浙江省2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第七章數(shù)列數(shù)學(xué)歸納法第5節(jié)數(shù)學(xué)歸納法選用含解析

PAGE第5節(jié)數(shù)學(xué)歸納法(選用)考試要求1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理；2.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)命題.知識(shí)梳理1.數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0∈N*)時(shí)命題成立；(2)(歸納遞推)假設(shè)n＝k(k≥n0，k∈N*)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立.只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0起先的全部正整數(shù)n都成立.2.數(shù)學(xué)歸納法的框圖表示[常用結(jié)論與易錯(cuò)提示]1.數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)初始值n0不肯定是1.2.推證n＝k＋1時(shí)肯定要用上n＝k時(shí)的假設(shè)，否則不是數(shù)學(xué)歸納法.診斷自測(cè)1.推斷下列說法的正誤.(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，驗(yàn)證n＝1時(shí)，左邊式子應(yīng)為1＋2＋22＋23.()(2)全部與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題都必需用數(shù)學(xué)歸納法證明.()(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí)，歸納假設(shè)可以不用.()(4)不論是等式還是不等式，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，由n＝k到n＝k＋1時(shí)，項(xiàng)數(shù)都增加了一項(xiàng).()解析對(duì)于(2)，有些命題也可以干脆證明；對(duì)于(3)，數(shù)學(xué)歸納法必需用歸納假設(shè)；對(duì)于(4)，由n＝k到n＝k＋1，有可能增加不止一項(xiàng).答案(1)√(2)×(3)×(4)×2.(選修2－2P99B1改編)在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對(duì)角線為eq\f(1,2)n(n－3)條時(shí)，第一步檢驗(yàn)n等于()A.1 B.2C.3 D.4解析三角形是邊數(shù)最少的凸多邊形，故第一步應(yīng)檢驗(yàn)n＝3.答案C3.已知f(n)＝eq\f(1,n)＋eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,n2)，則()A.f(n)中共有n項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)B.f(n)中共有n＋1項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)C.f(n)中共有n2－n項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)D.f(n)中共有n2－n＋1項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)解析f(n)共有n2－n＋1項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，eq\f(1,n)＝eq\f(1,2)，eq\f(1,n2)＝eq\f(1,4)，故f(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4).答案D4.用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)<n(n∈N，且n>1)，第一步要證的不等式是________.解析當(dāng)n＝2時(shí)，式子為1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)<2.答案1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)<25.用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xn＋yn能被x＋y整除”，當(dāng)其次步假設(shè)n＝2k－1(k∈N*)命題為真時(shí)，進(jìn)而需證n＝________時(shí)，命題亦真.解析由于步長(zhǎng)為2，所以2k－1后一個(gè)奇數(shù)應(yīng)為2k＋1.答案2k＋16.用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，xn－yn能被x＋y整除”第一步應(yīng)驗(yàn)證n＝________時(shí)，命題成立；其次步歸納假設(shè)成立應(yīng)寫成________.