第1講數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法教材課程

第1講數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法1．了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式)．2．了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類(lèi)函數(shù).

1．?dāng)?shù)列的定義按照

排列著的一列數(shù)稱(chēng)為數(shù)列．?dāng)?shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)．2．?dāng)?shù)列的分類(lèi)一定順序分類(lèi)原則類(lèi)型滿足條件按項(xiàng)數(shù)分類(lèi)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)

,無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)

,按項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系分類(lèi)遞增數(shù)列an＋1＞an其中n∈N＋遞減數(shù)列an＋1＜an常數(shù)列an＋1＝an按其他標(biāo)準(zhǔn)分類(lèi)有界數(shù)列存在正數(shù)M，使|an|≤M擺動(dòng)數(shù)列an的符號(hào)正負(fù)相間，如1，－1,1，－1，…有限無(wú)限3.數(shù)列的表示法數(shù)列有三種表示法，它們分別是

、

和

．4.數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個(gè)式子

來(lái)表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．列表法圖象法解析法an＝f(n)答案：C答案：A3．在數(shù)列{an}中，an＋1＝an＋2＋an，a1＝2，a2＝5，則a6的值是()A．－3B．－11C．－5D．19解析：a3＝a2－a1＝5－2＝3a4＝a3－a2＝3－5＝－2a5＝a4－a3＝－2－3＝－5a6＝a5－a4＝－5＋2＝－3.答案：A4．(2010·安徽卷)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2，則a8的值為()A．15B．16C．49D．64解析：a8＝S8－S7＝82－72＝(8＋7)(8－7)＝15.答案：A5．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2－10n(n＝1,2,3，…)，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝________；數(shù)列{nan}中數(shù)值最小的項(xiàng)是第________項(xiàng)．解析：當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－Sn－1＝2n－11，n＝1時(shí)也符合，則an＝2n－11，∴nan＝2n2－11n＝2

且n∈N*，故n＝3時(shí)，nan最小．

答案：2n－113考向一由數(shù)列的前幾項(xiàng)寫(xiě)數(shù)列的通項(xiàng)公式【例1】寫(xiě)出下面各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：(3)奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，故通項(xiàng)公式中含因子(－1)n；各項(xiàng)絕對(duì)值的分母組成數(shù)列1,2,3,4，…；而各項(xiàng)絕對(duì)值的分子組成的數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)為1，偶數(shù)項(xiàng)為3，即奇數(shù)項(xiàng)為2－1，偶數(shù)項(xiàng)為2＋1，反思感悟：善于總結(jié)，養(yǎng)成習(xí)慣根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)求它的一個(gè)通項(xiàng)公式，要注意觀察每一項(xiàng)的特點(diǎn)，可使用添項(xiàng)、還原、分割等辦法，轉(zhuǎn)化為一些常見(jiàn)數(shù)列的通項(xiàng)公式來(lái)求．答案：D考向二由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式【例2】根據(jù)下列條件，確定數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．(1)a1＝1，an＋1＝3an＋2；(2)a1＝1，an＋1＝(n＋1)an.累乘可得：an＝n×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1.反思感悟：善于總結(jié)，養(yǎng)成習(xí)慣已知數(shù)列的遞推關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，通常用累加、累乘、構(gòu)造法求解．當(dāng)出現(xiàn)an＝an－1＋m時(shí)，構(gòu)造等差數(shù)列；當(dāng)出現(xiàn)an＝xan－1＋y時(shí)，構(gòu)造等比數(shù)列；當(dāng)出現(xiàn)an＝an－1＋f(n)時(shí)，用累加法求解；當(dāng)出現(xiàn)＝f(n)時(shí)，用累乘法求解．遷移發(fā)散2．根據(jù)下列條件，確定數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．(1)在數(shù)列{an}中，an＋1＝3a，a1＝3；(2)在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝；(3)在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1；(4)在數(shù)列{an}中，a1＝8，a2＝2，且滿足an＋2－4an＋1＋3an＝0.解：(1)由已知an＞0，在遞推關(guān)系式兩邊取對(duì)數(shù)．有l(wèi)gan＋1＝2lgan＋lg3，令bn＝lgan，則bn＋1＝2bn＋lg3，∴bn＋1＋lg3＝2(bn＋lg3)，∴{bn＋lg3}是等比數(shù)列，∴bn＋lg3＝2n－1·2lg3＝2nlg3，∴bn＝2nlg3－lg3＝(2n－1)lg3＝lgan∴an＝32n－1.

