17-第一章習(xí)題課(概率統(tǒng)計(jì)簡明版)

第一章隨機(jī)事件及其概率習(xí)題課一從客觀存在的兩類現(xiàn)象——確定性現(xiàn)象和隨機(jī)現(xiàn)象——出發(fā),考察隨機(jī)試驗(yàn)及其隨機(jī)試驗(yàn)的三個(gè)特點(diǎn).將隨機(jī)試驗(yàn)出現(xiàn)的每一個(gè)可能結(jié)果定義為樣本點(diǎn),所有的樣本點(diǎn)組成樣本空間,樣本空間的子集定義為隨機(jī)事件,從而將集合論的基本理論引入概率論中.內(nèi)容簡介:對(duì)于隨機(jī)事件,首先,研究了事件之間的各種關(guān)系,提出了和事件、積事件、差事件、對(duì)立事件、互不相容事件、完備事件組等概念.其次,定義了在每一次試驗(yàn)中事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)量指標(biāo)——概率.第三,分析了兩個(gè)事件發(fā)生的先后影響關(guān)系——條件概率問題.第四,分析了兩個(gè)事件或多個(gè)事件的橫向影響關(guān)系,建立了事件的獨(dú)立性理論.本章重點(diǎn):1.隨機(jī)事件的概念及其有關(guān)運(yùn)算;2.概率的定義及其計(jì)算;3.乘法公式、全概率公式、貝葉斯公式及應(yīng)用;4.條件概率的問題及有關(guān)運(yùn)算;5.事件的獨(dú)立性.

1.用集合表示樣本空間和事件;

2.乘法公式、全概率公式、貝葉斯公式及其應(yīng)用;本章難點(diǎn)：3.隨機(jī)事件的獨(dú)立性.1.全概率公式P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+…+P(Bn)P(A|Bn)=.

特別地,

設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為S,B1,B2,…,Bn為S的一個(gè)劃分,且P(Bi)>0(i=1,2,…,n),則對(duì)E的任一事件A,有

(1)全概率公式是計(jì)算概率的一個(gè)很重要的公式,通常把B1,B2,…,Bn看成導(dǎo)致A發(fā)生的一組原因(或情形).如若A是{次品},則必是n個(gè)車間生產(chǎn)了次品;若A是{某人患某種疾病},則必是幾種病因?qū)е铝薃發(fā)生;若A表示{飛機(jī)被擊中},則必有幾種方式或幾個(gè)人擊中飛機(jī).講評(píng)(3)如何用全概率公式:將“幾種情形”構(gòu)成完備事件組，或?qū)⒌谝淮卧囼?yàn)的樣本空間分解成兩兩互斥的完備事件組.(2)何時(shí)用全概率公式:所論結(jié)果的發(fā)生是由幾種情形導(dǎo)致的，或所論問題一般出現(xiàn)先后兩次試驗(yàn).2.逆概率公式(貝葉斯公式)設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為S，A為E的事件,B1,B2,…,Bn為樣本空間S的一個(gè)劃分,且P(A)>0,

P(Bi)>0(i=1,2,…,n),則P(Bi|A)==（i=1,2,…,n).特別地，

(1)貝葉斯公式可以這樣記憶:分母為全概率公式,是n項(xiàng)之和；分子是分母中的某一項(xiàng)(2)如何用貝葉斯公式：參見全概率公式.講評(píng)3.隨機(jī)事件的獨(dú)立性設(shè)A,B是兩個(gè)事件,若滿足等式P(AB)=P(A)P(B),

則稱事件A與B是相互獨(dú)立的,簡稱A,B獨(dú)立.則稱這n個(gè)事件相互獨(dú)立.設(shè)A1,A2,…,An是n(n≥2)個(gè)事件,如果對(duì)于任意的k(2≤k≤n)個(gè)事件,都有推廣設(shè)A1,A2,…,An是n(n≥2)個(gè)事件,如果對(duì)于任意的兩個(gè)事件,都有則稱這n個(gè)事件兩兩獨(dú)立.講評(píng)兩兩獨(dú)立.(2)A1,A2,…,An相互獨(dú)立A1,A2,…,AnA1,A2,…,An兩兩相互獨(dú)立A1,A2,…,An

相互獨(dú)立.,與B

四對(duì)事件或者都獨(dú)立,或者都不獨(dú)立.(1)若四對(duì)事件A與B,A與與

中有一對(duì)獨(dú)立,則另外三對(duì)也獨(dú)立,即這

(3)不要把兩個(gè)事件的獨(dú)立性與互不相容混為一談.獨(dú)立與互斥之間沒有必然的互推關(guān)系.但有結(jié)論:若A與B互斥,且P(A)>0,P(B)>0,則A與B不獨(dú)立.用定義即可得證.特別地,三個(gè)隨機(jī)事件A1,A2,A3相互獨(dú)立與兩兩獨(dú)立是不同的兩個(gè)概念.

(4)若n(n≥2)個(gè)事件A1,A2,…,An相互獨(dú)立,則將A1,A2,…,An中任意多個(gè)事件換成它們的對(duì)立事件,所得的n個(gè)事件仍相互獨(dú)立.

例1有兩個(gè)盒子,第一盒中裝有2個(gè)紅球1個(gè)黑球,第二盒中裝有2個(gè)紅球2個(gè)黑球.現(xiàn)從這兩盒中任取一球放在一起,在從中任取一球.

