2025年新高考藝術(shù)生數(shù)學(xué)突破講義專題35圓的方程快速基礎(chǔ)能力提升

專題35圓的方程快速基礎(chǔ)能力提升【考點(diǎn)預(yù)測】一、基本概念平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合（軌跡）叫圓.二、基本性質(zhì)、定理與公式1、圓的四種方程（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，圓心坐標(biāo)為(a,b)，半徑為（2）圓的一般方程：，圓心坐標(biāo)為，半徑（3）圓的直徑式方程：若，則以線段AB為直徑的圓的方程是（4）圓的參數(shù)方程：①的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；②的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.注：對(duì)于圓的最值問題，往往可以利用圓的參數(shù)方程將動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為（為參數(shù)，(a,b)為圓心，r為半徑），以減少變量的個(gè)數(shù)，建立三角函數(shù)式，從而把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題，然后利用正弦型或余弦型函數(shù)的有界性求解最值.2、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷（1）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：①點(diǎn)P在圓外；②點(diǎn)P在圓上；③點(diǎn)P在圓內(nèi).（2）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：①點(diǎn)P在圓外；②點(diǎn)P在圓上；③點(diǎn)P在圓內(nèi).三、直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系有3種，相離，相切和相交四、直線與圓的位置關(guān)系判斷1、幾何法（圓心到直線的距離和半徑關(guān)系）圓心到直線的距離，則：則直線與圓相交，交于兩點(diǎn)，；直線與圓相切；直線與圓相離2、代數(shù)方法（幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題即交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程根個(gè)數(shù)）由，消元得到一元二次方程，判別式為，則：則直線與圓相交；直線與圓相切；直線與圓相離.五、兩圓位置關(guān)系的判斷用兩圓的圓心距與兩圓半徑的和差大小關(guān)系確定，具體是：設(shè)兩圓的半徑分別是，（不妨設(shè)），且兩圓的圓心距為，則：則兩圓相交；兩圓外切；兩圓相離兩圓內(nèi)切；兩圓內(nèi)含（時(shí)兩圓為同心圓）【典型例題】例1．（2024·高二·安徽六安·期末）圓心在軸上，半徑為1，且過點(diǎn)的圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)閳A心在軸上，所以可設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為，則圓的方程為，又點(diǎn)在圓上，所以，解得，所以所求圓的方程為．故選：A例2．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為圓心的圓與直線相切，則圓O的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】依題意，圓O的半徑r等于原點(diǎn)O到直線的距離，即，所以圓O的方程為.故選：A.例3．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知圓，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則以O(shè)C為直徑的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由圓，可得圓心，又由，在以為直徑的圓的圓心為，半徑為，則所求圓的方程為．故選：C．例4．（2024·高二·四川成都·期末）圓關(guān)于直線對(duì)稱后的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)閳A，所以圓的圓心為，半徑為，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，所以，解得：，所以所求圓的圓心為，半徑為,故所求圓的方程為：.故選：A.例5．（2024·廣東·一模）過，，三點(diǎn)的圓與軸交于，兩點(diǎn)，則（

）A．3 B．4 C．8 D．6【答案】D【解析】設(shè)圓的方程為，代入點(diǎn)，，，則，解得，可得，整理得符合題意，所以圓的方程為，令，可得，解得，所以．故選：D.例6．（2024·陜西西安·二模）設(shè)直線與圓交于兩點(diǎn)，則（

）A． B． C．4 D．【答案】B【解析】圓的圓心為，半徑為，∵圓心到直線的距離，.故選：B.例7．（2024·河南·一模）已知圓，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．點(diǎn)在圓外 B．直線平分圓C．圓的周長為 D．直線與圓相離【答案】D【解析】由可知圓心坐標(biāo)為，圓的半徑為1．對(duì)于選項(xiàng)A：由點(diǎn)到圓心的距離所以點(diǎn)在圓外，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)閳A心在直線上，所以圓關(guān)于直線對(duì)稱，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，圓的周長為，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)閳A心到直線的距離為，所以直線與圓相切，故D錯(cuò)誤．故選：D．例8．（2024·高三·云南昆明·階段練習(xí)）若點(diǎn)在圓O：外，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程為，點(diǎn)在圓O外，則有，即，解得或.故選：D．例9．（2024·高二·陜西西安·階段練習(xí)）已知，則兩圓的位置關(guān)系為（

