題型26 5類概率統(tǒng)計選填解題技巧（古典概率、概率的基本性質(zhì)、條件概率、全概率、貝葉斯公式）-高考數(shù)學(xué)必考模型歸納

題型265類概率統(tǒng)計選填解題技巧（古典概率、概率的基本性質(zhì)、條件概率、全概率、貝葉斯公式）技法01技法01古典概率解題技巧技法02概率的基本性質(zhì)解題技巧技法03條件概率解題技巧技法04全概率解題技巧技法05貝葉斯公式解題技巧技法01古典概率解題技巧古典概率古典概率是新高考卷的?？純?nèi)容，難度簡單，是概率中的基礎(chǔ)內(nèi)容，在小題和大題中都有考查，需重點(diǎn)復(fù)習(xí).知識遷移1．古典概型特點(diǎn)(1)試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個，即有限性．(2)每個基本事件發(fā)生的可能性相等，即等可能性．2．古典概型概率公式P(A)＝eq\f(A包含的基本事件的個數(shù),基本事件的總數(shù))＝eq\f(m,n).例1-1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為．【法一】：設(shè)這5名同學(xué)分別為甲，乙，1,2,3，從5名同學(xué)中隨機(jī)選3名，有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10種選法；其中，甲、乙都入選的選法有3種，故所求概率.【法二】：從5名同學(xué)中隨機(jī)選3名的方法數(shù)為甲、乙都入選的方法數(shù)為，所以甲、乙都入選的概率例1-2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）從2至8的7個整數(shù)中隨機(jī)取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為（

）A． B． C． D．【詳解】從2至8的7個整數(shù)中隨機(jī)取2個不同的數(shù)，共有種不同的取法，若兩數(shù)不互質(zhì)，不同的取法有：，共7種，故所求概率.1．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）將4個1和2個0隨機(jī)排成一行，則2個0不相鄰的概率為（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）從正方體的8個頂點(diǎn)中任選4個，則這4個點(diǎn)在同一個平面的概率為．3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無放回隨機(jī)抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．4．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）甲乙丙三個盒子中裝有一定數(shù)量的黑球和白球，其總數(shù)之比為．這三個盒子中黑球占總數(shù)的比例分別為．現(xiàn)從三個盒子中各取一個球，取到的三個球都是黑球的概率為；將三個盒子混合后任取一個球，是白球的概率為．5．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）某學(xué)校舉辦作文比賽，共6個主題，每位參賽同學(xué)從中隨機(jī)抽取一個主題準(zhǔn)備作文，則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題概率為（

）A． B． C． D．6．（2023·海南·?？寄M預(yù)測）從分別寫有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．技法02概率的基本性質(zhì)解題技巧在概率的基本性質(zhì)中，互斥事件、對立事件、概率加法公式在概率的基本性質(zhì)中，互斥事件、對立事件、概率加法公式是新高考卷的常考內(nèi)容，難度中等偏易，是概率中的基礎(chǔ)內(nèi)容，在小題和大題中都有考查，需重點(diǎn)復(fù)習(xí)..知識遷移1．概率的幾個基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率P(E)＝1.(3)不可能事件的概率P(F)＝0.(4)互斥事件概率的加法公式①如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．②若事件B與事件A互為對立事件，則P(A)＝1－P(B)．概率加法公式的推廣當(dāng)一個事件包含多個結(jié)果且各個結(jié)果彼此互斥時，要用到概率加法公式的推廣，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．例2-1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知事件A，B，C兩兩互斥，若，，，則（