(3)由an＋1＝4an－3n＋1，得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，又a1－1＝1，所以數(shù)列{an－n}是首項(xiàng)為1，且公比為4的等比數(shù)列，∴an－n＝(a1－1)4n－1，∴an＝4n－1＋n.(4)將an＋2－4an＋1＋3an＝0變形為an＋2－an＋1＝3(an＋1－an)，則數(shù)列{an＋1－an}是以a2－a1＝－6為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，則an＋1－an＝－6·3n－1，利用累加法可得an＝11－3n.考向三由數(shù)列的Sn與an的關(guān)系求通項(xiàng)公式【例3】(2010·臨沂調(diào)研)已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，滿足log2(1＋Sn)＝n＋1，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．解：∵log2(1＋Sn)＝n＋1，∴1＋Sn＝2n＋1，∴Sn＝2n＋1－1，∴an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1－1)－(2n－1)＝2n(n≥2)．又n＝1時(shí)，a1＝3不符合上式，∴an＝反思感悟：善于總結(jié)，養(yǎng)成習(xí)慣數(shù)列的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系是an＝，此公式經(jīng)常使用，應(yīng)引起足夠的重視．已知an求Sn時(shí)方法千差萬(wàn)別，但已知Sn求an時(shí)方法卻是高度統(tǒng)一．當(dāng)n≥2時(shí)求出an也適合n＝1時(shí)的情形，可直接寫(xiě)成an＝Sn－Sn－1，否則分段表示．遷移發(fā)散3．已知下列數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，求{an}的通項(xiàng)公式：(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n＋b.解：(1)a1＝S1＝2－3＝－1，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也適合此等式，∴an＝4n－5.(2)a1＝S1＝3＋b，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1.當(dāng)b＝－1時(shí)，a1適合此等式；當(dāng)b≠－1時(shí)，a1不適合此等式．∴當(dāng)b＝－1時(shí)，an＝2·3n－1；考向四數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用【例4】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，并且滿足a1＝2，nan＋1＝Sn＋n(n＋1)．(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)令Tn＝nSn，問(wèn)是否存在正整數(shù)m，對(duì)一切正整數(shù)n，總有Tn≤Tm，若存在，求m的值；若不存在，說(shuō)明理由．解：(1)令n＝1，由a1＝2，及nan＋1＝Sn＋n(n＋1)①得a2＝4，故a2－a1＝2當(dāng)n≥2時(shí)，有(n－1)an＝Sn－1＋n(n－1)②①－②得nan＋1－(n－1)an＝an＋2n.整理得an＋1－an＝2(n≥2)．當(dāng)n＝1時(shí)，a2－a1＝2，∴數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.(2)由(1)得Sn＝n(n＋1)，反思感悟：善于總結(jié)，養(yǎng)成習(xí)慣1．?dāng)?shù)列是一類(lèi)特殊的函數(shù)，解題時(shí)注意函數(shù)與方程思想的應(yīng)用，以及轉(zhuǎn)化思想也是解題的常用方法．2．?dāng)?shù)列的單調(diào)性是高考?？純?nèi)容之一，有關(guān)數(shù)列最大項(xiàng)、最小項(xiàng)、數(shù)列有界性問(wèn)題均可借助數(shù)列的單調(diào)性來(lái)解決，判斷單調(diào)性時(shí)常用①作差法，②作商法，③結(jié)合函數(shù)圖象等方法．遷移發(fā)散4．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝－n2＋24n(n∈N*)．(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)當(dāng)n為何值時(shí)，Sn達(dá)到最大？最大值是多少？解：(1)n＝1時(shí)，a1＝S1＝23.n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝－n2＋24n＋(n－1)2－24(n－1)＝－2n＋25.經(jīng)驗(yàn)證，a1＝23符合an＝－2n＋25，∴an＝－2n＋25(n∈N*)(2)∵Sn＝－n2＋24n，∴n＝12時(shí)，Sn最大且Sn＝144.課堂總結(jié)感悟提升1．用歸納法據(jù)前幾項(xiàng)寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，體現(xiàn)了由特殊到一般的思維方法，需要我們有一定的數(shù)學(xué)觀察能力和分析能力，并熟知一些常見(jiàn)的數(shù)列的通項(xiàng)公式，如：數(shù)列{n2}，{2n}，{(－1)n}，{2n}，{2n－1}．2．對(duì)于符