2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-專題6 第1講 直線與圓【課件】

第1講直線與圓專題六2025內(nèi)容索引0102必備知識(shí)?精要梳理關(guān)鍵能力?學(xué)案突破必備知識(shí)?精要梳理1.兩條直線平行與垂直的判定(1)若兩條不重合的直線l1,l2的斜率k1,k2存在,則①兩直線平行l(wèi)1∥l2?k1=k2;②兩直線垂直l1⊥l2?k1·k2=-1.需注意分析兩直線斜率是否有不存在的情況

(2)已知直線l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同時(shí)為零),l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同時(shí)為零),則l1⊥l2?A1A2+B1B2=0;l1∥l2?A1B2-A2B1=0,且A1C2-A2C1≠0.名師點(diǎn)析1.對(duì)兩條不重合的直線,當(dāng)斜率都不存在時(shí),兩直線平行;當(dāng)一條直線的斜率為0,另一條直線的斜率不存在時(shí),兩直線垂直,此種情形易忽略.2.直線的一般式方程中,垂直與平行的充要條件包含了直線斜率不存在的情況.2.兩個(gè)距離公式

誤區(qū)警示應(yīng)用兩平行線間距離公式時(shí),注意兩平行線方程中x,y的系數(shù)應(yīng)對(duì)應(yīng)相等.3.圓的方程(1)標(biāo)準(zhǔn)方程:(x-a)2+(y-b)2=r2,圓心為(a,b),半徑為r.(2)一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).不滿足這個(gè)條件的方程不表示圓

(3)以A(x1,y1),B(x2,y2)為直徑的圓的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.關(guān)鍵能力?學(xué)案突破突破點(diǎn)一直線的方程[例1-1]“m=-1”是“直線x+my-2m+2=0與直線mx+y-m+1=0平行”的(

)A.充要條件

B.充分不必要條件C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件A解析

若直線x+my-2m+2=0與直線mx+y-m+1=0平行,則m2-1=0,∴m=±1.當(dāng)m=1時(shí),兩條直線都為x+y=0,即重合,舍掉;當(dāng)m=-1時(shí),直線分別為x-y+4=0,x-y-2=0,符合題意.故“m=-1”是“直線x+my-2m+2=0與直線mx+y-m+1=0平行”的充要條件.[例1-2]三角形的重心、垂心、外心在同一條直線上,我們把這條直線稱為該三角形的歐拉線.若△ABC的頂點(diǎn)都在圓x2+y2=4上,邊AB所在的直線方程為x+2y=1,且AC=BC,則△ABC的歐拉線方程為

.

答案

2x-y=0

解析

由題意可得△ABC的歐拉線過圓心(0,0)且與直線x+2y=1垂直,所以歐拉線方程的斜率為2,所以△ABC的歐拉線方程為2x-y=0.[例1-3]已知A(4,-3),B(2,-1)和直線l:4x+3y-2=0,若在坐標(biāo)平面內(nèi)存在一點(diǎn)P,使|PA|=|PB|,且點(diǎn)P到直線l的距離為2,則P點(diǎn)坐標(biāo)為

.

解題心得解直線方程問題注意幾個(gè)誤區(qū)(1)求解兩條直線平行的問題時(shí),在利用A1B2-A2B1=0建立方程求出參數(shù)的值后,要注意代入檢驗(yàn),排除兩條直線重合的可能性.如例1-1.(2)若已知點(diǎn)到直線的距離求直線方程,一般考慮待定斜率法,此時(shí)必須討論斜率是否存在.(3)求兩條平行線間的距離要先將直線方程中x,y的對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)轉(zhuǎn)化成相等的形式,再利用距離公式求解.也可以轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到直線的距離問題.對(duì)點(diǎn)練1(1)若平面內(nèi)兩條平行線l1:x+(a-1)y+2=0,l2:ax+2y+1=0間的距離為,則實(shí)數(shù)a的值是(

)A.-2 B.-2或1 C.-1 D.-1或2C(2)圓x2+y2+4y=0的圓心到經(jīng)過點(diǎn)M(-3,-3)的直線l的距離為,則直線l的方程為(

)A.x+2y-9=0或2x-y+3=0B.x+2y+9=0或2x-y+3=0C.x+2y+9=0或2x-y-3=0D.x-2y+9=0或2x-y+3=0B所以直線l的方程為x+2y+9=0或2x-y+3=0.當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),直線l的方程為x=-3,此時(shí)圓心(0,-2)到直線的距離為3,不滿足題意.綜上,直線l的方程為x+2y+9=0或2x-y+3=0.(3)唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說:“白日登山望烽火,黃昏飲馬傍交河.”詩中延伸出一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題,即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā),先到河邊飲馬后再回到軍營,怎樣走才能使總路程最短?在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)軍營所在位置為B(-1,-4),若將軍從點(diǎn)A(-1,2)處出發(fā),河岸線所在直線方程為x+y=3.則“將軍飲馬”的最短總路程為(

)C解析

如圖所示,設(shè)點(diǎn)B關(guān)于直線x+y=3的對(duì)稱點(diǎn)為C(a,b),突破點(diǎn)二圓的方程[例2-1]已知圓C的圓心坐標(biāo)是(0,m),若直線2x-y+3=0與圓C相切于點(diǎn)A(-2,-1),則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

.

x2+(y+2)2=5[例2-2](2022·全國乙,理14)過四點(diǎn)(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為

.