解析因?yàn)閚為正偶數(shù)，故第一個(gè)值n＝2，其次步假設(shè)n取第k個(gè)正偶數(shù)成立，即n＝2k，故應(yīng)假設(shè)成x2k－y2k能被x＋y整除.答案2x2k－y2k能被x＋y整除考點(diǎn)一用數(shù)學(xué)歸納法證明代數(shù)(或三角)等式【例1】用數(shù)學(xué)歸納法證明：eq\f(1,2×4)＋eq\f(1,4×6)＋eq\f(1,6×8)＋…＋eq\f(1,2n（2n＋2）)＝eq\f(n,4（n＋1）)(n∈N*).證明(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝eq\f(1,2×1×（2×1＋2）)＝eq\f(1,8)，右邊＝eq\f(1,4×（1＋1）)＝eq\f(1,8)，左邊＝右邊，所以等式成立.(2)假設(shè)n＝k(k∈N*)時(shí)等式成立，即有eq\f(1,2×4)＋eq\f(1,4×6)＋eq\f(1,6×8)＋…＋eq\f(1,2k（2k＋2）)＝eq\f(k,4（k＋1）)，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，eq\f(1,2×4)＋eq\f(1,4×6)＋eq\f(1,6×8)＋…＋eq\f(1,2k（2k＋2）)＋eq\f(1,2（k＋1）[2（k＋1）＋2])＝eq\f(k,4（k＋1）)＋eq\f(1,4（k＋1）（k＋2）)＝eq\f(k（k＋2）＋1,4（k＋1）（k＋2）)＝eq\f(（k＋1）2,4（k＋1）（k＋2）)＝eq\f(k＋1,4（k＋2）)＝eq\f(k＋1,4（k＋1＋1）).所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立，由(1)(2)可知，對(duì)于一切n∈N*等式都成立.規(guī)律方法(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題，要“先看項(xiàng)”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項(xiàng)，初始值n0是多少.(2)由n＝k時(shí)等式成立，推出n＝k＋1時(shí)等式成立，一要找出等式兩邊的改變(差異)，明確變形目標(biāo)；二要充分利用歸納假設(shè)，進(jìn)行合理變形，正確寫出證明過程，不利用歸納假設(shè)的證明，就不是數(shù)學(xué)歸納法.【訓(xùn)練1】用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n∈N*時(shí)，cosx＋cos2x＋cos3x＋…＋cosnx＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(1,2)))x,2sin\f(1,2)x)－eq\f(1,2)(x∈R，且x≠2kπ，k∈Z).解(1)當(dāng)n＝1時(shí)，等式右邊＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))x,2sin\f(1,2)x)－eq\f(1,2)＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))x－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))x,2sin\f(1,2)x)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinxcos\f(1,2)x＋cosxsin\f(1,2)x))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinxcos\f(1,2)x－cosxsin\f(1,2)x)),2sin\f(1,2)x)＝cosx＝等式左邊，等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)等式成立，即cosx＋cos2x＋cos3x＋…＋coskx＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k＋\f(1,2)))x,2sin\f(1,2)x)－eq\f(1,2).那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，有cosx＋cos2x＋cos3x＋…＋coskx＋cos(k＋1)x＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k＋\f(1,2)))x,2sin\f(1,2)x)－eq\f(1,2)＋cos(k＋1)x＝eq\f(sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（k＋1）x－\f(1,2)x))＋2sin\f(1,2)xcos（k＋1）x,2sin\f(1,2)x)－eq\f(1,2)＝eq\f(sin（k＋1）xcos\f(1,2)x－cos（k＋1）xsin\f(1,2)x＋2sin\f(1,2)xcos（k＋1）x,2sin\f(1,2)x)－eq\f(1,2)＝eq\f(sin（k＋1）xcos\f(1,2)x＋cos（k＋1）xsin\f(1,2)x,2sin\f(1,2)x)－eq\f(1,2)＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k＋1＋\f(1,2)))x,2sin\f(1,2)x)－eq\f(1,2).