2025年人教版九年級數(shù)學(xué)寒假復(fù)習(xí) 專題28.6 銳角三角函數(shù)全章專項(xiàng)復(fù)習(xí)【2大考點(diǎn)10種題型】

專題28.6銳角三角函數(shù)全章專項(xiàng)復(fù)習(xí)【2大考點(diǎn)10種題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)1銳角三角函數(shù)】 1【題型1利用設(shè)參法求銳角的三角函數(shù)值】 2【題型2構(gòu)造直角三角形求銳角的三角函數(shù)值】 3【題型3銳角三角函數(shù)與一元二次方程的綜合】 4【題型4銳角三角函數(shù)與平面直角坐標(biāo)系的綜合】 4【考點(diǎn)2解直角三角形】 5【題型5解直角三角形】 7【題型6構(gòu)造直角三角形解斜三角形】 8【題型7與仰角、俯角有關(guān)的問題】 9【題型8與方位角有關(guān)的問題】 11【題型9與坡角、坡度有關(guān)的問題】 13【題型10方案設(shè)計(jì)問題】 15【考點(diǎn)1銳角三角函數(shù)】1.在直角三角形中，一個銳角的對邊與斜邊的比叫做這個銳角的正弦.銳角A的正弦記作__sinA_.2.在直角三角形中，一個銳角的鄰邊與斜邊的比叫做這個銳角的余弦.銳角A的余弦記作_cosA_.3.在直角三角形中，一個銳角的對邊與鄰邊的比叫做這個銳角的正切.銳角A的正切記作__tanA_.正弦：余弦：；正切：。常見三角函數(shù)值：銳角α三角函數(shù)30°45°60°1【題型1利用設(shè)參法求銳角的三角函數(shù)值】【例1】（2024·四川達(dá)州·一模）如圖，四邊形ABCD為矩形紙片，AB=7，BC=9，現(xiàn)把矩形紙片折疊，使得點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)C′處（不與A，B重合），點(diǎn)D落在D′處，此時，C′D′交AD邊于點(diǎn)E，設(shè)折痕為PQ．若△PBC′≌△A．35 B．37 C．45【變式1-1】（2024·甘肅定西·模擬預(yù)測）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC:AB=5:13，則tanA的值為【變式1-2】（2024·上?！つM預(yù)測）在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，AB=BC=5，AD=2，∠ABC的平分線交CD于E【變式1-3】（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測）如圖，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，3CD=BD，cos∠ABC=255【題型2構(gòu)造直角三角形求銳角的三角函數(shù)值】【例2】（2024·重慶九龍坡·模擬預(yù)測）在邊長相等的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，那么sin∠ACBA．52 B．55 C．25【變式2-1】（2024·遼寧沈陽·一模）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為AB邊的中點(diǎn)，將正方形ABCD折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)E重合，MN為折痕，則sin∠MNBA．255 B．55 C．3【變式2-2】（2024·廣東潮州·一模）如圖，?ABCD的對角線AC，BD交于點(diǎn)O，OE⊥BD交BC于點(diǎn)E，∠ABD＝2∠CBD，若BC＝72，CD＝142，則cos∠CBD＝【變式2-3】（2024·浙江·模擬預(yù)測）如圖，將矩形ABCD沿BE折疊，點(diǎn)A與點(diǎn)A′重合，連接EA′并延長分別交BD，BC于點(diǎn)G（1）若∠AEB=55°，則∠EBD=．（2）若ABBC=34，則【題型3銳角三角函數(shù)與一元二次方程的綜合】【例3】（23-24九年級·湖南郴州·期末）如果把方程x2+6x+5=0變形為x+a2=b的形式，那么以a，b長為直角邊的RtA．45 B．35 C．43【變式3-1】（23-24九年級·福建泉州·期末）若cosα，1cosα是關(guān)于x的方程3x2A．33 B．3 C．13 【變式3-2】（2024·云南臨滄·二模）如果方程x2﹣8x+15＝0的兩個根分別是Rt△ABC的兩條邊，△ABC最小的角為A，那么tanA的值為（）A．34 B．35 C．45 D．【變式3-3】（2024·四川成都·二模）關(guān)于x的方程2x2?5xsinA+2=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，其中∠A是銳角△ABC的一個內(nèi)角；關(guān)于y的方程y2?10y+【題型4銳角三角函數(shù)與平面直角坐標(biāo)系的綜合】【例4】（2024·遼寧丹東·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為10,4，四邊形ABEF是菱形，且tan∠ABE=43．若直線l把矩形OABC和菱形ABEFA．y=3x B．y=?34x+52 【變式4-1】（2024·山東德州·二模）將△OBA按如圖方式放置在平面直角坐標(biāo)系xOy中，其中∠OBA=90°，∠A=30°，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,3)，將△OBA繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)60°，則第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點(diǎn)A對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為【變式4-2】（2024·湖北恩施·三模）蜂巢結(jié)構(gòu)精巧，左圖為其橫截面示意圖，其形狀均為正六邊形，右圖中的7個全等的正六邊形不重復(fù)且無縫隙，以坐標(biāo)原點(diǎn)為對稱中心建立平面直角坐標(biāo)系，已知P0,?2，則Q點(diǎn)坐標(biāo)為（

A．?23,3 B．?23,4 C．【變式4-3】（2024·湖北武漢·三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A、D在第一象限內(nèi)且點(diǎn)Aa?1,3a，點(diǎn)C?1,0點(diǎn)B2,0，∠ACD=45°，點(diǎn)B到射線CD【考點(diǎn)2解直角三角形】1.解直角三角形解直角三角形就是應(yīng)用勾股定理、兩銳角的關(guān)系、三角函數(shù)等進(jìn)行求解。除直角外，共5個元素(三邊、兩銳角)，若知道其中2個元素(至少有一個是邊)，就可以求出其余3個未知元素。在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c（1）三邊之間的關(guān)系：（勾股定理）（2）銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=90°（3）邊角之間的關(guān)系：2.解直角三角形的類型已知條件解法兩直角邊(如a，b)由tanA＝eq\f(a,b)，求∠A；∠B＝90°－∠A；c＝eq\r(a2＋b2)斜邊、一直角邊(如c，a)由sinA＝eq\f(a,c)，求∠A；∠B＝90°－∠A；b＝eq\r(c2－a2)一銳角與鄰邊(如∠A，b)∠B＝90°－∠A；a＝b·tanA；c＝eq\f(b,cosA)一銳角與對邊(如∠A，a)∠B＝90°－∠A；b＝eq\f(a,tanA)；c＝eq\f(a,sinA)斜邊與一銳角(如c，∠A)∠B＝90°－∠A；a＝c·sinA；b＝c·cosA3.銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用1．日常生活中的很多問題可以轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題，因此，銳角三角函數(shù)在解決實(shí)際問題中有較大的作用，在應(yīng)用時要注意以下幾個環(huán)節(jié)：(1)審題，認(rèn)真分析題意，將已知量和未知量弄清楚，找清已知條件中各量之間的關(guān)系，根據(jù)題目中的已知條件，畫出它的平面圖或截面示意圖．(2)明確題目中的一些名詞、術(shù)語的含義，如仰角、俯角、坡角、坡度、方位角等．(3)是直角三角形的，根據(jù)邊角關(guān)系進(jìn)行計(jì)算；若不是直角三角形，應(yīng)大膽嘗試添加輔助線，把它們分割成一些直角三角形或矩形，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形進(jìn)行解決．(4)確定合適的邊角關(guān)系，細(xì)心推理計(jì)算．(5)在解題過程中，既要注意解有關(guān)的直角三角形，也應(yīng)注意到有關(guān)線段的增減情況．

4.銳角三角函數(shù)實(shí)際應(yīng)用中的相關(guān)概念(1)仰角、俯角如圖①，在測量時，視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角．(2)坡度(坡比)、坡角如圖②，坡面的高度h和水平距離l的比叫坡度(或坡比)，即i＝tanα＝eq\f(h,l)，坡面與水平面的夾角α叫坡角．(3)方向角指南或指北的方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角．如圖③，OA是表示北偏東60°方向的一條射線．注意：東北方向指北偏東45°方向，東南方向指南偏東45°方向，西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向．我們一般畫圖的方位為上北下南，左西右東。(4)方位角從指北方向線按順時針方向轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的角叫做方位角.

