2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之圓錐曲線綜合

Page2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之圓錐曲線綜合一．選擇題（共10小題）1．（2024?遼陽二模）由動點(diǎn)向圓引兩條切線，，切點(diǎn)分別為，，若四邊形為正方形，則動點(diǎn)的軌跡方程為A． B． C． D．2．（2024?安徽模擬）已知，為圓上的動點(diǎn)，且動點(diǎn)滿足：，記點(diǎn)的軌跡為，則A．為一條直線 B．為橢圓 C．為與圓相交的圓 D．為與圓相切的圓3．（2024?皇姑區(qū)四模）如圖，在棱長為2的正方體中，已知，，分別是棱，，的中點(diǎn)，為平面上的動點(diǎn)，且直線與直線的夾角為，則點(diǎn)的軌跡長度為A． B． C． D．4．（2024?重慶模擬）長為2的線段的兩個端點(diǎn)和分別在軸和軸上滑動，則點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)的軌跡方程為A． B． C． D．5．（2024?河北模擬）已知是圓上的動點(diǎn)，點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為，若圓與軌跡的公共弦方程為，則A．， B．， C． D．6．（2024?閔行區(qū)三模）設(shè)為曲線上的任意一點(diǎn)，記到的準(zhǔn)線的距離為．若關(guān)于點(diǎn)集和，，給出如下結(jié)論：①任意，中總有2個元素；②存在，使得．其中正確的是A．①成立，②成立 B．①不成立，②成立 C．①成立，②不成立 D．①不成立，②不成立7．（2024?回憶版）已知曲線，從上任意一點(diǎn)向軸作垂線，為垂足，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程為A． B． C． D．8．（2024?淄博模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，動點(diǎn)滿足，且，則下列說法正確的是A．點(diǎn)的軌跡為圓 B．點(diǎn)到原點(diǎn)最短距離為2 C．點(diǎn)的軌跡是一個正方形 D．點(diǎn)的軌跡所圍成的圖形面積為249．（2024?德州模擬）已知點(diǎn)為圓上一動點(diǎn)，點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為．直線上有一動點(diǎn)，直線與相切于點(diǎn)，則的最小值為A．2 B． C． D．10．（2024?石景山區(qū)一模）對于曲線，給出下列三個命題：①關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱；②曲線上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離不小于2；③曲線與曲線有四個交點(diǎn)．其中正確的命題個數(shù)是A．0 B．1 C．2 D．3二．多選題（共5小題）11．（2024?遵義二模）已知平面內(nèi)曲線，下列結(jié)論正確的是A．曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱 B．曲線所圍成圖形的面積為 C．曲線上任意兩點(diǎn)同距離的最大值為 D．若直線與曲線交于不同的四點(diǎn)，則12．（2024?蘇州模擬）從地球觀察，太陽在公轉(zhuǎn)時會圍繞著北極星旋轉(zhuǎn)．某蘇州地區(qū)（經(jīng)緯度約，的地理興趣小組探究此現(xiàn)象時，在平坦的地面上垂直豎起一根標(biāo)桿，光在宇宙中的彎曲效應(yīng)可忽略不計，則桿影可能的軌跡是A．半圓形 B．雙曲線 C．直線 D．橢圓13．（2024?太原模擬）已知兩定點(diǎn)，，動點(diǎn)滿足條件，其軌跡是曲線，過作直線交曲線于，兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是A．取值范圍是 B．當(dāng)點(diǎn)，，，不共線時，面積的最大值為6 C．當(dāng)直線斜率時，平分 D．最大值為14．（2024?河南模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，，為曲線上任意一點(diǎn)，則A．與曲線有4個公共點(diǎn) B．點(diǎn)不可能在圓外 C．滿足且的點(diǎn)有5個 D．到軸的最大距離為15．（2024?錦州模擬）已知曲線，則A．過原點(diǎn) B．關(guān)于原點(diǎn)對稱 C．只有兩條對稱軸 D．，，，三．填空題（共5小題）16．（2024?長春模擬）已知菱形的各邊長為2，．如圖所示，將沿折起，使得點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，連接，得到三棱錐，此時．若是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在三棱錐的外接球上運(yùn)動，且始終保持則點(diǎn)的軌跡的面積為．17．（2024?南昌二模）如圖，有一張較大的矩形紙片，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，．將矩形按圖示方式折疊，使直線（被折起的部分）經(jīng)過點(diǎn)，記上與點(diǎn)重合的點(diǎn)為，折痕為．過點(diǎn)再折一條與平行的折痕，并與折痕交于點(diǎn)，按上述方法多次折疊，點(diǎn)的軌跡形成曲線．曲線在點(diǎn)處的切線與交于點(diǎn)，則的面積的最小值為．18．（2024?陽江模擬）已知曲線是平面內(nèi)到定點(diǎn)與到定直線的距離之和等于6的點(diǎn)的軌跡，若點(diǎn)在上，對給定的點(diǎn)，用表示的最小值，則的最小值為．19．（2024?梅州模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，定義，、，兩點(diǎn)之間的“直角距離”為．已知兩定點(diǎn)，，則滿足，，的點(diǎn)的軌跡所圍成的圖形面積為．20．（2024?昌平區(qū)模擬）已知曲線，為坐標(biāo)原點(diǎn)．給出下列四個結(jié)論：①曲線關(guān)于直線成軸對稱圖形；②經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與曲線有且僅有一個公共點(diǎn)；③直線與曲線所圍成的圖形的面積為；④設(shè)直線，當(dāng)時，直線與曲線恰有三個公共點(diǎn)．其中所有正確結(jié)論的序號是．四．解答題（共5小題）21．（2024?江西模擬）我們約定，如果一個橢圓的長軸和短軸分別是另一條雙曲線的實軸和虛軸，則稱它們互為“姊妹”圓錐曲線．已知橢圓，雙曲線是橢圓的“姊妹”圓錐曲線，，分別為，的離心率，且，點(diǎn)，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)．（1）求雙曲線的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的動直線交雙曲線右支于，兩點(diǎn)，若直線，的斜率分別為，．試探究與的比值是否為定值．若是定值，求出這個定值；若不是定值，請說明理由；求的取值范圍．22．（2024?赤峰模擬）已知點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，，線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）若過點(diǎn)的直線與曲線的兩條漸近線交于，兩點(diǎn)，且為線段的中點(diǎn)．