2024-2025學(xué)年河北省承德市承德縣高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年河北省承德市承德縣高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米，黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米，黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷?草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：集合與常用邏輯用語，不等式，函數(shù)，導(dǎo)數(shù)，三角函數(shù)，三角恒等變換，解三角形，平面向量，復(fù)數(shù)，數(shù)列.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則的真子集個(gè)數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.5【正確答案】B【分析】根據(jù)交集運(yùn)算和真子集的定義求解.【詳解】因，所以，所以的真子集個(gè)數(shù)為個(gè).故選：B.2.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念和運(yùn)算法則計(jì)算可得.【詳解】由題意，因?yàn)?，所以，故選：B.3.已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的前30項(xiàng)和（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)題設(shè)條件等式求出并裂項(xiàng)，運(yùn)用裂項(xiàng)相消法即可求得.【詳解】把代入整理得：，故.故選：D.4.若曲線與軸，直線的交點(diǎn)分別為為坐標(biāo)原點(diǎn)，則向量與夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】先求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)向量運(yùn)算求得正確答案.【詳解】依題意，，，解得，故，由，所以，解得，所以，所以，所以.故選：C5.已知是以為直徑的圓上一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律即可求解.【詳解】如圖，連接，，因?yàn)槭菆A的直徑，所以，又，，則，又是的中點(diǎn)，則，.故選：B.6.已知數(shù)列滿足.若為遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】依題意可知且，由于為遞減數(shù)列，所以，，，所以.故選：C7.已知函數(shù)（為常數(shù)），若在上的最大值為，最小值為，且，則（）A.6 B.4 C.3 D.2【正確答案】D【分析】將函數(shù)解析式化為，令，則，設(shè)，，可判斷是奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)及，求得答案.【詳解】因?yàn)椋?，令，則，設(shè)，，則，所以是奇函數(shù)，最大值為，最小值為，則，由，解得.故選：D.8.在中，角為銳角，的面積為，且，則周長(zhǎng)的最小值為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】利用三角恒等變換、正弦定理等知識(shí)判斷出三角形是直角三角形，利用基本不等式求得周長(zhǎng)的最小值.【詳解】依題意，，由得，即，，由于是銳角，所以，與一正一負(fù)，或，若，即，由于，所以，所以，，此不等式組無解，所以不成立.同理可得不成立.所以，所以，所以，.所以，所以三角形的周長(zhǎng)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以三角形的周長(zhǎng)的最小值為.故選：A本題涉及幾何中的面積和周長(zhǎng)問題，結(jié)合了三角函數(shù)和基本不等式，考查了學(xué)生的綜合解題能力．解題過程中，利用基本不等式求周長(zhǎng)的最小值，這是本題的關(guān)鍵點(diǎn)之一．基本不等式的應(yīng)用不僅要找到正確的表達(dá)式，還需要驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，以確保最小值能夠?qū)嶋H取到．二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）A.存在，使得既有最小項(xiàng)也有最大項(xiàng)B.存在，使得僅有最小項(xiàng)無最大項(xiàng)C.存在，使得既有最小項(xiàng)也有最大項(xiàng)D.存在，使得無最小項(xiàng)有最大項(xiàng)【正確答案】BCD【分析】借助與的關(guān)系計(jì)算可得數(shù)列通項(xiàng)公式，即可表示出，計(jì)算出后分、、及，，討論數(shù)列的增減性即可得解.【詳解】由，則當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，，符合上式，故，即，則，當(dāng)時(shí)，，故數(shù)列為遞增數(shù)列，此時(shí)數(shù)列僅有最小項(xiàng)，且最小項(xiàng)為，故B正確，A錯(cuò)誤.則當(dāng)，有，，即，即數(shù)列為遞減數(shù)列，此時(shí)數(shù)列僅有最大項(xiàng)，且最大項(xiàng)為，故D正確；當(dāng)，時(shí)，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又，即當(dāng)時(shí)，數(shù)列遞減，故此時(shí)數(shù)列在中，有最小項(xiàng)，且有最大項(xiàng)，故C正確；故選：BCD10.