5.三角函數(shù)常見模型圖1圖2如圖1是基本圖形，若B、C、D在同一直線上，且∠ABC等于90°，∠ACB=α，∠ADB=β，CD=a，AB=x，則有x=BD·tanβ，x=CB·tanα，∴，；變式為圖2，則結(jié)論為【題型5解直角三角形】【例5】（23-24九年級·福建泉州·期末）在銳角△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，若tan∠BAD=12，tan∠CAD=1A．30° B．45° C．60° D．90°【變式5-1】（23-24九年級·河北石家莊·期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，sinA=45，則ABA．4.8 B．9 C．7.5 D．10【變式5-2】（2024·黑龍江大慶·模擬預(yù)測）如圖，△ABC與△DEF均為等邊三角形，O為BC，EF的中點(diǎn)，點(diǎn)D在邊AC上，則AD:【變式5-3】（2024·浙江杭州·二模）如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=3，D為邊AB上一點(diǎn)，且AD=2BD，過點(diǎn)D作DE⊥DC，交BC于點(diǎn)F，連接CE，若∠DCE=∠B，則EFDF的值為【題型6構(gòu)造直角三角形解斜三角形】【例6】（2024·廣西·中考真題）如圖，兩張寬度均為3cm的紙條交叉疊放在一起，交叉形成的銳角為60°，則重合部分構(gòu)成的四邊形ABCD的周長為cm【變式6-1】（2024·江蘇常州·一模）在銳角△ABC中，sinA=31010，cosB=45【變式6-2】（2024·河南周口·模擬預(yù)測）如圖，△ABC是等邊三角形，AB=6，點(diǎn)E是∠BAC的平分線AD上的一動點(diǎn)，連接CE，將點(diǎn)E繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到點(diǎn)F，連接CF，BF．若△BCF是直角三角形，則線段AE的長為

【變式6-3】（2024·湖南·模擬預(yù)測）如圖，在銳角△ABC中，AB=3，∠BAC=60°，AD平分∠BAC，M，N分別是AD和AB上的動點(diǎn)，則BM+MN的最小值為

【題型7與仰角、俯角有關(guān)的問題】【例7】（2024九年級·山東青島·專題練習(xí)）小智測量廣場上籃球筐距地面的高度．如圖，已知籃球筐的直徑AB約為0.45m，小智站在C處，先仰視籃球筐直徑的一端A處，測得仰角為42°，再調(diào)整視線，測得籃球筐直徑的另一端B處的仰角為35°．若小智的目高OC為1.6m，求籃球筐距地面的高度AD．(結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：tan42°≈0.9,tan35°≈0.7,【變式7-1】（2024·貴州遵義·模擬預(yù)測）赤水河畔的“美酒河”三個大字，是世界上最大的摩崖石刻漢字．小茜想測量絕壁上“美”字AG的高度，根據(jù)平面鏡反射原理可推出入射光線與鏡面的夾角等于反射光線與鏡面的夾角（如圖中∠DEC=∠AEB，∠DFC=∠GFB），具體操作如下：將平面鏡水平放置于E處，小茜站在C處觀測，俯角∠MDE=45°時，恰好通過平面鏡看到“美”字頂端A處（CD為小茜眼睛到地面的高度），再將平面鏡水平放置于F處觀測，俯角∠MDF=36.9°時，恰好通過平面鏡看到“美”字底端G處．測得BE=163.3m，CE=1.5m，點(diǎn)C，E，F(xiàn)，B在同一水平線上，點(diǎn)A，G，B在同一鉛垂線上．（參考數(shù)據(jù)：sin36.9°≈0.60，cos(1)CD的高度為__________m，CF的長為__________m；(2)求“美”字AG的高度．【變式7-2】（2024·山西大同·二模）2024年是甲辰龍年，在山西太原汾河景區(qū)有一條名為“中華第一巨龍”的景觀燈，某數(shù)學(xué)興趣小組準(zhǔn)備用所學(xué)的知識測量這條“巨龍”的龍頭頭頂A距離地面的高度AB（如圖），下面是他們的測量過程：小組成員在點(diǎn)C處測得BC與人行道的夾角為45°，測得龍頭頭頂A的仰角為28°；沿著人行道直行43m到達(dá)點(diǎn)D處，此時測得BD與人行道的夾角恰好也是45°．已知B，C，D三點(diǎn)在同一水平面上，A，B兩點(diǎn)在垂直于水平面的同一豎直直線上，即AB⊥BC，AB⊥BD，測角儀距地面的高度忽略不計(jì)，請根據(jù)以上測得的數(shù)據(jù)，估計(jì)龍頭頭頂A距離地面的高度AB．（結(jié)果精確到0.1m；參考數(shù)據(jù)：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，【變式7-3】（2024·浙江寧波·三模）【問題背景】一旗桿直立（與水平線垂直）在不平坦的地面上（如圖1）．兩個學(xué)習(xí)小組為了測量旗桿的高度，準(zhǔn)備利用附近的小山坡進(jìn)行測量估算．【問題探究】如圖2，在坡角點(diǎn)C處測得旗桿頂點(diǎn)A的仰角∠ACE的正切值為3，山坡上點(diǎn)D處測得頂點(diǎn)A的仰角∠ADG的正切值為79．斜坡CD的坡比為1:2.4，兩觀測點(diǎn)CD的距離為26學(xué)習(xí)小組成員對問題進(jìn)行如下分解，請?zhí)剿鞑⑼瓿扇蝿?wù)．任務(wù)1：計(jì)算C，D兩點(diǎn)的垂直高度差．任務(wù)2：求頂點(diǎn)A到水平地面的垂直高度．【問題解決】為了計(jì)算得到旗桿AB的高度，兩個小組在共同解決任務(wù)1和2后，采取了不同的方案：小組一：在坡角點(diǎn)C處測得旗桿底部點(diǎn)B的仰角∠BCE的正切值為23小組二：在山坡上點(diǎn)D處測得旗桿底部點(diǎn)B的俯角∠GDB的正切值為115任務(wù)3請選擇其中一個小組的方案計(jì)算旗桿AB的高度．【題型8與方位角有關(guān)的問題】【例8】（2024·上海浦東新·一模）如圖1是古代數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》中對“邑的計(jì)算”的相關(guān)研究．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組也類比進(jìn)行了如下探究：如圖2，正八邊形游樂城A1A2A3A4A5A6A7A8的邊長為22km，南門O設(shè)立在A6A(1)∠CA1A2=__________°(2)求點(diǎn)A1到道路BC(3)若該小組成員小李出南門O后沿道路MB向東行走，求她離B處不超過多少千米，才能確保觀察雕塑不會受到游樂城的影響？（結(jié)果精確到0.1km，參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，cos14°≈0.97，cot14°≈4，【變式8-1】（2024·山東東營·一模）如圖，某海岸線M的方向?yàn)楸逼珫|75°，甲、乙兩船同時出發(fā)向C處海島運(yùn)送物資．甲船從港口A處沿北偏東45°方向航行，乙船從港口B處沿北偏東30°方向航行，其中乙船的平均速度為v．若兩船同時到達(dá)C處海島，求甲船的平均速度（結(jié)果用v表示）．【變式8-2】（2024·海南省直轄縣級單位·二模）如圖所示為某景區(qū)五個景點(diǎn)A、B、C、D、E的平面示意圖，B在A的正東方方向，D在A的北偏東60°方向上，與A相距300米，E在D的正東方向140米處，C在A的北偏東45°方向上，C、E均在B的正北方向．(1)填空：∠CAD=度，∠ADE=度；(2)求景點(diǎn)B、E之間的距離；(3)求景點(diǎn)A、C之間的距離．【變式8-3】（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測）北京冬奧村的餐廳由機(jī)器人送餐．一送餐機(jī)器人從世界餐臺A處向正南方向走200米到達(dá)亞洲餐臺B處，再從B處向正東方向走500米到達(dá)中餐餐臺C處，然后從C處向北偏西37°走到就餐區(qū)D處，最后從D回到A處，已知就餐區(qū)D在A的北偏東73°方向，求中餐臺C到就餐區(qū)D（即CD）的距離．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)值：sin73°≈1920，cos73°≈29100，tan73°≈

【題型9與坡角、坡度有關(guān)的問題】【例9】（2024·河北石家莊·模擬預(yù)測）為打造旅游休閑城市，某村莊為吸引游客，沿綠道旁的母親河邊打造噴水景觀（如圖1）．為保持綠道地面干燥，水柱呈拋物線狀噴入母親河中．圖2是其截面圖，已知綠道路面寬OA=3.5米，河道壩高AE=5米，壩面AB的坡比為i=1:0.5（其中i=tan∠ABE），當(dāng)水柱離噴水口以O(shè)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，解決問題：(1)求水柱所在拋物線的解析式；(2)出于安全考慮，在河道的壩邊A處安裝護(hù)欄，若護(hù)欄高度為1.2米，判斷水柱能否噴射到護(hù)欄上，說明理由；(3)河中常年有水，但一年中河水離地平面的距離會隨著天氣的變化而變化，水柱落入水中能蕩起美麗的水花，從美觀角度考慮，水柱落水點(diǎn)要在水面上；①河水離地平面AD距離為多少時，剛好使水柱落在壩面截線AB與水面截線的交點(diǎn)處？②為保證水柱的落水點(diǎn)始終在水面上，決定安裝可上下伸縮的噴水口，設(shè)壩中水面離地平面距離為h米，噴水口離地平面的最小高度m隨著h的變化而變化，直接寫出m與h的關(guān)系式．【變式9-1】（2024·江西南昌·模擬預(yù)測）如圖1，是南昌八一起義紀(jì)念塔，象征著革命的勝利．某校數(shù)學(xué)社團(tuán)的同學(xué)們欲測量塔的高度．如圖2，他們在第一層看臺ED上架設(shè)測角儀EF，從F處測得塔的最高點(diǎn)A的仰角為42°，測出DE=BC=23m，臺階可抽象為線段CD，CD=203m，臺階的坡角為30°，測角儀EF的高度為2.5(1)求測角儀EF與塔身AB的水平距離；(2)求塔身AB的高度．（結(jié)果精確到0.1）（參考數(shù)據(jù)：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90【變式9-2】（2024·湖南岳陽·模擬預(yù)測）如圖，某工程隊(duì)準(zhǔn)備在山坡(山坡視為直線l)上修一條路，需要測量山坡的坡度，即tanα的值．測量員在山坡P處(不計(jì)此人身高)觀察對面山頂上的一座鐵塔，測得塔尖C的仰角為31°，塔底B的仰角為26.6°．已知塔高BC=40米，塔所在的山高OB=240米，OA=300米，圖中的點(diǎn)O，B，C，A，(1)求P到OC的距離；(2)求山坡的坡度tanα．（參考數(shù)據(jù)∶sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50，sin【變式9-3】（2024·江蘇宿遷·中考真題）【問題背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如圖，即∠CEF=∠AEF）．小軍測量某建筑物高度的方法如下：在地面點(diǎn)E處平放一面鏡子，經(jīng)調(diào)整自己位置后，在點(diǎn)D處恰好通過鏡子看到建筑物AB的頂端A．經(jīng)測得，小軍的眼睛離地面的距離CD=1.7m，BE=20m，DE=2m