證明：直線與曲線有且僅有一個交點(diǎn)；求的取值范圍．23．（2024?廣東模擬）已知動圓過點(diǎn)，且被軸截得的線段長為4，記動圓圓心的軌跡為曲線．過點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，過與垂直的直線交于，兩點(diǎn)，其中，在軸上方，，分別為，的中點(diǎn)．（Ⅰ）求曲線的方程；（Ⅱ）證明：直線過定點(diǎn)；24．（2024?天津）已知橢圓的離心率，左頂點(diǎn)為，下頂點(diǎn)為，是線段的中點(diǎn)，其中．（1）求橢圓方程．（2）過點(diǎn)的動直線與橢圓有兩個交點(diǎn)，，在軸上是否存在點(diǎn)使得恒成立．若存在，求出這個點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍；若不存在，請說明理由．25．（2024?吉林三模）已知點(diǎn)，直線，動圓與直線相切，交線段于點(diǎn)，且．（Ⅰ）求圓心的軌跡方程，并說明是什么曲線；（Ⅱ）過點(diǎn)且傾斜角大于的直線與軸交于點(diǎn)，與的軌跡相交于兩點(diǎn)，，且，求的值及的取值范圍．

2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之圓錐曲線綜合參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2024?遼陽二模）由動點(diǎn)向圓引兩條切線，，切點(diǎn)分別為，，若四邊形為正方形，則動點(diǎn)的軌跡方程為A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】軌跡方程【專題】整體思想；直線與圓；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法【分析】由題意可得，再結(jié)合圓的定義求解即可．【解答】解：圓，圓心，半徑，因為四邊形為正方形，所以，所以動點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，即動點(diǎn)的軌跡方程為．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了求動點(diǎn)的軌跡方程，屬于基礎(chǔ)題．2．（2024?安徽模擬）已知，為圓上的動點(diǎn)，且動點(diǎn)滿足：，記點(diǎn)的軌跡為，則A．為一條直線 B．為橢圓 C．為與圓相交的圓 D．為與圓相切的圓【答案】【考點(diǎn)】軌跡方程【專題】定義法；直線與圓；函數(shù)思想；邏輯推理【分析】設(shè)，，由，得到點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，用點(diǎn)坐標(biāo)表示點(diǎn)坐標(biāo)，并代入圓，得到點(diǎn)的軌跡方程，再利用圓心距與半徑的關(guān)系判點(diǎn)的軌跡與圓的位置關(guān)系．【解答】解：設(shè)，，由，可得，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，即，把代入圓，則點(diǎn)的軌跡的方程為：，即是圓心為，半徑為1的圓，由于兩圓的圓心距和兩圓的半徑和相等，因此兩圓外切，即為與圓相切的圓．故選：．【點(diǎn)評】本題考查圓的軌跡方程，屬于中檔題．3．（2024?皇姑區(qū)四模）如圖，在棱長為2的正方體中，已知，，分別是棱，，的中點(diǎn)，為平面上的動點(diǎn)，且直線與直線的夾角為，則點(diǎn)的軌跡長度為A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征；異面直線及其所成的角；軌跡方程【專題】空間位置關(guān)系與距離；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法【分析】可得平面，可得點(diǎn)的軌跡為圓，由此即可得．【解答】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為、、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，2，，，1，，，0，，，0，，，2，，故，，，設(shè)平面的法向量為，則，令得，，故，因為，故平面，為平面上的動點(diǎn)，直線與直線的夾角為，平面，設(shè)垂足為，以為圓心，為半徑作圓，即為點(diǎn)的軌跡，其中，由對稱性可知，，故半徑，故點(diǎn)的軌跡長度為．故選：．【點(diǎn)評】本題考查立體中的軌跡問題，屬于中檔題．4．（2024?重慶模擬）長為2的線段的兩個端點(diǎn)和分別在軸和軸上滑動，則點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)的軌跡方程為A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】軌跡方程【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；方程思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法【分析】設(shè)點(diǎn)、，、，由已知條件可得出，分析可知，為的中點(diǎn)，可得出，代入等式化簡可得出點(diǎn)的軌跡方程．【解答】解：設(shè)點(diǎn)、，、，則，可得，因為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，則為的中點(diǎn)，所以，可得，將代入，可得，即，因此，點(diǎn)的軌跡方程為．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了求點(diǎn)的軌跡方程，考查了方程思想，屬于基礎(chǔ)題．5．（2024?河北模擬）已知是圓上的動點(diǎn)，點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為，若圓與軌跡的公共弦方程為，則A．， B．， C． D．【答案】【考點(diǎn)】軌跡方程【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；計算題；整體思想；直線與圓【分析】利用相關(guān)點(diǎn)法求得圓的軌跡方程，進(jìn)而得到兩圓的公共弦的方程，利用待定系數(shù)法得到關(guān)于，的方程組，解之即可得解．【解答】解：因為點(diǎn)是圓上的動點(diǎn)，點(diǎn)滿足，設(shè)，，，則，所以，即，代入圓的方程，可得，即，可得兩圓的公共弦的方程為，即，又因為兩圓的公共弦的方程為，可得，解得．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了圓的軌跡方程，屬于中檔題．6．（2024?閔行區(qū)三模）設(shè)為曲線上的任意一點(diǎn)，記到的準(zhǔn)線的距離為．若關(guān)于點(diǎn)集和，，給出如下結(jié)論：①任意，中總有2個元素；②存在，使得．其中正確的是A．①成立，②成立 B．①不成立，②成立 C．①成立，②不成立 D．①不成立，②不成立【答案】【考點(diǎn)】曲線與方程；命題的真假判斷與應(yīng)用【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法【分析】根據(jù)題意可得點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，當(dāng)點(diǎn)在原點(diǎn)時，點(diǎn)在點(diǎn)的軌跡圓外，即可得出結(jié)論．