五年2018-2022高考數(shù)學(xué)真題按知識(shí)點(diǎn)分類匯編18-空間向量與立體幾何（含解析）

五年2018-2022高考數(shù)學(xué)真題按知識(shí)點(diǎn)分類匯編18-空間向

量與立體幾何（含解析）

一、單選題

1.（2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）在正方體48co-AMG"中，E,F分別為力氏8。的中

點(diǎn)，則（）

A.平面媯EFJ.平面B.平面4E尸1平面RS。

C.平面qEF"平面AACD.平面4所〃平面4G。

2.（2018?全國(guó)?高考真題）在長(zhǎng)方體A8CO-A8Ca中，AB=BC=\,e=百,則

異面直線AD,與。片所成角的余弦值為

A.，B.叵C.@D.也

5652

二、多選題

3.（2021?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）在正三棱柱ABC-中，AB=AA]=\t點(diǎn)p滿足

麗二漩”函,其中，40,1],〃?0』],則（）

A.當(dāng)4=1時(shí)，AAq尸的周長(zhǎng)為定值

B.當(dāng)4=1時(shí)，三棱錐P-A8C的體積為定值

C.當(dāng)/1=；時(shí)，有且僅由一個(gè)點(diǎn)P,使得6P

D.當(dāng)"=；時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)尸，使得AB_L平面A8￡

三、解答題

4.（2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）如圖，直三棱柱ABC-ABC的體積為4,4ABC的面

積為2人.

⑴求A到平面A8C的距離;

⑵設(shè)。為人。的中點(diǎn)，AA^AB,平面ABC，平面A84A，求二面角A—3?！狢的正

弦值.

5.(2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)如圖，四面體A8CD中,

AD工CD,AD=CD,ZADB=NBDC,E為AC的中點(diǎn).

(1)證明：平面平面ACQ；

(2)設(shè)45=8。=2,/48=60。，點(diǎn)尸在8。上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求C尸與平面

麗所成的角的正弦值.

6.(2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)在四棱錐尸-A8CO中，尸。_1_底面

ABCD,CD//AB,AD=DC=CB=1,48=2,OP=J5.

試卷第2頁(yè)，共14頁(yè)

(1)證明：BDLPAx

(2)求PD與平面所成的角的正弦值.

7.(2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)如圖，PO是三棱錐尸-A8C的高，PA=PB,ABJ.AC,

E是28的中點(diǎn).

(1)證明：OE〃平面PAC；

(2)若NABO=NC8O=30°,尸。=3,24=5,求二面角C-AE-3的正弦值.

8.(2022?浙江?統(tǒng)考高考真題)如圖，已知A8CO和COM都是直角梯形，ABUDC,

DC//EF,48=5,DC=3,EF=\,N8AD=NCDE=60。，二面角廠一￡>C—8的平

面角為60。.設(shè)M,N分別為AE,8C的中點(diǎn).

(1)證明：FN1AD：

(2)求直線BM與平面AOE所成角的正弦值.

9.(2022?北京?統(tǒng)考高考真題)如圖，在三棱柱4BC-4禺a(chǎn)中，側(cè)面BCG用為正方形,

平面8。。由，平面AB=BC=2,M,N分別為AB-AC的中點(diǎn).

c

⑴求證：MN〃平面BCG四；

(2)再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為己知，求直線AB與平面8MN所成

角的正弦值.

條件①：AB上MN；

條件②：BM=MN.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

10.(2022?天津?統(tǒng)考高考真題)直三棱柱ABC-A4G中，

AAi=AB=AC=2.AAi±AB1AClABt。為A4的中點(diǎn)，E為人片的中點(diǎn)，尸為C。的

中點(diǎn).

⑴求證：EFH^ABC-,

(2)求直線BE與平面CC.D所成用的正弦值；

(3)求平面A.CD與平面CCQ所成二面角的余弦值.

11.(2021?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)已知直三棱柱ABC-AdG中，側(cè)面朋8因?yàn)檎叫?

AB=BC=2,E,尸分別為AC和CG的中點(diǎn)，。為棱A區(qū)上的點(diǎn).BF1

試卷第4頁(yè)，共14頁(yè)

(1)證明：BFLDE；

(2)當(dāng)印。為何值時(shí)，面B8￡C與面。心所成的二面角的正弦值最??？

12.(2021?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)如圖，四棱錐P-ABC。的底面是矩形，PDJJ后面

ABCD,PD=DC=1,M為的中點(diǎn)，且

(2)求二面角A—PM-8的正弦值.

13.(2021.全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)在四棱錐Q-A8C。中，底面A8CD是正方形，若

AO=2.。。=Q月=氐QC=3.

(1)證明：平面Q4。，平面48C。；

(2)求二面角B-Q。-A的平面角的余弦值.