【活動探究】觀察小軍的操作后，小明提出了一個測量廣告牌高度的做法（如圖）：他讓小軍站在點(diǎn)D處不動，將鏡子移動至E1處，小軍恰好通過鏡子看到廣告牌頂端G，測出DE1=2m；再將鏡子移動至E2處，恰好通過鏡子看到廣告牌的底端A，測出DE

【應(yīng)用拓展】小軍和小明討論后，發(fā)現(xiàn)用此方法也可測量出斜坡上信號塔AB的高度．他們給出了如下測量步驟（如圖）：①讓小軍站在斜坡的底端D處不動（小軍眼睛離地面距離CD=1.7m），小明通過移動鏡子（鏡子平放在坡面上）位置至E處，讓小軍恰好能看到塔頂B；②測出DE=2.8m；③測出坡長AD=17m；④測出坡比為8:15（即tan

【題型10方案設(shè)計(jì)問題】【例10】（2024·山西·二模）應(yīng)縣木塔，全稱佛宮寺釋迦塔，位于山西省朔州市應(yīng)縣西北佛宮寺內(nèi)，是中國現(xiàn)存最高最古的一座木構(gòu)塔式建筑，與意大利比薩斜塔、巴黎埃菲爾鐵塔并稱“世界三大奇塔”．某校綜合與實(shí)踐小組測量應(yīng)縣木塔的高度，形成了如下不完整的實(shí)踐報告：測量對象應(yīng)縣木塔測量目的學(xué)會運(yùn)用三角函數(shù)有關(guān)知識解決生活實(shí)際問題測量工具無人機(jī)測量方案1.先將無人機(jī)從地面的點(diǎn)G處垂直上升100m至點(diǎn)P，測得塔的頂端A的俯角為16°2.再將無人機(jī)從點(diǎn)P處沿水平方向飛行60m至點(diǎn)C，然后沿垂直方向上升20m至點(diǎn)Q，測得塔的頂端A的俯角測量示意圖請根據(jù)以上測量數(shù)據(jù)，求應(yīng)縣木塔AB的高度（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96【變式10-1】（2024·貴州安順·二模）森林防火不僅是政府和相關(guān)部門的責(zé)任，每個公民應(yīng)當(dāng)參與到森林防火工作中，了解相關(guān)防火知識并在日常生活中做出相應(yīng)的貢獻(xiàn)．如圖所示，AC在一條筆直公路上，公路兩旁是林地，位于森林防火卡點(diǎn)A的北偏東55°方向的B處發(fā)生火災(zāi)，防火員從卡點(diǎn)A去火災(zāi)處救援有兩種方案，方案1：防火員立即騎車沿正東方向行駛800米到達(dá)離B點(diǎn)最近的C處再跑步到B點(diǎn)救援；方案2：防火員從卡點(diǎn)A直接跑步前往B處救援．若防火員的跑步速度為5m/s，騎車的速度為20m/s．（參考數(shù)據(jù)：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，(1)AB的長為__________米（結(jié)果保留整數(shù)）；(2)防火員必須在兩個方案中選擇一個，請問選擇哪個方案更合理，請通過計(jì)算說明理由．【變式10-2】（2024·甘肅天水·模擬預(yù)測）苦水高高蹺是甘肅省蘭州市永登縣傳統(tǒng)民俗文化之一，起源于元末明初，至今已有700余年的歷史，也是國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一．如圖1，表演者穿著傳統(tǒng)戲劇服飾，畫上秦腔劇目中的人物臉譜，手持道具，凌空飛舞，被業(yè)內(nèi)人士稱為行走的“空中戲劇”．2024年春節(jié)，永登縣連城鎮(zhèn)牛站村社火團(tuán)隊(duì)表演了醉關(guān)公．某校綜合實(shí)踐研究小組開展了“測量高蹺關(guān)公腿多長”的實(shí)踐活動，過程如下：方案設(shè)計(jì)：如圖2，某人垂直踩在地面上，在地面上選取A，B兩處分別測得∠CAD和∠CBD的度數(shù)（A，D，B在同一條直線上）．?dāng)?shù)據(jù)收集：通過實(shí)地測量：地面上A，B兩點(diǎn)的距離為3.9m，∠CAD=42°，∠CBD=58°解決問題：求高蹺關(guān)公腿CD高度．根據(jù)上述方案及數(shù)據(jù)，完成求解過程．（結(jié)果精確到0.1米．參考數(shù)據(jù)sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°=0.90，sin58°=0.85，【變式10-3】（2024·甘肅·模擬預(yù)測）某學(xué)習(xí)小組在物理實(shí)驗(yàn)結(jié)束后，利用實(shí)驗(yàn)裝置探究幾何測量問題．課題探究物理實(shí)驗(yàn)裝置中的幾何測量問題成員組長：xxx

組員：xxx，xxx，xxx實(shí)驗(yàn)工具測角儀，皮尺，攝像機(jī)等方案設(shè)計(jì)方案一方案二測量方案示意圖（已知PC⊥AC）（已知PB⊥AC）說明點(diǎn)P為攝像機(jī)的位置，小車從同一斜面上相同高度處由靜止開始沿斜面下滑，點(diǎn)A為小車從斜面到達(dá)水平面的位置，點(diǎn)C為木塊的位置．測量數(shù)據(jù)AB=4米，∠PBC=40°，∠PAB=15°．AC=5.9米，∠PCB=40°，∠PAB=22°．請選擇其中一種方案計(jì)算出攝像機(jī)機(jī)位P到小車行駛軸線AB的豎直距離.（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)tan40°≈0.84