）．A． B． C． D．因為事件A，，兩兩互斥，所以，所以.例2-2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）一個盒子內(nèi)裝有大小相同的紅球、白球和黑球若干個，從中摸出1個球，若摸出紅球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，那么摸出黑球或紅球的概率是A．0.3 B．0.55 C．0.7 D．0.75因為從中摸出1個球，若摸出紅球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，所以摸出黑球的概率是，因為從盒子中摸出1個球為黑球或紅球為互斥事件，所以摸出黑球或紅球的概率例2-3．（2022秋·山東聊城·高三山東聊城一中?？茧A段練習(xí)）我國古代有著輝煌的數(shù)學(xué)研究成果．《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》《海島算經(jīng)》《孫子算經(jīng)》、……《緝古算經(jīng)》等10部專著，有著十分豐富多彩的內(nèi)容，是了解我國古代數(shù)學(xué)的重要文獻(xiàn)．這10部專著中有7部產(chǎn)生于魏晉南北朝時期．某中學(xué)擬從這10部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容，則所選2部專著中至少有一部是魏晉南北朝時期專著的概率為．A． B． C． D．設(shè)所選2部專著中至少有一部是魏晉南北朝時期專著為事件，所以，因此1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）拋擲一個質(zhì)地均勻的骰子的試驗，事件A表示“小于5的偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)”，事件B表示“不小于5的點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)”，則一次試驗中，事件A或事件B至少有一個發(fā)生的概率為（

）A． B． C． D．2．（2023春·新疆烏魯木齊·高三?？茧A段練習(xí)）某家庭電話,打進(jìn)的電話響第一聲時被接的概率為,響第二聲時被接的概率為,響第三聲時被接的概率為,響第四聲時被接的概率為,則電話在響前四聲內(nèi)被接的概率為()A． B． C． D．3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）從裝有若干個紅球和白球（除顏色外其余均相同）的黑色布袋中，隨機(jī)不放回地摸球兩次，每次摸出一個球.若事件“兩個球都是紅球”的概率為，“兩個球都是白球”的概率為，則“兩個球顏色不同”的概率為（

）A． B． C． D．技法03條件概率解題技巧條件概率條件概率是新高考卷的?？純?nèi)容，難度中等偏難，是概率中的核心內(nèi)容，在小題和大題中都有考查，需重點(diǎn)復(fù)習(xí).知識遷移條件概率條件概率的定義條件概率的性質(zhì)已知B發(fā)生的條件下，A發(fā)生的概率，稱為B發(fā)生時A發(fā)生的條件概率，記為P(A|B)．當(dāng)P(B)>0時，我們有P(A|B)＝eq\f(PA∩B,PB).(其中，A∩B也可以記成AB)類似地，當(dāng)P(A)>0時，A發(fā)生時B發(fā)生的條件概率為P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)(1)0≤P(B|A)≤1，(2)如果B和C是兩個互斥事件，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)P(B|A)與P(A|B)易混淆為等同前者是在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率，后者是在B發(fā)生的條件下A發(fā)生的概率．條件概率的三種求法定義法先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)求P(B|A)基本事件法借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再求事件AB所包含的基本事件數(shù)n(AB)，得P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)縮樣法縮小樣本空間的方法，就是去掉第一次抽到的情況，只研究剩下的情況，用古典概型求解，它能化繁為簡例3-1．2023·全國·統(tǒng)考高考真題）某地的中學(xué)生中有的同學(xué)愛好滑冰，的同學(xué)愛好滑雪，的同學(xué)愛好滑冰或愛好滑雪.在該地的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查一位同學(xué)，若該同學(xué)愛好滑雪，則該同學(xué)也愛好滑冰的概率為（

）A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4同時愛好兩項的概率為，記“該同學(xué)愛好滑雪”為事件,記“該同學(xué)愛好滑冰”為事件，則，所以例3-2．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）52張撲克牌，沒有大小王，無放回地抽取兩次，則兩次都抽到A的概率為；已知第一次抽到的是A，則第二次抽取A的概率為由題意，設(shè)第一次抽到A的事件為B,第二次抽到A的事件為C,則1．（2024·湖南邵陽·統(tǒng)考一模）在某次美術(shù)專業(yè)測試中，若甲、乙、丙三人獲得優(yōu)秀等級的概率分別是和，且三人的測試結(jié)果相互獨(dú)立，則測試結(jié)束后，在甲、乙、丙三人中恰有兩人沒達(dá)優(yōu)秀等級的前提條件下，乙沒有達(dá)優(yōu)秀等級的概率為（