14.(2021?浙江?統(tǒng)考高考真題)如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面ABCD是平行四邊

形，乙48C'=12(r,A8=l,3C'=4,Q4=Ji5,M,N分別為8C,PC的中點(diǎn)，

PDLDQPM1MD.

(1)證明：ABYPM；

(2)求直線AN與平面HW所成角的正弦值.

15.(2021?北京?統(tǒng)考高考真題)如圖：在正方體A8CO-A4GA口，七為AA中點(diǎn),

4G與平面CDE交于點(diǎn)尸.

(1)求證：F為B￡的中點(diǎn);

(2)點(diǎn)M是棱AA上一點(diǎn)，且二面角M-FC-七的余弦值為正，求罌的值.

3久巧

16.(2U21?天津?統(tǒng)考高考真題)如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體A88-ABGA中，E為

棱BC的中點(diǎn)，尸為棱CQ的中點(diǎn).

(II)求直線AG與平面AEG所成角的正弦值.

(III)求二面角A-AG-E的正弦值.

試卷第6頁(yè)，共14頁(yè)

17.（2020.全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）如圖，。為圓錐的頂點(diǎn)，。是圓錐底面的圓心，AE為

底面直徑，AE=AD.AABC是底面的內(nèi)接正三角形，尸為上一點(diǎn)，PO=￡DO.

（1）證明：R4J_平面P8C；

（2）求二面角3—PC—E的余弦值.

18.（2020?海南?統(tǒng)考高考真題）如圖，四棱錐F-A6C。的底面為正方形，PD_L底面

ABCD.設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為/.

（1）證明：LL平面POC；

（2）已知。為/上的點(diǎn)，求P5與平面QCO所成角的正弦值的最大值.

19.（2020?天津?統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱柱ABC-AB?中，CG_L平面

ABaAClBC,AC=BC=2tCC、=3,點(diǎn)D,E分別在棱人4和棱CC.±,且

AO=1CE=2,M為棱44的中點(diǎn).

(I)求證：GM_L/。；

(ID求二面角8一片七-0的E弦值；

(in)求直線AB與平面。瓦E所成角的正弦值.

20.(2020?北京?統(tǒng)考高考真題)如圖，在正方體ABCO-AqCQ中，E為84的中點(diǎn).

(I)求證：8G〃平面4〃昂

(II)求直線AA與平面ARE所成角的正弦值.

21.(2020?海南?高考真題)如圖，四棱錐P-A8CO的底面為正方形，2。_1底面48。。.設(shè)

平面PAD與平面PBC的交線為/.

試卷第8頁(yè)，共14頁(yè)

/D

ALB

(1)證明：/_L平面POC；

(2)已知PO=4)=1,。為/上的點(diǎn)，QB=近,求PB與平面QCO所成角的正弦值.

22.(2020?江蘇?統(tǒng)考高考真題)在三棱錐A—BCO中，已知CB=CD=?,BD=2,。為

8。的中點(diǎn)，AO_L平面8CQ,AO=2,E為4C的中點(diǎn).

(1)求直線4B與。石所成角的余弦值；

(2)若點(diǎn)F在8C上，滿足8尸=!成;設(shè)二面角F—OE—C的大小為仇求sin。的值.

23.(2019?全國(guó)?高考真題)如圖，直四棱柱ABCD-4向的底面是菱形，44尸4,

AB=2,NB4￡>=60。，E,M,N分別是8C,BBhA/。的中點(diǎn).

(1)證明：MN〃平面C/DE；

(2)求二面角人-MA/W的正弦值.

24.（2018?全國(guó)?高考真題）如圖，在三棱錐P-ABC中，AB=BC=26,

PA=PB=PC=AC=4,。為AC的中點(diǎn).

（1）證明：PO_L平面48C；

（2）若點(diǎn)M在棱3c上，且二面角M-PA-C為30°,求PC與平面21M所成角的正

弦值.

25.（2018?全國(guó)?高考真題）如圖，四邊形A6CZ）為正方形，石,尸分別為的中點(diǎn),

以0b為折痕把△DFC折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)尸的位置，且PF上B尸.

（1）證明：平面PEFJ?平面ABED：

（2）求OP與平面所成角的正弦值.

26.（2019?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）圖1是由矩形AOEB,RsA8C和菱形BFGC組成的一

個(gè)平面圖形，其中A8=l,BE=BF=2,N五BC=60。，將其沿A8,BC折起使得BE與8尸

重合，連結(jié)。G,如圖2.

（1）證明：圖2中的A,C,G,。四點(diǎn)共面，且平面43C_L平面BCGE；

（2）求圖2中的二面角B-CG-A的大小.

試卷第10頁(yè)，共14頁(yè)

圖1圖2

27.（2019?浙江?高考真題）如圖，已知三棱柱ABC-ABG，平面平面

ABC,N43c=90。，^BAC=30。,4A=A。=AC,E,F分別是AC,4用的中點(diǎn).