專題28.6銳角三角函數(shù)全章專項(xiàng)復(fù)習(xí)【2大考點(diǎn)10種題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)1銳角三角函數(shù)】 1【題型1利用設(shè)參法求銳角的三角函數(shù)值】 2【題型2構(gòu)造直角三角形求銳角的三角函數(shù)值】 6【題型3銳角三角函數(shù)與一元二次方程的綜合】 12【題型4銳角三角函數(shù)與平面直角坐標(biāo)系的綜合】 15【考點(diǎn)2解直角三角形】 20【題型5解直角三角形】 22【題型6構(gòu)造直角三角形解斜三角形】 26【題型7與仰角、俯角有關(guān)的問題】 31【題型8與方位角有關(guān)的問題】 37【題型9與坡角、坡度有關(guān)的問題】 44【題型10方案設(shè)計(jì)問題】 54【考點(diǎn)1銳角三角函數(shù)】1.在直角三角形中，一個銳角的對邊與斜邊的比叫做這個銳角的正弦.銳角A的正弦記作__sinA_.2.在直角三角形中，一個銳角的鄰邊與斜邊的比叫做這個銳角的余弦.銳角A的余弦記作_cosA_.3.在直角三角形中，一個銳角的對邊與鄰邊的比叫做這個銳角的正切.銳角A的正切記作__tanA_.正弦：余弦：；正切：。常見三角函數(shù)值：銳角α三角函數(shù)30°45°60°1【題型1利用設(shè)參法求銳角的三角函數(shù)值】【例1】（2024·四川達(dá)州·一模）如圖，四邊形ABCD為矩形紙片，AB=7，BC=9，現(xiàn)把矩形紙片折疊，使得點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)C′處（不與A，B重合），點(diǎn)D落在D′處，此時，C′D′交AD邊于點(diǎn)E，設(shè)折痕為PQ．若△PBA．35 B．37 C．45【答案】A【分析】設(shè)BC′=m，由矩形的性質(zhì)得∠A=∠B=∠C=90°，由折疊得PC′=PC，∠PC′E=∠C=90°，則∠BC′P=∠AEC′=90°?∠AC′E，因?yàn)椤鱌BC【詳解】解：設(shè)BC∵四邊形ABCD是矩形，AB=7，BC=9，∴∠A=∠B=∠C=90°，由折疊得PC′=PC∴∠BC∵△PBC′≌∴BP=AC′=7?m∵PC′=∴C∵AE∴m解得m1=3，∴BC′=3∴cos∠B故選：A．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查矩形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)與解直角三角形等知識，掌握軸對稱的性質(zhì)是關(guān)鍵．【變式1-1】（2024·甘肅定西·模擬預(yù)測）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC:AB=5:13，則tanA的值為【答案】5【分析】本題考查了勾股定理、銳角三角形函數(shù)的定義．先可設(shè)BC=5x,AB=13x，利用勾股定理求出AC=12x，再根據(jù)銳角三角函數(shù)正切的定義：銳角A的對邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA【詳解】解：如圖：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC:AB=5:13∴可設(shè)BC=5x,AB=13x，∴AC=A故tanA=故答案為：512【變式1-2】（2024·上海·模擬預(yù)測）在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，AB=BC=5，AD=2，∠ABC的平分線交CD于E【答案】2【分析】根據(jù)題意，作出圖形，先由三角形全等的判定與性質(zhì)得到AE=CE，∠BAE=∠BCD=90°，即△ABE是直角三角形，過點(diǎn)A作AF∥DC交BC于F，如圖所示，由矩形的判定與性質(zhì)得到FC=AD,AF=DC，在Rt△ABF中及在Rt【詳解】解：如圖所示：∵CD是∠ABC的角平分線，∴∠ABE=∠CBE，在△ABE和△CBE中，AB=BC∴△ABE≌△CBESAS∴AE=CE，∠BAE=∠BCD=90°，即過點(diǎn)A作AF∥DC交BC于∴∠AFB=∠BCD=90°，∵AD∥BC，∴∠ADC=∠BCD=90°，即四邊形AFCD是矩形，∴FC=AD,AF=DC，在Rt△ABF中，AB=5，BF=BC?CF=BC?AD=5?2=3，則由勾股定理可得AF=AB設(shè)AE=CE=x，則DE=4?x，在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2+DE在Rt△ABE中，tan故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查求三角函數(shù)值，涉及角平分線定義、三角形全等的判定與性質(zhì)、直角三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理及正切函數(shù)值定義等知識，熟練掌握相關(guān)幾何性質(zhì)及判定是解決問題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測）如圖，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，3CD=BD，cos∠ABC=255【答案】35【分析】本題考查了三角函數(shù)，勾股定理，正確作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，則∠AED=∠BED=90°，設(shè)CD=a,BD=3a，則BC=4a，由cos∠ABC=255可得AB=25【詳解】解：過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，則∠AED=∠BED=90°，∵3CD=BD，∴設(shè)CD=a,BD=3a，∴BC=4a，∵cos∠ABC=∴BCAB∴4aAB∴AB=25∴AC=A∴AD=A∴DE=A∴sin∠BAD=故答案為：35【題型2構(gòu)造直角三角形求銳角的三角函數(shù)值】【例2】（2024·重慶九龍坡·模擬預(yù)測）在邊長相等的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，那么sin∠ACBA．52 B．55 C．25【答案】C【分析】本題考查解直角三角形，過點(diǎn)B作AC的垂線構(gòu)造出直角三角形及熟知正弦的定義是解題的關(guān)鍵．也考查了等腰三角形的三線合一性質(zhì)．【詳解】解：過點(diǎn)B作AC的垂線，垂足為M，設(shè)小正方形的邊長為a，∵在邊長相等的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，∴AB=a2+3a2∴AB=BC，∵BM⊥AC，∴點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，∴CM=1在Rt△BCM中，BM=∴sin∠ACB=∴sin∠ACB的值為2故選：C．【變式2-1】（2024·遼寧沈陽·一模）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為AB邊的中點(diǎn)，將正方形ABCD折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)E重合，MN為折痕，則sin∠MNBA．255 B．55 C．3【答案】A【分析】本題考查了翻折變換，正方形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)等知識，連接DE交MN與O，設(shè)正方形的邊長為2a，由勾股定理可求DE的長，由折疊的性質(zhì)可得DO=EO=52a，DM=ME，DE⊥MN【詳解】解：如圖，連接DE交MN與O，設(shè)正方形的邊長為2a，∵點(diǎn)E為AB邊的中點(diǎn)，∴AE=a，∴DE=A∵將正方形ABCD折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)E重合，∴DO=EO=52a∵M(jìn)E∴DM∴DM=5∵AD∥∴∠DMN=∠BNM，∴sin∠MNB=故選：A．【變式2-2】（2024·廣東潮州·一模）如圖，?ABCD的對角線AC，BD交于點(diǎn)O，OE⊥BD交BC于點(diǎn)E，∠ABD＝2∠CBD，若BC＝72，CD＝142，則cos∠CBD＝【答案】14【分析】延長BD至M，使DM＝DC，連接CM，作AP⊥BD于點(diǎn)P，作CQ⊥BD于點(diǎn)Q，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)證明△ABP≌△CDQ，得到BP=DQ，再利用勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖，延長BD至M，使DM＝DC，連接CM，作AP⊥BD于點(diǎn)P，作CQ⊥BD于點(diǎn)Q，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，∴∠ABD＝∠CDB，∵∠ABD＝2∠CBD，∴∠CDB＝2∠CBD，∵DM＝DC，∴∠DCM＝∠M，∴∠CDB＝2∠M，∴∠CBD＝∠M，∴CB＝CM，∵CQ⊥BD，∴BQ＝MQ＝QD+DM＝QD+CD，在△ABP和△CDQ中，∠APB=∠COD∠ABP=∠CDQ∴△ABP≌△CDQ（AAS），∴BP＝DQ，∴PQ＝CD＝142設(shè)BP＝DQ＝x，∵BC2﹣BQ2＝CQ2＝CD2﹣DQ2，∴(72)2﹣（x+142）2＝（142解得x＝314∴BP=3∴BQ=3∴cos∠CBD＝BQBC＝7故答案為：144【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形性質(zhì)，全等三角形判定與性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，等知識．靈活運(yùn)用平行四邊形性質(zhì)證明全等三角形是本題關(guān)鍵．【變式2-3】（2024·浙江·模擬預(yù)測）如圖，將矩形ABCD沿BE折疊，點(diǎn)A與點(diǎn)A′重合，連接EA′并延長分別交BD，BC于點(diǎn)G（1）若∠AEB=55°，則∠EBD=．（2）若ABBC=34，則【答案】40°10【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠AEB=∠A′EB，進(jìn)而求出∠AEA′（2）過點(diǎn)E作EH⊥BC于點(diǎn)H，得到四邊形ABHE、EHCD均為矩形，根據(jù)BG=BF得到∠BGF=∠BFG，由平行線的性質(zhì)得∠DEG=∠BFG，由對頂角相等得∠BGF=∠DGE，則∠DEG=∠DGE，進(jìn)而得到DE=DG，根據(jù)勾股定理求出BD=5x，設(shè)BG=BF=y，則DG=DE=5x?y，AE=BH=y?x，F(xiàn)H=x，再根據(jù)勾股定理求得EF=10x，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，AB=A′B=3x，AE=A′E=y?x，本題主要考查矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題是解題關(guān)鍵．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD為矩形，∴AD∥BC，∴∠DEF=∠BFG，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，∠AEB=∠A∵∠AEB=55°，∴∠AEA∴∠DEF=70°，∴∠BFG=70°，∵BG=BF，∴∠BGF=∠BFG=70°，∴∠GBF=180°?∠BGF?∠BFG=40°；故答案為：40°；（2）如圖，過點(diǎn)E作EH⊥BC于點(diǎn)H，∵四邊形ABCD為矩形，設(shè)AB=3x，BC=4x，∴AD=BC=4x，AB=CD=3x，∠A=90°，AD∥BC，∵EH⊥BC，∴四邊形ABHE、EHCD均為矩形，∴AE=BH，AB=EH=3x，DE=CH，∵BG=BF，∴∠BGF=∠BFG，∵AD∥BC，∴∠DEG=∠BFG，∵∠BGF=∠DGE，∴∠DEG=∠DGE，∴DE=DG，在Rt△ABD中，AB=3x，∴BD=A設(shè)BG=BF=y，則DG=DE=5x?y，∴AE=AD?DE=4x?(5x?y)=y?x，∴BH=AE=y?x，∴FH=BF?BH=y?(y?x)=x，在Rt△EFH中，EF=根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，AB=A′B=3x，AE=∴A′F=EF?在Rt△A′∴3x2解得：y=10∴tan故答案為：10【題型3銳角三角函數(shù)與一元二次方程的綜合】【例3】（23-24九年級·湖南郴州·期末）如果把方程x2+6x+5=0變形為x+a2=b的形式，那么以a，b長為直角邊的A．45 B．35 C．43【答案】B【分析】本題考查配方法的應(yīng)用，勾股定理，求角的余弦值．掌握配方法，勾股定理和余弦的定義是解題關(guān)鍵．根據(jù)配方法可求出a=3，b=4，結(jié)合勾股定理可求出【詳解】解：方程x2+6x+5=0變形為x+a2∴a=3，∵Rt△ABC以a∴Rt△ABC的斜邊長為a∴cosB=故選B．【變式3-1】（23-24九年級·福建泉州·期末）若cosα，1cosα是關(guān)于x的方程3x2A．33 B．3 C．13 【答案】C【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系得出cosα?1cosα=【詳解】解：∵cosα，1cosα是關(guān)于x∴cosα?1cos即：3x2?10x+3=0解得x1=1∵0<∴cosα=故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的取值范圍及一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）根與系數(shù)的關(guān)系：x【變式3-2】（2024·云南臨滄·二模）如果方程x2﹣8x+15＝0的兩個根分別是Rt△ABC的兩條邊，△ABC最小的角為A，那么tanA的值為（）A．34 B．35 C．45 D．【答案】D【分析】首先解出方程的解為3或5，接著分情況討論：①當(dāng)3和5為直角邊時；②當(dāng)5為斜邊時，另一直角邊為4，再根據(jù)tan函數(shù)的定義即可得出答案.【詳解】x2﹣8x+15＝0，（x﹣3）（x﹣5）＝0，則x﹣3＝0，x﹣5＝0，解得x＝3或5，①當(dāng)3和5為直角邊時：tanA＝35②當(dāng)5為斜邊時，另一直角邊為4，tanA＝34故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程以及銳角三角函數(shù)，關(guān)鍵是要掌握正切：銳角A的對邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切.【變式3-3】（2024·四川成都·二模）關(guān)于x的方程2x2?5xsinA+2=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，其中∠A是銳角△ABC的一個內(nèi)角；關(guān)于y的方程y2?10y+【答案】16或10+2【分析】根據(jù)方程2x2?5xsinA+2=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，求得sinA=45；根據(jù)y的方程【詳解】∵方程2x∴(?5sin∴sinA=45，sinA=-4∵方程y2∴(?10)2∴(m?2)2∵(m?2)2∴m-2=0，∴方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，∴y1當(dāng)∠A為等腰三角形的頂角時，過點(diǎn)B作BD⊥AC，垂足為D，如圖1:∵AB=AC=5，sinA=45∴BD=ABsinA=5×45=4，AD=∴DC=2，∴BC=BD2+C∴△ABC的周長是10+25當(dāng)∠A為等腰三角形的底角時，過點(diǎn)B作BE⊥AC，垂足為E，如圖2:∵AB=BC=5，sinA=45∴BE=ABsinA=5×45=4，AE=∴AE=CE=3，∴AC=6，∴△ABC的周長是10+6=16；故答案為：16或10+25【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，實(shí)數(shù)的非負(fù)性，等腰三角形的分類思想，銳角三角函數(shù)，利用方程根的特點(diǎn)確定角的正弦，實(shí)數(shù)的非負(fù)性，確定三角形是等腰三角形是解題的關(guān)鍵．【題型4銳角三角函數(shù)與平面直角坐標(biāo)系的綜合】【例4】（2024·遼寧丹東·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為10,4，四邊形ABEF是菱形，且tan∠ABE=43．若直線l把矩形OABC和菱形ABEFA．y=3x B．y=?34x+52 【答案】D【分析】如圖，連接AC，BO交于點(diǎn)D，連接AE，BF交于點(diǎn)H，連接DH，過E作EG⊥AB于點(diǎn)G，由題意知，EG=8，EB=EF=AB=10，∠EGB=90°，D，H分別為線段OB，F(xiàn)B的中點(diǎn)，在Rt△EGB中，由勾股定理求BG的值，可得AG的值，則可確定E，F(xiàn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得D，H的坐標(biāo)，由題意知，直線DH將矩形OABC【詳解】解：如圖，連接AC，BO交于點(diǎn)D，連接AE，BF交于點(diǎn)H，連接DH，過E作EG⊥AB于點(diǎn)G，由題意可得：∠EGB=90°，D，H分別為線段∵頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為10,4，四邊形ABEF是菱形，且tan∴EB=EF=AB=10，EG=8，在Rt△EGB中，由勾股定理得，BG=∴AG=AB?BG=4，∴E4，12∴D10+02，由題意知，直線DH將矩形OABC和菱形ABEF組成的圖形的面積分成相等的兩部分，設(shè)直線DH的解析式為y=kx+b，將D5,2，H解得，k=?2b=12∴直線DH的解析式為y=?2x+12，即為直線l的解析式，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形、菱形的性質(zhì)、勾股定理、坐標(biāo)與圖形、中點(diǎn)坐標(biāo)、求一次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵在于明確直線l即為直線DH．【變式4-1】（2024·山東德州·二模）將△OBA按如圖方式放置在平面直角坐標(biāo)系xOy中，其中∠OBA=90°，∠A=30°，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,3)，將△OBA繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)60°，則第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點(diǎn)A對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為【答案】(?1,【分析】先確定6次一個循環(huán)，再確定第2023次旋轉(zhuǎn)的位置，再構(gòu)建直角三角形求解即可．【詳解】解：∵A(1,3)，∠∴OB=1，AB=3∵∠A=30°，∴OA=2OB=2，∵將△OBA繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)60°，∴旋轉(zhuǎn)6次回到原位置，∵2023÷6=所以旋轉(zhuǎn)2023次的位置如圖示，由題意可得：tan∠AOB=∴∠AOB=∠A過A′作A′H⊥OB∴OH=1∴第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點(diǎn)A對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(?1,3故答案為(?1,3【點(diǎn)睛】本題考查圖形變化-旋轉(zhuǎn)，規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是掌握探究規(guī)律的方法，屬于中考?？碱}型．【變式4-2】（2024·湖北恩施·三模）蜂巢結(jié)構(gòu)精巧，左圖為其橫截面示意圖，其形狀均為正六邊形，右圖中的7個全等的正六邊形不重復(fù)且無縫隙，以坐標(biāo)原點(diǎn)為對稱中心建立平面直角坐標(biāo)系，已知P0,?2，則Q點(diǎn)坐標(biāo)為（

