中考數(shù)學(xué)幾何專項(xiàng)沖刺專題07倍半角模型鞏固練習(xí)(提優(yōu))含答案及解析_第1頁
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倍半角模型鞏固練習(xí)(提優(yōu))1. 如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E、F分別在BC、AB上,且∠FDE=45o,連接DE、DF、EF,試探究EF、AF、CE之間的數(shù)量關(guān)系.2. 如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90o,點(diǎn)D在CB的延長線上,連接AD,EA⊥AD,∠ACE=∠ABD.(1)求證:AD=AE;(2)點(diǎn)F為CD的中點(diǎn),AF的延長線交BE于點(diǎn)G,求∠AGE的度數(shù).3. 如圖,在平行四邊形ABCD中,AE⊥BC于點(diǎn)E,CE=CD,點(diǎn)F為CE的中點(diǎn),點(diǎn)G為CD上的一點(diǎn),連接DF、EG、AG,∠1=∠2.(1)若CF=2,AE=3,求BE的長;(2)求證:∠CEG=∠AGE.4. 如圖,在正方形ABCD中,E為AD邊上的中點(diǎn),過點(diǎn)A作AF⊥BE交CD邊于點(diǎn)F,M是AD邊上一點(diǎn),且BM=DM+CD.(1)求證:點(diǎn)F是CD邊上的中點(diǎn);(2)求證:∠MBC=2∠ABE.5. 如圖,在矩形ABCD中,F(xiàn)是DC上一點(diǎn),AE平分∠BAF交BC于點(diǎn)E,且DE⊥AF,垂足為點(diǎn)M,BE=3,,求MF的長.6. 如圖,在△ABC中,∠ACB=90o,D是AB邊上的一點(diǎn),M是CD的中點(diǎn),若∠AMD=∠BMD.求證:∠CDA=2∠ACD.7. 如圖1:在四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=ADC=90°,E、F分別是BC,CD上的點(diǎn),且∠EAF=60°,探究圖中線段BE,EF,F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系.小王同學(xué)探究此問題的方法是:延長FD到點(diǎn)G,使DG=BE,連接AG,先證明△ABE≌△ADG,再證明△AEF≌△AGF,即可得出BE,EF,F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系,他的結(jié)論應(yīng)是.象上面這樣有公共頂點(diǎn),銳角等于較大角的一半,且組成這個(gè)較大角的兩邊相等的幾何模型稱為半角模型.拓展如圖2,若在四邊形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E、F分別是BC,CD上的點(diǎn),且∠EAF=12∠BAD,則BE,EF,F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系是請證明你的結(jié)論.實(shí)際應(yīng)用如圖3,在某次軍事演習(xí)中,艦艇甲在指揮中心(O處)北偏西30°的A處,艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處,且兩艦艇到指揮中心的距離相等接到行動(dòng)指令后,艦艇甲向正東方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn),艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里小時(shí)的速度前進(jìn),1.2小時(shí)后,指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E,F(xiàn)處,且兩艦艇之間的夾角為70°,試求此時(shí)兩艦艇之間的距離是海里(直接寫出答案).倍半角模型鞏固練習(xí)(提優(yōu))1. 如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E、F分別在BC、AB上,且∠FDE=45o,連接DE、DF、EF,試探究EF、AF、CE之間的數(shù)量關(guān)系.【解答】EF=AF+CE,證明見解析【解析】如圖,將△DCE繞著點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90o得到△DGA.