【解答】解：曲線的焦點(diǎn)，則，由得，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，的圓心，當(dāng)點(diǎn)在原點(diǎn)處時，，此時，此時點(diǎn)的軌跡方程為，因為，所以點(diǎn)在圓外，則存在，使得兩圓相離，即，故①錯誤，②正確，故選：．【點(diǎn)評】本題考查拋物線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．7．（2024?回憶版）已知曲線，從上任意一點(diǎn)向軸作垂線，為垂足，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程為A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】軌跡方程；圓錐曲線的軌跡問題【專題】邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算；方程思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程【分析】設(shè)，，由題意及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)的坐標(biāo)，利用代入法，即可求得線段的中點(diǎn)的軌跡方程．【解答】解：設(shè)，，則，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，因為點(diǎn)在曲線上，所以，故線段的中點(diǎn)的軌跡方程為．故選：．【點(diǎn)評】本題考查代入法求軌跡方程，屬于基礎(chǔ)題．8．（2024?淄博模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，動點(diǎn)滿足，且，則下列說法正確的是A．點(diǎn)的軌跡為圓 B．點(diǎn)到原點(diǎn)最短距離為2 C．點(diǎn)的軌跡是一個正方形 D．點(diǎn)的軌跡所圍成的圖形面積為24【答案】【考點(diǎn)】軌跡方程【專題】數(shù)形結(jié)合；直線與圓；平面向量及應(yīng)用；計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，由已知條件，結(jié)合向量的坐標(biāo)表示可用，表示，，結(jié)合可得，的關(guān)系，進(jìn)而可求點(diǎn)的軌跡方程，再由平行四邊形面積公式檢驗選項．【解答】解：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，由已知條件，可得，又因為，所以點(diǎn)坐標(biāo)對應(yīng)軌跡方程為，，且時，方程為；，且時，方程為；，且時，方程為；，且時，方程為．點(diǎn)對應(yīng)的軌跡如圖所示：，所以點(diǎn)的軌跡為菱形，，錯誤；原點(diǎn)到直線的距離為：，所以不正確．軌跡圖形是平行四邊形，面積為；正確．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了點(diǎn)的軌跡的求解，考查了綜合解決問題的能力，屬于難題9．（2024?德州模擬）已知點(diǎn)為圓上一動點(diǎn)，點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為．直線上有一動點(diǎn)，直線與相切于點(diǎn)，則的最小值為A．2 B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】軌跡方程【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；直線與圓；方程思想【分析】設(shè)，，由在圓上，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，可得的軌跡方程，再由圓的切線的性質(zhì)和勾股定理，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，可得所求值．【解答】解：設(shè)，，由點(diǎn)滿足，可得，，即有，，由在圓上，可得，即，圓心，半徑，由直角三角形的勾股定理，可得，即，要求的最小值，只需求的最小值．由點(diǎn)到直線的距離公式，可得，則的最小值為．故選：．【點(diǎn)評】本題考查圓的方程和性質(zhì)，以及直線和圓的位置關(guān)系，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．10．（2024?石景山區(qū)一模）對于曲線，給出下列三個命題：①關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱；②曲線上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離不小于2；③曲線與曲線有四個交點(diǎn)．其中正確的命題個數(shù)是A．0 B．1 C．2 D．3【答案】【考點(diǎn)】曲線與方程【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；方程思想；綜合法；直線與圓【分析】將換為，換為，方程不變，可判斷①；方程變?yōu)?，由基本不等式可判斷②；由對稱性可考慮第一象限的交點(diǎn)個數(shù)，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在定理和函數(shù)的單調(diào)性，可判斷③．【解答】解：將換為，換為，方程不變，則曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱，故①正確；由，可得，解得即有，故②正確；由曲線和曲線都關(guān)于原點(diǎn)對稱，都關(guān)于，軸對稱，可考慮第一象限的交點(diǎn)個數(shù)．由和，可得，設(shè)，由（1），，（2），可得在和各有一個零點(diǎn)，又和在遞減，則第一象限的交點(diǎn)個數(shù)為2，可得曲線與曲線有8個交點(diǎn)，故③錯誤．故選：．【點(diǎn)評】本題考查曲線的方程和性質(zhì)，以及直線和曲線的位置關(guān)系，考查方程思想和運(yùn)算能力、推理能力，屬于中檔題．二．多選題（共5小題）11．（2024?遵義二模）已知平面內(nèi)曲線，下列結(jié)論正確的是A．曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱 B．曲線所圍成圖形的面積為 C．曲線上任意兩點(diǎn)同距離的最大值為 D．若直線與曲線交于不同的四點(diǎn)，則【答案】【考點(diǎn)】曲線與方程【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；數(shù)形結(jié)合法；直線與圓；邏輯推理【分析】選項中，將換成，換成，即可判斷曲線是否關(guān)于原點(diǎn)對稱；選項中，討論，時，方程表示的曲線是圓在第一象限的部分，由對稱性可得曲線所圍成圖形的面積；選項中，根據(jù)圓的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合法求出曲線上任意兩點(diǎn)間距離的最大值；選項中，利用數(shù)形結(jié)合法可判斷直線與曲線交于不同的四點(diǎn)時的取值范圍．