【北京特級教師】2020-2021學(xué)年人教A版數(shù)學(xué)選修2-3課后練習(xí)：離散型隨機變量的期望與方差

專題離散型隨機變量的期望與方差課后練習(xí)主講老師：紀榮強北京四中數(shù)學(xué)老師某花店每天以每枝5元的價格從農(nóng)場購進若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價格出售，假如當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花做垃圾處理.(1)若花店一天購進枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤(單位：元)關(guān)于當(dāng)天需求量(單位：枝，)的函數(shù)解析式.(2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位：枝)，整理得下表：日需求量n14151617181920頻數(shù)10201616151310以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.(i)若花店一天購進枝玫瑰花，表示當(dāng)天的利潤(單位：元)，求的分布列，數(shù)學(xué)期望及方差；(ii)若花店方案一天購進16枝或17枝玫瑰花，你認為應(yīng)購進16枝還是17枝？請說明理由.某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標準分成8個等級，等級系數(shù)X依次為1，2，…，8，其中X≥5為標準A，X≥3為標準B，已知甲廠執(zhí)行標準A生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為6元/件；乙廠執(zhí)行標準B生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為4元/件，假定甲、乙兩廠的產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標準.(I)已知甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X1的概率分布列如下所示：5678p0.4ab0.1且X1的數(shù)字期望EX1=6，求a，b的值；(=2\*ROMANII)為分析乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X2，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取30件，相應(yīng)的等級系數(shù)組成一個樣本，數(shù)據(jù)如下：353385563463475348538343447567用這個樣本的頻率分布估量總體分布，將頻率視為概率，求等級系數(shù)X2的數(shù)學(xué)期望.產(chǎn)品的等價系數(shù)的數(shù)學(xué)期望產(chǎn)品的零售價(Ⅲ)在(I)、(II產(chǎn)品的等價系數(shù)的數(shù)學(xué)期望產(chǎn)品的零售價注：(1)產(chǎn)品的“性價比”=；(2)“性價比”大的產(chǎn)品更具可購買性.為了解甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量，接受分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別抽取14件和5件，測量產(chǎn)品中微量元素x，y的含量(單位：毫克).下表是乙廠的5件產(chǎn)品的測量數(shù)據(jù)：編號123451691781661751807580777081(1)已知甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共98件，求乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量；(2)當(dāng)產(chǎn)品中的微量元素x，y滿足x≥175且y≥75時，該產(chǎn)品為優(yōu)等品，用上述樣本數(shù)據(jù)估量乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量；(3)從乙廠抽出的上述5件產(chǎn)品中，隨機抽取2件，求抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)的分布列及其均值(即數(shù)學(xué)期望).某農(nóng)場方案種植某種新作物，為此對這種作物的兩個品種(分別稱為品種甲和品種乙)進行田間試驗．選取兩大塊地，每大塊地分成n小塊地，在總共2n小塊地中，隨機選n小塊地種植品種甲，另外n小塊地種植品種乙．(I)假設(shè)n=4，在第一大塊地中，種植品種甲的小塊地的數(shù)目記為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(II)試驗時每大塊地分成8小塊，即n=8，試驗結(jié)束后得到品種甲和品種乙在各小塊地上的每公頃產(chǎn)量(單位：kg/hm2)如下表：分別求品種甲和品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差；依據(jù)試驗結(jié)果，你認為應(yīng)當(dāng)種植哪一品種？附：樣本數(shù)據(jù)的樣本方差，其中為樣本平均數(shù)．以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學(xué)的植樹棵數(shù).乙組記錄中有一個數(shù)據(jù)模糊，無法確認，在圖中以X表示.甲組乙組甲組乙組990X891110(Ⅰ)假如X=8，求乙組同學(xué)植樹棵數(shù)的平均數(shù)和方差；(Ⅱ)假如X=9，分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學(xué)，求這兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)Y的分布列和數(shù)學(xué)期望.(注：方差，其中為的平均數(shù))袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個(n＝1，2，3，4).現(xiàn)從袋中任取一球，ξ表示所取球的標號.(1)求ξ的分布列、期望和方差；(2)若η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，試求a，b的值.