第二章連續(xù)系統(tǒng)時域分析

第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析§2.1引言§2.2微分方程的式的建立與求解§2.3系統(tǒng)的沖激響應§2.4卷積的圖解和卷積積分限的確定§2.5卷積積分的性質(zhì)1§2.1引言1/12/20252系統(tǒng)數(shù)學模型的時域表示時域分析方法:不涉及任何變換，直接求解系統(tǒng)的微分、積分方程式，這種方法比較直觀，物理概念比較清楚，是學習各種變換域方法的基礎。

本課程中我們主要討論輸入、輸出描述法。1/12/20253系統(tǒng)分析過程經(jīng)典法:前面電路分析課里已經(jīng)討論過，但與

(t)有關的問題有待進一步解決——h(t)；卷積積分法:

任意激勵下的零狀態(tài)響應可通過沖激響應來求。(新方法)1/12/20254本章主要內(nèi)容線性系統(tǒng)完全響應的求解；沖激響應h(t)的求解；卷積的圖解說明；卷積的性質(zhì)；零狀態(tài)響應：。1/12/20255§2.2微分方程的式的建立與求解1/12/20256主要內(nèi)容物理系統(tǒng)的模型微分方程的列寫n階線性時不變系統(tǒng)的描述求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法復習求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法1/12/20257許多實際系統(tǒng)可以用線性系統(tǒng)來模擬。若系統(tǒng)的參數(shù)不隨時間而改變，則該系統(tǒng)可以用線性常系數(shù)微分方程來描述。一．微分方程的列寫1/12/20258根據(jù)實際系統(tǒng)的物理特性列寫系統(tǒng)的微分方程。對于電路系統(tǒng)，主要是根據(jù)元件特性約束和網(wǎng)絡拓撲約束列寫系統(tǒng)的微分方程。元件特性約束：表征元件特性的關系式。例如二端元件電阻、電容、電感各自的電壓與電流的關系以及四端元件互感的初、次級電壓與電流的關系等等。

網(wǎng)絡拓撲約束：由網(wǎng)絡結構決定的電壓電流約束關系,KCL，KVL。1/12/20259二．求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法分析系統(tǒng)的方法：列寫方程，求解方程。

求解方程時域經(jīng)典法就是：齊次解+特解。

1/12/202510齊次解：由特征方程→求出特征根→寫出齊次解形式注意重根情況處理方法。特解：根據(jù)微分方程右端函數(shù)式形式，設含待定系數(shù)的特解函數(shù)式→代入原方程，比較系數(shù)定出特解。經(jīng)典法

全解：齊次解+特解，由初始條件定出齊次解。1/12/202511

我們一般將激勵信號加入的時刻定義為t=0，響應為時的方程的解，初始條件

初始條件的確定是此課程要解決的問題。1/12/202512三

零輸入響應和零狀態(tài)響應起始狀態(tài)與激勵源的等效轉(zhuǎn)換系統(tǒng)響應劃分對系統(tǒng)線性的進一步認識1/12/2025131．起始狀態(tài)與激勵源的等效轉(zhuǎn)換在一定條件下，激勵源與起始狀態(tài)之間可以等效轉(zhuǎn)換。即可以將原始儲能看作是激勵源。電容的等效電路電感的等效電路1/12/2025142．系統(tǒng)響應劃分自由響應＋強迫響應

(Natural+forced)零輸入響應＋零狀態(tài)響應

(Zero-input+Zero-state)暫態(tài)響應+穩(wěn)態(tài)響應

(Transient+Steady-state)1/12/202515也稱固有響應，由系統(tǒng)本身特性決定，與外加激勵形式無關。對應于齊次解。

形式取決于外加激勵。對應于特解。(1)自由響應：強迫響應：3、各種系統(tǒng)響應定義1/12/202516是指激勵信號接入一段時間內(nèi)，完全響應中暫時出現(xiàn)的有關成分，隨著時間t增加，它將消失。

由完全響應中減去暫態(tài)響應分量即得穩(wěn)態(tài)響應分量。

(2)暫態(tài)響應：穩(wěn)態(tài)響應：1/12/202517沒有外加激勵信號的作用，只由起始狀態(tài)（起始時刻系統(tǒng)儲能）所產(chǎn)生的響應。

不考慮原始時刻系統(tǒng)儲能的作用（起始狀態(tài)等于零），由系統(tǒng)的外加激勵信號產(chǎn)生的響應。

(3)零輸入響應：零狀態(tài)響應：1/12/202518系統(tǒng)零輸入響應，實際上是求系統(tǒng)方程的齊次解，由非零的系統(tǒng)狀態(tài)值決定的初始值求出待定系數(shù)。

系統(tǒng)零狀態(tài)響應，是在激勵作用下求系統(tǒng)方程的非齊次解，由狀態(tài)值為零決定的初始值求出待定系數(shù)。

求解非齊次微分方程是比較煩瑣的工作，所以引出卷積積分法。4、求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應=激勵與系統(tǒng)沖激響應的卷積，即1/12/202519系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零，激勵為單位沖激信號作用下的響應，用表示?！?.3系統(tǒng)的沖激響應

