高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 132 合情推理與演繹推理 理 蘇教版

13.2合情推理與演繹推理

、填空題

1.下列表述正確的是.

①歸納推理是由部分到整體的推理②歸納推理是由一般到一般的推理③演繹推理是由

一般到特殊的推理④類比推理是由特殊到一般的推理⑤類比推理是由特殊到特殊的推

理

解析歸納推理是由個(gè)別到一般的推理，故②錯(cuò).

答案①③⑤

2.已知數(shù)列｛乩｝滿足a”=logs+1>(〃+2)(〃￡N"),定義使8?史?a.....a為整數(shù)的數(shù)k[k

WN*)叫做幸運(yùn)數(shù)，則衣￡[1,2011]內(nèi)所有的幸運(yùn)數(shù)的和為_(kāi)_______.

皿l1g31g4lg51g女+2

解析a?1a........a=-~~-?-~~-?---...................7-[7i-

k1g21g3lg4lgk+1

J；'=log2(〃+2)為整數(shù),所以A=2'一2(，￡N*),又在￡[1,2Oil],

所以左=2,2^23，…,210,和為2?！?1)=2046.

答案2046

3.觀察(/)'=2x,(x)f=4x,(cosx)'=—sinx,由歸納推理可得：若定義在R上

的函數(shù)F(x)滿足F(-x)=F(x),記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則

g(—x)=.

解析由所給函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)知，偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)，因此當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時(shí)，其導(dǎo)

函數(shù)應(yīng)為奇函數(shù)，故g(—X)=—g(x).

答案一g(x)

4.在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)比為1：2,則它們的面積比為1：4,類似地，在空間

中，若兩個(gè)正四面體的楂長(zhǎng)比為1：2,則它們的體積比為.

解析???兩個(gè)正三角形是相似的三角形，，它們的面積之比是相似比的平方.同理，兩個(gè)正

四面體是兩個(gè)相似幾何體，體積之比為相似比的立方，所以它們的體積比為1：8.

答案1：8

5.設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和為Sn,則SQx-S49Si2-58,S16-成等差數(shù)歹1類比以上

李成等比數(shù)列.

結(jié)論有:設(shè)等比數(shù)列｛"｝的前n項(xiàng)積為7；,則幾—,

,12

解析由于等差數(shù)列與等比數(shù)列具有類比性，且等差數(shù)列與和、差有關(guān)，等比數(shù)列與積、商有

關(guān),因此當(dāng)?shù)炔顢?shù)列依次每4項(xiàng)之卻仍成等差數(shù)列時(shí),類比到等比數(shù)列為依次每4項(xiàng)的積成等

比數(shù)列.下面證明該結(jié)論的正確性：

設(shè)等比數(shù)列｛"｝的公比為q,首項(xiàng)為3

則4=仇力6,『雨+2++7=邛泮兀=邛產(chǎn)川=Wq”,

；?*=b：q”,*=b：滑,即亭)2=4.卻故4,舉傘成等比數(shù)列.

，4，8,4，8’4，8

法案ZL112.

‘4/8

6.我們把平面內(nèi)與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量，在平面直線坐標(biāo)系中，利用求

動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的方法，可以求出過(guò)點(diǎn)力(-3,4),且法向量為〃=

(1,一2)的直線(點(diǎn)法式)方程為lX(x+3)+(—2)X(y-4)=0,化簡(jiǎn)得x-2y+ll=0.類

比以上方法，在空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)1(1,2,3)且法向量為

刀=(-1,—2,1)的平面(點(diǎn)法式)方程為(請(qǐng)寫(xiě)出化簡(jiǎn)后的結(jié)果)；

解析類比可得一1X(x—1)—2X(廠2)+(z—3)=0,即x+2y—z—2=0.

答案x+2y—z—2=0

7.已知5X5數(shù)字方陣

當(dāng)33wa、

的改’期fl提I.的整數(shù)倍，

如"弧中，國(guó)尸3不是辦整數(shù)倍.

a#an&5

353354Q^J

則ga3」+^Qi4=..

產(chǎn)2j=2

54

解析Za?j十方1川=32+@33十a(chǎn)3t十惻)十十a(chǎn)%十即)

7=2

六2

=(-1+1-1~1)+(1-1+1)=-1.

答案T

8.已知揄=g)n,把數(shù)列｛aj的各項(xiàng)排成如下的三角形：

ai

S2333-1

或比a?as的

記A(s,t)表示第s行的第t個(gè)數(shù)，則A(U,12)=-

解析由于該三角形數(shù)陣的每一行數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)分別為1,3,5,7,9,…，可得前10行共有

H

2如=]oo個(gè)數(shù),A(11,⑵表示第11行的第12個(gè)數(shù)，則A(11,12)是數(shù)列⑸｝的笫100

+12=112個(gè)數(shù)，即可得A(ll,12)=4)”2,故應(yīng)選D.

