河南省“天一小高考”2025屆高三12月第二次聯(lián)考數(shù)學試題（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁河南省“天一小高考”2025屆高三12月第二次聯(lián)考數(shù)學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={x|x<1}，B={x|?1<x<2}，則?R(A∪B)=(

)A.(?∞,?1] B.(?∞,?1]∪[1,+∞)

C.[2,+∞) D.(?∞,?1]∪[2,+∞)2.(x?2x)6的展開式中，A.64 B.160 C.192 D.2403.已知拋物線C:y=ax2上一點P(m,1)到準線的距離為32，則a=A.?2 B.?12 C.124.記等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3=9，A.13 B.14 C.15 D.165.已知不重合的圓C1，C2都過點(?1,2)，且均與兩坐標軸相切，則圓C1，C2A.1 B.2 C.226.已知?π4，π4和7π12都是函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)A.4 B.6 C.8 D.127.已知長方體ABCD?A1B1C1A.812 B.81 C.2432 8.已知sin(α+β)=13，cos(α?β)=2A.?43 B.43 C.2二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知a，b，c都是非零向量，則下列命題正確的是(

)A.若a?c=b?c，則a=b

B.若|a?b10.已知復數(shù)z滿足(|z+2|?|z?2|)2=4，則下列說法正確的是A.|z|≥1 B.|z?2|≥2

C.若z∈R，則|z|=1 D.若z2∈R11.已知函數(shù)f(x)=x3?3xA.f(x)的圖象為中心對稱圖形

B.f(x)的圖象上一定存在關(guān)于直線x=1對稱的兩點

C.若a<0，則一定存在四個頂點都在f(x)的圖象上的菱形

D.若a=?3，則四個頂點都在f(x)的圖象上的正方形有兩個三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.對某校高三學生的身高進行抽樣調(diào)查，一共抽查了40名男生和10名女生，若抽查的這50名學生的平均身高為176cm，其中男生的平均身高為178cm，則抽查的女生的平均身高為

cm．13.已知實數(shù)x，y滿足2ln(x?3y)=ln(2x)+ln(2y)14.已知數(shù)列a1，a2，?，a2025中的每一項ai均滿足ai∈{?2,?1,0,1,2}，記這2025項中任意兩項乘積之和為M，即M=1?i<j?2025四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且c=5a，cosB=(Ⅰ)求cos(Ⅱ)記△ABC的面積為S1，其外接圓的面積為S2，求S16.(本小題12分)

如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，側(cè)面ACC1A1，BCC1B1均垂直于底面ABC，(Ⅰ)證明：AC1(Ⅱ)求二面角C1?CM?17.(本小題12分)已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為12(Ⅰ)求E的方程;(Ⅱ)設P是E上除頂點以外的動點，直線PC與x軸交于點T，直線AP與BC交于點Q，證明：OQ?OT(O為坐標原點18.(本小題12分)已知函數(shù)f(x)=ex(Ⅰ)求曲線y=g(x)在點(e,g(e))處的切線方程;(Ⅱ)討論f(x)的單調(diào)性;(Ⅲ)設函數(shù)L(x)=g(x)x2?xlnx，證明：L(x)>0，且對任意m>019.(本小題12分)照如下方式構(gòu)造一個數(shù)表：設m，k∈N?，將數(shù)表的第m行第k列的數(shù)記為am,k，且am,k是首項為3m+1，公差為(Ⅰ)數(shù)表中一共有幾個127?直接寫出所有相應的a(Ⅱ)若正整數(shù)x不在數(shù)表中，證明：2x+1是質(zhì)數(shù).(注：只有1和自身兩個因數(shù)的正整數(shù)稱為質(zhì)數(shù))(Ⅲ)設i，j∈N?，且i≥1，j≥2，從數(shù)表的前2i行，前(2j?1)列中任取3個數(shù)，取到的偶數(shù)個數(shù)記為X，求X的分布列及數(shù)學期望．

參考答案1.C

2.D

3.C

4.A

5.B

6.B

7.D

8.A

9.BC

10.ACD

11.ACD

12.168

13.9

14.?4048

15.解：(Ⅰ)由余弦定理得b2=a2+c2?2accosB，

即b2=a2+25a2?2a?5a?35=20a2，所以b=25a.