）A．相切 B．外離 C．內(nèi)含 D．相交【答案】D【解析】因?yàn)榭苫癁閯t，半徑，因?yàn)榭苫癁?，則，半徑，則，因?yàn)?，所以兩圓相交.故選：D.例10．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）若方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示圓，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（

）A．{t|－1＜t＜}B．{t|－＜t＜1}C．{t|－1＜t＜}D．{t|1＜t＜2}【答案】B【解析】由D2＋E2－4F＞0，得7t2－6t－1＜0，解得－＜t＜1.例11．（2024·遼寧·二模）已知圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】圓，圓心，半徑，，圓心，半徑，由題意知，是圓和圓圓心連線的垂直平分線，，，的中點(diǎn)，圓心連線的斜率為，則直線的斜率為，故的方程：，即,故C正確．故選：C．例12．（2024·北京朝陽·一模）已知直線和圓相交于A，B兩點(diǎn).若，則（

）A．2 B． C．4 D．【答案】D【解析】圓的圓心為：，半徑為，則圓心到直線的距離為，由垂徑定理可得.故選：D.例13．（2024·四川·模擬預(yù)測）若兩條直線與圓的四個(gè)交點(diǎn)能構(gòu)成矩形，則（

）A． B．1 C．2 D．【答案】D【解析】由題意，直線平行，且與圓的四個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成矩形，則可知圓心到兩直線的距離相等且，由圓的圓心為，圓心到的距離為，圓心到：的距離為，所以，整理得到，由，所以．故選：D．例14．（2024·全國·模擬預(yù)測）若直線和圓的方程分別為，則“”是“直線和圓沒有公共點(diǎn)”的（

）A．充要條件 B．既不充分也不必要條件C．充分不必要條件 D．必要不充分條件【答案】C【解析】因?yàn)楸硎緢A，所以，即．若圓與直線沒有公共點(diǎn)，則圓心到直線的距離大于半徑，即，解得或．所以“”是“直線和圓沒有公共點(diǎn)”的充分不必要條件．故選：C例15．（2024·廣東韶關(guān)·二模）過點(diǎn)作斜率為的直線，若光線沿該直線傳播經(jīng)軸反射后與圓相切，則（

）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】如圖，設(shè)經(jīng)過點(diǎn)的直線交x軸于點(diǎn)，反射直線與圓相切于點(diǎn)，直線，即，令，解得，即，又，所以，所以直線，即，則點(diǎn)到直線直線的距離為，即.故選：D例16．（2024·新疆·二模）從直線上的點(diǎn)向圓引切線，則切線長的最小值為（

）A． B．1 C． D．【答案】B【解析】圓化為，圓心為，半徑為1，直線上的點(diǎn)向圓引切線，設(shè)切點(diǎn)為，則，要使切線長的最小，則最小，即直線上的點(diǎn)與圓心的距離最小，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，.所以切線長的最小值為.故選：B.例17．（2024·高三·河南·階段練習(xí)）已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，若，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【解析】如圖所示：設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為，則.設(shè)線段的中點(diǎn)為，則，根據(jù)勾股定理，有.由，得，故，解得，故.故選：B.例18．（2024·廣東廣州·二模）若直線與圓相切，則圓與圓（

）A．外切 B．相交 C．內(nèi)切 D．沒有公共點(diǎn)【答案】B【解析】直線與圓相切，則圓心到直線的距離等于圓的半徑1，即，得.圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，其圓心在圓上，所以兩圓相交.故選：B例19．（2024·高三·山東青島·期末）圓與圓相交于A、B兩點(diǎn)，則（

