2017年中考數(shù)學(xué)專題3《規(guī)律探究》

解答壓軸題突破專題三規(guī)律探究在課改以后的中考數(shù)學(xué)命題中,各地都十分重視規(guī)律探究的考查,各省市數(shù)學(xué)中考試題中基本上每年都有這樣的題目,安徽省更是如此.安徽省的中考數(shù)學(xué)試題,不但每年都有這類試題,而且近五年的中考中,除去2015年的第13題是一個填空題外,其余4年都是以解答題的形式出現(xiàn)的,如2016年的第18題、2014年的第16題、2013年的第18題、2012年的第17題都是分值為8分的解答題,可見安徽省對這類考題的重視程度.這類試題通常有數(shù)字變化類規(guī)律探究、圖形變化類規(guī)律探究、數(shù)形結(jié)合變化類規(guī)律探究等,它的選材不只限于教材上的代數(shù)知識或幾何知識(材料涉及的知識點并不是考查的重點,而只是考查考生分析歸納能力的載體),所以解答此類問題,相關(guān)的知識和技能只是基礎(chǔ),重要的是具備對問題觀察、分析、歸納、解決的能力.從考生近幾年的答題情況看,規(guī)律探究性題目確實具有一定的區(qū)分度,對選拔高素質(zhì)的人才可以說是居功至偉.預(yù)測2017年的安徽省中考數(shù)學(xué),肯定也會考一個規(guī)律探究題,可能是填空題,更有可能是解答題,難度會在中等以上.新課標(biāo)核心要求,用代數(shù)式表示數(shù)量關(guān)系及所反映的規(guī)律,考查考生的抽象思維能力,根據(jù)一列數(shù)或一組圖形的特例進(jìn)行歸納,猜想,找出一般規(guī)律,進(jìn)而列出通用的代數(shù)式,稱之為規(guī)律探究,一般有數(shù)字變化類規(guī)律探究、圖形變化類規(guī)律探究、數(shù)形結(jié)合變化類規(guī)律探究.數(shù)字變化類規(guī)律探究,即是通常給定一些數(shù)字、代數(shù)式、等式或不等式,然后猜想其中蘊含的規(guī)律,反映了由特殊到一般的數(shù)學(xué)方法,考查考生的分析、歸納、抽象、概括能力.一般解法是先寫出數(shù)式的基本結(jié)構(gòu),然后通過橫比(比較同一等式中不同部分的數(shù)量關(guān)系)或縱比(比較不同等式間相同位置的數(shù)量關(guān)系)找出各部分的特征,改寫成要求的格式.數(shù)字變化類規(guī)律探究既是規(guī)律探究問題中的基礎(chǔ),也是規(guī)律探究的重點.圖形變化類規(guī)律探究,即是給定一些結(jié)構(gòu)類似、數(shù)量和位置不同的幾何圖案,這些圖案之間有一定的規(guī)律,并且還可以由一個通用的代數(shù)式來表示.這種探索圖形構(gòu)成元素規(guī)律的試題,解決思路有兩種:一種是數(shù)圖形,將圖形轉(zhuǎn)化為數(shù)字規(guī)律,再用函數(shù)法、觀察法解決問題;另一種是通過圖形的直觀性,從圖形中直接尋找規(guī)律,常用“拆圖法”解決問題.數(shù)形結(jié)合變化類規(guī)律探究,其實質(zhì)是數(shù)字規(guī)律探究和圖形規(guī)律探究的結(jié)合,其特點就是二者兼而有之.題型2題型1題型3題型1數(shù)字變化類規(guī)律探究典例1觀察下列等式:①9×0+1=1;②9×1+2=11;③9×2+3=21;④9×3+4=31;……(1)請按以上規(guī)律寫出第5個等式:;

(2)請用含字母n的式子表示第n個等式:;

(3)試說明以上規(guī)律的正確性.題型2題型1題型3【解析】觀察以上4個等式的構(gòu)成規(guī)律,不難發(fā)現(xiàn):以上等式都有4項,第1項都是9;第2,3兩項均是連續(xù)自然數(shù),且第3項比第2項大1;第4項是整十再加1.歸納出這些規(guī)律后,不難完成第(1),(2)兩題.第(3)題又回到邏輯推理,將等式兩邊分別計算即可.【答案】(1)9×4+5=41;(2)9(n-1)+n=10(n-1)+1;(3)左邊=9n-9+n=10n-9,右邊=10n-10+1=10n-9,∴左邊=右邊,即9(n-1)+n=10(n-1)+1.【方法指導(dǎo)】數(shù)字類規(guī)律問題一般先觀察一列數(shù)字的規(guī)律,觀察分析、歸納猜想得出一般性的結(jié)論,再驗證,從而得到問題的答案.題型2題型1題型3題型2圖形變化類規(guī)律探究典例2(2016·馬鞍山五校聯(lián)考)如圖,一個3×2的矩形(即長為3,寬為2)可以用兩種不同方式分割成3個或6個邊長是正整數(shù)的小正方形,即:小正方形的個數(shù)最多是6個,最少是3個.(1)一個5×2的矩形用不同的方式分割后,小正方形的個數(shù)最多是個,最少是個;