（1）證明：EF1BC-,

（2）求直線叱與平面ABC所成角的余弦值.

28.（2018?全國(guó)?高考真題）如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形力5CD所在的平面與半圓弧CD所

在平面垂直，M是CO上異于C,。的點(diǎn).

（1）證明：平面AA">_L平面8MC；

（2）當(dāng)三棱錐M-A8C體積最大時(shí)，求面M43與面M8所成二面角的正弦值.

29.（2019.北京?高考真題）如圖，在四棱錐P-A8C。中，必_L平面ABC。，ADA.CD,

PFI

AD//BC,PA=AD=CD=2BC=3.E為尸。的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在PC上，且一=-.

fPC3

(I)求證：。。_1_平面兩。；

(II)求二面角f-AE-尸的余弦值；

(III)設(shè)點(diǎn)G在PB上，且P需G=：2.判斷直線AG是否在平面A“內(nèi)，說(shuō)明理由.

30.（2019?天津?高考真題）如圖，A￡：_L平面A8CO,CF//AE,AD//BC,

AD1.AB,AB=AD=KAE=BC=2.

(I)求證：B/〃平面4￡>E；

(II)求直線CE與平面8DE所成角的正弦值；

(III)若二面角E-BO-尸的余弦值為g,求線段C尸的長(zhǎng).

31.(2018?浙江?高考真題)如圖，已知多面體4BC-ABG，AA,巴氏GC均垂直于平面

ABCABC=120°,AA=4,C,C=1,AB=8C=耳8=2.

試卷第12頁(yè)，共14頁(yè)

4

(I)求證：4片，平面4圈6；；

(II)求直線4G與平面ABB、所成角的正弦值.

32.(2018?北京?高考真題)如圖，在三棱柱ABC-A禺G中，CQl平面ABC,D,E,

F,G分別為AA，AC,AG，叫的中點(diǎn)，AB=BC=下,AC=AAi=2.

(1)求證：人。_1_平面8七/；

(2)求二面角的余弦值；

(3)證明：直線產(chǎn)G與平面8CO相交.

33.(2018?江蘇?高考真題)如圖，在正三棱柱A8C-A/B/G中，AB=AA/=2,點(diǎn)P,。分

別為A/B/,BC的中點(diǎn).

（1）求異面直線3P與AG所成角的余弦值：

（2）求直線CG與平面AQG所成角的正弦值.

34.（2018?天津高考真題）如圖，AD//AC且AO=2BC,AO_LC￡>,EG//A。且EG=4Z）,

CD"FGACD=2FG,OG_L平面488,DA=DC=DG=2.

（I）若M為C尸的中點(diǎn)，N為EG的中點(diǎn)，求證：MN〃平面CDE；

（ID求二面角E-6C-尸的正弦值；

（III）若點(diǎn)P在線段DG上，且直線BP與平面AOGE所成的角為60。，求線段DP的

長(zhǎng).

試卷第14頁(yè)，共14頁(yè)

參考答案：

1.A

【分析】證明律上平面即可判斷A；如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)⑷5=2,分別求出平面與石尸，A8Q,ACQ的法向量，根據(jù)法向量的位置關(guān)系，即可判

斷BCD.

【詳解】解：在正方體ABCO-AAGA中，

AC上BD且DD、±平面ABCD,

又防u平面A5CO,所以EF^LDR,

因?yàn)镋,尸分別為A8,8c的中點(diǎn)，

所以所所以EF_LRD.

又8OnOR=O,

所以所立平面BZ)A，

又所u平面

所以平面用Ml平面8D",故A正確；

選項(xiàng)BCD解法一：

如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)A8=2,

則4(2?2,2),E(2J,0),尸(LZO),5(ZZO)，A(20,2),A(20,0),C(0,2,0),

G(0,2,2),

則喬=(-1,1,0),甌=(0,1,2),麗=(2,2,0)訪=(2,0,2),

麗=(0,0,2),而=(_2,2,0),而=(-2,2,0),

設(shè)平面用EF的法向量為而=(%,y,zj,

則有卜.胃可取藁(3T).

7

[m-EBi=y\+2zi=0'

同理可得平面A3。的法向量為)=(1,TT)，

平面AAC的法向量為后=(1,1,0),

答案第1頁(yè)，共77頁(yè)

平面AG。的法向量為區(qū)=(1,1,-1),

則正?，=2—2+1=1。0,

所以平面用E尸與平面A8D不垂直，故B錯(cuò)誤;

因?yàn)榘倥c福不平行,

所以平面與E產(chǎn)與平面A'C不平行，故C錯(cuò)誤;

因?yàn)檎c彳不平行,

所以平面8也/與平面AC。不平行，故D錯(cuò)誤,

故選：A.