）A．2 B． C． D．6【答案】D【解析】兩圓方程相減得直線的方程為，圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，所以圓的圓心為，半徑，圓心到直線的距離為，弦長，所以.故選：D例20．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）過點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則直線的方程為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由曲線，可化為，可得圓心，半徑為，因?yàn)榉謩e切圓于，所以四點(diǎn)在以為直徑的圓，半徑為，故圓的方程為：，即上，兩圓的方程相減，可得兩圓公共弦所在直線的方程為，即直線的方程為.故選：A.例21．（2024·山西·模擬預(yù)測）寫出一個(gè)過點(diǎn)且與圓相切的直線方程．【答案】或（答案不唯一，寫出一個(gè)即可）【解析】依題意，將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得，則圓表示以為圓心，半徑的圓，當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，過的直線正好與圓相切；當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，則，解得，此時(shí)切線方程為．由于只需寫出一個(gè)過點(diǎn)且與圓相切的直線方程，故答案為：或（答案不唯一，寫出一個(gè)即可）例22．（2024·高三·北京順義·階段練習(xí)）已知直線（為常數(shù)）與圓交于點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí)，若的最小值為2，則.【答案】【解析】可知圓心為，半徑．圓心到直線的距離：．由垂徑定理可知：，當(dāng)時(shí)，取得最小值，并且，故答案為：．例23．（2024·天津·一模）已知圓與圓外切，此時(shí)直線被圓所截的弦長為.【答案】【解析】由得，將化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得，，因?yàn)閮蓤A外切，所以，即，解得.到直線的距離，如下圖：則直線被圓所截的弦長.故答案為：.【過關(guān)測試】一、單選題1．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）已知是圓的切線，點(diǎn)為切點(diǎn)，若，則點(diǎn)的軌跡方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以點(diǎn)到圓心的距離恒為，所以點(diǎn)的軌跡方程是以為圓心，為半徑的圓，即，故選：B2．（2024·遼寧大連·一模）過點(diǎn)和，且圓心在x軸上的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】令該圓圓心為，半徑為，則該圓方程為，則有，解得，故該圓方程為.故選：D.3．（2024·浙江·一模）圓的圓心坐標(biāo)和半徑分別為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】圓，即，它的圓心坐標(biāo)和半徑分別為.故選：A.4．（2024·高二·河北滄州·期末）已知點(diǎn)為直線上任意一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．則以為直徑的圓除過定點(diǎn)外還過定點(diǎn)（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)垂直于直線，垂足為，則直線方程為：，由圓的性質(zhì)可知：以為直徑的圓恒過點(diǎn)，由得：，以為直徑的圓恒過定點(diǎn).故選：D.5．（2024·高二·全國·課時(shí)練習(xí)）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是（

）A．點(diǎn)在圓上 B．點(diǎn)在圓內(nèi) C．點(diǎn)在圓外 D．不確定【答案】C【解析】因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓外，故選：C6．（2024·高三·北京西城·開學(xué)考試）已知圓經(jīng)過點(diǎn)，且點(diǎn)到點(diǎn)的距離為3，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意知：，整理得：①又由點(diǎn)到點(diǎn)的距離為3可得：②聯(lián)立①②，解得：或.故.故選：B.7．（2024·四川南充·二模）已知圓，直線與圓C（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．相交或相切【答案】D【解析】根據(jù)題意，直線的方程為，恒過定點(diǎn)，設(shè)為，又由圓，即，其圓心為，半徑，由，則在圓上，則直線與圓相交或相切.故選：D．8．（2024·高三·重慶九龍坡·階段練習(xí)）若直線與圓相交所得的弦長為，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓心到直線的距離為，由勾股定理得，，解得.故選：B.9．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）已知圓：與圓：交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí)，的最小值為，則（

）A．0 B．±1 C．±2 D．【答案】C【解析】兩圓的公共弦所在線的方程為：，圓心到直線的距離為，，因?yàn)?，所以，所以，解?故選：C10．（2024·高三·重慶·階段練習(xí)）已知圓，直線與圓相離，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，，若四邊形的面積最小值為，則（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【解析】圓的圓心為，半徑，由題意可知：，解得，即的最小值為，可知的最小值為，即圓心到直線的距離為，解得或.故選：C.11．（2024·高三·河南周口·開學(xué)考試）過圓外一點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，由題意知，，，，所以，根據(jù)圓的對(duì)稱性易知，則，解得．故選：A．12．（2024·云南昆明·一模）過點(diǎn)作圓：的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則四邊形的面積為（