A．?23,3 B．?23,4 C．【答案】B【分析】如圖，由正六邊形，可得∠BAP=180°×46=120°，∠OAP=∠OPA=∠OAB=60°，則△AOP是等邊三角形，OA=AP=OP=2，則CD=OD=OA?sin60°=3，【詳解】解：如圖，∵正六邊形，∴∠BAP=180°×46=120°∴△AOP是等邊三角形，OA=AP=OP=2，∴CD=OD=OA?sin60°=3∴OC=23∴Q?2故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的內(nèi)角，等邊三角形的判定與性質(zhì)，正弦，點(diǎn)坐標(biāo)等知識．熟練掌握正多邊形的內(nèi)角，等邊三角形的判定與性質(zhì)，正弦，點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2024·湖北武漢·三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A、D在第一象限內(nèi)且點(diǎn)Aa?1,3a，點(diǎn)C?1,0點(diǎn)B2,0，∠ACD=45°，點(diǎn)B到射線CD【答案】355【分析】本題考查了解直角三角形，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，一次函數(shù)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，設(shè)直線AC交y軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CN⊥AC，過點(diǎn)B作BM⊥CD于點(diǎn)M，交CN于點(diǎn)N，過點(diǎn)B作BF⊥CN于點(diǎn)F，CN交y軸于點(diǎn)G，求出直線AC的解析式，得OE=3，然后根據(jù)勾股定理可得CE=10，證明∠CEO=∠BCF，根據(jù)已知條件證明△MCN和△BFN【詳解】解：如圖，設(shè)直線AC交y軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CN⊥AC，過點(diǎn)B作BM⊥CD于點(diǎn)M，交CN于點(diǎn)N，過點(diǎn)B作BF⊥CN于點(diǎn)F，CN交y軸于點(diǎn)G，設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，∵點(diǎn)Aa?1,3a，點(diǎn)C∴ka?1解得，k=3b=3直線AC的解析式為y=3x+3，當(dāng)x=0時，y=3,∴E0,3∴OE=3∵C∴OC=1,∴CE=∴tan∠CEO=∵∠CEO+∠ECO=90°，∴∠CEO=∠BCF，∴sin∠BCF=∵B2∴OB=2,∴BC=OC+OB=1+2=3，∴BF=BC?sin∵tan∠BCF=∴CF=3×3∵∠ACD=45°，∴∠MCN=∠MNC=45°=∠NBF，∴△MCN和△BFN都是等腰直角三角形，∴BN=2∴CN=CF+FN=6∴MN=2∴BM=MN?BN=6∴點(diǎn)B到射線CD的最小值是35故答案為：35【考點(diǎn)2解直角三角形】1.解直角三角形解直角三角形就是應(yīng)用勾股定理、兩銳角的關(guān)系、三角函數(shù)等進(jìn)行求解。除直角外，共5個元素(三邊、兩銳角)，若知道其中2個元素(至少有一個是邊)，就可以求出其余3個未知元素。在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c（1）三邊之間的關(guān)系：（勾股定理）（2）銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=90°（3）邊角之間的關(guān)系：2.解直角三角形的類型已知條件解法兩直角邊(如a，b)由tanA＝eq\f(a,b)，求∠A；∠B＝90°－∠A；c＝eq\r(a2＋b2)斜邊、一直角邊(如c，a)由sinA＝eq\f(a,c)，求∠A；∠B＝90°－∠A；b＝eq\r(c2－a2)一銳角與鄰邊(如∠A，b)∠B＝90°－∠A；a＝b·tanA；c＝eq\f(b,cosA)一銳角與對邊(如∠A，a)∠B＝90°－∠A；b＝eq\f(a,tanA)；c＝eq\f(a,sinA)斜邊與一銳角(如c，∠A)∠B＝90°－∠A；a＝c·sinA；b＝c·cosA3.銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用1．日常生活中的很多問題可以轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題，因此，銳角三角函數(shù)在解決實(shí)際問題中有較大的作用，在應(yīng)用時要注意以下幾個環(huán)節(jié)：(1)審題，認(rèn)真分析題意，將已知量和未知量弄清楚，找清已知條件中各量之間的關(guān)系，根據(jù)題目中的已知條件，畫出它的平面圖或截面示意圖．(2)明確題目中的一些名詞、術(shù)語的含義，如仰角、俯角、坡角、坡度、方位角等．(3)是直角三角形的，根據(jù)邊角關(guān)系進(jìn)行計(jì)算；若不是直角三角形，應(yīng)大膽嘗試添加輔助線，把它們分割成一些直角三角形或矩形，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形進(jìn)行解決．(4)確定合適的邊角關(guān)系，細(xì)心推理計(jì)算．(5)在解題過程中，既要注意解有關(guān)的直角三角形，也應(yīng)注意到有關(guān)線段的增減情況．