選項(xiàng)BCD解法二：

解：對(duì)于選項(xiàng)B,如圖所示，設(shè)4Bn與E=M,所r)BO=N,則MN為平面"EF與平面

AB。的交線，

在ABMN內(nèi),作BPLMN于點(diǎn)P,在AEMN內(nèi),作GPLMN,交硒于點(diǎn)G,連結(jié)BG,

則4BPG或其補(bǔ)角為平面用￡尸與平面ABD所成二面角的平面角，

答案第2頁(yè)，共77頁(yè)

由勾股定理可知：PB2+PN2=BN2,PG2+PN2=GN\

底面正方形ABC。中，￡尸為中點(diǎn)，則砂J_皮)，

由勾股定理可得WB?+NG?=BG2，

從而有：NB2+NG2=(92+PN2)+(PG?+PN2)=BG2,

據(jù)此可得PB?+PG~工BG2,即NBPG090s

據(jù)此可得平面8所_1_平面AB。不成立，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C,取入用的中點(diǎn)〃，則A〃||耳￡,

由于A”與平面AAC相交，故平面耳E尸〃平面AAC不成立，選項(xiàng)C錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)D,取AD的中點(diǎn)很明顯四邊形44尸”為平行四邊形，則AM||87,

由于A"與平面AG。相交，故平面與￡尸〃平面AG。不成立，選項(xiàng)D錯(cuò)誤;

答案第3頁(yè)，共77頁(yè)

G

2.C

【詳解】分析：先建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積求向量夾角，再根

據(jù)向量夾角與線線角相等或互補(bǔ)關(guān)系求結(jié)果.

詳解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DDi為x,y,z軸建立空間宜角坐標(biāo)系，則

D（O,0,0）,A（I,0,0）,4（LL揚(yáng),Ago,6）,所以珂=（TO,75）,函=（u,75）,

因?yàn)閏os（石函）=墻蠲=三哭邛，所以異面直線g與叫所成角的余弦值為

苧，選C.

點(diǎn)睛：利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g

直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出

平面的法向量：第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.

3.BD

【分析】對(duì)于A,由于等價(jià)向量關(guān)系，聯(lián)系到一個(gè)三角形內(nèi)，進(jìn)而確定點(diǎn)的坐標(biāo)；

對(duì)于B,將尸點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡考慮到一個(gè)三角形內(nèi)，確定路線，進(jìn)而考慮體積是否為定值；

對(duì)于C,考慮借助向量的平移將尸點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來(lái)求解P點(diǎn)

的個(gè)數(shù)；

對(duì)于D,考慮借助向量的平移將尸點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來(lái)求解P點(diǎn)

的個(gè)數(shù).

答案第4頁(yè)，共77頁(yè)

易知，點(diǎn)尸在矩形8CG4內(nèi)部（含邊界）.

對(duì)于A,當(dāng);1=1時(shí)，BP=BC+pBB^=BC+juCC^,即此時(shí)Pe線段cq,△八男尸周長(zhǎng)不是定

值，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,當(dāng)〃=1時(shí)，麗=疵+函=函+入監(jiān),故此時(shí)尸點(diǎn)軌跡為線段BC，而5G//8C,

BCJ/平面ABC,則有尸到平面ABC的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確.

對(duì)于C,當(dāng)2=孑時(shí)，麗二；品+畫,取BC,4G中點(diǎn)分別為Q,H,則麗=麗+〃麗,

亨0』,,

所以尸點(diǎn)軌跡為線段?！?，不妨建系解決，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，A

P（0,0,〃），,0,；,0）,貝1」庭=,麗

“.而=M〃-l)=0,

所以〃=0或4=1.故”，。均滿足，故C錯(cuò)誤;

I——1—

對(duì)于D,當(dāng)〃=5時(shí)，BPCBC+QBBT，取84，CG中點(diǎn)為M,N.麗=麗+湎,所

以產(chǎn)點(diǎn)軌跡為線段MN.

“=一2f；，一1，所以5+g）b—；=0=%=一；，此時(shí)尸與N重合，故D正確.

\/

故選：BD.

【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的等價(jià)替換，關(guān)鍵之處在于所求點(diǎn)的坐標(biāo)放在三角形內(nèi).

答案第5頁(yè)，共77頁(yè)

4.（1）72

⑵立

2

【分析】（1）由等體積法運(yùn)算即可得解；

（2）由面面垂直的性質(zhì)及判定可得3c4平面ABBA，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向

量法即可得解.