由余弦定理得cosC=a2+b16.解：(Ⅰ)如圖，連接BC1與B1C交于點N，連接MN．

因為四邊形BCC1B1為平行四邊形，

所以N為BC1的中點，

又M為AB的中點，則在△ABC1中，有MN/?/AC1，

又MN?平面B1CM，AC1?平面B1CM，

所以AC1/?/平面B1CM．

(Ⅱ)由勾股定理的逆定理知BC⊥AC，

又由側(cè)面ACC1A1，BCC1B1均垂直于底面ABC，可得CC1⊥平面ABC，

所以CA，CB，CC1兩兩垂直，以C為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖所示．

由已知得C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,4,0)，C1(0,0,13)，B1(0,4,

17.(Ⅰ)解：由題意知a2?b2a=12,ab=23,解得a=2,b=3,

故E的方程為x24+y23=1．

(Ⅱ)證明：由條件知A(?2,0)，B(2,0)，C(0,3).

設P(m,n)(m≠0且n≠0)，則m2418.解：(Ⅰ)?∵g(x)=1+xlnx，g′(x)=lnx+1，g′(e)=2，g(e)=1+e，

∴所求的切線方程為y=2(x?e)+1+e，即y=2x+1?e．

(Ⅱ)∵f(x)=ex?12x2?x?1，f′(x)=ex?x?1，

設Fx=f′(x)=ex?x?1，則F′(x)=ex?1，

當x>0時，F(xiàn)′(x)>0;當x<0時，F(xiàn)′(x)<0，

∴f′(x)在(?∞,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增，則f′(x)≥f′(0)=0，當且僅當x=0時取等號，

∴f(x)在R上單調(diào)遞增．

(Ⅲ)g(x)=1+xlnx，g′(x)=1+lnx，由g′(x)>0得x>1e;由g′(x)<0得0<x<1e，

所以g(x)在(0,1e)上單調(diào)遞減，在(1e,+∞)上單調(diào)遞增，

則g(x)≥g(1e)=1?1e>0．

易證x?1≥lnx，所以x2?xlnx=x(x?lnx)>019.解：(Ⅰ)一共有6個．

a1,42=a42,1=a2,25=a25,2=a7,8=a8,7=127．

理由：由題可知am,k=(3m+1)+(k?1)(2m+1)=m+k+2mk．

由m+k+2mk=127，得2m+2k+4mk=254，所以(2m+1)(2k+1)=255=3×85=5×51=15×17，

故2m+1與2k+1的值有6種情況，即am,k有6種情況．

(Ⅱ)假設2x+1是合數(shù)，即存在正整數(shù)a>1，b>1使得2x+1=ab．

由于2x+1是奇數(shù)，所以a，b都是奇數(shù)，

設a=2t+1，b=2s+1，s，t∈N?，

則2x+1=(2t+1)(2s+1)=2t+2s+4ts+1，所以x=t+s+2ts=at,s，

這與x不在數(shù)表中相矛盾，

故假設不成立，原結(jié)論成立，即2x+1是質(zhì)數(shù)．

(Ⅲ)因為am,k=m+k+2mk，

a2i?1,2j?1=2i+2j?2+2(2i?1)(2j?1)，即奇數(shù)行，奇數(shù)列一定是偶數(shù)，

a2i?1,2j=2i+2j+4(2i?1)j?1，即奇數(shù)行、偶數(shù)列一定是奇數(shù)．

從而每個奇數(shù)行的前(2j?1)列中，共有j個偶