[例2-3](2024·廣西桂林、來賓、北海三模)在中國傳統(tǒng)文化中,“九”被視為至尊之?dāng)?shù),象征長(zhǎng)壽、福氣和完美,若直線l與圓C相切,直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距均為9,圓C的半徑為9,點(diǎn)C到x軸的距離為9,則圓C的一個(gè)方程為

.

(答案不唯一)規(guī)律方法求圓的方程的兩種方法(1)幾何法:通過研究圓的性質(zhì)、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系,進(jìn)而求得圓的基本量和方程.(2)代數(shù)法:即用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程,再由條件求得各系數(shù).對(duì)點(diǎn)練2(1)已知圓C的圓心在x軸的正半軸上,且圓心到直線2x-y=0的距離為,若點(diǎn)M(0,)在圓C上,則圓C的方程為

.

(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線l:x+2y=4與x軸交于A點(diǎn),直線m:kx+y-1=0與y軸及直線l分別交于B點(diǎn)、C點(diǎn),且A,B,C,O四點(diǎn)共圓,則此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

.

(3)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A為直線l:y=3x上在第三象限內(nèi)的點(diǎn),B(-10,0),以線段AB為直徑的圓C(C為圓心)與直線l相交于另一個(gè)點(diǎn)D,AB⊥CD,則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

.

(2)由題意A,B,C,O四點(diǎn)共圓且OA⊥OB,所以CB⊥CA,則直線l與m垂直,故k=-2.(3)根據(jù)題意,設(shè)A的坐標(biāo)為(2a,6a),其中a<0,又由B(-10,0),則AB的中點(diǎn)C的坐標(biāo)為(a-5,3a),則以AB為直徑的圓的方程為(x-2a)(x+10)+y(y-6a)=0.突破點(diǎn)三直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系命題角度1

直線與圓的位置關(guān)系A(chǔ)A解析

圓M:x2+y2-4x-6y+12=0化成標(biāo)準(zhǔn)形式為(x-2)2+(y-3)2=1,故圓心為M(2,3),半徑為1,直線與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A(4,0),點(diǎn)B(0,2).如圖,當(dāng)∠PAB最小時(shí),PA與圓M相切,連接MP,AM,因?yàn)镻M⊥PA,B2.直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法(1)點(diǎn)線距離法.設(shè)圓心到直線的距離為d,圓的半徑為r,則d<r?直線與圓相交,d=r?直線與圓相切,d>r?直線與圓相離.(2)判別式法.設(shè)圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2,直線l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0),聯(lián)立方程組

消去y,得到關(guān)于x的一元二次方程,其根的判別式為Δ,則①直線與圓相離?Δ<0;②直線與圓相切?Δ=0;③直線與圓相交?Δ>0.對(duì)點(diǎn)練3(1)(多選題)(2024·湖南衡陽二模)已知圓C:x2+y2=4,P是直線l:x+y-6=0上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作直線PA,PB分別與圓C相切于點(diǎn)A,B,則(

)BCD(2)(2023·新高考Ⅱ,15)已知直線x-my+1=0與☉C:(x-1)2+y2=4交于A,B兩點(diǎn),寫出滿足“△ABC面積為”的m的一個(gè)值

.

2命題角度2

圓與圓的位置關(guān)系[例3-4]已知圓C1:x2+y2-2x+my+1=0(m∈R)關(guān)于直線x+2y+1=0對(duì)稱,圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x+2)2+(y-3)2=16,則圓C1與圓C2的位置關(guān)系是(

)A.相離

B.相切

C.相交

D.內(nèi)含B[例3-5]圓C1:(x-1)2+(y-2)2=4與圓C2:x2+y2-4x-2y+1=0相交于A,B兩點(diǎn),則過A,B兩點(diǎn)的直線方程為

,A,B兩點(diǎn)間的距離為

.

答案

解析

根據(jù)題意,圓C1:(x-1)2+(y-2)2=4,其圓心為C1(1,2),半徑r=2,其一般方程為x2+y2-2x-4y+1=0,規(guī)律方法幾何法判斷圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓C1:(x-a1)2+(y-b1)2=,圓C2:(x-a2)2+(y-b2)2=,兩圓心之間的距離為d,則圓與圓的五種位置關(guān)系的判斷方法如下:(1)d>r1+r2?兩圓外離;(2)d=r1+r2?兩圓外切;(3)|r1-r2|<d<r1+r2?兩圓相交;(4)d=|r1-r2|(r1≠r2)?兩圓內(nèi)切;(5)0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)?兩圓內(nèi)含.對(duì)點(diǎn)練4(1)過點(diǎn)(3,1)作圓(x-1)2+y2=1的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,則直線AB的方程為(

)A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0A解析

(1)圓(x-1)2+y2=1的圓心為C(1,0),半徑為1,記(3,1)為點(diǎn)D坐標(biāo),則以CD為直徑的圓的方程為因?yàn)檫^點(diǎn)D作圓(x-1)2+y2=1的兩條切線的切點(diǎn)分別