【解答】解：對于，將換成，換成，方程不變，所以曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱，選項正確；對于，當(dāng)，時，方程可化為，即，此時曲線所圍成的圖形是圓在第一象限的部分，面積不是，由對稱性可得曲線所圍成圖形的面積不是，選項錯誤；對于，由知曲線在第一象限的圖形是圓的一部分，圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為，所以曲線上任意兩點(diǎn)間距離的最大值為，選項正確；對于，直線是過定點(diǎn)的直線，由圖形知：時，直線不過點(diǎn)，時，直線也不過點(diǎn)，由此判斷直線與曲線交于不同的四點(diǎn)時的取值范圍不是，選項錯誤．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了曲線與方程的應(yīng)用問題，也考查了推理與運(yùn)算能力，是中檔題．12．（2024?蘇州模擬）從地球觀察，太陽在公轉(zhuǎn)時會圍繞著北極星旋轉(zhuǎn)．某蘇州地區(qū)（經(jīng)緯度約，的地理興趣小組探究此現(xiàn)象時，在平坦的地面上垂直豎起一根標(biāo)桿，光在宇宙中的彎曲效應(yīng)可忽略不計，則桿影可能的軌跡是A．半圓形 B．雙曲線 C．直線 D．橢圓【答案】【考點(diǎn)】軌跡方程；雙曲線的幾何特征【專題】邏輯推理；定義法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)動思想【分析】根據(jù)太陽視運(yùn)動軌跡判斷．【解答】解：根據(jù)題意可知，桿影的軌跡是太陽的視運(yùn)動軌跡，即太陽視運(yùn)動軌跡．根據(jù)題意可知，該地位于北半球，且緯度為，太陽直射點(diǎn)在南北回歸線之間來回移動，因此該地正午太陽高度角在之間，因此桿影的軌跡為橢圓，故正確；那除了橢圓軌跡，可能的軌跡還有半圓形．在較短的時間段內(nèi)，比如一天中的某些時刻，桿影可能會呈現(xiàn)出近似半圓形的軌跡．但從長時間的觀測和綜合考慮地球公轉(zhuǎn)、自轉(zhuǎn)以及太陽直射點(diǎn)的移動等因素，橢圓軌跡更為準(zhǔn)確和常見．所以這道題選擇和選項．故選：．【點(diǎn)評】本題考查太陽軌跡方程以及橢圓的幾何特征．13．（2024?太原模擬）已知兩定點(diǎn)，，動點(diǎn)滿足條件，其軌跡是曲線，過作直線交曲線于，兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是A．取值范圍是 B．當(dāng)點(diǎn)，，，不共線時，面積的最大值為6 C．當(dāng)直線斜率時，平分 D．最大值為【答案】【考點(diǎn)】軌跡方程【專題】導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；邏輯推理；定義法；函數(shù)思想【分析】對于，先設(shè)出點(diǎn)，根據(jù)已知求解圓的方程，再求出的最大值和最小值；對于，先設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線和圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理和三角形面積公式求解；對于，根據(jù)正弦定理推導(dǎo)角之間的關(guān)系；對于，先根據(jù)余弦定理求出的值，再求出的取值范圍，再根據(jù)正切函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間求解即可．【解答】解：設(shè)，由得：，化簡整理得，所以曲線，如圖：易知點(diǎn)在圓內(nèi)，則過點(diǎn)作直線，直線截圓所得最長弦為直徑，所以，直線截圓所得最短弦為過點(diǎn)且垂直于過點(diǎn)的直徑的弦，因為，，所以，則，所以的取值范圍是，故正確．當(dāng)點(diǎn)，，，不共線時，直線的斜率不為0，設(shè)直線，，，，，聯(lián)立得，消去得：，△，所以，，又，所以，（提示，故，故錯誤．由題意知，，又因為當(dāng)直線的斜率時，，，所以，，又因為，所以，所以當(dāng)直線的斜率時，平分，故正確．由余弦定理得：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，顯然，又因為在，上單調(diào)遞增，所以，故正確．故選：．【點(diǎn)評】本題考查軌跡方程，屬于難題．14．（2024?河南模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，，為曲線上任意一點(diǎn)，則A．與曲線有4個公共點(diǎn) B．點(diǎn)不可能在圓外 C．滿足且的點(diǎn)有5個 D．到軸的最大距離為【答案】【考點(diǎn)】曲線與方程【專題】方程思想；綜合法；直線與圓；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】聯(lián)立和曲線的方程，解方程可判斷；由基本不等式可判斷；由，且，，，求得的坐標(biāo)，可判斷；由換元法和三元均值不等式，計算可判斷．【解答】解：由，即，與聯(lián)立，或，共有兩個公共點(diǎn)，故錯誤；由，化為，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得等號，故正確；由于，且，，，可得滿足條件的點(diǎn)有，，共3個點(diǎn)，故錯誤；設(shè)，，可得曲線的方程為，即有，由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得等號，可得，故正確．故選：．【點(diǎn)評】本題考查曲線的方程和性質(zhì)，考查方程思想和轉(zhuǎn)化思想、運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題．15．（2024?錦州模擬）已知曲線，則A．過原點(diǎn) B．關(guān)于原點(diǎn)對稱 C．只有兩條對稱軸 D．，，，【答案】【考點(diǎn)】曲線與方程【專題】直線與圓；數(shù)學(xué)運(yùn)算；方程思想；綜合法【分析】將原點(diǎn)代入曲線的方程，可判斷；將換為，換為，方程不變，可判斷；推得曲線關(guān)于，軸和直線對稱，可判斷；由基本不等式推得，可判斷．【解答】解：曲線，可得原點(diǎn)代入，方程成立，故正確；將換為，換為，方程不變，故曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱，故正確；將換為，不變，方程不變，可得曲線關(guān)于軸對稱；將換為，不變，方程不變，可得曲線關(guān)于軸對稱；將換為，換為，方程不變，可得曲線關(guān)于直線對稱；故錯誤；由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得等號，故正確．故選：．【點(diǎn)評】本題考查曲線與方程的關(guān)系，以及曲線的性質(zhì)，考查方程思想和運(yùn)算能力、推理能力，屬于中檔題．三．填空題（共5小題）16．（2024?長春模擬）已知菱形的各邊長為2，．如圖所示，將沿折起，使得點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，連接，得到三棱錐，此時．若是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在三棱錐的外接球上運(yùn)動，且始終保持則點(diǎn)的軌跡的面積為．【答案】．【考點(diǎn)】軌跡方程【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；立體幾何；綜合法【分析】取中點(diǎn)，由題可得平面，設(shè)點(diǎn)軌跡所在平面為，則軌跡為平面截三棱錐的外接球的截面圓，利用球的截面性質(zhì)求截面圓半徑即得．