的方程為，故直線的方程為或.故選：D.5．【正確答案】A【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，設(shè)公差為，所以，所以,又因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，設(shè)公比為,所以，所以，則.故選：A.6．【正確答案】D【詳解】首先，甲、乙、丙3人站在一起，對(duì)其全排列，共有種不同的站法，然后我們把他們捆綁為一個(gè)整體，再對(duì)這個(gè)整體和其他個(gè)人全排列，共有種不同的站法，所以甲、乙、丙站在一起的不同站法種數(shù)為，故D正確.故選：D7．【正確答案】A【詳解】當(dāng)中間數(shù)為3時(shí)，有（個(gè)）；當(dāng)中間數(shù)為4時(shí)，有（個(gè)）．故共有（個(gè)）．故選：A8．【正確答案】A【分析】對(duì)變形得到，進(jìn)而得到以，結(jié)合橢圓定義可求出，，，由余弦定理求解關(guān)系式，求出離心率.【詳解】因?yàn)?，所以，如圖，在上取一點(diǎn)M，使得，連接，則，則點(diǎn)I為AM上靠近點(diǎn)M的三等分點(diǎn)，所以，所以，設(shè)，則，由橢圓定義可知：，即，所以，所以，，故點(diǎn)A與上頂點(diǎn)重合，在中，由余弦定理得：，在中，，解得：，所以橢圓離心率為.故選：A對(duì)于求解圓錐曲線離心率問題，要結(jié)合題目中的條件，直接求出離心率或求出的齊次方程，解出離心率，本題的難點(diǎn)在于如何將進(jìn)行轉(zhuǎn)化，需要作出輔助線，結(jié)合內(nèi)心的性質(zhì)得到三角形三邊關(guān)系，求出離心率.9．【正確答案】BCD【詳解】對(duì)于A，直線的傾斜角，則其斜率，A正確；對(duì)于B，傾斜角為的直線不存在斜率，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，直線的一般式方程為，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)直線與軸或軸重合時(shí)，該直線不經(jīng)過任何象限，D錯(cuò)誤.故選：BCD10．【正確答案】ABD【分析】對(duì)于A，根據(jù)甲，乙必須相鄰且乙在甲的右邊，利用捆綁法求解判斷；對(duì)于B，分最左端排甲，和最左端排乙兩類求解判斷；對(duì)于C，根據(jù)甲乙不相鄰，利用插空法求解判斷；對(duì)于D，根據(jù)甲乙丙從左到右的順序排列，通過除序法求解判斷.【詳解】對(duì)于A，如果甲，乙必須相鄰且乙在甲的右邊，那么不同的排法有種，A正確；對(duì)于B，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，若最左端排甲，有種排法；若最左端排乙，有種排法，合計(jì)不同的排法共有42種，B正確；對(duì)于C，甲乙不相鄰的排法種數(shù)有種，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，甲乙丙按從左到右的順序排列的排法有種，D正確.故選ABD.11．【正確答案】BC【分析】A，B項(xiàng)，求出的范圍，即可判斷曲線的形狀；C項(xiàng)，求出為橢圓時(shí)的范圍，分類討論即可得出其長軸長的范圍；D項(xiàng)，通過A選項(xiàng)即可得出結(jié)論.【詳解】由題意，在曲線中，A項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，但當(dāng)即時(shí)，曲線為圓，故A錯(cuò)誤；B項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，為雙曲線，故B正確；C項(xiàng)，若為橢圓，由A選項(xiàng)知，，當(dāng)時(shí)，，即長軸為，當(dāng)時(shí)，，即長軸為，故C正確；D項(xiàng)，由A知當(dāng)時(shí)，曲線為圓，故D錯(cuò)誤.故選：BC.12．【正確答案】【詳解】圓的圓心為，與直線垂直的直線的斜率為1，所以所求直線為，即．故答案為.13．【正確答案】84【分析】由捆綁法、間接法即可求解.【詳解】這五個(gè)音階的全排列數(shù)為，若商、角、徵全相鄰，則由捆綁法可知，共有種排法，故由間接法可知，滿足題意的排法數(shù)有種.故84.14．【正確答案】【分析】以所在的直線為軸，線段的中垂線所在的直線為軸，求出直線，的方程，聯(lián)立兩方程解出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得點(diǎn)所在雙曲線方程，由離心率公式計(jì)算即可得答案.【詳解】解：以所在的直線為軸，線段的中垂線所在的直線為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系：設(shè)，則，則有，，，，，，，設(shè)，所以，，又因?yàn)椋?，所以或，又因?yàn)?，所以直線的方程為：，即，同理可得直線的方程為：，即，由，可得，即，因?yàn)椋?，?即有，，所以點(diǎn)所在雙曲線方程為：，所以，所以，所以.故思路點(diǎn)睛：橢圓或雙曲線中，要求離心率的值，就要求出的值(或數(shù)量關(guān)系或關(guān)于的一個(gè)二次方程).15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由可得，，解得.此時(shí)，，有，故；（2）由可得，解得，.此時(shí)，，有，故.16．【正確答案】(1)1(2)1【詳解】（1）過點(diǎn)（2，0），可知所求雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，且a＝2，因?yàn)樗箅p曲線與雙曲線1的離心率相等；所以e，解得c，所以b1，所以雙曲線方程為1．（2）與雙曲線1具有相同的漸近線，且過點(diǎn)M（3，﹣2），則可設(shè)所求雙曲線的方程為k（），把點(diǎn)M（3，﹣2）代入上述方程得k，解得k＝﹣2．所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1．17．【正確答案】(1)或(2)【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意，得，解得，∴或（2）∵，由（1）知，，，令

①則

②得即所以.18．【正確答案】(1)771(2)546(3)120(4)672(5)540【詳解】（1）至少有1名女生入選，選從12任選5名，再排除全是男生種數(shù)，故至少有1名女生入選.則種.（2）至多有2名女生入選，分為沒有女生種，1名女生種，2名女生種，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得21+175+350=546種.（3）男生甲和女生乙入選，在剩下的10人中選出的3人，種.（4）男生甲和女生乙不能同時(shí)入選，有種.（5）男生甲、女生乙至少有一個(gè)人入選,則種.19．【正確答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】(1)求出，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，利用求出可得答案；(2)方法一，對(duì)兩邊平方得，設(shè)，設(shè)直線的方程為，結(jié)合拋物線方程得，再由可得答案；方法二，對(duì)兩邊平方得，設(shè)，設(shè)直線的方程為與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合可得答案.【詳解】(1)準(zhǔn)線為到的距離是．由對(duì)稱性知，是等腰