4.銳角三角函數(shù)實(shí)際應(yīng)用中的相關(guān)概念(1)仰角、俯角如圖①，在測量時，視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角．(2)坡度(坡比)、坡角如圖②，坡面的高度h和水平距離l的比叫坡度(或坡比)，即i＝tanα＝eq\f(h,l)，坡面與水平面的夾角α叫坡角．(3)方向角指南或指北的方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角．如圖③，OA是表示北偏東60°方向的一條射線．注意：東北方向指北偏東45°方向，東南方向指南偏東45°方向，西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向．我們一般畫圖的方位為上北下南，左西右東。(4)方位角從指北方向線按順時針方向轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的角叫做方位角.

5.三角函數(shù)常見模型圖1圖2如圖1是基本圖形，若B、C、D在同一直線上，且∠ABC等于90°，∠ACB=α，∠ADB=β，CD=a，AB=x，則有x=BD·tanβ，x=CB·tanα，∴，；變式為圖2，則結(jié)論為【題型5解直角三角形】【例5】（23-24九年級·福建泉州·期末）在銳角△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，若tan∠BAD=12，tan∠CAD=1A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】B【分析】本題考查解直角三角形,根據(jù)題意畫出圖形,令A(yù)D=x，勾股定理求得AB,AC，根據(jù)等面積法求得CE，根據(jù)sin∠BAC=【詳解】解：△ABC如圖所示，∵tan∠BAD=12則令A(yù)D=x，∴BD=12x在Rt△ABDAB=x2同理可得，AC=103過點(diǎn)C作AB的垂線，垂足為E，則12∴CE=53在Rt△ACEsin∠BAC=CE∴∠BAC=45°．故選：B．【變式5-1】（23-24九年級·河北石家莊·期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，sinA=45，則ABA．4.8 B．9 C．7.5 D．10【答案】D【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，根據(jù)正弦函數(shù)的定義即可直接求解，解題的關(guān)鍵是掌握在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊．【詳解】解：如圖，∵sinA=∴設(shè)BC=4x，AB=5x，∴由勾股定理得：AC=A解得：x=2，∴AB=5x=10，故選：D．【變式5-2】（2024·黑龍江大慶·模擬預(yù)測）如圖，△ABC與△DEF均為等邊三角形，O為BC，EF的中點(diǎn)，點(diǎn)D在邊AC上，則AD:【答案】3【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，連接OA、OD，由已知可以推出ODOE=OA【詳解】解：連接OA、∵△ABC，△DEF均為等邊三角形，O為∴∠OED=60°，∴∠DOE=∠AOB=90°，∴ODOE∵∠DOE=∠AOB=90°，∴∠DOE?∠EOA=∠AOB?∠EOA，即∠DOA=∠EOB，∵ODOE∴△DOA∽∴AD:故答案為：3．【變式5-3】（2024·浙江杭州·二模）如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=3，D為邊AB上一點(diǎn)，且AD=2BD，過點(diǎn)D作DE⊥DC，交BC于點(diǎn)F，連接CE，若∠DCE=∠B，則EFDF的值為【答案】7【分析】本題考查了勾股定理，三角函數(shù)，過點(diǎn)F作FG⊥AB，可得BD=2，CD=5，由∠DCE=∠B得tan∠B=tan∠DCE=DECD=ACAB=12，即得DE=12CD=52，又由∠A=∠CDF=90°可得∠ACD=∠FDG，得到ADAC=FG【詳解】解：如圖，過點(diǎn)F作FG⊥AB，∵AD=2BD，∴AD=23AB=4在Rt△ACD中，CD=∵∠DCE=∠B，∴tan∠B=∴DE=1∵∠A=∠CDF=90°，∴∠ACD+∠ADC=∠ADC+∠EDG=90°，∴∠ACD=∠FDG，∴tan∠ACD=tan∠FDG設(shè)DG=3t，則FG=4t，在Rt△DGF中，DF=同理可得，tan∠B=∴BG=2FG=8t，∴BD=DG+BG=11t=2，解得t=2∴DF=5t=10∴EF=DE?DF=5∴EFDF故答案為：74【題型6構(gòu)造直角三角形解斜三角形】【例6】（2024·廣西·中考真題）如圖，兩張寬度均為3cm的紙條交叉疊放在一起，交叉形成的銳角為60°，則重合部分構(gòu)成的四邊形ABCD的周長為cm【答案】8【分析】本題考查了平行四邊形的判定，菱形的判定和性質(zhì)，菱形的周長，過點(diǎn)A作AM⊥BC于M，AN⊥CD于N，由題意易得四邊形ABCD是平行四邊形，進(jìn)而由平行四邊形的面積可得AM=AN，即可得到四邊形ABCD是菱形，再解Rt△ADN可得AD=ANsin【詳解】解：過點(diǎn)A作AM⊥BC于M，AN⊥CD于N，則∠AND=90°，∵兩張紙條的對邊平行，∴AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵兩張紙條的寬度相等，∴AM=AN，∵S?ABCD∴BC=CD，∴四邊形ABCD是菱形，在Rt△ADN中，∠ADN=60°，AN=3∴AD=AN∴四邊形ABCD的周長為23故答案為：83【變式6-1】（2024·江蘇常州·一模）在銳角△ABC中，sinA=31010，cosB=45【答案】3【分析】本題考查了解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)的定義，學(xué)會作出輔助線構(gòu)造直角三角形解決問題．過點(diǎn)C作CD⊥AB構(gòu)造直角三角形，再根據(jù)三角函數(shù)定義解直角三角形即可．【詳解】解：過點(diǎn)C作CD⊥AB垂足為D，∵cos∴設(shè)BD=4k，BC=5k，在Rt△BCDCD∴CD=3k，∵sin∴AC=10由勾股定理得：AD=k，∴AB=k+4k=5k=15，∴k=3，∴AC=310故答案為：3【變式6-2】（2024·河南周口·模擬預(yù)測）如圖，△ABC是等邊三角形，AB=6，點(diǎn)E是∠BAC的平分線AD上的一動點(diǎn)，連接CE，將點(diǎn)E繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到點(diǎn)F，連接CF，BF．若△BCF是直角三角形，則線段AE的長為

【答案】33或【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和角平分線的定義可得AC=BC，∠CAD=30°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠ACB=∠ECF=60°，EC=FC，利用等量代換可得∠ACE=∠BCF，證得△ACE≌△BCFSAS，可得∠CAE=∠CBF=30°，∠AEC=∠BFC，∠ACE=∠BCF，由△BCF是直角三角形，分類討論：∠AEC=∠BFC=90°或∠ACE=∠BCF=90°【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，AD平分∠BAC，∴AC=BC，∠CAD=30°，∵將點(diǎn)E繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到點(diǎn)F，∴∠ACB=∠ECF=60°，EC=FC，∴∠ACE+∠ECB=60°，∠BCF+∠ECB=60°，∴∠ACE=∠BCF，∴△ACE≌△BCFSAS∴∠CAE=∠CBF=30°，∠AEC=∠BFC，∠ACE=∠BCF，∵△BCF是直角三角形，當(dāng)∠AEC=∠BFC=90°，在Rt△AEC中，EC=∴AE=6當(dāng)∠ACE=∠BCF=90°時，在Rt△ACE中，cos∠CAE=AC∴AE=43故答案為：33或4【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、角平分線的定義、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)定理證得△ACE≌△BCF，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵【變式6-3】（2024·湖南·模擬預(yù)測）如圖，在銳角△ABC中，AB=3，∠BAC=60°，AD平分∠BAC，M，N分別是AD和AB上的動點(diǎn)，則BM+MN的最小值為