）A． B． C． D．2．（2024·全國·模擬預(yù)測）我國的生態(tài)環(huán)境越來越好，旅游的人越來越多．現(xiàn)有兩位游客慕名來江蘇旅游，他們分別從“太湖黿頭渚、蘇州拙政園、鎮(zhèn)江金山寺、常州恐龍園、南京夫子廟、揚(yáng)州瘦西湖”這6個景點(diǎn)中隨機(jī)選擇1個景點(diǎn)游玩．記事件A為“兩位游客中至少有一人選擇太湖黿頭渚”，事件為“兩位游客選擇的景點(diǎn)相同”，則等于（

）A． B． C． D．3．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考一模）湖南第二屆旅游發(fā)展大會于2023年9月15日至17日在郴州舉行，為讓廣大學(xué)生知曉郴州，熱愛郴州，親身感受“走遍五大洲，最美有郴州”綠色生態(tài)研學(xué)，現(xiàn)有甲，乙兩所學(xué)校從萬華巖中小學(xué)生研學(xué)實踐基地，王仙嶺旅游風(fēng)景區(qū)，雄鷹戶外基地三條線路中隨機(jī)選擇一條線路去研學(xué)，記事件A為“甲和乙至少有一所學(xué)校選擇萬華巖中小學(xué)生研學(xué)實踐基地”，事件B為“甲和乙選擇研學(xué)線路不同”，則（

）A． B． C． D．4．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）現(xiàn)隨機(jī)安排甲、乙等4位同學(xué)參加校運(yùn)會跳高、跳遠(yuǎn)、投鉛球比賽，要求每位同學(xué)參加一項比賽，每項比賽至少一位同學(xué)參加，事件“甲參加跳高比賽”，事件“乙參加跳高比賽”，事件“乙參加跳遠(yuǎn)比賽”，則（

）A．事件A與B相互獨(dú)立 B．事件A與C為互斥事件C． D．5．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6的六張卡片，卡片的形狀、質(zhì)地都相同，從中有放回地隨機(jī)抽取兩次，每次抽取一張，表示事件“第一次取出的數(shù)字是3”，表示事件“第二次取出的數(shù)字是2”，表示事件“兩次取出的數(shù)字之和是6”，表示事件“兩次取出的數(shù)字之和是7”，則（

）A． B．C． D．技法04全概率解題技巧全概率全概率是新高考卷的?？純?nèi)容，難度中等偏難，是概率中的核心內(nèi)容，在小題和大題中都有考查，需重點(diǎn)復(fù)習(xí).知識遷移全概率公式一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，則對任意的事件B?Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝，此公式為全概率公式.（1）計算條件概率除了應(yīng)用公式P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)外，還可以利用縮減公式法，即P(B|A)＝eq\f(n（AB）,n（A）)，其中n(A)為事件A包含的樣本點(diǎn)數(shù)，n(AB)為事件AB包含的樣本點(diǎn)數(shù).（2）全概率公式為概率論中的重要公式，它將對一個復(fù)雜事件A的概率的求解問題，轉(zhuǎn)化為了在不同情況下發(fā)生的簡單事件的概率的求和問題.例4．（2023·廣東深圳·?？级＃┮阎幪枮?，2，3的三個盒子，其中1號盒子內(nèi)裝有兩個1號球，一個2號球和一個3號球；2號盒子內(nèi)裝有兩個1號球，一個3號球；3號盒子內(nèi)裝有三個1號球，兩個2號球.若第一次先從1號盒子內(nèi)隨機(jī)抽取1個球，將取出的球放入與球同編號的盒子中，第二次從放入球的盒子中任取一個球，設(shè)事件為第一次取出的球為i號，事件為第二次取出的球為i號，則下列說法錯誤的是（