∵∠EDC+∠ADF+∠FDE=90o,∠FDE=45o,∴∠EDC+∠ADF=45o,又∵旋轉(zhuǎn),∴DE=DG,∠GDA=∠EDC,∴∠GDA+∠ADF=∠GDF=∠FDE=45o,在△DGF與△DEF中,DF=DF,∠GDF=∠EDF,DG=DE,∴△DGF≌△DEF,∴EF=GF=GA+AF,∵旋轉(zhuǎn),∴GA=CE,∴EF=AF+CE.2. 如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90o,點(diǎn)D在CB的延長線上,連接AD,EA⊥AD,∠ACE=∠ABD.(1)求證:AD=AE;(2)點(diǎn)F為CD的中點(diǎn),AF的延長線交BE于點(diǎn)G,求∠AGE的度數(shù).【解答】(1)見解析;(2)∠AGE=90o【解析】(1)證明:∵EA⊥AD,∴∠DAE=∠90o,∴∠DAB+∠BAE=90o,∵∠BAC=90o,∴∠CAE+∠BAE=90o,∴∠DAB=∠CAE,∵∠ACE=∠ABD,AB=AC,∴△ADB≌△ACE,∴AD=AE;(2)如圖,延長AG至點(diǎn)H,使得FH=FA.∵點(diǎn)F為CD的中點(diǎn),∴DF=CF,∵∠DFH=∠CFA,∴△DFH≌△CFA,∴DH=AC,∠H=∠CAF,∴DH∥AC,∴∠ADH+∠DAC=180o,∵∠BAE+∠DAC=∠BAE+∠DAE+∠EAC=90o+90o=180o,∴∠ADH=∠BAE,∵AB=AC,∴DH=AB,∵AD=AE,∴△ADH≌△EAB,∴∠DAH=∠AEB,∵∠DAH+∠GAE=90o,∴∠AEB+∠GAE=90o,∴∠AGE=180o-(∠AEB+∠GAE)=180o-90o=90o.3. 如圖,在平行四邊形ABCD中,AE⊥BC于點(diǎn)E,CE=CD,點(diǎn)F為CE的中點(diǎn),點(diǎn)G為CD上的一點(diǎn),連接DF、EG、AG,∠1=∠2.(1)若CF=2,AE=3,求BE的長;(2)求證:∠CEG=∠AGE.【解答】(1);(2)見解析【解析】(1)∵CE=CD,點(diǎn)F是CE的中點(diǎn),CF=2,∴DC=CE=2CF=4,∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB=CD=4,∵AE⊥BC,∴∠AEB=90o,在Rt△ABE中,由勾股定理可得;(2)如圖,過點(diǎn)G作GM⊥AE于點(diǎn)M.∵AE⊥BC,GM⊥AE,∴GM∥BC∥AD,在△DCF與△ECG中,∵,∴△DCF≌△ECG,∴CG=CF,CE=CD,∵CE=2CF,∴CD=2CG,即點(diǎn)G是CD的中點(diǎn),∵AD∥GM∥BC,∴M為AE的中點(diǎn),∴AM=EM,∵GM⊥AE,∴AG=EG,∴∠AGM=∠EGM,∴∠AGE=2∠MGE,∵GM∥BC,∴∠EGM=∠CEG,∴∠CEG=∠AGE.4. 如圖,在正方形ABCD中,E為AD邊上的中點(diǎn),過點(diǎn)A作AF⊥BE交CD邊于點(diǎn)F,M是AD邊上一點(diǎn),且BM=DM+CD.(1)求證:點(diǎn)F是CD邊上的中點(diǎn);(2)求證:∠MBC=2∠ABE.【解答】(1)見解析;(2)見解析【解析】(1)∵四邊形ABCD是正方形,∴AD=DC=AB=BC,∠C=∠D=∠BAD=90o,AB∥CD,∵AF⊥BE,∴∠AOE=90o,∴∠EAF+∠AEB=90o,∠EAF+∠BAF=90o,∴∠AEB=∠BAF,∵AB∥CD,∴∠BAF=∠AFD,∴∠AEB=∠AFD,∵∠BAD=∠D,AB=AD,∴△BAE≌△ADF,∴AE=DF,∵點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn),∴點(diǎn)F是CD邊上的中點(diǎn);(2)延長AD至點(diǎn)G,使得MG=MB,連接FG、FB,如圖所示:∵BM=DM+CD,∴DG=DC=BC,∵∠GDF=∠C=90o,DF=CF,∴△FDG≌△FCB,∴∠DFG=∠CFB,∴點(diǎn)B、F、G共線,∵點(diǎn)E為AD邊上的中點(diǎn),點(diǎn)F是CD邊上的中點(diǎn),AD=CD,∴AE=CF,∵AB=BC,∠C=∠BAD=90o,AE=CF,∴△ABE≌△CBF,∴∠ABE=∠CBF,∵AG∥BC,∴∠AGB=∠CBF=∠ABE,∴∠MBC=∠AMB=2∠AGB=2∠GBC=2∠ABE,∴∠MBC=2∠ABE.5. 如圖,在矩形ABCD中,F(xiàn)是DC上一點(diǎn),AE平分∠BAF交BC于點(diǎn)E,且DE⊥AF,垂足為點(diǎn)M,BE=3,,求MF的長.