答案(1)"2

9.觀察下列等式：

①cos2a=2cos2。一1；

②cos4a=8cos4a—8cos2a+1；

③cos6a=32cos15a_48cos'a+18cos2—1；

?cos8a=128cossa—256cosba+160cos*a—32cos2a+1；

⑤cos10o=/?coslt，a—1280cos"+l120cos6a+ncosa+pcos2—1.

可以推測(cè)m—n+p=.

解析勿=29=512,0=5X10=50.

又卬一1280+1120+〃+〃-1=1,

.*./?=-400.

答案962

10.如圖是一個(gè)數(shù)表，第一行依次寫(xiě)著從小到大的正整數(shù)，然后把每行相鄰的兩個(gè)數(shù)的和寫(xiě)

在這兩個(gè)數(shù)的下方，得到下一行，數(shù)表從上到下與從左到右均為無(wú)限項(xiàng)，則這個(gè)數(shù)表中的第

13行，第10個(gè)數(shù)為.

1234567-

35791113…

812162024…

解析觀察數(shù)表可知，每行數(shù)分別構(gòu)成公差為2°2詈23,…的等差數(shù)列，所以第13行的公

差為212.

又每行第一個(gè)數(shù)分別為1,3=2+1X2"8=22+2X2,20=23+3X2248=2'+4X2*256=25+

5X2,，…故第13行第一個(gè)數(shù)為2”+12X2”=7X2。第10個(gè)數(shù)為7X212+9X2亶=16X2”

=216.

答案2H5(或65536)

11.已知%>0,不等式x+，22,彳十223,X+424,可推廣為刀+々2〃+1,則勿的值

xxxx

為.

4xx427xxx27

解析才+W=5+5+二，六1■一^=鼻+鼻+鼻+r,易得其展開(kāi)后各項(xiàng)之積為定值1,所以可猜

X乙乙XXJJJX

想出----F乙+4,也滿足各項(xiàng)乘積為定值1,于是加=〃".

xnnnx

答案n

12.己知結(jié)論：“在三邊長(zhǎng)都相等的△48。中，若〃是回的中點(diǎn)，點(diǎn)G是△48。外接圓的圓

心，則點(diǎn)=2”.若把該結(jié)論推廣到空間，則有結(jié)論：”在六條棱長(zhǎng)都相等的四面體ABCD

bu

An

中，若點(diǎn)W是△靦的三邊中線交點(diǎn)，0為四面體力靦外接球的球心，則不7=________

解析如圖，設(shè)四面體力用力的棱長(zhǎng)為a,則由洶是△成力的重心，

陽(yáng)勺幸a,設(shè)OA=R,則OB=R,。仁幸a一死

OO

返

于是由#=(乎)+8-4解得q將所以京昌”工

3l4a

答案3

13.將正△47。分割成〃2(〃？2,〃￡N")個(gè)全等的小正三角形((1),(2)分別給出了〃=2,3的

情形)，在每個(gè)三角形的頂點(diǎn)各放置一個(gè)數(shù)，使位于△力a'的三邊及平行于某邊的任一直線

上的數(shù)(當(dāng)數(shù)的個(gè)數(shù)不少于3時(shí))都分別依次成等差數(shù)列，若頂點(diǎn)4B,C處的三個(gè)數(shù)互不相

同且和為1,記所有頂點(diǎn)上的數(shù)之和為以力，則有〃2)=2,/(3)=，…，

f(n)=

BCBC

⑴⑵

解析當(dāng)〃=3時(shí)，如圖所示4(，)"1,2C(c\分別設(shè)各頂點(diǎn)的數(shù)用小寫(xiě)字

母表示，即由條件知a+Z?+c=l,汨+彳2=々+。，%+%=6+。，

zi+z2=c+a,M+也+y+%+zi+的=2(a+A+c)=2,

2尸小+_^=^+Z1=M+Z2,6尸汨+型+y+%+zi+z2=2(a+b+c)=2,

即g=\

0

而f(3)=a+ZH-c+x】+>2+yi+%+z】+z2+Ll+2+；=￥，

進(jìn)一步可求得A4)=5.由上知Al)中有三個(gè)數(shù),f(2)中有6個(gè)數(shù),1(3)中共有10個(gè)數(shù)相加,

/'(4)中有15個(gè)數(shù)相加…，若F(〃-1)中有&個(gè)數(shù)相加，可得/(〃)中有(&r+〃+l)

個(gè)數(shù)相加，且由

/(1)=1=1,A2)=|=^=A1)+1,

*3)=學(xué)=*2)+\,f⑷=5=f(3)+￡,???

c313

可得

?5

所以/*(〃)=/(/?-1)+^^=/'(〃-2)-

JKJ<5

〃+1/7,n—1,,3?八/、

=-

7J--FJ7H-J7—~I-----FTJ+AD

------!■?+/=!(〃+1)(〃+2)?