）A．4 B． C．8 D．【答案】C【解析】由，得,則圓心，則，則，則四邊形的面積為.故選：C13．（2024·高二·全國·專題練習(xí)）已知圓和圓，則圓與圓的公切線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】C【解析】根據(jù)題意，圓，即，其圓心，半徑，圓，其圓心，半徑，兩圓的圓心距，因此兩圓外切；則圓與圓的公切線有3條．故選：C．14．（2024·高三·山東棗莊·期末）已知圓，圓，則兩圓的公切線條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】由題意圓是以為圓心1為半徑的圓；即是以為圓心3為半徑的圓；圓心距滿足，所以兩圓相離，所以兩圓的公切線條數(shù)為4.故選：D.15．（2024·高三·河北衡水·階段練習(xí)）圓與圓的公切線條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由可知圓心為，半徑，由，即，則圓心為，半徑，則兩圓圓心距離為，，，故，即兩圓相交，故公切線條數(shù)為2條.故選：B.16．（2024·高三·江蘇蘇州·期中）圓與圓的公切線的條數(shù)是（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程為，知圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程為，知圓心距，可知兩圓內(nèi)切，則兩圓有1條公切線.故選：A二、多選題17．（2024·廣東韶關(guān)·一模）已知圓，點(diǎn)，下列命題正確的是（

）A．圓的圓心為B．過點(diǎn)的直線可能與圓相切C．圓上的點(diǎn)到點(diǎn)距離的最大值為D．若以為圓心的圓和圓內(nèi)切，則圓的半徑為【答案】ACD【解析】選項(xiàng)A：變形為，圓心為，A正確；選項(xiàng)B：，故點(diǎn)在圓內(nèi)，故過點(diǎn)的直線不可能與圓相切，B錯(cuò)誤選項(xiàng)C：圓上的點(diǎn)到點(diǎn)距離的最大值為圓心到的距離加上半徑，即，C正確；選項(xiàng)D：兩圓的位置關(guān)系為內(nèi)切，且點(diǎn)P在圓M的內(nèi)部，則圓的半徑為，D正確.故選：ACD18．（2024·高三·湖南邵陽·階段練習(xí)）已知圓，則下列命題正確的是（

）A．圓的圓心是 B．點(diǎn)在圓內(nèi)C．圓的最大弦長為 D．過原點(diǎn)可以作圓的兩條切線【答案】BC【解析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得，則圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，則圓的最大弦長為，因?yàn)?，則原點(diǎn)在圓上，則過原點(diǎn)可以作圓的一條直線，BC對(duì)，AD錯(cuò).故選：BC.19．（2024·遼寧葫蘆島·二模）過四點(diǎn)中的三點(diǎn)的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】AB【解析】對(duì)于A，點(diǎn)在圓上，故A正確；對(duì)于B，點(diǎn)在圓上，故B正確；對(duì)于C，點(diǎn)都不在圓上，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，點(diǎn)都不在圓上，故D錯(cuò)誤；故選：AB.20．（2024·云南紅河·二模）若圓與圓交于兩點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．點(diǎn)在圓內(nèi)B．直線的方程為C．圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值為D．圓上存在兩點(diǎn)，使得【答案】BC【解析】對(duì)于A，因?yàn)椋渣c(diǎn)在圓外，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)閳A和圓相交，將兩圓方程作差可得：，即公共弦AB所在直線的方程為，故B正確；對(duì)于C，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓心到直線：的距離為，所以圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值為，故C正確；對(duì)于D，直線AB經(jīng)過圓的圓心，而，所以線段AB是圓的直徑，故圓中不存在比AB長的弦，故D錯(cuò)誤.故選：BC.21．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測）已知圓，圓，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．直線的方程為B．圓和圓共有4條公切線C．若P，Q分別是圓和圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為10D．經(jīng)過點(diǎn)，的所有圓中面積最小的圓的面積為【答案】ACD【解析】由題意得，圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，對(duì)于A，直線的方程為，即，所以A正確；對(duì)于B，因?yàn)榍?，可得，所以圓與圓外切，所以兩圓的公切線共有3條，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)椋缘淖畲笾禐?，所以C正確；對(duì)于D，當(dāng)為圓的直徑時(shí)，該圓在經(jīng)過點(diǎn)，的所有圓中面積最小，此時(shí)圓的面積為，所以D正確．故選：ACD.22．（2024·高二·湖南郴州·期末）已知圓，則下列命題正確的是（

