2025年春新滬科版數(shù)學七年級下冊課件 8.3 完全平方公式與平方差公式

8.3完全平方公式與平方差公式第八章整式乘法與因式分解逐點導講練課堂小結作業(yè)提升學習目標課時講解1課時流程2完全平方公式平方差公式添括號知1－講感悟新知知識點完全平方公式11.完全平方公式兩個數(shù)的和(或差)的平方，等于這兩個數(shù)的平方和加(或減)這兩個數(shù)乘積的2倍.用字母表示：(

a+b)

2=a2+2ab+b2，(

a－b)

2=a2－2ab+b2.感悟新知知1－講特別解讀1.公式的特征：公式的左邊是一個二項式的完全平方，公式的右邊是一個三項式，其中兩項是左邊二項式的各項的平方和，另一項是這兩項的乘積的2倍.2.理解字母a，b

的意義：公式中的字母a，b可以表示具體的數(shù)，也可以表示含字母的單項式或多項式.3.口訣記憶：頭平方和尾平方，頭(乘)尾兩倍在中央，中間符號照原樣.感悟新知2.完全平方公式的幾種常見變形公式(1)

a2+b2=(a+b)

2

－2ab=(

a－b)

2+2ab；(2)

(a+b)

2=(

a

－b)

2+4ab；(3)

(a

－b)

2=(a+b)

2

－4ab；(4)

(a+b)

2+(

a

－b)

2=2(a2+b2)；知1－講感悟新知

知1－講知1－練感悟新知[母題教材P75例1、例2]計算：(1)

(

x+7y)

2；????例1解題秘方：確定公式中的“a”和“b”，利用完全平方公式進行計算.解：(

x+7y)

2=x2+2·x·(7y)

+(7y)

2=x2+14xy+49y2；知1－練感悟新知解：(－4a+5b)

2=(5b－4a)

2=(5b)

2－2·(5b)

·(4a)

+(4a)

2=25b2

－40ab+16a2；

(2)(－4a+5b)

2；知1－練感悟新知解：(－2m

－n)

2=(2m+n)

2=(2m)

2+2·(2m)

·n+n2=4m2+4mn+n2；(3)(－2m

－n)

2；??知1－練感悟新知解：(2x+3y)(－2x

－3y)

=－(2x+3y)

2=－［(2x)

2+2·(2x)

·(3y)

+(3y)

2］=－(4x2+12xy+9y2)=－4x2

－12xy

－9y2.(4)

(2x+3y)(－2x

－3y)

.兩個二項式相乘，若兩項都相同或都互為相反數(shù)，則用完全平方公式計算.知1－練感悟新知方法1.利用完全平方公式進行整式運算的基本步驟：(1)確定公式中的a、b；(2)確定和差關系；(3)選擇公式；(4)計算結果.

2.兩個易錯點：(1)套用公式時千萬不能漏掉“2ab”項；(2)兩個平方項的底數(shù)要帶上括號.知1－練感悟新知[母題教材P77練習T2(2)]計算：(1)9952；例2

解題秘方：將原數(shù)轉化成符合完全平方公式的形式，再利用完全平方公式展開計算即可.解：9952=(1000－5)

2=10002－2×1000×5+52=1000000－10000+25=990025；知1－練感悟新知

知1－練感悟新知方法利用完全平方公式進行數(shù)值運算時，主要是將底數(shù)拆成兩個數(shù)的和或差，拆分時主要有兩種形式：1.將與整十、整百或整千接近的數(shù)拆分成整十、整百或整千的數(shù)與相差的數(shù)的和或差；2.將帶分數(shù)拆分成整數(shù)部分與真分數(shù)的和或差.感悟新知知2－講知識點平方差公式21.平方差公式兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差.用字母表示：(

a+b)(a－b)

=a2－b2.感悟新知知2－講2.平方差公式的幾種常見變化及應用變化形式應用舉例(1)位置變化(b+a)(－b+a)=(a+b)(a－b)=a2－b2(2)符號變化(－a－b)(a－b)=(－b－a)(－b+a)=(－b)2－a2=b2－a2(3)系數(shù)變化(3a+2b)(3a－2b)=(3a)2－(2b)2=9a2－4b2(4)指數(shù)變化(a3+b2)(a3－b2)=(a3)2－(b2)2=a6－b4(5)增項變化(a－b+c)(a－b－c)=(a－b)2－c2(6)連用公式(a+b)(a－b）(a2+b2)=(a2－b2)(a2+b2)=a4－b4