袋中有大小、外形相同的紅、黑球各一個，每次摸取一個球登記顏色后放回，現(xiàn)連續(xù)取球8次，記取出紅球的次數(shù)為X，則X的方差D(X)＝________.已知離散型隨機變量X的概率分布列為X135P0.5m0.2則其方差D(X)等于()A．1B．0.6C甲、乙、丙三名射箭運動員在某次測試中各射箭20次，三人的測試成果如下表甲的成果環(huán)數(shù)78910頻數(shù)5555乙的成果環(huán)數(shù)78910頻數(shù)6446丙的成果環(huán)數(shù)78910頻數(shù)4664s1、s2、s3分別表示甲、乙、丙三名運動員這次測試成果的標準差，則有()A．s3>s1>s2 B．s2>s1>s3C．s1>s2>s3 D．s2>s3>已知三個正態(tài)分布密度函數(shù)φi(x)＝(x∈R，i＝1，2，3)的圖象如圖所示，則()A．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3B．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3C．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3D．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3專題離散型隨機變量的期望與方差課后練習(xí)參考答案(1).(2)(i)的分布列為期望是76，方差是44.(ii)：應(yīng)購進17枝.詳解：(1)當(dāng)時，.當(dāng)時，，得：.(2)(i)可取，，，.的分布列為..(ii)購進17枝時，當(dāng)天的利潤為，得：應(yīng)購進17枝.(I)；(II)4.8；(Ⅲ)乙廠的產(chǎn)品更具有可購買性.詳解：(=1\*ROMANI)由于＝6，所以即，又由的概率分布列得即.由解得(II)由已知得，樣本的頻率分布表如下：345678f0.30.20.20.10.10.1用這個樣本的頻率分布估量總體分布，將頻率視為概率，可得等級系數(shù)的概率分布列如下：345678P0.30.20.20.10.10.1所以，即乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于4.8.(Ⅲ)乙廠的產(chǎn)品更具有可購買性，理由如下：由于甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于6，價格為6元/件，所以其性價比為.由于乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于4.8，價格為4元/件，所以其性價比為所以乙廠的產(chǎn)品更具可購買性.(1)35(件)；(2)14(件)；(3)分布列為012P數(shù)學(xué)期望.詳解：(1)由題意知，抽取比例為，則乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量為(件)；(2)由表格知乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品為2號和5號，所占比例為.由此估量乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量為(件)；(3)由(2)知2號和5號產(chǎn)品為優(yōu)等品，其余3件為非優(yōu)等品.的取值為0，1，2.P(=0)=，P(=1)=，P(=2)=.從而分布列為012P數(shù)學(xué)期望E()=.(Ⅰ)的分布列為01234的數(shù)學(xué)期望為2.(Ⅱ)品種甲的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：400，57.25;品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為412，56。應(yīng)當(dāng)選擇種植品種乙.詳解：(Ⅰ)可能的取值為且，，，，.即的分布列為01234的數(shù)學(xué)期望為+．(Ⅱ)品種甲的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：，品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：，.由以上結(jié)果可以看出，品種乙的樣本平均數(shù)大于品種甲的樣本平均數(shù)，且兩品種的樣本方差差異不大，故應(yīng)當(dāng)選擇種植品種乙.(Ⅰ)平均數(shù)為；方差為.(Ⅱ)分布列為：Y1718192021P期望為19.詳解：(Ⅰ)當(dāng)X=8時，由莖葉圖可知，乙組同學(xué)的植樹棵數(shù)是8，8，9，10，所以平均數(shù)為；方差為.(Ⅱ)當(dāng)X=9時，由莖葉圖可知，甲組同學(xué)的植樹棵數(shù)是：9，9，11，11；乙組同學(xué)的植樹棵數(shù)是9，8，9，10.分別從甲、乙兩組中隨機抽取一名同學(xué)，共有種可能的結(jié)果，這兩名同學(xué)植樹總棵數(shù)Y的可能取值為17，18，19，20，21.大事“Y=17”等價于“甲組選出的同學(xué)植樹9棵，乙組選出的同學(xué)植樹8棵”，所以該大事有2種可能的結(jié)果，因此P(Y=17)=，同理可得.所以隨機變量Y的分布列為：Y1718192021P=19.(1)ξ的分布列為：ξ01234PE(ξ)＝1.5，D(ξ)＝2.75.(2)或詳解：(1)ξ的分布列為：ξ01234P所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5，D(ξ)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.(2)由D(η)＝a2D(ξ)，得a2×2.75＝11，即a＝±2.又E(η)＝aE(ξ)＋b，所以當(dāng)a＝2時，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；當(dāng)a＝－2時，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.所以或2.詳解：每次取球時，紅球被取出的概率為，8次取球看做8次獨立重復(fù)試驗，紅球消滅的次數(shù)X～B，故D(X)＝8××＝2.C.詳解：由于0.5＋m＋0.2＝1，所以m＝0.3，所以E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4，D(X)＝(1－2.4)2×0.5＋(3－2.4)2×0.3＋(5－2.4)2×0.2＝2.44.B.詳解：計算可得甲、乙、丙的平均成果為8.5.s1＝＝.同理，s2＝