1/12/202520由于沖激函數(shù)及其各階導數(shù)僅在t=0處作用，而在t>0的區(qū)間恒為零。也就是說，激勵信號的作用是在t=0的瞬間給系統(tǒng)輸入了若干能量，貯存在系統(tǒng)的各貯能元件中，而在t>0系統(tǒng)的激勵為零，只有沖激引入的那些貯能在起作用，因而，系統(tǒng)的沖激響應由上述貯能唯一地確定。1/12/202521+-列微分方程：一、簡單電路可直接計算1/12/202522上式從到取積分，得電感電流在沖激信號作用下，從零躍變到由三要素公式得當時，此時電路是一個特殊的零輸入響應。1/12/202523與RL電路相對偶，可得RC電路的沖激響應Rc+_1/12/202524二先計算系統(tǒng)的階躍響應，然后利用沖激響應與階躍響應的關系求沖激響應與的關系（線性時不變系統(tǒng)）1/12/2025251/12/202526+-如1/12/202527例：如圖所示電路，R1=R2=1,c=1F,求階躍響應和沖激響應解：先用三要素法求階躍響應+-1/12/202528從波形圖上也能得到同樣的結論：(0.5)0.2510.51/12/202529三、從微分方程求解得沖激響應當已知微分方程時，求解沖激響應有兩種方法。(1)間接法：人為假設描述n階連續(xù)系統(tǒng)的微分方程右側(cè)只有一項，為則有1/12/202530當時，由因果性為保證等式兩邊平衡，只能是第n階導數(shù)項包含沖激函數(shù)。而且只有一項。這時則n-1階導數(shù)項包含，而n-2階導數(shù)項包含…,當時，由于將是一個特殊的零輸入響應，它取決于時的n個初始條件。1/12/202531在t=0處，只有是不連續(xù)的，而其余的如等都是連續(xù)的，因而的低于n-1階導數(shù)在t=0處是連續(xù)的。即注意：…，，，…是一族很有用的函數(shù)。只有1/12/202532對上述微分方程兩邊取積分上式左邊只第一項不為零，其他項為零單位沖激信號引起的t=0+時的n個初始條件為1/12/202533一、卷積的圖解能夠直觀地理解卷積積分的計算過程，有助于確定更為一般的卷積積分的上下限。進一步加深對其物理意義的理解?！?.4卷積的圖解和卷積積分限的確定

1/12/2025344.相乘5.積分求函數(shù)的面積。求響應，必須：1.換元（t)1/12/20253511t0130.5t0110130.50解：1/12/202536-1-30.50-1+t-3+t0.50(1)當-1+t<0即t<1時，-1+t-3+t011y(t)=0移動距離

t前沿坐標-1+t兩函數(shù)無公共的非零區(qū)域1/12/202537011-3+t-1+t-3+t-1+t0111/12/202538-3+t-1+t-3+t-1+t0110111/12/2025390.512341/12/20254010t解：(1)當t<0時1t010ty(t)=01/12/2025410101tt1/12/202542二、卷積的另一種計算方法當被卷積函數(shù)中有分段連續(xù)函數(shù)時，直接用公式1/12/202543用圖解來說明。t-t2-t2t11/12/2025441/12/2025451/12/2025461/12/202547一、卷積代數(shù)(1)交換律如，輸入和沖激響應的函數(shù)表達式互換位置，則零狀態(tài)響應不變?！?.5卷積積分的性質(zhì)1/12/202548證：1/12/202549(2)分配律利用卷積的定義比較容易得到兩個子系統(tǒng)并聯(lián)1/12/2025501/12/202551兩次卷積運算是二重積分，變換積分次序可得。(3)結合律兩個子系統(tǒng)級聯(lián)1/12/202552二、卷積的微分與積分(1)卷積的微分性質(zhì)1/12/202553(2)卷積的積分性質(zhì)(3)卷積的微積分性質(zhì)當為正整數(shù)時，表示求導數(shù)的階數(shù)，當為負整數(shù)時，表示求重積分的次數(shù)。1/12/202554注意：應用微積分性質(zhì)時，被積分的函數(shù)應為可積函數(shù)，被求導的函數(shù)在處應為零值。1/12/202555三、含有沖激函數(shù)的卷積由第二章第二節(jié)，任意信號的分解，記為1/12/202556即：任意函數(shù)與單位沖激函數(shù)的卷積仍為該函數(shù)本身。即：即：任意函數(shù)與延遲沖激函數(shù)的卷積只是把該函數(shù)延遲了時間，而其波形不變。此性質(zhì)稱為沖激函數(shù)的重現(xiàn)性。1/12/202557沖激函數(shù)三個常用性質(zhì)小結：1.篩選性：(抽樣性)2.加權性：3.重現(xiàn)性：(“照相”)寫詳細，為1/12/202558利用微積分性質(zhì)還可以得到推廣后，有利用卷積的性質(zhì)能大大簡化卷積計算。1/12/2025591/12/202560-221A0(1)(1)tt0023-1-2At解：這類題只需要畫圖即可。1/12/202561-2T0At2Tt0AA2A02Tt-2TaA-T(1)(1)0Tt0Tt1/12/202562210t1-101t解：2t-1tt+111/12/202563t-1tt+121t-1tt+1t-1tt+121t-1tt+1t-1tt+10211/12/2025641t-2t-1011-101t-2tt-2t1/12/2025651-101t-2tt-2t1-101t-2tt-2t1/12/2025661/12/202567例：已知波形如圖，求1021-10tt1/12/2025681/12/202569例：已知波形如圖，求0123t20123t1-1解：直接求卷積比較復雜，利用卷積的性質(zhì)及函數(shù)與沖激函數(shù)的卷積較為簡便1/12/202570結果如圖所示0123t(2)(2)0123t1-20123t2451/12/2025711/12