知2－講感悟新知特別解讀1.公式的特征：等號左邊是兩個二項式相乘，這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數(shù).等號右邊是乘式中兩項的平方差，即相同項的平方減去相反項的平方.2.理解字母a，b

的意義：平方差公式中的a，b

既可代表一個單項式，也可代表一個多項式.感悟新知知2－練計算：(1)(5m－3n)(5m+3n)；例3解：(5m

－3n)(5m+3n)=(5m)

2

－(3n)

2=25m2

－9n2；知2－練感悟新知解題秘方：先確定公式中的“a”和“b”，然后根據平方差公式進行計算.知2－練感悟新知解法提醒運用平方差公式計算的3個關鍵步驟：第1步：利用加法的交換律調整兩個二項式中項的位置，使之與公式左邊相對應，已對應的就不需調整，如(1)(2)不需調整，(3)(4)就必須調整.第2步：找準公式中的a、b

分別代表哪個單項式或多項式.第3步：套用公式計算，注意將底數(shù)帶上括號.如(1)中(5m)

2不能寫成5m2.知2－練感悟新知解：(－2a2+5b)(－2a2－5b)=(－2a2)

2

－(5b)

2=4a4－25b2；

(2)

(－2a2+5b)(－2a2－5b)；知2－練感悟新知

(－3y－4x)(3y－4x)

=(－4x

－3y)(－4x+3y)=(－4x)

2

－(3y)

2=16x2

－9y2.感悟新知知2－練[母題教材P77練習T2(1)]計算：(1)

10.3×9.7；例4

解題秘方：找出平方差公式的模型，利用平方差公式進行計算.解：10.3×9.7=(10+0.3)×(10－0.3)=102－0.32=100－0.09=99.91；知2－練感悟新知解：2023×2025－20242=(2024－1)×(2024+1)－20242=20242－1－20242=－1.(2)2023×2025－20242.知2－練感悟新知方法運用平方差公式計算兩數(shù)乘積時，關鍵是找到這兩個數(shù)的平均數(shù)，再將原數(shù)與這個平均數(shù)進行比較，變成兩數(shù)的和與差的積的形式.感悟新知知3－講知識點添括號31.添括號法則添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不改變符號；如果括號前面是負號，括到括號里的各項都要改變符號.用字母表示：a+b+c=a+(

b+c)

=a－(－b－c)；a－b－c=a－(b+c)

=a+(－b－c)

.感悟新知知3－講2.添括號法則的應用添括號在利用乘法公式的計算中應用廣泛，利用添括號使原式變成符合乘法公式的形式，特別是利用“括號前面是負號的時候，括到括號里的各項都要改變符號”來變形.知3－講感悟新知特別解讀1.添括號只是一個變形，不改變式子的值.2.添括號是否正確，可利用去括號檢驗.知3－練感悟新知[母題教材P77例4(1)P78例5]計算：(1)

(2x－y+4)(2x+y－4)；例5解：(2x－y+4)(2x+y－4)=［2x－(

y－4)］［2x+(

y－4)］=(2x)

2－(

y－4)

2=4x2－y2+8y－16；知3－練感悟新知解題秘方：先通過添括號把式子轉化為符合平方差公式或完全平方公式的形式，再利用乘法公式進行計算.知3－練感悟新知方法兩個三項式相乘，各項既有符號相同的也有符號不同的，可通過變形用平方差公式計算.確定平方差公式中的“a”、“b”的方法：完全相同的項為“a”，絕對值相同符號相反的項為“b”.三個數(shù)和的完全平方，利用添括號和整體思想轉化為兩個數(shù)和的完全平方進行計算，也可以直接套用三個數(shù)和的完全平方公式：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac進行計算.知3－練感悟新知解：(

m－2n+1)(－2n－1+m)=［(

m

－2n)

+1］［(

m

－2n)－1］=(

m

－2n)

2

－12=m2

－4mn+4n2

－1；(2)

(

m－2n+1)(－2n－1+m)；知3－練感悟新知解：(2a+3b－1)(1－2a－3b)=(2a+3b

－1)［－(2a+3b

－1)］=－［(2a+3b)－1］2=－［(2a+3b)

2

－2(2a+3b)

+12］=－(4a2+12ab+9b2－4a

－6b+1)=－4a2

－12ab

－9b2+4a+6b

－1=－4a2

－9b2－12ab+4a+6b

－1；(3)(2a+3b－1)(1－2a－3b)；知3－練感悟新知解：(3a－b+c)

2=［(3