【詳解】（1）在直三棱柱ABC-ABC中，設(shè)點(diǎn)4到平面ABC的距離為近

S

則匕.A“=1,A,BC,卜=手h=V^_ABC=1S&ABC?A%=g匕8C/G=1,

解得h=啦,

所以點(diǎn)A到平面\BC的距離為&；

（2）取A8的中點(diǎn)E,連接AE,如圖，因?yàn)槲?48,所以AE_LA8,

又平面\BC1平面ABB^,平面ABCc平面ABB^=,

且AEu平面484A，所以AE_L平面ABC,

在直三棱柱ABC-A￡G中，BBJ平面ABC,

由8Cu平面AB。，8Cu平面ABC可得AE_L8C,BB,1BC,

又u平面且相交，所以BC工平面4B&A,

所以8cB4,8局兩兩垂直，以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

答案第6頁(yè)，共77頁(yè)

B

由(1)得AE=&，所以AA=AB=2,48=2、/2,所以8c=2,

則4(0,2,0),4(0,2,2),8(0,0,0),C(2,0,0),所以&:的中點(diǎn)。(11,1),

貝IJ麗=(1,1,1),麗=(0,2,0)屈=(2,0,0),

一frnBD=x+y+z=0

設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量帆=(x,%z),則〈——

\'\thBA=2y=0

可取而=(1,0,-1),

=a+b+c=0

設(shè)平面BQC的一個(gè)法向量〃=(a,九c),則＜_

n?nC=2a=0

可取;2=(04,一1),

則8s/M----〃\片m帝n一&10一1，

所以二面角A-8Z)-C的正弦值為=亭

5.(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析

⑵CF與平面的所成的角的正弦值為竽

【分析】(1)根據(jù)已知關(guān)系證明△AB恒△C8。，得到4B=CB,結(jié)合等腰三角形三線合一

答案第7頁(yè)，共77頁(yè)

得到垂直關(guān)系，結(jié)合面面垂直的判定定理即可證明；

（2）根據(jù)勾股定理逆用得到班■，￡）￡：,從而建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合線面角的運(yùn)算法則

進(jìn)行計(jì)算即可.

（1）

因?yàn)锳O=C￡>,E為AC的中點(diǎn)，所以AC_LDE；

在△A8O和△C8。中，因?yàn)锳D=CDADB=/CDB,DB=DB,

所以aABZ注△C8Z）,所以AB=C8,又因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，所以AC_L3E；

又因?yàn)镈E,BEu平面BED,DEcBE=E,所以AC1平面BED,

因?yàn)锳Cu平面4CD,所以平面跳Z）_L平面4CQ.

（2）

連接石尸，由（1）知，AC_L平面8E。，因?yàn)镋/u平面8瓦）,

所以AC_LE/，所以SMFC=；AC*'，

當(dāng)時(shí)，E尸最小,即△AFC的面積最小.

因?yàn)椤鰽B*ACBD,所以C8=A8=2,

又因?yàn)镹ACB=60。，所以是等邊三角形，

因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，所以AE=EC=1,BE=A

因?yàn)锳OJ.CO,所以O(shè)E=1AC=1,

在中，DE2+BE2=BD2^所以應(yīng);_ZOE.

以E為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系E-xyz,

則A（1,0,0）,8（0,V5,0）,0（0,0,1）,所以而=（-1,0,1）,通=（-1,6,0）,

設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量為3=（My,z）,

n-AD=-x+z=0

?。?，=5則1=卜,后3）,

n-AB=-x+6y=0

又因?yàn)镃（T,0,0）,F（0,#q）,所以#=11,日,5

4+

所以方二T，

答案第8頁(yè)，共77頁(yè)

設(shè)C尸與平面曲所成的角的正弦值為。

所以sin。=卜05(〃,(7尸1=,

所以。產(chǎn)與平面說(shuō)所成的角的正弦值為勺叵.

7

【分析】(1)作。于E,CF/AB于廣，利用勾股定理證明49X5Q,根據(jù)線面垂

直的性質(zhì)可得PDJ■加，從而可得加工平面尸4￡>,再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；

(2)以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可得出答案.

(1)

證明：在四邊形A8CO中，作于E,C尸于尸，

因?yàn)镃D//AB,AD=CD=CB=l,AB=2,

所以四邊形ABC。為等腰梯形，

所以AE=B尸=!，

2

故力E=*，BD=^DE2+BE2=>/3?

所以4。2+8￡)2=鉆2,

所以

因?yàn)镻O1平面ABC。，8￡>u平面ABC0,

所以

答案第9頁(yè)，共77頁(yè)

又PDcAD=D,

所以2D/平面尸4),

又因?yàn)镽4u平面

所以班>_LB4；

(2)

解：如圖,以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.

BD=g,

則A(l,0,0),網(wǎng)0,Go),尸(0,0，甸,

則麗=(-i,o,G),/=(o,-G,#),而=僅。6),

設(shè)平面Q48的法向量G=(x,y,z),

n-AP=-x+>/3z=0-//-\

則有｛一廠廣，可取〃=,

?BP=-V3y+V3z=0

則8晰'加”牖=4，

所以P0與平面RW所成角的正弦值為日.