）A．圓心坐標(biāo)為B．直線與圓相交所得的弦長為8C．圓與圓有三條公切線.D．圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，則或【答案】ABD【解析】對(duì)于A中，由圓，可化為，可得圓心，半徑為，所以A正確；對(duì)于B中，由圓心到直線的距離為，則相交弦長為，所以B正確；對(duì)于C中，由圓，可得圓心，半徑，可得，且，則，所以圓與圓相交，可得兩圓有兩條公共切線，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，由圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，則滿足圓心到直線的距離為，即，解得或，所以D正確.故選：ABD.23．（2024·黑龍江齊齊哈爾·一模）已知圓，則下列結(jié)論正確的有（

）A．若圓和圓外離，則B．若圓和圓外切，則C．當(dāng)時(shí)，圓和圓有且僅有一條公切線D．當(dāng)時(shí)，圓和圓相交【答案】BCD【解析】.若和外離，則，解得或，故A錯(cuò)誤；若和外切，，解得，故B正確；當(dāng)時(shí)，和內(nèi)切，故C正確；當(dāng)時(shí)，和相交，故D正確.故選：BCD三、填空題24．（2024·高三·河北·階段練習(xí)）已知圓C滿足以下兩個(gè)條件：①圓C的半徑為；②直線被圓C所截得的弦長為2．寫出一個(gè)符合以上條件的圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】（答案不唯一）【解析】設(shè)圓C的圓心坐標(biāo)為，因?yàn)橹本€被圓C所截得的弦長為2，圓的半徑為，所以，整理得或，所以或．可取，此時(shí)圓．故答案為：（答案不唯一）25．（2024·高三·浙江湖州·期末）已知圓的圓心在直線上且與軸相切，請(qǐng)寫出一個(gè)同時(shí)滿足上述條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：.【答案】（答案不唯一，）【解析】因?yàn)閳A的圓心在直線上，不妨設(shè)其圓心，又因?yàn)閳A與軸相切，則半徑為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，取，則一個(gè)同時(shí)滿足上述條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：（答案不唯一，）26．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）圓心在直線上的圓與軸交于，兩點(diǎn)，則圓的方程為.【答案】【解析】由題意設(shè)圓心，因?yàn)椋?，解得，則半徑，圓心為，則圓的方程為.故答案為：27．（2024·全國·模擬預(yù)測）若過點(diǎn)的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則該圓的半徑為．【答案】或【解析】由題意可得所求的圓在第一象限，設(shè)圓心為，，則圓的方程為，再將點(diǎn)代入，得.故答案為：.28．（2024·高三·海南省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）寫出一個(gè)圓心在軸上，且與直線相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：.【答案】（答案不唯一）【解析】結(jié)合題意：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)樵搱A與直線相切，所以圓心到該直線的距離，即，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，不妨取，故此時(shí)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故答案為：（答案不唯一）.29．（2024·廣西·模擬預(yù)測）已知圓：關(guān)于直線對(duì)稱的圓為.【答案】【解析】設(shè)圓：關(guān)于直線對(duì)稱的圓的圓心為，則，解得，即，故圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為，即,故答案為：30．（2024·高三·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）已知圓經(jīng)過點(diǎn)，，且圓心在軸上，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】【解析】設(shè)圓心為，設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，將代入圓的方程中，，解得故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故答案為：.31．（2024·廣東佛山·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，，則的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】；【解析】依題意，設(shè)的外接圓的一般方程為，則，解得，所以所求圓的一般方程為，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.32．