這就是說，當(dāng)n＝k＋1時(shí)等式也成立.依據(jù)(1)和(2)可知，對(duì)任何n∈N*等式都成立.考點(diǎn)二用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式【例2】(2024·浙江卷)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a3＝4，a4＝S3.數(shù)列{bn}滿意：對(duì)每個(gè)n∈N*，Sn＋bn，Sn＋1＋bn，Sn＋2＋bn成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；(2)記cn＝eq\r(\f(an,2bn))，n∈N*，證明：c1＋c2＋…＋cn<2eq\r(n)，n∈N*.(1)解設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝4，,a1＋3d＝3a1＋3d，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝0，,d＝2.))從而an＝2n－2，n∈N*.所以Sn＝n2－n，n∈N*.由Sn＋bn，Sn＋1＋bn，Sn＋2＋bn成等比數(shù)列，得(Sn＋1＋bn)2＝(Sn＋bn)(Sn＋2＋bn).解得bn＝eq\f(1,d)(Seq\o\al(2,n＋1)－SnSn＋2).所以bn＝n2＋n，n∈N*.(2)證明cn＝eq\r(\f(an,2bn))＝eq\r(\f(2n－2,2n（n＋1）))＝eq\r(\f(n－1,n（n＋1）))，n∈N*.我們用數(shù)學(xué)歸納法證明.①當(dāng)n＝1時(shí)，c1＝0<2，不等式成立；②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時(shí)不等式成立，即c1＋c2＋…＋ck<2eq\r(k).那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，c1＋c2＋…＋ck＋ck＋1<2eq\r(k)＋eq\r(\f(k,（k＋1）（k＋2）))<2eq\r(k)＋eq\r(\f(1,k＋1))<2eq\r(k)＋eq\f(2,\r(k＋1)＋\r(k))＝2eq\r(k)＋2(eq\r(k＋1)－eq\r(k))＝2eq\r(k＋1)，即當(dāng)n＝k＋1時(shí)不等式也成立.依據(jù)①和②，不等式c1＋c2＋…＋cn<2eq\r(n)對(duì)隨意n∈N*成立.規(guī)律方法應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式應(yīng)留意的問題(1)當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時(shí)，應(yīng)用其他方法不簡(jiǎn)潔證，則可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法.(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n＝k成立，推證n＝k＋1時(shí)也成立，證明時(shí)用上歸納假設(shè)后，可采納分析法、綜合法、求差(求商)比較法、放縮法、構(gòu)造函數(shù)法等證明方法.【訓(xùn)練2】(一題多解)已知各項(xiàng)非負(fù)的數(shù)列{an}中，a1＝eq\f(3,2)，aeq\o\al(2,n＋1)－an＋1＝an(n∈N*).求證：an<an＋1(n∈N*).證明法一由aeq\o\al(2,n＋1)－an＋1＝an(n∈N*)得an＋1＝eq\f(1＋\r(1＋4an),2).用數(shù)學(xué)歸納法證明eq\f(3,2)≤an<an＋1<2.當(dāng)n＝1時(shí)，eq\f(3,2)＝a1<a2＝eq\f(1＋\r(7),2)<2，結(jié)論成立.假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)結(jié)論成立，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，0<ak＋2＝eq\f(1＋\r(1＋4ak＋1),2)<eq\f(1＋\r(9),2)＝2，ak＋2－ak＋1＝2ak＋2－aeq\o\al(2,k＋2)>0，綜上，an<an＋1.法二因?yàn)閍eq\o\al(2,n＋1)－an＋1－2＝(an＋1－2)(an＋1＋1)＝an－2，所以an＋1－2與an－2同號(hào)，又a1＝eq\f(3,2)<2，所以an<2，an＋1<2.又an－an＋1＝aeq\o\al(2,n＋1)－2an＋1<0，所以an<an＋1.考點(diǎn)三歸納——猜想——證明【例3】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿意：Sn＝eq\f(an,2)＋eq\f(1,an)－1，且an>0，n∈N*.(1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通項(xiàng)公式；(2)證明(1)中的猜想.(1)解當(dāng)n＝1時(shí)，由已知得a1＝eq\f(a1,2)＋eq\f(1,a1)－1，即aeq\o\al(2,1)＋2a1－2＝0.∴a1＝eq\r(3)－1(a1>0).