【解答】解：取中點(diǎn)，連接，，則，，，，，平面，所以平面，又因為，則，，作于，設(shè)點(diǎn)軌跡所在平面為，則平面經(jīng)過點(diǎn)，且，設(shè)三棱錐外接球的球心為，半徑為，，的中心分別為，，可知平面，平面，且，，，四點(diǎn)共面，由題可得，在△中，可得，又因為，則，易知到平面的距離，故平面截外接球所得截面圓的半徑為，所以截面圓的面積為．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查多面體與外接球的綜合運(yùn)用，考查點(diǎn)的軌跡的面積的求法，屬中檔題．17．（2024?南昌二模）如圖，有一張較大的矩形紙片，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，．將矩形按圖示方式折疊，使直線（被折起的部分）經(jīng)過點(diǎn)，記上與點(diǎn)重合的點(diǎn)為，折痕為．過點(diǎn)再折一條與平行的折痕，并與折痕交于點(diǎn)，按上述方法多次折疊，點(diǎn)的軌跡形成曲線．曲線在點(diǎn)處的切線與交于點(diǎn)，則的面積的最小值為．【答案】．【考點(diǎn)】軌跡方程；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程【專題】計算題；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程【分析】連接，可得，可知點(diǎn)在以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線上，求出拋物線方程，然后利用導(dǎo)數(shù)求出點(diǎn)處的切線，將的面積表示為關(guān)于點(diǎn)的橫坐標(biāo)的式子，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出面積的最小值．【解答】解：連接，由與關(guān)于對稱，可得，所以點(diǎn)在以為焦點(diǎn)、直線為準(zhǔn)線的拋物線上，以中點(diǎn)為原點(diǎn)，過與平行的直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，直線，可得拋物線的方程為，即，求導(dǎo)數(shù)得，設(shè)，則拋物線在點(diǎn)處的切線斜率，切線方程為，與直線交于點(diǎn)，，所以，可得，設(shè)（a），其中，可得（a），當(dāng)時，（a），因為時（a），，（a），所以（a）在上單調(diào)減，在，上單調(diào)增．因此，當(dāng)時，（a）有最小值，即的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象的切線、函數(shù)的單調(diào)性與最值求法等知識，考查了計算能力、邏輯推理能力，屬于中檔題．18．（2024?陽江模擬）已知曲線是平面內(nèi)到定點(diǎn)與到定直線的距離之和等于6的點(diǎn)的軌跡，若點(diǎn)在上，對給定的點(diǎn)，用表示的最小值，則的最小值為2．【答案】2．【考點(diǎn)】軌跡方程【專題】數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想；定義法；圓錐曲線中的最值與范圍問題；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】設(shè)，討論時和時，分別求出點(diǎn)的軌跡方程，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，由此計算的最小值即可．【解答】解：設(shè)，當(dāng)時，，所以，化簡得：，，，即；當(dāng)時，，所以，整理得：，，，即；對于曲線上任意一點(diǎn)，則，當(dāng)且僅當(dāng)是線段與曲線的交點(diǎn)時取“”，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即點(diǎn)的坐標(biāo)為時，取得最小值為2．故答案為：2．【點(diǎn)評】本題考查了點(diǎn)的軌跡應(yīng)用問題，也考查了轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．19．（2024?梅州模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，定義，、，兩點(diǎn)之間的“直角距離”為．已知兩定點(diǎn)，，則滿足，，的點(diǎn)的軌跡所圍成的圖形面積為6．【答案】6．【考點(diǎn)】軌跡方程【專題】綜合法；計算題；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；直線與圓；數(shù)形結(jié)合【分析】利用已知條件，求解軌跡方程，然后畫出圖形即可求解面積．【解答】解：設(shè)，由題意，，，可知，軌跡方程的圖形如圖，圖形的面積為：．故答案為：6．【點(diǎn)評】本題考查軌跡方程的求法，圖形的畫法，面積的求法，是中檔題．20．（2024?昌平區(qū)模擬）已知曲線，為坐標(biāo)原點(diǎn)．給出下列四個結(jié)論：①曲線關(guān)于直線成軸對稱圖形；②經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與曲線有且僅有一個公共點(diǎn)；③直線與曲線所圍成的圖形的面積為；④設(shè)直線，當(dāng)時，直線與曲線恰有三個公共點(diǎn)．其中所有正確結(jié)論的序號是①③④．【答案】①③④．【考點(diǎn)】曲線與方程【專題】直線與圓；整體思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法【分析】分，的正負(fù)四種情況去掉絕對值符號得到曲線方程后，由圖可得①正確；當(dāng)斜率為時結(jié)合漸近線可得②錯誤；由四分之一圓面積減去三角形面積可得③正確；由圖形可得④正確．【解答】解：：可化為，因為當(dāng)，時，無意義，無此曲線，故舍去，所以曲線表示為，對于①，由圖象可得曲線關(guān)于直線成軸對稱圖形，故①正確；對于②，由于左上和右下部分雙曲線的，所以漸近線方程為，所以當(dāng)直線的斜率為時，過原點(diǎn)的直線與曲線無交點(diǎn)，故②錯誤；對于③，設(shè)直線與，交點(diǎn)分別為，，因為圓方程中半徑為2，且點(diǎn)，，所以直線與曲線圍成的圖形的面積為，故③正確；對于④，由于直線恒過，當(dāng)時，直線與平行，有一個交點(diǎn)；當(dāng)時，與漸近線平行，此時有兩個交點(diǎn)，當(dāng)，結(jié)合斜率的范圍可得有三個交點(diǎn)，如圖，④正確．故答案為：①③④．【點(diǎn)評】本題主要考查了曲線方程的應(yīng)用，還考查了直線與曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．四．解答題（共5小題）21．（2024?江西模擬）我們約定，如果一個橢圓的長軸和短軸分別是另一條雙曲線的實軸和虛軸，則稱它們互為“姊妹”圓錐曲線．已知橢圓，雙曲線是橢圓的“姊妹”圓錐曲線，，分別為，的離心率，且，點(diǎn)，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)．（1）求雙曲線的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的動直線交雙曲線右支于，兩點(diǎn)，若直線，的斜率分別為，．試探究與的比值是否為定值．若是定值，求出這個定值；若不是定值，請說明理由；求的取值范圍．