(2)一個7×2的矩形用不同的方式分割后,小正方形的個數(shù)最多是個,最少是個;

(3)一個(2n+1)×2的矩形用不同的方式分割后,小正方形的個數(shù)最多是個;最少是個.(n是正整數(shù))

題型2題型1題型3【解析】本題考查探究圖形的變化規(guī)律,找出圖形的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.(1)一個5×2的矩形最少可分成4個正方形,最多可分成10個正方形;(2)一個7×2的矩形最少可分成5個正方形,最多可分成14個正方形;(3)第一個圖形:是一個3×2的矩形,最少可分成1+2個正方形,最多可分成3×2個正方形;第二個圖形:是一個5×2的矩形,最少可分成2+2個正方形,最多可分成5×2個正方形;第三個圖形:是一個7×2的矩形,最少可分成3+2個正方形,最多可分成7×2個正方形;…;第n個圖形:是一個(2n+1)×2的矩形,最少可分成n+2個正方形,最多可分成2(2n+1)=4n+2個正方形.【答案】(1)10,4;(2)14,5;(3)4n+2,n+2.題型2題型1題型3題型3數(shù)形結(jié)合變化類規(guī)律探究典例3如圖,在函數(shù)y=(x>0)的圖象上有點P1,P2,P3,…,Pn,Pn+1,點P1的橫坐標(biāo)為2,且后面每個點的橫坐標(biāo)與它前面相鄰點的橫坐標(biāo)的差都是2,過點P1,P2,P3,…,Pn,Pn+1分別作x軸、y軸的垂線段,構(gòu)成若干個矩形,如圖所示,將圖中陰影部分的面積從左至右依次記為S1,S2,S3,…,Sn.(1)S1=;

(2)求Sn的表達(dá)式.(用含n的代數(shù)式表示)題型2題型1題型3【解析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)依次得出點P1,P2,…,Pn的坐標(biāo),再依次求解S1,S2,…,Sn即可.213456789101.(2016·合肥高新區(qū)一模)觀察下列等式:30=1,31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2187,…,解答下列問題:3+32+33+…+32015的末位數(shù)字是9.

【解析】∵31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2187,…,∴末位數(shù)字每4個一循環(huán).∵2015÷4=503……3,∴3+32+33+34+…+32015的末位數(shù)字相當(dāng)于:3+9+7+1+…+3+9+7=(3+9+7+1)×503+19=10079的末位數(shù)字,應(yīng)為9.213456789102.(2016·湖南衡陽)如圖所示,1條直線將平面分成2個部分,2條直線最多可將平面分成4個部分,3條直線最多可將平面分成7個部分,4條直線最多可將平面分成11個部分.現(xiàn)有n條直線最多可將平面分成56個部分,則n的值為10.

【解析】由圖可知,(1)有1條直線時,分成1+1=2個部分;(2)有2條直線時,最多分成1+1+2=4個部分;(3)有3條直線時,最多分成1+1+2+3=7個部分;(4)有4條直線時,最多分成1+1+2+3+4=11個部分;…;(n)有n條直線時,最多分成1+1+2+3+…+(n-1)+n=1+=56,整理得n2+n-110=0,解得n=10或n=-11(舍去).213456789103.(2016·甘肅天水)將一些相同的“○”按如圖所示的規(guī)律依次擺放,觀察每個“龜圖”中“○”的個數(shù),若第n個“龜圖”中有245個“○”,則n=16.

【解析】觀察圖形,發(fā)現(xiàn)每個“龜圖”中“○”的個數(shù)為:第一個:1+4=1+4+0×1;第二個:1+4+2=1+4+1×2;第三個:1+4+6=1+4+2×3;第四個:1+4+12=1+4+3×4;…;第n個:1+4+(n-1)·n=n2-n+5,所以n2-n+5=245,解得n1=16,n2=-15(舍去),故n=16.213456789104.(2016·湖北黃石)觀察下列等式:按上述規(guī)律,回答下列問題:(1)請寫出第n個等式:an=;

(2)a1+a2+a3+…+an=.