若實(shí)數(shù)滿足，則（）A. B.C. D.【正確答案】AC【分析】把作為主元，求得，分類計(jì)算求得的最值，可判斷AB；方程變形為，可得判斷C；賦值法可判斷D.【詳解】因?yàn)?，可得，?dāng)時(shí)，可得，令，求導(dǎo)得，令，可得，解得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，無最小值，故，當(dāng)時(shí)，可得，令，求導(dǎo)得，令，可得，解得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，無最大值，故，故A正確，B錯(cuò)誤；由，可得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)取等號(hào)，故C正確；當(dāng)時(shí)，方程，，方程有解，所以，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11.已知函數(shù)，則（）A.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B.為奇函數(shù)C.是的極小值點(diǎn)D.在上有極值【正確答案】ABC【分析】由對(duì)稱中心的定義代入驗(yàn)證可得滿足，即可知A正確；利用奇函數(shù)定義化簡(jiǎn)可得B正確，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)并判斷出函數(shù)在上的單調(diào)性，即可判斷C正確，利用輔助角公式化簡(jiǎn)并根據(jù)正弦函數(shù)圖象性質(zhì)可判斷D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A，由易知,即滿足，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，可得A正確；對(duì)于B，易知，滿足奇函數(shù)定義，即可得為奇函數(shù)，即B正確；對(duì)于C，求導(dǎo)可得，不妨只研究當(dāng)時(shí)的單調(diào)性，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此在處取得極小值，所以是的極小值點(diǎn)，即C正確.對(duì)于D，由可知，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在上是單調(diào)遞減的，因此在上沒有極值，即D錯(cuò)誤.故選：ABC關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用中心對(duì)稱函數(shù)性質(zhì)驗(yàn)證選項(xiàng)中的對(duì)稱中心是否滿足中心對(duì)稱表達(dá)式，并充分利用三角函數(shù)性質(zhì)解決極值點(diǎn)問題.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則曲線在點(diǎn)處切線方程為__________.【正確答案】【分析】求導(dǎo)，即可求解斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式即可求解直線方程.【詳解】，故，又，故曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，故13.已知數(shù)列滿足，則__________.【正確答案】2【分析】由數(shù)列遞推式整理轉(zhuǎn)化，得出數(shù)列an的周期為4，即可求得.【詳解】由，可得，顯然，則有，故，，即數(shù)列an的周期為4.故故2.14.如圖的“心形”曲線恰好是半圓，半圓，曲線組合而成的，則曲線所圍成的“心形”區(qū)域的面積等于__________.【正確答案】【分析】先求出兩個(gè)半圓面的面積，再求曲線與、軸圍成的區(qū)域的面積，根據(jù)對(duì)稱性得出與、軸圍成的區(qū)域的面積，即可得解.【詳解】設(shè)，線段的中點(diǎn)為，如圖，因?yàn)榍€關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以可將曲線與軸、軸圍成的區(qū)域割補(bǔ)為直角三角形的區(qū)域，于是曲線與軸、軸圍成的區(qū)域的面積就是直角三角形的面積，即；根據(jù)對(duì)稱性，可得曲線與、軸圍成的區(qū)域的面積為，又曲線所圍成的“心形”區(qū)域中，兩個(gè)半圓的面積為，所以曲線所圍成的“心形”區(qū)域的面積等于.故關(guān)鍵點(diǎn)睛：解法的關(guān)鍵是根據(jù)余弦型函數(shù)為中心對(duì)稱圖象，據(jù)此采用割補(bǔ)的方法，轉(zhuǎn)化為直角三角形的面積.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.在數(shù)列中，.（1）若，求證：為等差數(shù)列；（2）求的前項(xiàng)和.【正確答案】（1）證明見詳解；（2）.【分析】（1）將已知條件代入化簡(jiǎn)即可得證；（2）利用（1）中結(jié)論求出an【小問1詳解】因?yàn)?，所以，又，所以bn是以為首項(xiàng)和公差的等差數(shù)列.【小問2詳解】由（1）可得，，所以，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，，兩式相減得：，所以，所以.16.已知函數(shù)，且圖象的一個(gè)對(duì)稱中心到與其相鄰的對(duì)稱軸的距離為.（1）求的值及的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度（縱坐標(biāo)不變），再向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上存在零點(diǎn)，求的取值范圍.