當(dāng)n＝2時(shí)，由已知得a1＋a2＝eq\f(a2,2)＋eq\f(1,a2)－1，將a1＝eq\r(3)－1代入并整理得aeq\o\al(2,2)＋2eq\r(3)a2－2＝0.∴a2＝eq\r(5)－eq\r(3)(a2>0).同理可得a3＝eq\r(7)－eq\r(5).猜想an＝eq\r(2n＋1)－eq\r(2n－1)(n∈N*).(2)證明①由(1)知，當(dāng)n＝1，2，3時(shí)，通項(xiàng)公式成立.②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥3，k∈N*)時(shí)，通項(xiàng)公式成立，即ak＝eq\r(2k＋1)－eq\r(2k－1).由于ak＋1＝Sk＋1－Sk＝eq\f(ak＋1,2)＋eq\f(1,ak＋1)－eq\f(ak,2)－eq\f(1,ak)，將ak＝eq\r(2k＋1)－eq\r(2k－1)代入上式，整理得aeq\o\al(2,k＋1)＋2eq\r(2k＋1)ak＋1－2＝0，∴ak＋1＝eq\r(2k＋3)－eq\r(2k＋1)，即n＝k＋1時(shí)通項(xiàng)公式成立.由①②可知對(duì)全部n∈N*，an＝eq\r(2n＋1)－eq\r(2n－1)都成立.規(guī)律方法(1)利用數(shù)學(xué)歸納法可以探究與正整數(shù)n有關(guān)的未知問題、存在性問題，其基本模式是“歸納—猜想—證明”，即先由合情推理發(fā)覺結(jié)論，然后經(jīng)邏輯推理論證結(jié)論的正確性.(2)“歸納—猜想—證明”的基本步驟是“試驗(yàn)—?dú)w納—猜想—證明”.中學(xué)階段與數(shù)列結(jié)合的問題是最常見的問題.【訓(xùn)練3】是否存在常數(shù)a，b，c，使等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝eq\f(n（n＋1）,12)(an2＋bn＋c)對(duì)一切正整數(shù)n都成立？證明你的結(jié)論.解把n＝1，2，3代入得方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝24，,4a＋2b＋c＝44，,9a＋3b＋c＝70，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝11，,c＝10，))猜想：等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝eq\f(n（n＋1）,12)(3n2＋11n＋10)對(duì)一切n∈N*都成立.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，由上面的探求可知等式成立；(2)假設(shè)n＝k時(shí)等式成立，即1·22＋2·32＋…＋k(k＋1)2＝eq\f(k（k＋1）,12)(3k2＋11k＋10)，那么n＝k＋1時(shí)，則1·22＋2·32＋…＋k(k＋1)2＋(k＋1)(k＋2)2＝eq\f(k（k＋1）,12)(3k2＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)2＝eq\f(k（k＋1）,12)(3k＋5)(k＋2)＋(k＋1)(k＋2)2＝eq\f(（k＋1）（k＋2）,12)[k(3k＋5)＋12(k＋2)]＝eq\f(（k＋1）（k＋2）,12)[3(k＋1)2＋11(k＋1)＋10]，所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立.綜合(1)(2)，對(duì)n∈N*等式都成立.基礎(chǔ)鞏固題組一、選擇題1.已知等式12＋22＋…＋n2＝eq\f(5n2－7n＋4,2)，以下說法正確的是()A.僅當(dāng)n＝1時(shí)等式成立B.僅當(dāng)n＝1，2，3時(shí)等式成立C.僅當(dāng)n＝1，2時(shí)等式成立D.n為隨意自然數(shù)時(shí)等式成立解析當(dāng)n＝1，2，3時(shí)均成立，當(dāng)n＝4時(shí)不成立.答案B2.用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n＞2n＋1對(duì)于n≥n0的正整數(shù)n都成立”時(shí)，第一步證明中的起始值n0應(yīng)取()A.2 B.3C.5 D.6解析∵n＝1時(shí)，21＝2，2×1＋1＝3，2n＞2n＋1不成立；n＝2時(shí)，22＝4，2×2＋1＝5，2n＞2n＋1不成立；n＝3時(shí)，23＝8，2×3＋1＝7，2n＞2n＋1成立.∴n的第一個(gè)取值n0＝3.答案B3.某個(gè)命題與正整數(shù)有關(guān)，假如當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)該命題成立，那么可以推出n＝k＋1時(shí)該命題也成立.現(xiàn)已知n＝5時(shí)該命題成立，那么()A.n＝4時(shí)該命題成立B.n＝4時(shí)該命題不成立C.n≥5，n∈N*時(shí)該命題都成立D.可能n取某個(gè)大于5的整數(shù)時(shí)該命題不成立解析明顯A，B錯(cuò)誤，由數(shù)學(xué)歸納法原理知C正確，D錯(cuò).答案C4.