【答案】（1）；（2）；，，．【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合【專題】綜合題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法【分析】（1）由題意可設(shè)雙曲線，利用，可求；（2）設(shè)，，，，直線的方程為，與雙曲線聯(lián)立方程組可得，，進(jìn)而計算可得為定值．設(shè)直線，代入雙曲線方程可得，進(jìn)而可得，，，，，進(jìn)而由可得，，，進(jìn)而求得的取值范圍．【解答】解：（1）由題意可設(shè)雙曲線，則，解得，雙曲線的方程為；（2）設(shè)，，，，直線的方程為，由，消去得，則，△，且，，；設(shè)直線，代入雙曲線方程并整理得，由于點(diǎn)為雙曲線的左頂點(diǎn)，此方程有一根為，，解得，點(diǎn)在雙曲線的右支上，，解得，，即，，同理可得，，，由，，，，，，，，．【點(diǎn)評】本題考查橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與離心率，雙曲線的幾何性質(zhì)，直線與雙曲線的位置關(guān)系，漸近線與雙曲線的位置關(guān)系，屬中檔題．22．（2024?赤峰模擬）已知點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，，線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）若過點(diǎn)的直線與曲線的兩條漸近線交于，兩點(diǎn)，且為線段的中點(diǎn)．證明：直線與曲線有且僅有一個交點(diǎn)；求的取值范圍．【答案】（1）；（2）證明過程見解析；（ⅱ），．【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合；軌跡方程【專題】綜合題；對應(yīng)思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維；運(yùn)算求解【分析】（1）由題意，得到，結(jié)合雙曲線的定義以及，，的關(guān)系列出等式求出和的值，進(jìn)而可得曲線的方程；（2）設(shè)，，，，，，結(jié)合（1）中信息得到雙曲線的漸近線方程，整理得，結(jié)合以及點(diǎn)在曲線上，求出直線的方程，將直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，根據(jù)△即可得證；（ⅱ）結(jié)合中信息，將雙曲線的漸近線方程與直線的方程聯(lián)立，求出的表達(dá)式，同理得的表達(dá)式，推出，將轉(zhuǎn)化成有關(guān)的不等式，再進(jìn)行求解即可．【解答】解：（1）因為點(diǎn)為的垂直平分線上一點(diǎn)，所以，此時，則點(diǎn)的軌跡為以，為焦點(diǎn)的雙曲線，且，，所以，則，則曲線的方程為；（2）證明：不妨設(shè)，，，，，，易知曲線的漸近線方程為，，兩式相加得，兩式相減得，所以，即，易知，所以，，則，即，所以直線的方程為，即，因為點(diǎn)在曲線上，所以，此時，聯(lián)立，消去并整理得，此時△，故與有且僅有一個交點(diǎn)；（ⅱ）聯(lián)立，解得，同理得，此時，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，因為，所以的取值范圍為，．【點(diǎn)評】本題考查軌跡方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題．23．（2024?廣東模擬）已知動圓過點(diǎn)，且被軸截得的線段長為4，記動圓圓心的軌跡為曲線．過點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，過與垂直的直線交于，兩點(diǎn)，其中，在軸上方，，分別為，的中點(diǎn)．（Ⅰ）求曲線的方程；（Ⅱ）證明：直線過定點(diǎn)；【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明過程見解答．【考點(diǎn)】軌跡方程【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；方程思想；邏輯推理；圓錐曲線中的最值與范圍問題；數(shù)形結(jié)合【分析】（Ⅰ）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（Ⅱ）方法一：設(shè)出相應(yīng)直線方程與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、直線點(diǎn)斜式方程，結(jié)合互相垂直直線斜率的關(guān)系進(jìn)行運(yùn)算求解即可；方法二：設(shè)出一條直線方程與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、互相垂直直線斜率關(guān)系求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，最后利用直線點(diǎn)斜式方程進(jìn)行判斷即可．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)，因為動圓過點(diǎn)，且被軸截得的線段長為4，所以有，所以曲線的方程為：；（Ⅱ）證明：方法一：由，故，由直線與直線垂直，故兩直線斜率都存在且不為0，設(shè)直線、分別為，，且，，，，，，聯(lián)立與直線，即有，消去可得：，，故，，則，故，即，同理可得，當(dāng)時，則，即，由，即，故時，有，此時過定點(diǎn)，且該定點(diǎn)為；當(dāng)時，即時，由，得，所以當(dāng)時，直線過定點(diǎn)，且該定點(diǎn)為，綜上，直線過定點(diǎn)，且該定點(diǎn)為．方法二：設(shè)，，，，不妨設(shè)，設(shè)，則．由，得，故，，所以，，所以，，同理可得，若，則直線，所以過點(diǎn)；若，則直線，過點(diǎn)．綜上，直線過定點(diǎn)．【點(diǎn)評】本題考查動點(diǎn)的軌跡方程，直線過定點(diǎn)問題，直線與拋物線的位置關(guān)系，關(guān)鍵是利用直線互相垂直的關(guān)系求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而利用直線點(diǎn)斜式方程進(jìn)行判斷，屬于中檔題．24．（2024?天津）已知橢圓的離心率，左頂點(diǎn)為，下頂點(diǎn)為，是線段的中點(diǎn)，其中．（1）求橢圓方程．（2）過點(diǎn)的動直線與橢圓有兩個交點(diǎn)，，在軸上是否存在點(diǎn)使得恒成立．若存在，求出這個點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2），．【考點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；橢圓的幾何特征；直線與圓錐曲線的綜合【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】（1）結(jié)合橢圓的性質(zhì)，以及三角形的面積公式，即可求解；（2）根據(jù)已知條件，分動直線的斜率存在、不存在討論，當(dāng)動直線的斜率不存在，直接結(jié)合平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，即可求解；動直線的斜率存在時，設(shè)出直線方程，并與橢圓方程聯(lián)立，再結(jié)合平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，即可求解．