）A． B． C． D．由題意可得，故B正確；對于A，表示在第一次取出的球為3號的前提下，第二次取出的球為3號的概率，所以，故A正確；對于C，表示在第一次取出的球為1號的前提下，第二次取出的球為3號的概率，所以表示在第一次取出的球為2號的前提下，第二次取出的球為3號的概率，所以，應(yīng)用全概率公式,有，故C錯誤；對于D，利用條件概率可得，解得，故D正確故選：C1．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知顏色分別是紅、綠、黃的三個大小相同的口袋，紅色口袋內(nèi)裝有兩個紅球，一個綠球和一個黃球；綠色口袋內(nèi)裝有兩個紅球，一個黃球；黃色口袋內(nèi)裝有三個紅球，兩個綠球（球的大小質(zhì)地相同）．若第一次先從紅色口袋內(nèi)隨機(jī)抽取1個球，然后將取出的球放入與球同顏色的口袋內(nèi)，第二次從該口袋內(nèi)任取一個球，則第二次取到黃球的概率為（

）A． B． C． D．2．（2023·遼寧錦州·渤海大學(xué)附屬高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）甲單位有5名男性志愿者，7名女性志愿者；乙單位有4名男性志愿者，2名女性志愿者，從兩個單位任抽一個單位，然后從所抽到的單位中任取1名志愿者，則取到男性志愿者的概率為（

）A． B． C． D．3．（2023·吉林·長春十一高校聯(lián)考模擬預(yù)測）長白飛瀑，高句麗遺跡，鶴舞向海，一眼望三國，偽滿皇宮，松江霧凇，凈月風(fēng)光，查干冬漁，是著名的吉林八景，某人打算到吉林旅游，冬季來的概率是，夏季來的概率是，如果冬季來，則看不到長白飛瀑，鶴舞向海和凈月風(fēng)光，若夏季來，則看不到松江霧凇和查干冬捕，無論什么時候來，由于時間原因，只能在可去景點(diǎn)當(dāng)中選擇兩處參觀，則某人去了“一眼望三國”景點(diǎn)的概率為（

）A． B． C． D．4．（2022·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）2022年北京冬奧會吉祥物“冰墩墩”憑借憨態(tài)可掬的熊貓形象備受追捧，引來國內(nèi)外粉絲爭相購買，竟出現(xiàn)了“一墩難求”的局面.已知某工廠生產(chǎn)一批冰墩墩，產(chǎn)品合格率為.現(xiàn)引進(jìn)一種設(shè)備對產(chǎn)品質(zhì)量進(jìn)行檢測，但該設(shè)備存在缺陷，在產(chǎn)品為次品的前提下用該設(shè)備進(jìn)行檢測，檢測結(jié)果有的可能為不合格，但在該產(chǎn)品為正品的前提下，檢測結(jié)果也有的可能為不合格.現(xiàn)從生產(chǎn)的冰墩墩中任取一件用該設(shè)備進(jìn)行檢測，則檢測結(jié)果為合格的概率是（

）A． B．C． D．技法05貝葉斯公式解題技巧貝葉斯公式貝葉斯公式是新高考卷的?？純?nèi)容，難度中等偏難，是概率中的重點(diǎn)內(nèi)容，在小題和大題中都有考查，需重點(diǎn)復(fù)習(xí).知識遷移貝葉斯公式一般地,設(shè)是一組兩兩互斥的事件,有且,則對任意的事件有例5．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）“狼來了”的故事大家小時候應(yīng)該都聽說過：小孩第一次喊“狼來了”，大家信了，但去了之后發(fā)現(xiàn)沒有狼；第二次喊“狼來了”，大家又信了，但去了之后又發(fā)現(xiàn)沒有狼；第三次狼真的來了，但是這個小孩再喊狼來了就沒人信了．從數(shù)學(xué)的角度解釋這一變化，假設(shè)小孩是誠實的，則他出于某種特殊的原因說謊的概率為；小孩是不誠實的，則他說謊的概率是．最初人們不知道這個小孩誠實與否，所以在大家心目中每個小孩是誠實的概率是．已知第一次他說謊了，那么他是誠實的小孩的概率是（

）A． B． C． D．【詳解】設(shè)事件表示