利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)>eq\f(n,2)(n≥2，n∈N*)”的過程中，由“n＝k”變到“n＝k＋1”時(shí)，左邊增加了()A.1項(xiàng) B.k項(xiàng)C.2k－1項(xiàng) D.2k項(xiàng)解析左邊增加的項(xiàng)為eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＋…＋eq\f(1,2k＋1－1)共2k項(xiàng)，故選D.答案D5.對(duì)于不等式eq\r(n2＋n)<n＋1(n∈N*)，某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法證明的過程如下：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，eq\r(12＋1)<1＋1，不等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)，不等式eq\r(k2＋k)<k＋1成立，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，eq\r(（k＋1）2＋k＋1)＝eq\r(k2＋3k＋2)<eq\r(（k2＋3k＋2）＋（k＋2）)＝eq\r(（k＋2）2)＝(k＋1)＋1.∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式成立，則上述證法()A.過程全部正確B.n＝1驗(yàn)得不正確C.歸納假設(shè)不正確D.從n＝k到n＝k＋1的推理不正確解析在n＝k＋1時(shí)，沒有應(yīng)用n＝k時(shí)的假設(shè)，不是數(shù)學(xué)歸納法.答案D6.用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋2＋3＋…＋n2＝eq\f(n4＋n2,2)，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)左端應(yīng)在n＝k的基礎(chǔ)上加上()A.k2＋1B.(k＋1)2C.eq\f(（k＋1）4＋（k＋1）2,2)D.(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2解析當(dāng)n＝k時(shí)，左端＝1＋2＋3＋…＋k2.當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，故當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左端應(yīng)在n＝k的基礎(chǔ)上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.故選D.答案D二、填空題7.設(shè)Sn＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n)，則Sn＋1－Sn＝________.解析∵Sn＋1＝1＋eq\f(1,2)＋…＋eq\f(1,2n)＋eq\f(1,2n＋1)＋…＋eq\f(1,2n＋2n)，Sn＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n).∴Sn＋1－Sn＝eq\f(1,2n＋1)＋eq\f(1,2n＋2)＋eq\f(1,2n＋3)＋…＋eq\f(1,2n＋2n).答案eq\f(1,2n＋1)＋eq\f(1,2n＋2)＋eq\f(1,2n＋3)＋…＋eq\f(1,2n＋2n)8.設(shè)f(n)＝62n－1＋1，則f(k＋1)用含有f(k)的式子表示為________.解析f(k)＝62k－1＋1，f(k＋1)＝62(k＋1)－1＋1＝36·62k－1＋1＝36(62k－1＋1)－35＝36f(k)－35.答案f(k＋1)＝36f(k)－359.凸n多邊形有f(n)條對(duì)角線，則凸(n＋1)邊形的對(duì)角線的條數(shù)f(n＋1)與f(n)的遞推關(guān)系式為________.解析f(n＋1)＝f(n)＋(n－2)＋1＝f(n)＋n－1.答案f(n＋1)＝f(n)＋n－110.數(shù)列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝eq\f(an,3an＋1)(n∈N*)，依次計(jì)算出a2，a3，a4的值分別為________；猜想an＝________.解析a1＝2，a2＝eq\f(2,3×2＋1)＝eq\f(2,7)，a3＝eq\f(\f(2,7),3×\f(2,7)＋1)＝eq\f(2,13)，a4＝eq\f(\f(2,13),3×\f(2,13)＋1)＝eq\f(2,19).由此，猜想an是以分子為2，分母是首項(xiàng)為1，公差為6的等差數(shù)列.∴an＝eq\f(2,6n－5).答案eq\f(2,7)，eq\f(2,13)，eq\f(2,19)eq\f(2,6n－5)三、解答題11.用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)<2－eq\f(1,n)(n∈N*，n≥2).證明(1)當(dāng)n＝2時(shí)，1＋eq\f(1,22)＝eq\f(5,4)<2－eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，命題成立.(2)假設(shè)n＝k時(shí)命題成立，即1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,k2)<2－eq\f(1,k).