答案第10頁(yè)，共77頁(yè)

AZ

■>

y

7.（1）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）連接80并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)0,連接。4、PD,根據(jù)三角形全等得到。4=08,

再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到A0=DO,即可得到。為8。的中點(diǎn)從而得到OE//PQ,即可

得證；

（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦的絕對(duì)值，再根據(jù)同

角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得.

【詳解】（1）證明：連接80并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)。，連接。4、PD,

因?yàn)镻O是三棱錐尸一A8C的高，所以PO/平面A6C,AO,8Ou平面48C,

所以PO_LAO、POLBO,

又PA=PB,所以△PQ4三△P08,即04=08,所以NOA8=NO8A,

又4B/AC,即NH4C=90。，所以NO48+NOAO=90。，ZOBA+ZODA=900,

所以N0QA=N04。

所以A0=￡＞。，即40=00=08,所以。為8。的中點(diǎn)，又E為PB的中點(diǎn)，所以O(shè)EHPD,

又OE（Z平面A4C,P￡）u平面PAC,

所以O(shè)E〃平面尸AC

答案第11頁(yè)，共77頁(yè)

p

c

E

AB

(2)解：過(guò)點(diǎn)A作上〃。尸，如圖建立平面直角坐標(biāo)系,

因?yàn)镻0=3,AP=5,所以。人二^仍一尸。2=4,

又NOZM—NOOC—30°,月〒以Z?Z>_2O4_8,貝ijAD=4,A6=4石,

所以AC=12,所以O(shè)（2港,2,0）,B（4G,0,0）,P（26,2,3）,C（0,12,0）,

所以E（3G,1,￡|,

則荏=（3收1目，通=（46,0,0）,前二（0,12,0）,

nAE=3gx+y+—z=0

設(shè)平面的法向量為日=(x,y,2),則，_2令z=2則產(chǎn)一3,

n?AB=4yBx=0

x=0,所以G=(O,-3,2)；

設(shè)平面AEC的法向量為G=(aec),則卜子=3扃+"|c=°

in-AC=12Z>=0

令a=6,則c=-6,b=0,所以m=(6,0,-6)；

/-----\n?m-124-75

所以8sg加麗二行/一年

設(shè)二面角C-AE-B的大小為8,則|cosM=卜05(〃,由，=\，，

所以sin6=Vl-cos26>=《，即二面角C—AE-B的正弦值為.

答案第12頁(yè)，共77頁(yè)

y

8.（1）證明見(jiàn)解析；

⑵出

14

【分析】（1）過(guò)點(diǎn)E、。分別做直線DC、48的垂線EG、并分別交于點(diǎn)G、H,由

平面知識(shí)易得尸C=BC,再根據(jù)二面角的定義可知，NBCF=60，由此可知，F(xiàn)N工BC,

FNLCD,從而可證得EV_L平面4BC。，即得EV_LAO；

（2）由（1）可知FN1.平面ABCD,過(guò)點(diǎn)N做AB平行線NK,所以可以以點(diǎn)N為原點(diǎn)，NK,

NB、所在直線分別為4軸、了軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系N-個(gè)，z,求出平面AOE的

一個(gè)法向量，以及的，即可利用線面角的向量公式解出.

【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)E、。分別做直線OC、4A的垂線EG、并分別交于點(diǎn)G、H.

;四邊形A8CZ）和EFCD都是直角梯形，AB"DC,CD//EF,AB=5,DC=3,EF=1,

/BAD=NCDE=?。,由平面幾何知識(shí)易知，

DG=AH=2/EFC=NDCF=NDCB=ZABC=90°,則四邊形EFCG和四邊形DCBH是矩

形，?■?在Rt^EGD和Rt^DHA,EG=DH=26，

VDCLCF.DCLCB,且CFcCB=C,

???DCJ?平面BCF/BCF是二面角產(chǎn)一DC—B的平面角，則=60,

是正三角形,由DCu平面ABC。，得平面ABC。/平面BC產(chǎn)，

TN是8C的中點(diǎn)，RV_L8C,又OC_L平面尸，KVu平面8（不，可得尸N_LCO,

而8CcCD=C,工FN_L平面ABCO,而ADu平面ABCD..FN_LAT>.

（2）因?yàn)槲鴂L平面48c。，過(guò)點(diǎn)N做AB平行線NK,所以以點(diǎn)N為原點(diǎn)，NK,NB、

答案第13頁(yè)，共77頁(yè)

N〃所在直線分別為X軸、y軸、Z軸建立空間直角坐標(biāo)系N-孫Z,

設(shè)A(5,"0),8(0,GO),D(3,-G,0),E(1,0,3),則,

3,一泉5,AD=(-2,-273,0),DE=(-2,>/3,3)

BM=

設(shè)平面ADE的法向量為萬(wàn)=(x,y,2)

fiAD=0得-2>26戶。

取川=(Q,-I,G),

n-DE=0,-2x+Gy+3z=0

設(shè)直線8M與平面AOE所成角為。,

9.⑴見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

【分析】(1)取A8的中點(diǎn)為K,連接MK/VK,可證平面MKN〃平面8CC聲，從而可證MM/

平面BCqB].