【正確答案】（1）；單調(diào)遞增區(qū)間為：；（2）【分析】（1）先利用誘導(dǎo)公式、正弦的和角公式、二倍角公式及輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)式，再根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)計(jì)算即可；（2）根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換求出解析式，利用整體思想分離參數(shù)結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可.【小問1詳解】由，因?yàn)閳D象的一個(gè)對(duì)稱中心到與其相鄰的對(duì)稱軸的距離為，所以其最小正周期為，則，令，解之得；【小問2詳解】由題意可知將圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度（縱坐標(biāo)不變），再向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得，再將縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，得到函數(shù)，當(dāng)，所以，令，則條件可化為在時(shí)有解，易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，易知，則，解之得17.在中，角的對(duì)邊分別為.（1）求；（2）已知為的平分線，交于點(diǎn)，且為線段上一點(diǎn)，且，求的周長(zhǎng).【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結(jié)合和差公式展開化簡(jiǎn)可得；（2）利用面積公式和余弦定理列方程組求解出，可知為等腰三角形，然后結(jié)合已知即可得解.【小問1詳解】，，，，，，，又，.【小問2詳解】因?yàn)锽D為的平分線，，所以，又，，所以，即，①由余弦定理，得，即，②由①②可得（舍去負(fù)值），，所以a，c是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)根，解得.又因?yàn)锽D為的平分線，所以，又，，所以，，所以的周長(zhǎng)為.18.已知函數(shù).（1）證明：當(dāng)時(shí)，只有1個(gè)零點(diǎn)；（2）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（3）若，設(shè)，證明.【正確答案】（1）證明見解析（2）答案見詳解（3）證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性關(guān)系，確定的單調(diào)性，即可證明；（2）利用導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，結(jié)合的不同取值討論求解；（3）將所需證明的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為，設(shè)，則只需證明，即，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)函數(shù)與最值的關(guān)系證明.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的定義域?yàn)?，恒成立，所以在單調(diào)遞增，且，根據(jù)零點(diǎn)唯一性定理可知，只有1個(gè)零點(diǎn)為0.【小問2詳解】，因?yàn)?，所以定義域?yàn)?，，因?yàn)?，?dāng)，即時(shí)，恒成立，即，則函數(shù)在單調(diào)遞減；當(dāng)，即時(shí)，方程的兩個(gè)根為因?yàn)椋?，所以均在?nèi)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，綜上，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減.【小問3詳解】若,因?yàn)橐C，只需證，即，即證，設(shè)，則只需證明，化簡(jiǎn)得，設(shè)則，所以在單調(diào)遞增，所以，即，原命題得證.方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟（1）作差或變形；（2）構(gòu)造新的函數(shù)；（3）利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性或最值；（4）根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．特別地：當(dāng)作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導(dǎo)數(shù)求解時(shí)，一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個(gè)函數(shù)的最值問題．19.若項(xiàng)數(shù)列同時(shí)滿足.則稱為“階0數(shù)列”.（1）若等比數(shù)列為“4階0數(shù)列”，寫出的各項(xiàng)；（2）若等差數(shù)列為“階數(shù)列”（且），求的通項(xiàng)公式（用表示）；（3）記“階數(shù)列”的前項(xiàng)和為，若存在，使，判斷數(shù)列能否是“階數(shù)列”？若是，求出所有這樣的數(shù)列；若不是，請(qǐng)說明理由.【正確答案】（1）或（2）答案見解析（3）不是，理由見解析【分析】（1）根據(jù)所給新定義，求出等比數(shù)列的首項(xiàng)與公比即可得解；（2）根據(jù)所給新定義，建立方程分類討論，求出等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差即可得出通項(xiàng)公式；（3）根據(jù)數(shù)列新定義，若滿足題意可推導(dǎo)出，此時(shí)不能同時(shí)成立，即可知不存在.