【解答】解：（1）因為橢圓的離心率為，所以，即，其中為半焦距，，則，所以，，，，解得，故，，故橢圓方程為；（2）①若過點(diǎn)的動直線的斜率不存在，則，或，，此時，②若過點(diǎn)的動直線的所率存在，則可設(shè)該直線方程為：，設(shè)，，，，，化簡整理可得，，故△，；，，故，恒成立，故，解得，若恒成立．結(jié)合①②可知，．故這個點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍為，．【點(diǎn)評】本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于難題．25．（2024?吉林三模）已知點(diǎn)，直線，動圓與直線相切，交線段于點(diǎn)，且．（Ⅰ）求圓心的軌跡方程，并說明是什么曲線；（Ⅱ）過點(diǎn)且傾斜角大于的直線與軸交于點(diǎn)，與的軌跡相交于兩點(diǎn)，，且，求的值及的取值范圍．【答案】（Ⅰ），所以，點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)在軸上，實軸長、虛軸長均為的等軸雙曲線．（Ⅱ）；的取值范圍是．【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合；軌跡方程【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；應(yīng)用題；圓錐曲線中的最值與范圍問題；待定系數(shù)法；方程思想【分析】（Ⅰ）設(shè)圓心為，根據(jù)，列出軌跡方程即可求解．（Ⅱ）設(shè)直線，聯(lián)立直線與雙曲線，表示出，進(jìn)而求出的值及的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)，圓的半徑為，為到直線的距離，則，根據(jù)題意，動點(diǎn)的軌跡就是點(diǎn)的集合，，，整理得，即，所以，點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)在軸上，實軸長、虛軸長均為的等軸雙曲線．（Ⅱ）設(shè)直線，傾斜角大于，，設(shè)，，，，，聯(lián)立得，△，，，，，，，，，，由，得，的取值范圍是．【點(diǎn)評】本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．命題的真假判斷與應(yīng)用【知識點(diǎn)的認(rèn)識】判斷含有“或”、“且”、“非”的復(fù)合命題的真假，首先要明確p、q及非p的真假，然后由真值表判斷復(fù)合命題的真假．注意：“非p”的正確寫法，本題不應(yīng)將“非p”寫成“方程x2﹣2x+1＝0的兩根都不是實根”，因為“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要認(rèn)真區(qū)分．【解題方法點(diǎn)撥】1．判斷復(fù)合命題的真假，常分三步：先確定復(fù)合命題的構(gòu)成形式，再指出其中簡單命題的真假，最后由真值表得出復(fù)合命題的真假．2．判斷一個“若p則q”形式的復(fù)合命題的真假，不能用真值表時，可用下列方法：若“pq”，則“若p則q”為真；而要確定“若p則q”為假，只需舉出一個反例說明即可．3．判斷逆命題、否命題、逆否命題的真假，有時可利用原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假這一關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化判斷．【命題方向】該部分內(nèi)容是《課程標(biāo)準(zhǔn)》新增加的內(nèi)容，幾乎年年都考，涉及知識點(diǎn)多而且全，多以小題形式出現(xiàn)．2．利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程【知識點(diǎn)的認(rèn)識】利用導(dǎo)數(shù)來求曲線某點(diǎn)的切線方程是高考中的一個?？键c(diǎn)，它既可以考查學(xué)生求導(dǎo)能力，也考察了學(xué)生對導(dǎo)數(shù)意義的理解，還考察直線方程的求法，因為包含了幾個比較重要的基本點(diǎn)，所以在高考出題時備受青睞．我們在解答這類題的時候關(guān)鍵找好兩點(diǎn)，第一找到切線的斜率；第二告訴的這點(diǎn)其實也就是直線上的一個點(diǎn)，在知道斜率的情況下可以用點(diǎn)斜式把直線方程求出來．【解題方法點(diǎn)撥】例：已知函數(shù)y＝xlnx，求這個函數(shù)的圖象在點(diǎn)x＝1處的切線方程．解：k＝y(tǒng)'|x＝1＝ln1+1＝1又當(dāng)x＝1時，y＝0，所以切點(diǎn)為（1，0）∴切線方程為y﹣0＝1×（x﹣1），即y＝x﹣1．我們通過這個例題發(fā)現(xiàn)，第一步確定切點(diǎn)；第二步求斜率，即求曲線上該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)；第三步利用點(diǎn)斜式求出直線方程．這種題的原則基本上就這樣，希望大家靈活應(yīng)用，認(rèn)真總結(jié)．3．棱柱的結(jié)構(gòu)特征【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1．棱柱：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱．棱柱用表示底面各頂點(diǎn)的字母來表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．2．認(rèn)識棱柱底面：棱柱中兩個互相平行的面，叫做棱柱的底面．側(cè)面：棱柱中除兩個底面以外的其余各個面都叫做棱柱的側(cè)面．側(cè)棱：棱柱中兩個側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱．頂點(diǎn)：棱柱的側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)．高：棱中兩個底面之間的距離．3．棱柱的結(jié)構(gòu)特征根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征，可知棱柱有以下性質(zhì)：（1）側(cè)面都是平行四邊形（2）兩底面是全等多邊形（3）平行于底面的截面和底面全等；對角面是平行四邊形（4）長方體一條對角線長的平方等于一個頂點(diǎn)上三條棱的長的平方和．4．棱柱的分類（1）根據(jù)底面形狀的不同，可把底面為三角形、四邊形、五邊形…的棱柱稱為三棱柱、四棱柱、五棱柱…．（2）根據(jù)側(cè)棱是否垂直底面，可把棱柱分為直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面為正多邊形，則稱其為正棱柱．5．棱柱的體積公式設(shè)棱柱的底面積為S，高為h，V棱柱＝S×h．4．異面直線及其所成的角【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、異面直線所成的角：直線a，b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O，作直線a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我們把直線a′和b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角．異面直線所成的角的范圍：θ∈（0，]．