【答案】32/【分析】本題主要考查了解直角三角形，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，垂線段最短等等，在AC上截取AH=AN，連接BH、MH，易證明△AHM≌△ANMSAS，得到HM=NM，則BM+MN=BM+HM，故當(dāng)B、M、H三點(diǎn)共線，且BH⊥AC時，BM+HM最小，即此時BM+MN最小，最小值即為BH的長，解直角三角形求出BH【詳解】解：如圖所示，在AC上截取AH=AN，連接BH、MH，

∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD，又∵AH=AN，∴△AHM≌△ANMSAS∴HM=NM，∴BM+MN=BM+HM，∴當(dāng)B、M、H三點(diǎn)共線，且BH⊥AC時，BM+HM最小，即此時BM+MN最小，最小值即為BH的長，∴此時∠AHB=90°，∵∠BAC=60°，∴∠ABH=30°，∴BH=AB?cos∴BM+HM的最小值為32故答案為：32【題型7與仰角、俯角有關(guān)的問題】【例7】（2024九年級·山東青島·專題練習(xí)）小智測量廣場上籃球筐距地面的高度．如圖，已知籃球筐的直徑AB約為0.45m，小智站在C處，先仰視籃球筐直徑的一端A處，測得仰角為42°，再調(diào)整視線，測得籃球筐直徑的另一端B處的仰角為35°．若小智的目高OC為1.6m，求籃球筐距地面的高度AD．(結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：tan42°≈0.9,tan35°≈0.7【答案】籃球筐距地面的高度AD約為3.0【分析】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用——仰俯角問題，恰當(dāng)構(gòu)造直角三角形，正確應(yīng)用銳角三角函數(shù)的定義式是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)B作BG⊥CD，交CD的延長線于點(diǎn)G，過點(diǎn)O作OE⊥AD于點(diǎn)E，延長OE交BG于點(diǎn)F，OE=xm，解Rt△AOE可得AE=0.9x，解【詳解】解：如圖，過點(diǎn)B作BG⊥CD，交CD的延長線于點(diǎn)G，過點(diǎn)O作OE⊥AD于點(diǎn)E，延長OE交BG于點(diǎn)F．由題意得AB=EF=0.45m，OC=ED=1.6m，設(shè)OE=xm，則OF=(x+0.45)在Rt△AOE中，∠AOE=42°，tan解得AE=0.9x，∴BF=0.9xm在Rt△BOF中，∠BOF=35°，OF·∴x+0.45×0.7=0.9x解得x=1.575，∴AE=0.9x=1.4175m∴AD=AE+ED=3.0175≈3.0(m答：籃球筐距地面的高度AD約為3.0m【變式7-1】（2024·貴州遵義·模擬預(yù)測）赤水河畔的“美酒河”三個大字，是世界上最大的摩崖石刻漢字．小茜想測量絕壁上“美”字AG的高度，根據(jù)平面鏡反射原理可推出入射光線與鏡面的夾角等于反射光線與鏡面的夾角（如圖中∠DEC=∠AEB，∠DFC=∠GFB），具體操作如下：將平面鏡水平放置于E處，小茜站在C處觀測，俯角∠MDE=45°時，恰好通過平面鏡看到“美”字頂端A處（CD為小茜眼睛到地面的高度），再將平面鏡水平放置于F處觀測，俯角∠MDF=36.9°時，恰好通過平面鏡看到“美”字底端G處．測得BE=163.3m，CE=1.5m，點(diǎn)C，E，F(xiàn)，B在同一水平線上，點(diǎn)A，G，B在同一鉛垂線上．（參考數(shù)據(jù)：sin36.9°≈0.60，cos(1)CD的高度為__________m，CF的長為__________m；(2)求“美”字AG的高度．【答案】(1)1.5，2(2)41.2【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—仰角俯角問題，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）證明△DCE是等腰直角三角形，即可求得DC=CE=1.5m，解直角三角形即可求得CF=2（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AB=BE=163.3m，進(jìn)一步求得BF=162.8m，然后解直角三角形即可求得BG=122.1m【詳解】（1）解：∵∠MDE=45°，∴∠DEC=45°，∵DC⊥BC，∴△DCE是等腰直角三角形，∴DC=CE=1.5m在Rt△DCF中，∠DFC=36.9°，DC=1.5∴DF=DC∴CF=D故答案為：1.5，2；（2）∵∠DEC=45°，∴∠AEB=45°，∴∠BAE=45°，∴AB=BE=163.3m由題意可知∠MDF=36.9°，∴∠GFB=∠DFC=∠MDF=36.9°∵EF=CF?CE=2?1.5=0.5(m∴BF=163.3?0.5=162.8(m在Rt△BFGBG=tan∴AG=163.3?122.1=41.2(m即“美”字的高度AG約為41.2m【變式7-2】（2024·山西大同·二模）2024年是甲辰龍年，在山西太原汾河景區(qū)有一條名為“中華第一巨龍”的景觀燈，某數(shù)學(xué)興趣小組準(zhǔn)備用所學(xué)的知識測量這條“巨龍”的龍頭頭頂A距離地面的高度AB（如圖），下面是他們的測量過程：小組成員在點(diǎn)C處測得BC與人行道的夾角為45°，測得龍頭頭頂A的仰角為28°；沿著人行道直行43m到達(dá)點(diǎn)D處，此時測得BD與人行道的夾角恰好也是45°．已知B，C，D三點(diǎn)在同一水平面上，A，B兩點(diǎn)在垂直于水平面的同一豎直直線上，即AB⊥BC，AB⊥BD，測角儀距地面的高度忽略不計(jì)，請根據(jù)以上測得的數(shù)據(jù)，估計(jì)龍頭頭頂A距離地面的高度AB．（結(jié)果精確到0.1m；參考數(shù)據(jù)：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，【答案】16.1【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用．先證明△BCD是等腰直角三角形，求得BC的長，在Rt△ABC【詳解】解：根據(jù)題意，得∠BCD=∠BDC=45°，∴∠CBD=90°，∴△BCD是等腰直角三角形，CD=43，∴BC=CD?sin∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，在Rt△ABC中，∠ACB=28°，tan∴AB=BC?tan答：龍頭頭頂A距離地面的高度AB約為16.1m【變式7-3】（2024·浙江寧波·三模）【問題背景】一旗桿直立（與水平線垂直）在不平坦的地面上（如圖1）．兩個學(xué)習(xí)小組為了測量旗桿的高度，準(zhǔn)備利用附近的小山坡進(jìn)行測量估算．【問題探究】如圖2，在坡角點(diǎn)C處測得旗桿頂點(diǎn)A的仰角∠ACE的正切值為3，山坡上點(diǎn)D處測得頂點(diǎn)A的仰角∠ADG的正切值為79．斜坡CD的坡比為1:2.4，兩觀測點(diǎn)CD的距離為26學(xué)習(xí)小組成員對問題進(jìn)行如下分解，請?zhí)剿鞑⑼瓿扇蝿?wù)．任務(wù)1：計(jì)算C，D兩點(diǎn)的垂直高度差．任務(wù)2：求頂點(diǎn)A到水平地面的垂直高度．【問題解決】為了計(jì)算得到旗桿AB的高度，兩個小組在共同解決任務(wù)1和2后，采取了不同的方案：小組一：在坡角點(diǎn)C處測得旗桿底部點(diǎn)B的仰角∠BCE的正切值為23小組二：在山坡上點(diǎn)D處測得旗桿底部點(diǎn)B的俯角∠GDB的正切值為115任務(wù)3請選擇其中一個小組的方案計(jì)算旗桿AB的高度．【答案】任務(wù)1：10米；任務(wù)2：38.7米；任務(wù)3：小組一：30.1米；小組二：31.16米【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用?仰角俯角，解直角三角形的應(yīng)用?坡度坡角，正確記憶相關(guān)知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．任務(wù)一，過點(diǎn)D作DH⊥CF，垂足為H，利用勾股定理求出CD，再求出DH的長即可；任務(wù)二，延長AB交FE的延長線于點(diǎn)M，延長DG交AB于點(diǎn)N，CM=x米，則DN=(x+24)米，利用三角函數(shù)求出AN和MN，即可求出AM；任務(wù)三，選擇任意一個方案，利用三角函數(shù)進(jìn)行求解即可．【詳解】解：任務(wù)1：過點(diǎn)D作DH⊥CF，垂足為H，∵斜坡CD的坡比為1:2.4，∴設(shè)DH=x米，則CH=2.4x米，在Rt△CDH中，CD=CH∵CD=26米，∴2.6x=26，解得：x=10，∴DH=10米，CH=24米，∴C，D兩點(diǎn)的垂直高度差為10米；任務(wù)2:延長AB交FE的延長線于點(diǎn)M，延長DG交AB于點(diǎn)N，由題意得：DH=NM=10米，DN=MH，設(shè)CM=x米，∵CH=24米，∴DN=MH=CM+CH=(x+24)米，在Rt△ACM中，tan∴AM=CM?tan∠ACM=3x（米)在Rt△ADN中，tan∴AN=DN?tan∵AM=AN+MN，∴3x=7解得：x=12.9，∴AM=3．x=38.7（米)，∴頂點(diǎn)A到水平地面的垂直高度為38.7米；任務(wù)3:若選擇小組一的方案：在Rt△BCM中，tan∠BCM=2∴BM=CM?tan∠BCM=12.9×2∴AB=AM?BM=38.7?8.6=30.1（米)，∴旗桿AB的高度為30.1米；若選擇小組二的方案：在Rt△DNB中，tan∠NDB=115，∴BN=DN?tan∠NDB=36.9×1在Rt△ADN中，tan∴AN=DN?tan∠ADN=36.9×7∴AB=AN+BN=28.7+2.46=31.16（米)，∴旗桿AB的高度為31.16米．【題型8與方位角有關(guān)的問題】【例8】（2024·上海浦東新·一模）如圖1是古代數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》中對“邑的計(jì)算”的相關(guān)研究．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組也類比進(jìn)行了如下探究：如圖2，正八邊形游樂城A1A2A3A4A5A6A7A8的邊長為22km，南門O設(shè)立在A6A(1)∠CA1A2=__________°(2)求點(diǎn)A1到道路BC(3)若該小組成員小李出南門O后沿道路MB向東行走，求她離B處不超過多少千米，才能確保觀察雕塑不會受到游樂城的影響？（結(jié)果精確到0.1km，參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，cos14°≈0.97，cot14°≈4，【答案】(1)90°，76°(2)2.0(3)24【分析】（1）求出正八邊形的一個外角的度數(shù)，再根據(jù)角的和差關(guān)系進(jìn)行求解即可；（2）過點(diǎn)A1作A1D⊥BC，垂足為D，解Rt△CA2A（3）連接CA8并延長交BM于點(diǎn)E，延長A1A8交BE于點(diǎn)G，過點(diǎn)A8作A8F⊥BC，垂足為【詳解】（1）解：∵正八邊形的一個外角的度數(shù)為：360°8∴∠CA1A（2）解：過點(diǎn)A1作A1D⊥BC∵∠C∴在Rt△CA2A1∴∠A∴CA在Rt△CA1∴A答：點(diǎn)A1到道路BC的距離為2.0（3）解：連接CA8并延長交BM于點(diǎn)E，延長A1A8交BE于點(diǎn)G，過點(diǎn)A∵正八邊形的外角均為45°，∴在Rt△A7∴FB=A又∵A8F=∴CB=CD+DF+FB=5+∵∠CFA∴Rt△C∴CFCB=∵2∴EB≈2.4km答：小李離點(diǎn)B不超過2.4km【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形的性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．【變式8-1】（2024·山東東營·一模）如圖，某海岸線M的方向?yàn)楸逼珫|75°，甲、乙兩船同時出發(fā)向C處海島運(yùn)送物資．甲船從港口A處沿北偏東45°方向航行，乙船從港口B處沿北偏東30°方向航行，其中乙船的平均速度為v．若兩船同時到達(dá)C處海島，求甲船的平均速度（結(jié)果用v表示）．【答案】甲船的平均速度約為2v【分析】本題考查了解直角三角形，30°角的直角三角形的性質(zhì)，過點(diǎn)C作CD⊥AM，垂足為D，構(gòu)造直角三角形，可得△ACD是含有30°角的直角三角形，△BCD是含有45°角的直角三角形，設(shè)CD=a，則BD=a，BC=2a，【詳解】如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AM，垂足為D，由題意，得∠CAD=75°?45°=30°，∠CBD=75°?30°=45°，設(shè)CD=a，∴BD=CDtan45°=a，∵兩船同時到達(dá)C處海島，∴ACv∴2av∴v甲答：甲船的平均速度約為2v【變式8-2】（2024·海南省直轄縣級單位·二模）如圖所示為某景區(qū)五個景點(diǎn)A、B、C、D、E的平面示意圖，B在A的正東方方向，D在A的北偏東60°方向上，與A相距300米，E在D的正東方向140米處，C在A的北偏東45°方向上，C、E均在B的正北方向．(1)填空：∠CAD=度，∠ADE=度；(2)求景點(diǎn)B、E之間的距離；(3)求景點(diǎn)A、C之間的距離．【答案】(1)15，150；(2)150米；(3)1506【詳解】（1）解：如圖：由題意得：∠FAD=60°，∠FAC=45°，∠FAB=90°，DE∥AB，∴∠CAD=∠FAD?∠FAC=15°，∠DAB=∠FAB?∠FAD=30°，∵DE∥AB，∴∠ADE=180°?∠DAB=150°，故答案為：15，150；（2）解：過點(diǎn)D作DH⊥AB，垂足為H，由題意得：DH=BE，AD=300米，在Rt△ADH中，∠DAH=30°∴DH=12AD=150∴BE=DH=150米，∴景點(diǎn)B、E之間的距離為150米；（3）解：由題意得：DE=BH=140米，BC⊥AB，在Rt△ADH中，∠DAH=30°，DH=150∴AH=3DH=1503∴AB=AH+BH=(1503在Rt△ABC中，∠CAB=∠FAB?∠FAC=45°∴AC=AB∴景點(diǎn)A、C之間的距離為(1506【變式8-3】（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測）北京冬奧村的餐廳由機(jī)器人送餐．一送餐機(jī)器人從世界餐臺A處向正南方向走200米到達(dá)亞洲餐臺B處，再從B處向正東方向走500米到達(dá)中餐餐臺C處，然后從C處向北偏西37°走到就餐區(qū)D處，最后從D回到A處，已知就餐區(qū)D在A的北偏東73°方向，求中餐臺C到就餐區(qū)D（即CD）的距離．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)值：sin73°≈1920，cos73°≈29100，tan73°≈