(2)選①②均可證明8四_L平面A8C,從而可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間

向量可求線面角的正弦值.

【詳解】(1)取AB的中點(diǎn)為K,連接MK.NK,

答案第14頁(yè)，共77頁(yè)

由三棱柱ABC-A&G可得四邊形A8居A為平行四邊形，

而5M=M4,,BK=K4,則MK//B4，

而MK<z平面8CG4,881U平面BCCe，故MK〃平面8CCM，

而CN=NA,BK=KA,則NK//BC,同理可得NK〃平面BCC^,

而NKRMK=K,NK,MKu平面MKN,

故平面MMV〃平面BCC/i，而MNu平面MKN,故MN〃平面BCC4,

（2）因?yàn)閭?cè)面BCG4為正方形，故CB上BB1,

而CBu平面BCC國(guó),平面平面

平面C8用平面人84A?〃馬，故CU_L平面人8用4，

因?yàn)镹A7/BC,故NK_L平面ABB4,

因?yàn)槠矫鍭BBA，故NKLAB,

若選①，則48_LMN,而NKJ.AB,NK[｝MN=N,

故AB上平面MNK,而MKu平面MNK,故A8LMK,

所以AB工,而CBLBB-CBcAB=B,故平面ABC,

故可建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，則8（0,0,0）,A（0,2,0）,N（l』,0）,M（0,l,2）,

故麗=（020）,麗=（1,1,0）,麗=（0,1,2）,

設(shè)平面BNM的法向量為〃=（x,y,z）,

,\n-BN=0,fx+y=0，一..

則｛-DA#n,從而｛,0n?取z=-l,則〃=（一22-1）,

n-BM=01y+2z=0

設(shè)直線A8與平面所成的角為凡則

sin0=|cos（n,A8）|=~?

若選②，因?yàn)镹KHBC,故NK_L平面AB81A，而KWU平面MKN,

故.NKA.KM,而B】M=BK=l,NK=l,故B、M=NK,

而4B=MK=2,MB=MN,故=&MKN,

答案第15頁(yè)，共77頁(yè)

所以NB&M=NMKN=90。,故

而C8_L8g,CBcAB=B,故Bg_L平面ABC,

故可建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，則5(0,0,0),A(0,2,0),N(l,l,0),M(0J2),

故麗=(020),麗=(1,1,0),麗=(0,1,2),

設(shè)平面BNM的法向量為3=(%y,z),

則［小鬻:,從而［'+：=:，取z=-l,則元=(-22-1),

［無(wú)8知=0l>'+2z=0'7

設(shè)直線A3與平面8NM所成的角為。，則

10.(1)證明見(jiàn)解析

⑶叵

10

【分析】(1)以點(diǎn)4為坐標(biāo)原點(diǎn)，44、A&、AG所在直線分別為X、y、z軸建立空間

直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可證得結(jié)論成立；

(2)利用空間向量法可求得直線的與平面CG。夾角的正弦值；

(3)利用空間向量法可求得平面A。。與平面CG力夾角的余弦值.

［詳解】(1)證明：在直三棱柱ABC-A4G中，A4］，平面A4G，且AC_L48,則AG-LA^I

答案第16頁(yè)，共77頁(yè)

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，44、A4、AC所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間

則A(2,0,0)、5(2,2,0)、C(2,0,2)、A(。，。，。)、旦(0,0,2)、0(0,0,2)、0(0,1,0)、E(l,0,0)、

尸(中)，則喬=(()《』｝

易知平面ABC的一個(gè)法向量為正二(1,0,0),則函記=0，故而J_而，

?.?律(Z平面A8C,故E尸〃平面ABC.

(2)解：京=(2,0,0),QD=(0J,-2),麗=(120),

設(shè)平面a2的法向量為、(WJ,則｛；發(fā)二：二0

--EB-u4

取y=2,可得〃=(0,2,1),cos<E^W>=|^|-p|=-.

4

因此，直線把與平面CG。夾角的正弦值為機(jī).