【解答】MF=【解析】【方法一】∵AE平分∠BAF交BC于點(diǎn)E,且DE⊥AF,∠B=90o,∴AB=AM,BE=EM=3,又∵,∴,設(shè),在△ADM與△DFM中,又∵△DMF∽△DCE,,即,,解得;【方法二】如圖,在AB上取點(diǎn)N并使得∠AEN=∠EAN,連接EN,由題意可得AN=NE,且∠BNE=2∠BAE,∵BE=3,,∴,設(shè),則,在Rt△EBN中,由勾股定理得,解得,,,由和得DM=1,由和DM=1得MF=.6. 如圖,在△ABC中,∠ACB=90o,D是AB邊上的一點(diǎn),M是CD的中點(diǎn),若∠AMD=∠BMD.求證:∠CDA=2∠ACD.【解答】見解析【解析】證明:過點(diǎn)A作AG∥DC交BM延長線于點(diǎn)H交BC的延長線于點(diǎn)G,連接HC,如圖所示:由題意可得∠BMD=∠AHB,∠AMD=∠HAM,∠HAC=∠ACD,即,∵CM=DM,∴HG=AH,即點(diǎn)H是AG的中點(diǎn),∵AC⊥BC,∴,∴∠HCA=∠HAC=∠ACD,∴∠HCM=∠HCA+∠ACD=∠ACD+∠ACD=2∠ACD,∵∠HAM=∠AMD,∠AMD=∠BMD,∠BMD=∠AHB,∠BMD=∠HMC,∴HM=AM,∵M(jìn)D=MC,∠AMD=∠HMC,AM=HM,∴△AMD≌△HMC,∴∠ADM=∠HCM=2∠ACD.7. 如圖1:在四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=ADC=90°,E、F分別是BC,CD上的點(diǎn),且∠EAF=60°,探究圖中線段BE,EF,F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系.小王同學(xué)探究此問題的方法是:延長FD到點(diǎn)G,使DG=BE,連接AG,先證明△ABE≌△ADG,再證明△AEF≌△AGF,即可得出BE,EF,F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系,他的結(jié)論應(yīng)是.象上面這樣有公共頂點(diǎn),銳角等于較大角的一半,且組成這個(gè)較大角的兩邊相等的幾何模型稱為半角模型.拓展如圖2,若在四邊形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E、F分別是BC,CD上的點(diǎn),且∠EAF=12∠BAD,則BE,EF,F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系是請證明你的結(jié)論.實(shí)際應(yīng)用如圖3,在某次軍事演習(xí)中,艦艇甲在指揮中心(O處)北偏西30°的A處,艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處,且兩艦艇到指揮中心的距離相等接到行動(dòng)指令后,艦艇甲向正東方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn),艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里小時(shí)的速度前進(jìn),1.2小時(shí)后,指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E,F(xiàn)處,且兩艦艇之間的夾角為70°,試求此時(shí)兩艦艇之間的距離是海里(直接寫出答案).【解答】見解析【解析】如圖1,EF=BE+DF,理由如下:在△ABE和△ADG中,AB=AD∠B=∠ADG∴△ABE≌△ADG(SAS),∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,∵∠EAF=12∠∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF,∴∠EAF=∠GAF,在△AEF和△GAF中,AE=AG∠EAF=∠GAF∴△AEF≌△AGF(SAS),∴EF=FG,∵FG=DG+DF=BE+DF,∴EF=BE+DF;故答案為EF=BE+DF;如圖2,EF=BE+DF,理由:延長FD到點(diǎn)G.使DG=BE.連結(jié)AG,在△ABE和△ADG中,BE=DG∠B=∠ADG∴△ABE≌△ADG(SAS),∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,∵∠EAF=12∠∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF,∴∠EAF=∠GAF,在△AEF和△GAF中,AE=

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