(1)求這個(gè)球是紅球的概率;

(2)若發(fā)現(xiàn)這個(gè)球是紅球,問來自第一個(gè)盒子的概率是多少？

4.全概率公式與貝葉斯公式應(yīng)用分析第一問取得紅球是分兩種情形實(shí)現(xiàn)的,此問題是全概率類型問題.第二問是在知道試驗(yàn)結(jié)果是紅球的前提下,問來自第一個(gè)盒子的概率,該問題屬于逆概率類型.(1)設(shè)A表示{取到一個(gè)紅球},Bi表示{從第i個(gè)盒中取出一個(gè)紅球}(i=1,2),則B1，B2獨(dú)立.于是解由全概率公式有(2)由貝葉斯公式，得到全概率公式是概率論中一個(gè)很重要的公式,使用全概率公式時(shí)應(yīng)注意:(1)何時(shí)用全概率公式:通常所論問題出現(xiàn)先后兩次試驗(yàn),或結(jié)果發(fā)生是由幾種情形導(dǎo)致的.此題屬于后一種情況.講評(píng)(2)如何用全概率公式:將第一次試驗(yàn)的樣本空間分解成兩兩互斥的完備事件組,或者“幾種情形”處理成完備事件組.此題屬于后一種情況.擴(kuò)展

(1)

判斷求解的問題是否是全概率類型;

(2)若是全概率類型,正確假設(shè)事件A及完備事件組B1,B2,…,Bn;(3)計(jì)算出P(Bi)及P(A|Bi);

(4)代入全概率公式，求得概率P(A).可以得出用全概率公式解題的一般程序:

5.事件的獨(dú)立性應(yīng)用問題

例2

一工人看管三臺(tái)機(jī)床,在一小時(shí)內(nèi)甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床需該工人照看的概率分別為0.9,0.8和0.85.求：在一小時(shí)中，

(1)沒有機(jī)床需要照看的概率;

(2)至少有一臺(tái)機(jī)床不需要照看的概率; (3)至多有一臺(tái)機(jī)床需要照看的概率.三臺(tái)機(jī)床需不需要工人照看是相互獨(dú)立的,因此應(yīng)按照事件的獨(dú)立性去考慮.注意此題沒有明確指出獨(dú)立性條件.分析

設(shè)Ai表示{第i臺(tái)機(jī)床需要照看}(i=1,2,3),A表示{沒有一臺(tái)機(jī)床需要照看},B表示{至少有一臺(tái)機(jī)床不需要照看},C表示{至多有一臺(tái)機(jī)床需要照看}.于是由A1，A2，A3相互獨(dú)立，得到解也相互獨(dú)立.(1)(2)(3)(1)本題考查相互獨(dú)立與對(duì)立事件的知識(shí)點(diǎn).講評(píng)

(2)處理有關(guān)“至少”或“至多”的問題時(shí),?？紤]它的對(duì)立事件,用對(duì)立事件概率公式去解決.在實(shí)際應(yīng)用中,判斷事件是否相互獨(dú)立,一是審查題目是否已經(jīng)給出獨(dú)立條件,二是根據(jù)一事件的發(fā)生是否影響另一事件的發(fā)生來判斷.此題屬于后者.擴(kuò)展

學(xué)習(xí)與研究方法(1)映射反演法將隨機(jī)事件看作集合,用已經(jīng)掌握的集合理論建立和分析隨機(jī)事件間的各種關(guān)系.

(2)抽象概括法從日?！邦l率”概念抽象為隨機(jī)事件的“概率”定義.這是從普通的常用的“概念”上升為嚴(yán)格的數(shù)學(xué)意義上的“定義”的常用方法.

(3)與這種“客觀概率”體系對(duì)應(yīng)的有“主觀概率”理論體系主觀概率的應(yīng)用主要是經(jīng)濟(jì)決策問題.例如原材料漲價(jià)的機(jī)會(huì)有多大？市場(chǎng)容量處于某個(gè)范圍的機(jī)會(huì)有多大？這些都需要數(shù)量上的估計(jì).然而，事情本身又不可能進(jìn)行大量的重復(fù)試驗(yàn).主觀概率還廣泛應(yīng)用于數(shù)據(jù)分析.在許多情況下,我們對(duì)某件事情做出估計(jì)和判斷，須憑我們事先掌握的數(shù)據(jù).但有些時(shí)候,我們掌握的數(shù)據(jù)不完全,因此需要和主觀判斷結(jié)合起來進(jìn)行估計(jì)與判斷.

(4)混沌現(xiàn)象在客觀世界中,除了確定性現(xiàn)象和隨機(jī)現(xiàn)象之外,還存在著混沌現(xiàn)象等其它現(xiàn)象.混沌現(xiàn)象是指發(fā)生在確定性系統(tǒng)中的貌似隨機(jī)的不規(guī)則運(yùn)動(dòng),其行為主要表現(xiàn)為不確定性——不可重復(fù)、不可預(yù)測(cè).例如,蝴蝶效應(yīng)、湍流、昆蟲繁衍、機(jī)床切削金屬時(shí)或打印機(jī)機(jī)頭因沖擊而引起的振動(dòng)等,都是混沌現(xiàn)象.

習(xí)題布置

P38：1、5、11、14、16.參考文獻(xiàn)與聯(lián)系方式[1]鄭一，王玉敏，馮寶成.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì).中國科學(xué)技術(shù)出版社，2007年11月.[2]鄭一，王玉敏，戚云松.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)輔助教材.中國科學(xué)技術(shù)出版社，2007年11月.[3]鄭一，馮寶成，戚