（2024·高二·河北保定·期中）已知圓M經(jīng)過點(diǎn)，，，則圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】【解析】設(shè)圓M的一般式方程為：，因?yàn)閳AM經(jīng)過點(diǎn)，，，所以，解得，得圓M的一般式方程為：，故圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故答案為：33．（2024·全國·模擬預(yù)測）函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A，B，C，則過A，B，C三點(diǎn)的圓的方程為．【答案】【解析】函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為，，，則線段的垂直平分線為，線段的垂直平分線為．所以過A，B，C三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，所以所求圓的方程為．故答案為：.34．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知拋物線的頂點(diǎn)為，與坐標(biāo)軸交于三點(diǎn)，則過四點(diǎn)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【答案】（答案不唯一）【解析】令，則，解得，不妨設(shè)；令0，得，則；拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為.設(shè)所求圓的方程為.當(dāng)圓過三點(diǎn)時(shí)，,所以圓的方程為.當(dāng)圓過三點(diǎn)時(shí)，,所以圓的方程為.當(dāng)圓過三點(diǎn)時(shí)，,所以圓的程為.當(dāng)圓過三點(diǎn)時(shí)，,當(dāng)圓過三點(diǎn)方程為.故答案為：（答案不唯一）35．（2024·高三·河南周口·階段練習(xí)）已知圓C：不經(jīng)過第三象限，則實(shí)數(shù)m的最大值為．【答案】【解析】圓方程整理為，則圓心，，因?yàn)閳A不經(jīng)過第三象限，所以，解得，則.故答案為：.36．（2024·高三·河南南陽·期末）若點(diǎn)在圓的外部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【答案】【解析】由在圓的外部，得，解得，或，故答案為：37．（2024·高三·江蘇·期末）已知的頂點(diǎn)是，，，則的外接圓的方程是．【答案】【解析】設(shè)所求圓的一般方程為，因?yàn)辄c(diǎn)，，在圓上，所以，解得，則所求圓的一般方程為：，.故答案為：.38．（2024·高二·上海徐匯·期中）對(duì)任意實(shí)數(shù)，圓恒過定點(diǎn)，則定點(diǎn)坐標(biāo)為．【答案】或【解析】，即，令，解得，，或，，所以定點(diǎn)的坐標(biāo)是或．故答案為：或.39．（2024·高三·北京海淀·階段練習(xí)）已知直線經(jīng)過點(diǎn)，則原點(diǎn)到點(diǎn)的距離可以是．（答案不唯一，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)常數(shù)就可以）【答案】2（答案不唯一）【解析】由于直線經(jīng)過點(diǎn)，即，即，故在以為圓心，2為半徑的圓上，由于，即原點(diǎn)在該圓內(nèi)，故，則原點(diǎn)到點(diǎn)的距離可以是2，故答案為：240．（2024·高三·江蘇南通·期中）已知直線與：交于，兩點(diǎn)，寫出滿足“三角形面積為2”的的一個(gè)值.【答案】1(或-1)【解析】直線過定點(diǎn)，點(diǎn)也在上，故可設(shè)，，三角形面積為2，則點(diǎn)到軸的距離為2，點(diǎn)在上，則有或，代入直線方程解得或.故答案為：1(或-1)41．（2024·高三·四川綿陽·階段練習(xí)）已知點(diǎn)在圓外，則直線與圓O的位置關(guān)系是．【答案】相交【解析】點(diǎn)在圓外，圓心到直線的距離:,直線與圓相交.故答案為：相交.42．（2024·山東煙臺(tái)·一模）若圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓恰好過點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為.【答案】4【解析】依題意，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在圓上，則，解得，因此點(diǎn)在圓上，則，解得，所以實(shí)數(shù)的值為4.故答案為：443．（2024·山西臨汾·一模）已知點(diǎn)在圓內(nèi)，則直線與圓的位置關(guān)系是.【答案】相離【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在圓內(nèi)，所以，圓的圓心到直線的距離為，又，則，所以直線與圓相離.故答案為：相離.44．（2024·北京海淀·一模）已知，線段是過點(diǎn)的弦，則的最小值為.【答案】【解析】由，故點(diǎn)在圓的內(nèi)部，且該圓圓心為，半徑為，設(shè)圓心到直線的距離為，由垂徑定理可得，即，故當(dāng)取最大值時(shí)，有最小值，又，故.故答案為：.45．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知圓，若過點(diǎn)的直線l與圓C相交所得弦的長為2，則直線l的斜率為