當(dāng)n＝k＋1時(shí)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,k2)＋eq\f(1,（k＋1）2)<2－eq\f(1,k)＋eq\f(1,（k＋1）2)<2－eq\f(1,k)＋eq\f(1,k（k＋1）)＝2－eq\f(1,k)＋eq\f(1,k)－eq\f(1,k＋1)＝2－eq\f(1,k＋1)，命題成立.由(1)(2)知原不等式在n∈N*，n≥2時(shí)均成立.12.數(shù)列{an}滿意Sn＝2n－an(n∈N*).(1)計(jì)算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通項(xiàng)公式an；(2)證明(1)中的猜想.(1)解當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1；當(dāng)n＝2時(shí)，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝eq\f(3,2)；當(dāng)n＝3時(shí)，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝eq\f(7,4)；當(dāng)n＝4時(shí)，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×4－a4，∴a4＝eq\f(15,8).由此猜想an＝eq\f(2n－1,2n－1)(n∈N*).(2)證明①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1，結(jié)論成立.②假設(shè)n＝k(k≥1且k∈N*)時(shí)，結(jié)論成立，即ak＝eq\f(2k－1,2k－1)，那么n＝k＋1時(shí)，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1，∴2ak＋1＝2＋ak.∴ak＋1＝eq\f(2＋ak,2)＝eq\f(2＋\f(2k－1,2k－1),2)＝eq\f(2k＋1－1,2k).所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論成立.由①②知猜想an＝eq\f(2n－1,2n－1)(n∈N*)成立.實(shí)力提升題組13.設(shè)n為正整數(shù)，f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)，經(jīng)計(jì)算得f(2)＝eq\f(3,2)，f(4)＞2，f(8)＞eq\f(5,2)，f(16)＞3，f(32)＞eq\f(7,2)，視察上述結(jié)果，可推想出一般結(jié)論()A.f(2n)＞eq\f(2n＋1,2) B.f(n2)≥eq\f(n＋2,2)C.f(2n)≥eq\f(n＋2,2) D.以上都不對(duì)解析因?yàn)閒(22)＞eq\f(4,2)，f(23)＞eq\f(5,2)，f(24)＞eq\f(6,2)，f(25)＞eq\f(7,2)，所以當(dāng)n≥1時(shí)，有f(2n)≥eq\f(n＋2,2).答案C14.設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿意：“當(dāng)f(k)≥k2成立時(shí)，總可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”.那么，下列命題總成立的是()A.若f(1)<1成立，則f(10)<100成立B.若f(2)<4成立，則f(1)≥1成立C.若f(3)≥9成立，則當(dāng)k≥1時(shí)，均有f(k)≥k2成立D.若f(4)≥16成立，則當(dāng)k≥4時(shí)，均有f(k)≥k2成立解析選項(xiàng)A，B的答案與題設(shè)中不等號(hào)方向不同，故A，B錯(cuò)；選項(xiàng)C中，應(yīng)當(dāng)是k≥3時(shí)，均有f(k)≥k2成立；對(duì)于選項(xiàng)D，滿意數(shù)學(xué)歸納法原理，該命題成立.答案D15.在用數(shù)學(xué)歸納法證明：(3n＋1)·7n－1(n∈N*)能被9整除的其次步中，應(yīng)把n＝k＋1時(shí)的式子變形為________.解析假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，(3k＋1)·7k－1能被9整除，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，[3(k＋1)＋1]·7k＋1－1＝[21(k＋1)＋7]·7k－1＝[(3k＋1)＋(18k＋27)]·7k－1＝[(3k＋1)·7k－1]＋9(2k＋3)·7k.因?yàn)閇(3k＋1)·7k－1]和9(2k＋3)·7k都能被9整除，所以[(3k＋1)·7k－1]＋9(2k＋3)·7k能被9整除，即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題成立.答案[(3k＋1)·7k－1]＋9(2k＋3)·7k16.設(shè)平面上n個(gè)圓周最多把平面分成f(n)片(平面區(qū)域)，則f(2)＝________，f(n)＝________.(n≥1，n∈N*)解析易知2個(gè)圓周最多把平面分成4片；n個(gè)圓周最多把平面分成f(n)片，再放入第n＋1個(gè)圓周，為使得到盡可能多的平面