2024年數(shù)學(xué)高考一輪復(fù)習(xí)復(fù)數(shù)試卷

1.3復(fù)數(shù)（精講）一．復(fù)數(shù)的有關(guān)概念1.復(fù)數(shù)的定義：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a是實(shí)部，b是虛部，i為虛數(shù)單位．（虛部不含i）2.復(fù)數(shù)的分類：復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(實(shí)數(shù)（b＝0），,虛數(shù)（b≠0）\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(純虛數(shù)a＝0，,非純虛數(shù)a≠0.))))3.復(fù)數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．4.共軛復(fù)數(shù)：a＋bi與c＋di互為共軛復(fù)數(shù)?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．（實(shí)同虛反）5.復(fù)數(shù)的模：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模或絕對(duì)值，記作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)(a，b∈R)．二．復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)．(2)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→)).三．復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算1.復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則：設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)2.幾何意義：復(fù)數(shù)加、減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進(jìn)行．如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義，即eq\o(OZ,\s\up6(→))＝eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))，eq\o(Z1Z2,\s\up6(→))＝eq\o(OZ2,\s\up6(→))－eq\o(OZ1,\s\up6(→)).解決復(fù)數(shù)概念問題的方法1.解題時(shí)一定要先看復(fù)數(shù)是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實(shí)部和虛部．2.復(fù)數(shù)絕大部分問題可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實(shí)部和虛部滿足的方程(不等式)組即可．二．復(fù)數(shù)代數(shù)形式運(yùn)算問題的解題策略復(fù)數(shù)的加減法在進(jìn)行復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算時(shí)，可類比合并同類項(xiàng)，運(yùn)用法則(實(shí)部與實(shí)部相加減，虛部與虛部相加減)計(jì)算即可復(fù)數(shù)的乘法復(fù)數(shù)的乘法類似于多項(xiàng)式的四則運(yùn)算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項(xiàng)，不含i的看作另一類同類項(xiàng)，分別合并即可復(fù)數(shù)的除法除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，解題中要注意把i的冪寫成最簡(jiǎn)形式三．復(fù)數(shù)的幾何意義1.進(jìn)行簡(jiǎn)單的復(fù)數(shù)運(yùn)算，將復(fù)數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)形式；2.把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)之間的關(guān)系，依據(jù)是復(fù)數(shù)a＋bi與復(fù)平面上的點(diǎn)(a，b)一一對(duì)應(yīng)．四．常用結(jié)論1．(1±i)2＝±2i；eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i.2．－b＋ai＝i(a＋bi)(a，b∈R)．3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．4．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)．5．復(fù)數(shù)z的方程在復(fù)平面上表示的圖形(1)a≤|z|≤b表示以原點(diǎn)O為圓心，以a和b為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)；(2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)為圓心，r為半徑的圓．考點(diǎn)一復(fù)數(shù)的計(jì)算【例1-1】（2023·甘肅·統(tǒng)考二模）已知，為虛數(shù)單位，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，則.故選：C.【例1-2】（2023·新疆·校聯(lián)考二模）復(fù)數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，解得，故選：C．【例1-3】（2023春·江西撫州·高三金溪一中校考階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椋裕蔬x：A.【例1-4】（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）已知復(fù)數(shù)滿足，則_____________.【答案】【解析】因?yàn)?，即，所以，或，若，則，則，若，則，則.綜上所述，.故答案為：.【一隅三反】1．（2023·西藏拉薩·統(tǒng)考一模）設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得.故選:B.2．（2023·西藏拉薩·統(tǒng)考一模）已知復(fù)數(shù)，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所?故選：B.3．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，有，所以.故選：D4．（2023·山西臨汾·統(tǒng)考二模）復(fù)數(shù)（

）A． B．2048 C． D．-2048【答案】C【解析】.故選：C.5．（2023·河南安陽·安陽一中?？寄M預(yù)測(cè)）若為虛數(shù)單位，則計(jì)算___________．【答案】【解析】設(shè)，，上面兩式相減可得，，則．故答案為：．考法二復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部【例2-1】（2023·廣西南寧·統(tǒng)考二模）已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（

）A． B． C．1 D．【答案】C【解析】因?yàn)椋瑒t的虛部為1，故A，B，D錯(cuò)誤.故選：C.【例2-2】（2023·江西九江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)是，則的虛部是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)是，，，，則的虛部是.故選：D【一隅三反】1．（2023春·河南商丘）已知復(fù)數(shù)，則z的虛部為（

）A．2 B． C．5 D．【答案】B【解析】，則z的虛部為．故選：B.2．（2023春·湖南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之和為_______.【答案】【解析】因?yàn)?，所以的?shí)部與虛部之和為.故答案為：．3．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)i為虛數(shù)單位，且，則的虛部為（

）A． B．2 C．2i D．【答案】B【解析】由可得：，則，所以的虛部為2.故選：B.考法三復(fù)數(shù)的分類【例3-1】（2023·遼寧·校聯(lián)考二模）已知，為純虛數(shù)，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，且，所以.故選：B.【例3-2】（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，則的值是（

