【優(yōu)教通-同步備課】高中數(shù)學(xué)(北師大版)選修2-1教案：第3章-教材解讀：雙曲線

雙曲線教材解讀一、學(xué)問精講1、正確理解雙曲線的定義一要留意不要將“確定值”丟掉，否則就不是整個雙曲線了（僅表示雙曲線的一支）；二要留意“常數(shù)”的條件，即常數(shù)2a<|F1F2|，由于當(dāng)2a=|F1F2|時，其軌跡是以F1和F2為端點的兩條射線，而當(dāng)2a>|F1F2、精確?????把握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（1）雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中“標(biāo)準(zhǔn)”的含義有兩層：一是兩個焦點在坐標(biāo)軸上；二是兩個焦點的中點與坐標(biāo)原點重合。（2）兩種雙曲線的異同：①相同點：外形、大小相同，都有a>0，b＞0，c=a+b；②不同點：兩種雙曲線的位置不同，它們的焦點坐標(biāo)也不相同。（3）推斷焦點位置的方法：雙曲線的焦點在x軸上標(biāo)準(zhǔn)方程中x項的系數(shù)為正；雙曲線的焦點在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程中y項的系數(shù)為正。（4）與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的不同：①雙曲線有兩條漸近線，而橢圓沒有漸近線；橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中是“+”號，雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中是“－”號；②雙曲線方程和橢圓方程各有兩種形式，其推斷方法不同：對于雙曲線和來說，假如x項為正的，則焦點在x軸上；x項的分母是a；假如y項為正的，則焦點在y軸上；y項的分母是a，a不愿定大于b，這和橢圓有明顯的不同。③雙曲線有兩個頂點，離心率e>1；而橢圓有四個頂點，離心率e<1；橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中a=b+c，而雙曲線中c=a+b。3、對雙曲線的簡潔幾何性質(zhì)的加強理解（1）雙曲線的焦點（兩個）總在它的實軸上；橢圓的離心率是描述橢圓扁平程度的一個重要數(shù)據(jù)。同樣，雙曲線的離心率是描述雙曲線“張口”大小的一個重要數(shù)據(jù)，由于，當(dāng)e從接近1漸漸增大時，的值就從接近于0漸漸增大，雙曲線的“張口”漸漸增大。（2）要把握依據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求它的漸近線方程的求法。由于y=±x±＝0－＝0，所以把標(biāo)準(zhǔn)方程－＝1（a>0，b＞0）中的“1”用“0”替換即可得出漸近線方程。（3）已知漸近線方程求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法：①漸近線方程為mx±ny＝0的雙曲線的方程為：mx－ny＝（≠0且為常數(shù)）。②與雙曲線－＝1（a>0，b＞0）有共同漸近線的雙曲線方程可設(shè)為－＝（≠0且為常數(shù)）。二、方法點撥1、應(yīng)用雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解題時，應(yīng)留意：（1）動點是否滿足雙曲線的精確?????定義。（2）條件“2a<|F1F2|”是否成立。（3）是否使|PF1|-|PF2|=2a與|PF1|-|PF2|=-2a同時成立。（2、求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程包括“定量”和“定位”。要求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，就要求出和這兩個“待定系數(shù)”，于是需要兩個獨立的條件，按條件列出方程關(guān)于和的方程組。解得和的具體數(shù)值后，再按位置特征寫出標(biāo)準(zhǔn)方程，因此“定量”是指a、b、c等數(shù)值的確定；“定位”則是指除了中心在原點以外，推斷焦點在哪條坐標(biāo)軸上，以便在使方程的右邊為1時，確定方程的左邊哪一項為正，哪一項為負，同時也就確定了和在方程中的位置。（2）求雙曲線方程一般可用待定系數(shù)法，其解題方法是先定型，再定量。解題步驟分為：首先推斷曲線的類型，其次求出關(guān)鍵數(shù)據(jù)（即待定系數(shù)），最終寫出曲線方程。（3）假如已知漸近線方程y=±x，雙曲線方程可設(shè)為，通過求出確定雙曲線方程。三、高考考情分析與應(yīng)試策略雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)是高考的重點和熱點之一，高考中主要以選擇題、填空題為主，其次考查以雙曲線為載體，融入三角、不等式、函數(shù)、向量的綜合性問題，這類問題以解答題為主。高考會從以下幾個方面來命題：（1）運用雙曲線的定義解決到焦點的距離，焦點弦等有關(guān)問題，雙曲線的定義仍將是今后考查的重點。（2）機敏運用雙曲線的性質(zhì)，解決離心率、漸近線問題，也是今后考查的重點。有關(guān)離心率的問題將會是一個熱點。（3）以雙曲線為載體的開放題、爭辯性問題，將逐步取代繁冗的解答題，成為高考的熱點。在學(xué)習(xí)中把握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的簡潔幾何性質(zhì)時，要留意數(shù)形結(jié)合。一是結(jié)合圖形理解標(biāo)準(zhǔn)方程中的參數(shù)a、b、c、e的幾何意義及相互關(guān)系；二是結(jié)合圖形理解雙曲線的簡潔幾何性質(zhì)。四、高考熱點題型呈現(xiàn)1、有關(guān)基本概念的考查雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程是雙曲線的基礎(chǔ)學(xué)問，高考中多為基礎(chǔ)性題目。例1．（上海春）若，則“”是“方程表示雙曲線”的()（A）充分不必要條件.（B）必要不充分條件.（C）充要條件.（D）既不充分也不必要條件.解：應(yīng)用直接推理和特值否定法．當(dāng)k>3時，有k－3>0,k+3>0，所以方程表示雙曲線；當(dāng)方程表示雙曲線時，k=－4是可以的，這不在k>3里．故應(yīng)當(dāng)選A．2、雙曲線的幾何性質(zhì)的考查雙曲線的幾何性質(zhì)作為是高考的重點和熱點之一，高考中必定考查，有離心率的題目毀滅上升趨勢。例2．(陜西卷)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,2)=1(a>eq\r(2))的兩條漸近線的夾角為eq\f(π,3),則雙曲線的離心率為A.2B.eq\r(3)C.eq\f(2\r(6),3)D.eq\f(2\r(3),3)解法1：雙曲線(a>eq\r(2))的兩條漸近線的夾角為eq\f(π,3)，則，所以a2=6，雙曲線的離心率為eq\f(2\r(3),3)，選D．解法2：生疏兩條漸近線的夾角和幾何量之間的關(guān)系,構(gòu)建方程有,選D;3、雙曲線有關(guān)的綜合問題以雙曲線為載體，融入三角、不等式、函數(shù)、向量的綜合性問題，是高考考查的重點，也是我們學(xué)習(xí)中的難點。例3．（四川卷）已知兩定點，滿足條件的點的軌跡是曲線，直線與曲線交于兩點。假如，且曲線上存在點，使，求的值和的面積。分析：本小題主要考察雙曲線的定義和性質(zhì)、直線與雙曲線的關(guān)系、點到直線的距離等學(xué)問及解析幾何的基本思想、方法和綜合解決問題的力氣。解：由雙曲線的定義可知，曲線是以為焦點的雙曲線的左支，且，易知，故曲線的方程為設(shè)，由題意建立方程組消去，得又已