OOOOOOD

答案7T?(〃+2)

二、解答題

14.如圖，一個(gè)樹(shù)形圖依據(jù)下列規(guī)律不斷生長(zhǎng)：1個(gè)空心圓點(diǎn)到下一行僅生長(zhǎng)出1個(gè)實(shí)心圓

點(diǎn)，1個(gè)實(shí)心圓點(diǎn)到下一行生長(zhǎng)出1個(gè)實(shí)心圓點(diǎn)和1個(gè)空心圓點(diǎn).

(1)求第n行實(shí)心圓點(diǎn)個(gè)數(shù)與第n-1,n-2行實(shí)心圓點(diǎn)個(gè)數(shù)的關(guān)系.

(2)求第11行的實(shí)心圓點(diǎn)的個(gè)數(shù).

第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

第6行

【解題指南】設(shè)出第n行實(shí)心圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)①，空心圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)整，則它與第n—l行的關(guān)系

由題意不難得出，整理可得解.

【解析】（1）設(shè)第n行實(shí)心圓點(diǎn)有心個(gè)，空心圓點(diǎn)有bn個(gè)，由樹(shù)形圖的生長(zhǎng)規(guī)律可得

bn=an-l

AnSn_1+Bn—1

a”=8n—1+bn—I=1+dn

即第n行實(shí)心圓點(diǎn)個(gè)數(shù)等于第n-1行與第n-2行實(shí)心圓點(diǎn)個(gè)數(shù)之和.

（2）由（1）可得數(shù)列｛a,.｝為0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,…，，第11行實(shí)心圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)

就是該數(shù)列的第11項(xiàng)55.

【方法技巧】解決“生成”數(shù)列的方法

解決生成數(shù)列的關(guān)鍵在于抓住該數(shù)列的生成規(guī)律，一方面可以通過(guò)不完全歸納法來(lái)猜想結(jié)

論，另一方面也可以通過(guò)第n項(xiàng)與第n-1項(xiàng)的關(guān)系來(lái)分析與處理.此類問(wèn)題是高考的熱點(diǎn).

15.平面中的三角形和空間中的四面體有很多相類似的性質(zhì)，例如在三角形中：（1）三角形

兩邊之和大于第三邊；（2）三角形的面積S=：X底X高；（3）三角形的中位線平行于第三邊

且等于第三邊的看……

請(qǐng)類比上述性質(zhì)，寫(xiě)出空間中四面體的相關(guān)結(jié)論.

解析由三角形的性質(zhì)，可類比得空間四面體的相關(guān)性質(zhì)為：

（D四面體的任意三個(gè)面的面積之和大于第四個(gè)面的面積；

（2）四面體的體積勺Jx底面積X高；

（3）四面體的中位面平行于第四個(gè)面且面積等于第四個(gè)面的面積的京

16.如圖所示，D,E,F分型是BC,CA,N8上的點(diǎn)，N跖且加/%.求證：ED=AF（要

求注明每一步推理的大前提、小前提和結(jié)論，并最終把推理過(guò)程用簡(jiǎn)略的形式表示出來(lái)）.

A

證明（1）同位角相等，兩條直線平行，（大前提）

NM9與N4是同位角，且NBFD=NA,（小前提）

所以辦'〃￡2.（結(jié)論）

（2）兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，（大前提）

DE〃FAQDF，EA,（小前提）

所以四邊形47應(yīng)為平行四邊形.（結(jié)論）

（3）平行四邊形的對(duì)邊相等，（大前提）

切和"'為平行四邊形的對(duì)邊，（小前提）

所以破=":（結(jié)論）

NBFD=4A=DF〃EA\

上面的證明可簡(jiǎn)略地寫(xiě)成：=四邊形力&應(yīng)是平行四邊形n折力汽

DE//FA

17.定義“等和數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那

么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和.已知數(shù)列｛a,｝是等和數(shù)列，且向

=2,公和為5,（1）求人的值；（2）求該數(shù)列的前〃項(xiàng)和S.

解析（1）由等和數(shù)列的定義，數(shù)列加才是等和數(shù)列，且句=2,公和為5,易知/-=2,

期=3（〃=1,2,…），故ai8=3.

⑵當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，

$=句+/+…+/=（功