【答案】約為357米【分析】本題主要考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)D作DM⊥BC，垂足為M，過點(diǎn)A作AN⊥DM，垂足為N，根據(jù)三角函數(shù)值計(jì)算得出MC=15007m【詳解】解：如圖，過點(diǎn)D作DM⊥BC，垂足為M，過點(diǎn)A作AN⊥DM，垂足為N，由題意得，AB=200m，BC=500則四邊形ABMN、ANDE、CFDM都是矩形，∴∠ADN=∠DAE=73°,∠MDC=∠DCF=37°，設(shè)MC=x米，則BM=AN=(500?x)米，在Rt△ADN∵tan∠ADN=AN∴DN=1500?3x在Rt△DMC∵tan∠MDC=MC∴DM=4x又∵DM?DN=MN=AB=200米，∴4x解得x=1500即MC=1500在Rt△DMC∵sin∠MDC=MC∴DC=2500答：中餐臺C到就餐區(qū)D(即CD)的距離約為357米．【題型9與坡角、坡度有關(guān)的問題】【例9】（2024·河北石家莊·模擬預(yù)測）為打造旅游休閑城市，某村莊為吸引游客，沿綠道旁的母親河邊打造噴水景觀（如圖1）．為保持綠道地面干燥，水柱呈拋物線狀噴入母親河中．圖2是其截面圖，已知綠道路面寬OA=3.5米，河道壩高AE=5米，壩面AB的坡比為i=1:0.5（其中i=tan∠ABE），當(dāng)水柱離噴水口以O(shè)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，解決問題：(1)求水柱所在拋物線的解析式；(2)出于安全考慮，在河道的壩邊A處安裝護(hù)欄，若護(hù)欄高度為1.2米，判斷水柱能否噴射到護(hù)欄上，說明理由；(3)河中常年有水，但一年中河水離地平面的距離會隨著天氣的變化而變化，水柱落入水中能蕩起美麗的水花，從美觀角度考慮，水柱落水點(diǎn)要在水面上；①河水離地平面AD距離為多少時，剛好使水柱落在壩面截線AB與水面截線的交點(diǎn)處？②為保證水柱的落水點(diǎn)始終在水面上，決定安裝可上下伸縮的噴水口，設(shè)壩中水面離地平面距離為h米，噴水口離地平面的最小高度m隨著h的變化而變化，直接寫出m與h的關(guān)系式．【答案】(1)y=?(2)不能，理由見詳解(3)①73米，②【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，坡度比，解題時要熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)并能運(yùn)用待定系數(shù)法求解析式是關(guān)鍵．（1）依據(jù)題意得：二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為2,3．故設(shè)該二次函數(shù)的解析式為：y=ax?22+3（2）依據(jù)題意，由（1）該二次函數(shù)的解析式為：y=?34x?22+3（3）①先求出A3.5,0，B的坐標(biāo)為6,?5，再設(shè)AB的解析式為y1=kx+bk≠0，建立方程組可得k，b進(jìn)而可得直線AB，再與拋物線解析式建立方程組，進(jìn)而計(jì)算可以判斷得解；②根據(jù)平移可得新的拋物線解析式為：y=?34x?22+3+m，結(jié)合壩面AB的坡比為i=1:0.5，根據(jù)①中求解點(diǎn)B【詳解】（1）由題意得：二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為2,3．∴設(shè)該二次函數(shù)的解析式為：y=ax?2∵二次函數(shù)經(jīng)過原點(diǎn)，∴4a+3=0，解得：a=?3∴該二次函數(shù)的解析式為：y=?3（2）水柱不能噴射到護(hù)欄上，理由如下：當(dāng)x=3.5時，y=?3∵1.3125>1.2，∴水柱不能噴射到護(hù)欄上；（3）①∵河道壩高AE=5米，壩面AB的