（3）解：汞=（2,0,2）,40=（0,1,0）,

v?A。=2占+2Z=0

設(shè)平面AC。的法向量為：=(孫生Z2),則2

v^D=y2=0

———u,v10

取勺=1可得哼則8S<〃,…麗=-瓦&=-而,

因此，平面ACD與平面夾角的余弦值為黨

11.(1)證明見(jiàn)解析；(2)B、D=；

答案第17頁(yè)，共77頁(yè)

【分析】（1）方法二：通過(guò)已知條件，確定三條互相垂直的直線，建立合適的空間直角坐標(biāo)

系，借助空間向量證明線線垂直；

（2）方法一：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出二面角的平面角的余弦值最大，進(jìn)

而可以確定出答案；

【詳解】（1）［方法一］:幾何法

因?yàn)锽尸_La4，A4//AB,所以

又因?yàn)锳B_L8用，BFcBBi，所以平面8。。石.又因?yàn)锳B=8C=2,構(gòu)造正方

體A8CG—A4GG，如圖所示，

過(guò)上作AB的平行線分別與AG,8C交于其中點(diǎn)M,N,連接&股,80，

因?yàn)镋,尸分別為4C和CG的中點(diǎn)，所以N是BC的中點(diǎn)，

易證RS8C尸主Rt△片8N,則NCBF=NBBiN.

又因?yàn)镹BBM+NBiNB=90。,所以NC8F+N4N5=90°,BF［B、N.

又因?yàn)锽/lA4,4Nn44=B1,所以8產(chǎn)，平面

又因?yàn)镋Du平面AMA6,所以M_LOE.

［方法二］【最優(yōu)解】：向量法

因?yàn)槿庵鵄8C-A4G是直三棱柱，，陰_L底面"C,

A4〃43,5b_LA與，/.Bb_LA8,又84c3*=8,.：AB1平面BCC}4.所以BA,BC,g

兩兩垂直.

以8為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以8ABeB4所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.

答案第18頁(yè)，共77頁(yè)

B（0,0,0）,A（2,0,0）,C（0,2,0）,B（0,0,2）,^（2,0,2）,C,（0,2,2）,E（l,l,0）,F（0,2,l）.

由題設(shè)。（a,0,2）（0<?<2）.

因?yàn)辂恀（OZl）,方

所以喬?詼=0x（l—a）+2xl+lx（_2）=0,所以防_LOE.

［方法三］:因?yàn)锽尸_LA￡,%即AB,所以故即^人公二。，BF-AB=0,所

以

旃?麗=獷例+西+麗）?麗+喬?（麗+西”麗.麗+喬.函

=而（_g麗-g呵+薩西=_g旃.麗一;麗屈+而?西=_g薩前+麗?西

?2?

7研國(guó)COSNFBC+］明.］網(wǎng)cosN五3g=-］X百x2x忑+石x2x僅=0,所以

BFLED.

（2）［方法一］【最優(yōu)解】：向量法

設(shè)平面DFE的法向量為〃7=（x,y,z）,

因?yàn)閱?（一1,1,1），麗=（1-a,l,-2）,

,\m-EF=0an\-x+y+z=0

，F(xiàn)\fhDE=O,］［l-a）x+y-2z=0,

令z=2-a,則而=（3,l+a,2-a）

因?yàn)槠矫鍮CG用的法向量為麗=（2,0,0）,

設(shè)平面BCC&1與平面DEF的二面角的平面角為6,

答案第19頁(yè)，共77頁(yè)

63

貝ijcos=—][=/,=/i=

同網(wǎng)2xj2/_24+14>/2/一2。+14

I27

當(dāng)a=5時(shí)，2/—2〃+4取最小值為萬(wàn),

［方法二］:幾何法

如圖所示，延長(zhǎng)Eb交AG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)5,聯(lián)結(jié)OS交8c于點(diǎn)。則平面n平面

BB&C二FT.

C

作B"工FT,垂足為"，因?yàn)?。瓦J■平面3片GC,聯(lián)結(jié)則NDHB］為平面BB￡C與

平面。在所成二面角的平面角.

設(shè)8Q=八fe［0,2］,&T=s,過(guò)C1作C0//A4交DS于點(diǎn)G.

由簧十器得ST。八

B.DBT_L_=工3r

又m=而，即扣—)5所以

B.HBJB、Hs??5

又占二方，即丁=而用后所以與薩

所以*廊E=添寸戶=層評(píng)?

答案第20頁(yè)，共77頁(yè)

Y2/一21+5

所以，當(dāng)f=g時(shí)，（sinNO”8Jmm=乎.

［方法三］:投影法

如圖，聯(lián)結(jié)FB-FN,

力EF在平面BB&C的投影為用NF,記面BB￡C與面。在所成的二面角的平面角為。,

q

則cos”世世.

S^DEF

設(shè)4。=/（04/42）,在Rsoq尸中，DF=J始￡>2+4尸2=J/2+5

在RsEC/中，EF=1EC?+FC?=盡過(guò)。作BN的平行線交硒于點(diǎn)Q.

在RtZXDEQ中，DE=y］QD2+EQ2=^5+（\-1）2.

在.》EF中，由余弦定理得cosZDFE=DF^+EF-