）A．2 B． C． D．【答案】C【解析】，復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，，解得.故選：C.【一隅三反】1．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，則，有.故選：A2．（2023·廣東深圳·深圳中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)是純虛數(shù)，若是實(shí)數(shù)，則的虛部為（

）A． B． C．1 D．3【答案】D【解析】設(shè)，則，因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，所以，即，所以，故的虛部為3.故選：D.3．（2023秋·遼寧·高三校聯(lián)考期末）已知是純虛數(shù)，是實(shí)數(shù)，那么（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)槭羌兲摂?shù)，故可設(shè)，所以，因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，所以，即，所以.故選：A考點(diǎn)四復(fù)數(shù)的幾何意義【例4-1】（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？级＃┤魪?fù)數(shù)，則（

）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】由.故選：B【例4-2】（2023·廣東湛江·統(tǒng)考二模）設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意得，則，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，故選：A【例4-3】（2023·全國(guó)·校聯(lián)考二模）已知復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】，，，實(shí)部為1，虛部為-1，所以在第四象限；故選：D.【例4-4】．（2023·陜西西安·西安一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)z滿足，若，則復(fù)數(shù)z為（

）．A． B．C．或 D．或【答案】C【解析】由有，即，解得，當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，.故選：C【一隅三反】1．（2023·北京通州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】，.故選：A2．（2023·四川巴中·南江中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在(

)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】設(shè)，則，∴由，得，解得，，∴復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限．故選：A．3．（2023·廣西柳州·高三柳州高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】由已知可得，所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，所以，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，該點(diǎn)在第一象限.故選：A.4．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，，若在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，則，解得，因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則，解得，因此，.故選：B.考法五復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程【例5】（2023·福建·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知z是方程x2-2x+2=0的一個(gè)根，則||=（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【解析】因?yàn)榉匠蘹2-2x+2=0是實(shí)系數(shù)方程，且，所以該方程有兩個(gè)互為共軛復(fù)數(shù)的兩個(gè)虛數(shù)根，即，即，故選：B【一隅三反】1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z是方程的一個(gè)根，且復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程的根為，因?yàn)閺?fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，所以，則．故選：D.2．（2023春·廣東韶關(guān)·高三南雄中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)是一元二次方程的一個(gè)根，則的值為（

）A．1 B． C．0 D．【答案】B【解析】復(fù)數(shù)是一元二次方程的一個(gè)根，又，該方程的根為，即或，則.故選：B．考法六復(fù)數(shù)模的相關(guān)軌跡問題【例6-1】（2023·全國(guó)·校聯(lián)考三模）已知復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為（

）A． B． C．4 D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，所以，所以的最大值為．故選：B【例6-2】（2023·重慶·統(tǒng)考二模）復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椋渣c(diǎn)是以，為焦點(diǎn)，半實(shí)軸長(zhǎng)為1的雙曲線，則，所以點(diǎn)的軌跡方程為，設(shè)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．故選：B．【一隅三反】1．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，且，則復(fù)數(shù)的模的最大值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】，則表示復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，則|z|表示圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，由圖可知，的最大值為3.故選：C2．（2023·山西太原·太原五中?？家荒＃?fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．3【答案】B【解析】設(shè)，因?yàn)椋?，即z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡為圓C：，如圖，又，所以表示圓C上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離，所以為，故選：B．3．（2023·廣東·統(tǒng)考一模）在復(fù)平面內(nèi)，已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），記對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為點(diǎn)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為點(diǎn)，則點(diǎn)與點(diǎn)之間距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，代入到，得，即，整理得，即點(diǎn)在直線上，所以點(diǎn)到之間的距離的最小值，即到直線的距離，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，所以點(diǎn)與點(diǎn)之間距離的最小值為.故選：C.考法七復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)用【例7】（2023·重慶·統(tǒng)考二模）（多選）已知復(fù)數(shù)，，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則 B．若，則或C．若且，則 D．若，則【答案】BCD【解析】對(duì)于A，若，例如：，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則，所以或至少有一個(gè)成立，即或，故B正確；對(duì)于C，由，則，∵，∴，故C正確；對(duì)于D：若，則，故D正確.故選：BCD.【一隅三反】1．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考二模）（多選）設(shè)，，為復(fù)數(shù)，且，下列命題中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在一條直線上【答案】ACD【解析】設(shè)，，，對(duì)A，若，即，則，所以，，故A正確；對(duì)B，若，則，而，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，，，所以，即，因?yàn)?，，則至少有一個(gè)不為零，不妨設(shè)，由，可得，所以，，即，，故C正確；對(duì)D，由，可得，所以，又不全為零，所以表示一條直線，即在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在一條直線上，故D正確.故選：ACD.2．（2023·山西運(yùn)城·統(tǒng)考二模）（多選）設(shè)為復(fù)數(shù)，則下列命題中一定成立的是（