2024秋新教材高中數(shù)學(xué)第五章三角函數(shù)5.5三角恒等變換5.5.1第3課時(shí)二倍角的正弦余弦正切公式分層演練含解析新人教A版必修第一冊

PAGE第3課時(shí)二倍角的正弦、余弦、正切公式分層演練綜合提升A級基礎(chǔ)鞏固1.函數(shù)y=1-2cos2x的最小正周期是 ()A.π4 B.π2 C.π D答案:C2.若α為其次象限角,sinα=35,則sin2α= (A.-2425 B.-1225 C.1225答案:A3.若tanθ=-13,則cos2θ= (A.-45 B.-15 C.15答案:D4.若x∈-π2,0,cosx=45,則tan2x等于 ()A.724 B.-724 C.247 D答案:D5.已知π2<α<π,cosα=-4(1)求tanα的值;(2)求sin2α+cos2α的值.解:(1)因?yàn)閏osα=-45,π2<α<π,所以sinα=所以tanα=sinαcosα(2)由(1)易得sin2α=2sinαcosα=-2425cos2α=2cos2α-1=725所以sin2α+cos2α=-2425+725=-B級實(shí)力提升6.化簡sin2x2cosx1+tanx·tanx2= (A.cosx B.tanxC.sinx D.12sin2解析:原式=2sinxcosx2cosx1+sinsinx·cosxcosx2+sinxsin答案:B7.若θ為銳角,cos(θ+15°)=35,則cos(2θ-15°)=17解析:因?yàn)棣葹殇J角,cos(θ+15°)=35所以sin(θ+15°)=45所以sin(2θ+30°)=2sin(θ+15°)cos(θ+15°)=2425cos(2θ+30°)=2cos2(θ+15°)-1=2×925-1=-7所以cos(2θ-15°)=cos(2θ+30°-45°)=cos(2θ+30°)cos45°+sin(2θ+30°)sin45°=-725×22+2425×8.已知函數(shù)f(x)=cos2x+sinxcosx,x∈R.(1)求fπ6的值;(2)若sinα=35,且α∈π2,π,求fα2+π24.解:(1)f(π6)=cos2π6+sinπ6(32)2+12×32(2)因?yàn)閒(x)=cos2x+sinxcosx=1+cos2x2+12sin2x=12+12(sin2x+cos2x)=12+22sin所以f(α2+π24)=12+22sin(α+π12+22sin(α+π3)=12+22(12sinα又因?yàn)閟inα=35,且α∈(π2,π),所以cosα=-所以f(α2+π24)=12+22(12×35-3C級挑戰(zhàn)創(chuàng)新9.多空題已知sinα=35,α∈π2,π,則tan2α=-247cos2α=725解析:因?yàn)閟inα=35,α∈(π2,π所以cosα=-1-sin所以tanα=sinαcosα=-34,tan2α=cos2α=2cos2α-1=72510.開放探究題某同學(xué)在一次探討性學(xué)習(xí)中發(fā)覺,以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù):①sin213°+cos217°-sin13°cos17°;②sin215°+cos215°-sin15°cos15°;③sin218°+cos212°-sin18°cos12°;④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos48°;⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos55°.(1)請依據(jù)②式求出這個(gè)常數(shù).(2)依據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果,將該同學(xué)的發(fā)覺推廣為三角恒等式,并證明你的結(jié)論.解:(1)sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-12sin30°=1-14=(2)三角恒等式為sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=34證法1:sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=sin2α+(cos30°cosα+sin30°sinα)2-sinα(cos30°·cosα+sin30°sinα)=sin2α+34cos2α+32sinα14sin2α-32sinαcosα-12sin2α=34sin2α+34證法2:sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=1-cos2α2+1+cos(sin30°sinα)=12-12cos2α+12+12(c