當(dāng)θ＝90°時，稱兩條異面直線互相垂直．2、求異面直線所成的角的方法：求異面直線的夾角關(guān)鍵在于平移直線，常用相似比，中位線，梯形兩底，平行平面等手段來轉(zhuǎn)移直線．3、求異面直線所成的角的方法常用到的知識：5．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【知識點(diǎn)的認(rèn)識】橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式：（1）（a＞b＞0），焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；（2）（a＞b＞0），焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．兩種形式相同點(diǎn)：形狀、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2兩種形式不同點(diǎn)：位置不同；焦點(diǎn)坐標(biāo)不同．標(biāo)準(zhǔn)方程（a＞b＞0）中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上（a＞b＞0）中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上圖形頂點(diǎn)A（a，0），A′（﹣a，0）B（0，b），B′（0，﹣b）A（b，0），A′（﹣b，0）B（0，a），B′（0，﹣a）對稱軸x軸、y軸，長軸長2a，短軸長2b焦點(diǎn)在長軸長上x軸、y軸，長軸長2a，短軸長2b焦點(diǎn)在長軸長上焦點(diǎn)F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）F1（0，﹣c），F(xiàn)2（0，c）焦距|F1F2|＝2c（c＞0）c2＝a2﹣b2|F1F2|＝2c（c＞0）c2＝a2﹣b2離心率e＝（0＜e＜1）e＝（0＜e＜1）準(zhǔn)線x＝±y＝±6．橢圓的幾何特征【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1．橢圓的范圍2．橢圓的對稱性3．橢圓的頂點(diǎn)頂點(diǎn)：橢圓與對稱軸的交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)．頂點(diǎn)坐標(biāo)（如上圖）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）其中，線段A1A2，B1B2分別為橢圓的長軸和短軸，它們的長分別等于2a和2b，a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長．4．橢圓的離心率①離心率：橢圓的焦距與長軸長的比叫做橢圓的離心率，用e表示，即：e＝，且0＜e＜1．②離心率的意義：刻畫橢圓的扁平程度，如下面兩個橢圓的扁平程度不一樣：e越大越接近1，橢圓越扁平，相反，e越小越接近0，橢圓越圓．當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，c＝0，橢圓變?yōu)閳A，方程為x2+y2＝a2．5．橢圓中的關(guān)系：a2＝b2+c2．7．雙曲線的幾何特征【知識點(diǎn)的認(rèn)識】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程（a＞0，b＞0）（a＞0，b＞0）圖形性質(zhì)焦點(diǎn)F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）F1（0，﹣c），F(xiàn)2（0，c）焦距|F1F2|＝2c|F1F2|＝2c范圍|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R對稱關(guān)于x軸，y軸和原點(diǎn)對稱頂點(diǎn)（﹣a，0）．（a，0）（0，﹣a）（0，a）軸實軸長2a，虛軸長2b離心率e＝（e＞1）準(zhǔn)線x＝±y＝±漸近線±＝0±＝08．曲線與方程【知識點(diǎn)的認(rèn)識】在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C（看作點(diǎn)的集合或適合某種條件的點(diǎn)的軌跡）上的點(diǎn)與一個二元方程f（x，y）＝0的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系：①曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個方程的解；②以這個方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)．那么，這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線．求解曲線方程關(guān)鍵是要找到各變量的等量關(guān)系．【解題方法點(diǎn)撥】例：：定義點(diǎn)M到曲線C上每一點(diǎn)的距離的最小值稱為點(diǎn)M到曲線C的距離．那么平面內(nèi)到定圓A的距離與它到定點(diǎn)B的距離相等的點(diǎn)的軌跡不可能是（）A：直線B：圓C：橢圓D：雙曲線一支．解：對定點(diǎn)B分類討論：①若點(diǎn)B在圓A內(nèi)（不與圓心A重合），如圖所示：設(shè)點(diǎn)P是圓A上的任意一點(diǎn)，連接PB，作線段PB的垂直平分線l交AP于點(diǎn)M，連接BM，則|AM|+|BM|＝|AP|＝R＞|AB|．由橢圓的定義可知：點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)A、B為焦點(diǎn)的橢圓．②若點(diǎn)B在圓A外，如圖2所示：設(shè)點(diǎn)P是圓A上的任意一點(diǎn)，連接PB，作線段PB的垂直平分線l交AP于點(diǎn)M，連接BM，則|BM|﹣|AM|＝|AP|＝R＜|AB|．由雙曲線的定義可知：點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的一支．③若定點(diǎn)B與圓心A重合，如圖3所示：設(shè)點(diǎn)P是圓A上的任意一點(diǎn)，取線段AP的中點(diǎn)M，則點(diǎn)M滿足條件，因此點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)A為圓心，以為半徑的圓．④若點(diǎn)B在圓A上，則滿足條件的點(diǎn)是一個點(diǎn)B．綜上可知：可以看到滿足條件的點(diǎn)M的軌跡可以是：橢圓、雙曲線的一支，圓，一個點(diǎn)，而不可能是一條直線．故選A．這是一個非常好的題，一個題把幾個很重要的曲線都包含了，我認(rèn)為這個題值得每一個學(xué)生去好好研究一下．這個題的關(guān)鍵是找等量關(guān)系，而這個等量關(guān)系是靠自己去建立的，其中還要注意到圓半徑是相等的和中垂線到兩端點(diǎn)的距離相等這個特點(diǎn)，最后還需結(jié)合曲線的第二定義等來判斷，是個非常有價值的題．【命題方向】這個考點(diǎn)非常重要，但也比較難，我們在學(xué)習(xí)這個考點(diǎn)的時候，先要認(rèn)真掌握各曲線的定義，特別是橢圓、拋物線、雙曲線的第二定義，然后學(xué)會去找等量關(guān)系，最后建系求解即可．9．直線與圓錐曲線的綜合【知識點(diǎn)的認(rèn)識】直線與圓錐曲線的綜合問題是高考的必考點(diǎn)，比方說求封閉面積，求距離，求他們的關(guān)系等等，常用的方法就是聯(lián)立方程求出交點(diǎn)的橫