21345678910213456789105.(2016·安慶一模)觀察下列等式:…(1)請寫出第四個等式:.

(2)觀察上述等式的規(guī)律,猜想第n個等式(用含n的式子表示),并證明其正確性.21345678910213456789106.操作:將一個邊長為1的等邊三角形(如圖1)的每一邊三等分,以居中那條線段為底邊向外作等邊三角形,并去掉所作的等邊三角形的一條邊,得到一個六角星(如圖2),稱為第一次分形.接著對每個等邊三角形凸出的部分繼續(xù)上述過程,即在每條邊三等分后的中段向外畫等邊三角形,得到一個新的圖形(如圖3),稱為第二次分形.不斷重復(fù)這樣的過程,就能得到雪花曲線.問題:(1)從圖形的對稱性觀察,圖4是圖形(軸對稱或中心對稱圖形);

(2)圖2的周長為;

(3)試猜想第n次分形后所得圖形的周長為.

21345678910213456789107.如圖,在直角坐標(biāo)系中,第一次將△OAB變換成△OA1B1,第二次將△OA1B1變換成△OA2B2,第三次將△OA2B2變換成△OA3B3,依此類推,已知A(1,3),A1(2,3),A2(4,3),A3(8,3),…,B(2,0),B1(4,0),B2(8,0),B3(16,0),…(1)觀察每次變換后的三角形,找出規(guī)律,按此規(guī)律再將△OA3B3變換成△OA4B4,則A4的坐標(biāo)為,B4的坐標(biāo)為;

(2)若按上述規(guī)律,將△OAB進(jìn)行n次變換,得△OAnBn,比較每次變換三角形頂點的變化規(guī)律,探索頂點An的坐標(biāo)為,頂點Bn的坐標(biāo)為.

21345678910解:由A(1,3),A1(2,3),A2(4,3),A3(8,3),…,知縱坐標(biāo)為3,橫坐標(biāo)都和2有關(guān),為2n,∴An(2n,3).由B(2,0),B1(4,0),B2(8,0),B3(16,0),…,知縱坐標(biāo)為0,橫坐標(biāo)都和2有關(guān),為2n+1,∴B的坐標(biāo)為Bn(2n+1,0).故答案為(1)(16,3),(32,0);(2)(2n,3),(2n+1,0).213456789108.(2016·蕪湖南陵一模)正方形ABCD內(nèi)部有若干個點,用這些點以及正方形ABCD的頂點A,B,C,D把原正方形分割成一些三角形(互相不重疊):(1)填寫下表:(2)原正方形能否被分割成2016個三角形?若能,求此時正方形ABCD內(nèi)部有多少個點?若不能,請說明理由.21345678910解:(1)如圖:(2)能,1007個點.設(shè)點數(shù)為n,則2(n+1)=2016,解得n=1007,答:原正方形能被分割成2016個三角形,此時正方形ABCD內(nèi)部有1007個點.213456789109.(2016·合肥蜀山區(qū)模擬)如圖是用圍棋子擺成的一列具有一定規(guī)律的“山”字.(1)擺第一個圖形用枚圍棋子,擺第二個圖形用枚圍棋子,擺第三個圖形用枚圍棋子;

(2)按照這種方式擺下去,擺第n個圖形用枚圍棋子;

(3)當(dāng)擺放502枚圍棋子時是第幾個“山”字?解:(1)第1個“山”字中的圍棋子個數(shù)是7;第2個“山”字中的圍棋子個數(shù)是12;第3個“山”字中的圍棋子個數(shù)是17.(2)結(jié)合圖形,發(fā)現(xiàn):第n個“山”字中的圍棋子個數(shù)是3(n+1)+2n-1=5n+2.(3)5n+2=502,解得n=100,所以當(dāng)擺放502枚圍棋子時是第100個“山”字.2134567891010.畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對“數(shù)”與“形”的巧妙結(jié)合作了如下研究:請寫出第六層各個圖形的幾何點數(shù),并歸納出第n層各個圖形的幾何點數(shù).21345678910解:∵三角形數(shù)前三層的幾何點數(shù)分別是1,2,3,∴第六層的幾何點數(shù)是6,第n層的幾何點數(shù)是n;∵正方形數(shù)前三層的幾何點數(shù)分別是1=2×1-1,3=